2012全国高中数学联赛二试模拟题
2012年高中数学联赛加试(二试)参考答案(by优瞰培优)
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题（ Ａ卷） 参考答案及评分标准 第 １页（ 共 ４页）
下面给出三种证明方法：
ｋ ＋ １ ｋ ＋ １ 证法 １ ： 令ｂ ＝ ｍ ｘ ， ｂ ＋ １＝ ２ ｙ ， 消去 ｂ 得２ ｙ － ｍ ｘ ＝ １ ． ｋ ＋ １ 由于（ ２ ， ｍ ）＝ １ ， 这方程必有整数解： ｋ ＋ １ ｘ ＝ ｘ ２ ｔ ， ０＋ （ 其中 ｔ ， （ ｘ ， ｙ ） 为方程的特解） ． ∈Ｚ ０ ０ ｙ ＝ ｙ ＋ ｍ ｔ ０
( ) ( １ １ １ １ １ …＋ ) ＞ １＋ ＋( ＋ ) ＋ … ＋( ＋ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ｎ ｎ
)
１ １ １ １ ＝ １＋ ＋ ＋ … ＋ ＞ ｎ １ ０分 ２ ２ ２ ２ 因此， 当ｎ 充分大时， Ｓ ｎ 可以大于任何一个正数 ． 令Ｎ ０＝ １ ， 则Ｎ＞ ． 当ｋ ＞ Ｎ 时， [ ｂ１ ] ＋１ － ａ ｂ － ａ
( ) ( １ １ １ １ １ …＋ ) ＞ １＋ ＋( ＋ ) ＋ … ＋( ＋ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ｎ ｎ
)
１ １ １ １ ＝ １＋ ＋ ＋ … ＋ ＞ ｎ １ ０分 ２ ２ ２ ２ 令Ｎ ０＝ １ １ ， ｍ＝[ Ｓ ] ＋ １ ， 则 ＜ Ｎ， ＜ ｂ － ａ ， Ｓ ＜ ｍ ａ ２ ０分 ≤ ｍ＋ [ ｂ１ ] ＋１ － ａ ｂ － ａ Ｎ
１ ≤ｊ ≤ｋ 则不存在 ｎ ， 使得 Ｓ ａ ， ｃ ） ， 这与（ １ ） 的结论矛盾． [Ｓ ] ∈（ ∈Ｎ ｎ－ ｎ
所以数列 { Ｓ ａ ， ｂ ） ． [Ｓ ] }中有无穷多项属于（ ｎ－ ｎ 综上所述原命题成立 ５ ０分 证法 ２ ： （ １ ） 对任意的正整数 ｎ ， 有 １ １ １ Ｓ １＋ ＋ ＋ …＋ｎ ｎ＝ ２ ２ ３ ２ １ １ １ １ １ …＋ｎ ＋２ ＋ ＋ ＝ １＋ ＋ … ＋ ｎ－１ １ ２ ２ ２＋ ２ ２ ＋ １
2012届高三全国高考模拟卷二(数学试题)
2012届高三全国高考模拟卷二数 学考查范围：集合、逻辑、函数与导数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）[2011·辽宁卷] 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝，则M∪N＝( )A．M B．N C．I D．∅2.[2011·课标全国卷]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|3．[2011·皖南八校二模] “a =－1”是“函数只有一个零点”的（ ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分必要条件4．[2011·皖南八校二模]已知集合则等于 （ ）A．{0，1，2，3，4} B.C．{-2，-1，0，1， 2，3，4} D．{2，3，4}（文）函数的图象如右图所示，则的图象可能是（ ）6．[2011·皖南八校二模]已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，的值为（ ）A．-2 B．-1 C．2 D．17．[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（理）[2011·课标全国卷]由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6（文）函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间上的图象如图所示，且，那么（ ）A．是的极大值点B．=是的极小值点C．不是极值点D．是极值点9．[2011·济南二模]设偶函数对任意，都有，且当时，,则=A.10B.C.D.10．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为A. y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[]11．[2011·天津卷]已知则A． B．C． D．12．[2011·浙江卷] 设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是( )A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上）13．[2011·上海卷]若全集U =，集合，则∁U A= .14．设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．15．[2011·陕西卷] 设f(x)＝若f(f (1))＝1，则a＝________.16．[2011·四川卷]函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）已知集合,,.（1）求（∁;（2）若,求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性;（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．．（本小题满分12分）[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20.（本小题满分12分）已知命题:和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立;命题q:不等式有解.若命题p是真命题且命题q是假命题，求实数a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数f（x）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x y）= 成立，且f（a）= 1（a为正常数），当时，．（1）判断奇偶性；（2）证明为周期函数；（3）求在上的最小值和最大值．22．（本小题满分14分）（理）[2011·课标全国卷] 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞＋，求k的取值范围．（文） [2011·辽宁东北育才学校六模]已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（1）求的表达式；（2）若，使成立，求实数的取值范围；（3）设，，求证：对于，恒有.2012届高三全国高考模拟卷二参考答案（数 学）1. 【答案】A【解析】N∩∁I M＝⇒N⊆M，所以M∪N＝M，故选A.2.