拉普拉斯特征向量相关谱及其在滚动轴承故障诊断中的应用

式中 p i 为第 i 个 IM F 的能量占整个信号能量的 百分比 （ i ＝ １ ， ２ ，… ， m） Ei （１７） pi ＝ E 式中 E 为整个信号的能量 E＝
n i＝ １
∑
Ei
（１８）
这里综合利用时域 、 频域和能量熵的特征参数 。 首先 ， 提取信号的 １１ 个时域特征参数 （ T１ ～ T１１ ）和频 域的 １３ 个频域特征参数 （ F１ ～ F１３ ） ， 然后用同样的方 法提取 Hilbert 包络谱的 １３ 个频域特征参数 ， 最后 ， 计算 IMF 分量的能量熵得到 ６ 个特征参数 ， 一共得 到 ４３ 个特征参数 ， 其中时域和频域参数如表 １ 所示 。
收稿日期 ： ２０１３‐０４‐０８ ； 修订日期 ： ２０１３‐０８‐１５ 基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （５１２７５１６１）
学习算法 ——— 监督拉普拉斯特征映射 （Supervised Laplacian Eigenmap ， S‐LapEig ） ， 用于提取高维故 ［９ ］ 障数据中的内在流形特征 。 与传统的降维方法主 元分析 （Principal component analysis ， PCA ） 、线性 判别分析 （Linear discriminant analysis ，LDA ） 和 Laplacian 特征图算法相比 ， S‐LapEig 能大大提高分 类性能 。 Y U 等采用局部保持映射算法提取有效的 特征集 ， 进而分别采用多变量统计量和基于高斯混 合模型的轴承性能退化评估模型来评估轴承的性能 退化 ， 都取得了很好的效果［１０ ，１１ ］ 。 谱图方法的特征 提取和维数简约能力在机械故障诊断领域有了一些 应用 ， 但在数据故障模式直接分类识别上的应用尚 未见研究 。 拉普拉斯特征向量相关谱定义为拉普拉斯矩阵 特征向量之间夹角余弦的绝对值 ， 通过对拉普拉斯 矩阵进行标准正交分解得到 ， 其表示形式是一种对 称矩阵 ， 能清晰反映数据在全局范围内的相互关系 。 由于不同类别故障样本在特征空间的投影方向不 同， 所以可以用拉普拉斯特征向量相关谱来进行滚 动轴承故障的模式识别 。 本文提出了基于拉普拉斯 特征向量相关谱的模式识别方法 ， 并将其应用于滚 动轴承故障诊断 。 应用实例表明 ， 基于拉普拉斯特 征向量相关谱可以有效地识别滚动轴承故障 ， 是一 种有效可行的滚动轴承故障诊断方法 。
（４）对半正定矩阵 L 求解其特征方程 | L － λI | ＝ ０ 根据特征向量的定义 （ i ，j ＝ １ ， ２ ，… ， m） L矱 i ＝ λi 矱 i 令对角矩阵 正交矩阵 则可以得到
（８） （９） （１０） （１１） （１２）
γ ＝ diag （λ１ ， λ２ ，… ， λm ） 矱 ＝ ［ 矱１ ， 矱２ ，… ， 矱m ］
引 言
机械设备故障诊断的本质是根据设备运行状态 ［１ ］ 信息进行特征提取和模式识别 。 在旋转机械的故 障中 ， 有 ３０％ 的故障是由滚动轴承引起的 ， 滚动轴 承工作状态的好坏将直接影响到整台机械设备的工 作状态 ， 因此轴承故障诊断技术已得到广泛 的重 ［２ ］ 视 。 随着设备的日益复杂 ， 反映设备状态的信息 量越来越大 ， 数据维数也越来越高 ， 从而导致一些故 ［３ ］ ［４ ］ 障诊断方法 （如模糊逻辑 ， 神经网络 ， 支持向量 ［５ ， ６］ 机等 ）的效率迅速下降 。 研究如何有效地从状 态监测数据中提取故障特征 ， 对提高故障监测与诊 断的准确性具有重要意义 。 谱方法是数学领域里一种经典的分析和代数方 法， 其在高维数据的低维表示和聚类问题中有着广 ［７ ， ８］ 泛的应用 。 该方法首先根据给定的样本数据集 定义一个描述成对数据点相似度的关系矩阵 ， 并计 算此矩阵的特征值和特征向量 ； 然后选择合适的特 征向量 ， 投影得到数据的低维嵌入 。 如果相似度矩 阵定义在一个给定的图上 ， 比如图上的邻接矩阵 、 拉 普拉斯 （Laplacian ）矩阵等 ， 则称为谱图方法 。 近年 来， 随着谱图方法在流形学习中的深入研究 ， 其应用 也越来越广 。 JIA NG 等提出了一种新的监督流形
式中 t 表示所有样本点之间的平均欧式距离 ； 否
则， 没有边连接 ， S ij ＝ ０ 。 加权矩阵 S 称为图 G 的相 似矩阵 ， 它用来衡量近邻样本点之间的相似性 ， 描述 了数据空间的固有局部几何结构 ；S 中元素的值越 大， 表明两个样本越相近 ， 越有可能属于同一类 ， 反 之， 则越有可能属于不同类 。 （３）定义单位向量 I ＝ ［１ ，… ， １］T （５） 对角矩阵 D ＝ diag （SI） ［９ ］ 则得到拉普拉斯矩阵矩阵 L＝ D － S 其中 I 为 m 维单位向量 。 （６） （７）
第５期
欧 璐 ， 等： 拉普拉斯特征向量相关谱及其在滚动轴承故障诊断中的应用