【答案】B【解析】A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝＋1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝|x|是偶函数，但在上是减函数．故选B.3.【答案】B【解析】.4.【答案】A【解析】∵5.（理）【答案】D【解析】 结合函数图象可得不等式的解集为.（文）【答案】D【解析】原函数为增函数则导函数大于0，原函数为减函数则导函数小于0，故选D.6.【答案】D【解析】7.【答案】A【解析】当a>0，b>0时，由0<ab<1两边同除b可得a<成立；当a<0，b<0时，两边同除以a可得b>成立，∴“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件．反过来，若ab<0，由a<或b>得不到0<ab<1.所以阴影部分的面积S＝.（文）【答案】B 【解析】，且时，，且时，，故是的极小值点，选B.9. 【答案】B【解析】由知该函数为周期函数，所以10.【答案】B【解析】当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,故选.由图象可得m>l>n，又∵y＝5x为单调递增函数，∴.12. 【答案】D【解析】当a＝b＝c＝0时，＝1且|T|＝0；当a≠0，c≠0且b2－4c<0时，＝1且|T|＝1；当a≠0，c≠0且b2－4c＝0时，|S|＝2且|T|＝2；当a≠0，c≠0且b2－4c>0时，＝3且|T|＝3.13. 【答案】14.【答案】．【解析】显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解不等式组得．于是实数的取值范围是．15. 【答案】1【解析】由f(x)＝得f(1)＝lg1＝0，f[f(1)]＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.16. 【答案】②③ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A且f(－2)＝f(2)，所以①错误；对于②③，根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即②③正确；对于④，函数f(x)在某区间上具有单调性，则函数只能是在该区间上为一一映射确定的函数关系，而不能说f(x)一定是单函数，所以④错误．17．解：（1）；∁,（∁. ;(2)若, a＞3.18. 解：（1）因为是奇函数，所以=0，即（2）由（1）知，设，则.因为函数y=2在R上是增函数且， ∴>0.又>0 ，∴>0，即，∴在上为减函数.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为为减函数，由上式推得．即对一切有，从而判别式19. 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而f′(x)＝10＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20. 解：∵，是方程的两个实根， ∴∴，∴当时，，由不等式对任意实数恒成立，可得，∴或，∴命题为真命题时或；命题：不等式有解，①当时，显然有解；②当时，有解；③当时，∵有解，∴，∴，从而命题q：不等式有解时.又命题q是假命题，∴.，故命题p是真命题且命题q是假命题时，的取值范围为.21. 解：（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，又f（ x） = f [（a x） a]= = = = = = f （x），对于定义域内的每个x值都成立，∴ f（x）为奇函数.（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．（3）f（2a）= f（a + a）= f [a （ a）]= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f [2a （ a）]= = = 1．先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）< 0，设2a < x < 3a，则0 <x 2a < a，∴ f（x 2a）= = > 0，∴ f（x）< 0，设2a < x1 < x2 < 3a，则0 < x2x1< a，∴ f（x1）< 0 ， f（x2）< 0 ， f（x2x1）> 0，∴ f（x1） f（x2）=> 0，∴ f（x1）> f（x2），∴ f（x）在[2a，3a]上单调递减，∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a） = 0，最小值为f（3a）= 1.22．（理）解： (1)f′(x)＝－，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得a＝1，b＝1.(2)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)－＝.考虑函数h(x)＝2ln x＋(x>0)，则h′(x)＝.①设k≤0，由h′(x)＝知，当x≠1时，h′(x)＜0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－＞0，即f (x )＞＋.②设0＜k ＜1，由于当x ∈时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈时，h (x )>0，可得h (x )<0.与题设矛盾．③设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得h (x )＜0，与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．（文）解：（1）设，于是，所以又，则．所以. （2）当m>0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R；当m=0时，对，恒成立；当m<0时，由，这时，综上，使成立，实数m的取值范围．（3）由题知因为对，所以在内单调递减.于是记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立.。