７４９
1 拉普拉斯特征向量相关谱
1． 1 谱图方法简介 谱图方法主要通过图的各种矩阵表示 （主要是 拉普拉斯矩阵和邻接矩阵 ）来研究矩阵的谱性质 （如 特征值和特征向量 ） ， 从而刻画图中包含的信息 ， 并 通过几何 、 分析和代数的技术在离散空间和连续空 ［１２ ， １３ ］ 间之间建立联系 。 设 G ＝ （V ，E）是有 n 个顶点的简单图 （不含环 和重边 ） ， 其中 V ＝ （ v１ ，v２ ，… ，v n ）表示顶点集合 ， E ＝ （el ， e２ ，… ， em ）表示边集合 。 图 G 的邻接矩阵定 义为一个 n × n 矩阵 A （ G ） ＝ （ aij ） ， 其中当 v i 和 v j 相邻时 aij ＝ １ ； 当 v i 和 v j 不相邻时 a ij ＝ ０ 。 令 d（v i ） 表示顶点 v i 的度 ， 图 G 的拉普拉斯矩阵定义为 L（G ） ＝ D（G ） － A（G ） （１） 式中 D（G ） ＝ diag （ d （ v１ ） ，d （ v２ ） ，… ，d （ v n ））是图 G 的度对角矩阵 。 拉普拉斯矩是建立在邻接矩阵的基础上 ， 具有 邻接矩阵不包含的顶点度信息 ， 能更好地反映图中 蕴含在顶点之间的关系 。 1． 2 拉普拉斯特征向量相关谱 本文在谱图理论的基础上 ， 提出了拉普拉斯特 征向量相关谱 ， 定义为拉普拉斯矩阵特征向量间夹 角余弦的绝对值 。 由拉普拉斯特征向量相关谱可构 建对称的拉普拉斯特征向量相关谱矩阵 ， 具体计算 方法如下 ： （１）用已知标号类别和未知标号类别的样本点 构建一个近邻图 G 。 总共 m 个样本点 ， 其中 ， 第 i个 节点对应样本 x i 。 如果 x i 与 x j 足够近 ， 则有边连 接， 例如 ，x i 是 x j 的 k 近邻节点或者 x j 是 x i 的 k 近邻节点 ， 否则 ， 没有边连接 ； 本文取 k ＝ m／２ 。 （２）如果节点 i 与节点 j 是连通的 ， 即有边连 接， 则令 （ i ，j ＝ １ ， ２ ，… ， m） ２ ２ ２ S ij ＝ exp （ － d（ x i ，x j ） ／２ σ ） ＝ exp （ － d（ x i ， x j ） ／ t）
R（ij ） ＝
k＝ １ m k＝ １
∑
ηki ηkj
m
（１５）
∑
η
２ ki
（２） 式中 d（ x i ， x j ）为样本 x i 与 x j 之间的欧式距离 ， σ 为一个合适的常数 ， 表示热核的宽度 ， 在本文中令
m m
σ＝ １ m
m
i＝ １ j ＝ １
∑ ∑
d（ x i ， xj ） ２ （３）
L ＝ 矱γ 矱 （５）令由特征向量组成的单位正交矩阵
T
T （１３） η ＝ γ矱 则将拉普拉斯矩阵标准正交分解为 T L＝ η η （１４） （６ ）拉普拉斯特征向量相关谱矩阵 R 第 i 行 j 列的元素 R （ i j ）定义为 （ i ，j ＝ １ ， ２ ，… ， m） m
k＝ １
∑
η
２ kj
７５０
振 动 工 程 学 报
第 ２７ 卷
于同一类 ， 为零则表示第 i 个样本与第 j 个样本不 属于同一类 。 由于相关谱矩阵是对称矩阵且只有有 限种状态 ， 因此根据同一行或者同一列的非 ０ 元素 属于同一类的判别准则 ， 观察矩阵的前若干行或者 列就可以识别故障类别 。 矩阵的构建和分解在谱图理论中起着很重要的 作用 ， 相关谱的表达形式也是一种矩阵 ， 它通过标准 正交分解拉普拉斯矩阵得到的特征向量来描叙样本 间的相互关系 。 该方法无需对特征集进行筛选 ， 分 类精确度高 ， 并且适用于小样本实验 ； 同时 ， 它将分 类问题转化为求特征值问题 ， 不需要迭代计算 ， 具有 计算过程简单 、 运算速度快等特点 。 相比神经网络 而言 ， 该方法不会依赖于使用者的经验知识 ， 不存在 考虑网络的稳定性以及泛化能力的问题 ； 相比二分 类的支持向量机而言 ， 该方法可以进行多类故障分 析， 不需要考虑核函数及其参数调整对结果的影响 。 由于不同类别故障样本在特征空间的投影方向 不同 ， 所以可以通过分析特征向量相关谱矩阵来进 行滚动轴承故障的模式识别 。
Tab ． 1 Feature parameters 时域特征参数 T１ ＝ T２ ＝ T３ ＝
n＝ １
表 1 特征参数
频域特征参数 F１ ＝ F２ ＝ F３ ＝ F４ ＝ F５ ＝
k＝ １ K
∑ x （ n） N ∑ （ x （ n） － T１ ）２ N －１ x （n） N N
２ N
N
∑ s （k ） K K －１ K（ F２ ）３ K F２ ２ ∑ （s（k） － F１ ）２ ∑ （s（k） － F１ ）３ ∑ （s（k） － F１ ）４ ∑ f k s （ k）
第 ２７ 卷第 ５ 期 ２０１４ 年 １０ 月
Journal of Vibration Engineering
振 动 工 程 学 报
Vol ． ２７ No ． ５ Oct ． ２０１４