(完整word版)2.2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(一)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ． 解析: 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．复数z ，使322z z z +=，则z 的所有可能值为 _____ ____．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z+==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．所有的满足条件11a b a b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于 ．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。
一小时选择模拟测试试题二2012年全国高中数学联赛
一小时选择模拟测试试题二2012年全国高中数学联赛1.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+ (n ∈N +), 则n a a a 242+++ 被3除的余数是( )A.0B.1C.2D.不能确定2.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是( )A.17B.16C.11D.103．ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则使等式2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=成立的充要条件是（ ）.（A ）2a b c += （B ）2b c a += （C ）2c a b += （D ）2c a b ⋅=4．抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴，焦点在直线3412x y -=上，则抛物线方程为（ ）.（A ）212y x =-（B ）212y x =（C ）216y x =-（D ）216y x = 5．设3,0,k k <≠则二次曲线2213x y k k -=-与22152x y +=必有（ ）. （A ）不同的顶点 （B ）不同的准线 （C ）相同的焦点 （D ）相同的离心率6．连结正五边形12345A A A A A 的对角线交另一个正五边形12345B B B B B ，两次连结正五边形12345B B B B B 的对角线，又交出一个正五边形12345C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形( )个。
（A ）50 （B ）75 （C ）85 （D ）1007、已知log a b+3log b a=，当a>b>1时，的值是 （ ）A 、13B 、4C 、2D 、18、设M={a|a=,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 （ ）A 、10个B 、64个C 、128个D 、256个9、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周，所得旋转体是有公共底面的两个圆锥，边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ，圆心角为2160的扇形，则此旋转体内切球的半径是 （ ）A 、B 、C 、D 、60cm10、设x 2+3y 2-4x+6y+30,则x-3y 的范围是 （ ）A 、[3，7]B 、[1，9]C 、[3-，7+]D 、（5-，7）11、x+y+z=1999的正整数解的个数是 （ ）A 、998·1997B 、999·1997C 、999·1999D 、1000·199912、一个正方体内接于一个圆锥（其中一个底面在圆锥底面上，相对的面的四个顶点均在圆锥的侧面上），经过圆锥的两条母线作截面，则下列图形中不可能出现的图形个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、213．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A( )A ．(－2，2)B ．[－2，2]C ．}1,3{-D ．}1,3{-14．若()()200634554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．200715．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是( )A ．[1，2]B ．[2，4]C ．[1，3]D ．[3，6]16．平面上有两个定点A 、B ，另有4个与A 、B 不重合的的动点4321C C C C 、、、。
2012年全国高中数学联赛模拟试题
2012年全国高中数学联赛模拟试题（5） 一试一、填空题1.不等式)1()1(y y x x -≤-的解集中y x ,能使k y x ≤+22成立时的k 的最小值为 ．2.一个三位自然数)(321a a a 如果同时有21a a >及23a a >称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是 ．3.若x 是一个十进制四位整数，记x 的各位数码之积为)(x T ，各位数码之和为)(x S ，p 为素数，且k p x T =)(，5)(-=p p x S ，则x 中的最小者是 ．4.已知复数列}{n a 的通项公式为)1()31)(21)(1(n iiii a n ++++=Λ，则1+-n n a a 等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则=min k ．6.+∈R y x ,且y y x x -+=+-2313，则y x +的最大值是___________．7.已知x 和y 是实数，yi x z ++=)4(1，yi x z +-=)4(2，21z z +10=，令34--=y x u ，则u 的最大值为 ．8.平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是 ．二、解答题9.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，并且满足0)1()(=+xf x f ．如果函数 )11()(--=x mx f x g 是奇函数，试求实数m 的值．10.已知数列}{n a 中，11=a ,211nn n a a a +=+ )(*N n ∈ 求证：182005>a11.已知圆1:22=+y x O 和抛物线22-=x y 上有三个不同的点R Q P ,,．如果直线PQ 和PR 都与圆O 相切．求证：直线QR 也与圆O 相切．二试一、ABC ∆内接于半径为R 的圆O ，令I 为ABC ∆内心，r 为内切圆半径，且I 和O 不重合，G 为重心．证明: c b BC IG =⇔⊥或a c b 3=+，其中c b a ,,分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对应的三边长．二、已知：c b a ,,为正实数，且3444=++c b a ，证明：1414141≤-+-+-cabc ab三、设b a ,是正整数，满足1),(,122-++=≠ab ab b a b a f ab ，求),(b a f 所有可能 取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论．。
(完整word版)4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t , 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+Y πx ,2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增,所以,221+≥y 或221-≤y , 即值域),221[]221,(+∞+--∞Y . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________解：因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma )2+(nb )2+(mb )2+(na )2≥(ma )2+(nb )2+2mnab =(ma +nb )2=c 2, 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0, 解得(m , n )=(cbc a --,), 所以m 2+n 2最小值是1. 3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n 解：由924339242222-++=--+n n n n 知92422-++n n 可能为1,3, 11, 33,从而解得.5=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试,附详细解答)
2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）__________1. 正八边形87654321A A A A A A A A 边长为1，任取两点j i A A ，则21A A A A j i ⋅最大值为__________2. 若ii ikk k kxa x x f C-==∑∑=--=20072007020072007)3()1()(，则∑=20071k ka＝_________3. 若关于x 的方程0142)6(22222=+-+++-+-b a b a x b b a x 的两个实数根21,x x 满足,1021≤≤≤x x 则4422+++a b a 的最小值为______________, 最大值分别为____________4. 设P 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上一动点，过P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为点B A ,，若点B A ,始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是___________. 5. 对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数。
对于某个整数k ，恰存在2008个正整数200821,,,n n n ，满足[][][]320083231n n n k ====，并且k 整除)2008,2,1( =i n i，则k =___________.6. A 、B 两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。
A 队的三名队员是321,,A A A ，B 队三名队员是B 1, B 2, B 3,，且i A 对j B 的胜率为ii +j(1≤i , j ≤3)，A 队得分期望的最大可能值是________.7. △ABC 的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为r 的圆O , O 1, O 2, O 3放在△ABC 内，并且⊙O 1与 边AB 、AC 相切，⊙O 2与边BA 、BC 相切，⊙O 3与边CB 、CA 相切，⊙O 与⊙O 1, O 2, O 3相切, 则r =_________. 8. 设,a b都是正整数，且(1001a +=，则ab 的个位数字是__________二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知：实数),,2,1(n i a i =满足1(1,2,,)ia i n i≥= ，证明：1212112(1)()()(12)2(1)!nn na a a a a na n n +++≥+++++10. 已知数列}{n a 由222*11112,,()3n nn a a a a a n N +-==++∈ 确定, 若对于任意*N n ∈，12111111nM a a a ++<+++ 恒成立。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
n
a0 n
当 n 1 时，
1 a0 n ．即有 an a0 n ,从而 an1 a0 (n 1) .于是， i 1 1 ai 1
n
1 a
i 1
n
1
i 1
1 1； 1 a0
a 当 2 n 0 1 时，由 {an } 递减得 2
距离的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x)
/ 因 d ( x)
| ex x | 2
ex x 2
,
2 ,即 PQ min= 2 . 2 2 2 2 2 6.解: 解：用 1 x 代替原式中的 x 得： f ( x 3x 5) 2 f ( x x 3) 6 x 2 x 13 2 2 解二元一次方程组得 f ( x x 3) 2x 2x 3 ，所以： f ( x) 2 x 3 ，则 f (2011) 4019 ． （分析得 f ( x ) 为一次多项式，可直接求 f ( x ) 解析式）
n
1 a
i 1
n
1
i 1
n n 1. 1 an1 a0 n 2
1 故 a0 n an a0 n a0 n 1．所以， [an ] a0 n . i 1 1 ai 1 10. 解（1）依题意设直线 l 方程为 y k ( x 2) 3 ，与椭圆联立得
kabc (a b) 2 (a b 4c) 2 ，求 k 的最大值。 abc
1
2012 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1.解：令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x