2016-2017学年高中数学苏教版必修4学案：2.4.1 数量积的定义 Word版含解析

2.4向量的数量积第1课时数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18.(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9. (3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】 (1)18 (2)9 (3)0 教材整理2 两个向量的夹角阅读教材P 83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-4-1所示．作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．图2-4-12．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .试指出图2-4-2中向量的夹角， 图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与OB →的夹角________．图2-4-2【答案】 θ 0° 180° θ教材整理3 向量的数量积的运算律及性质 阅读教材P 84及P 85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b 与a上的投影为________．【解析】a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×22＝322；b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×22＝522.【答案】322522[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． 【自主解答】 (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3.(2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →； (3)BC →·AC →.【解】 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a－b |，|3a ＋b |.【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a·a 转化为数量积的运算求解．【自主解答】 ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2 ＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________. 【解析】 因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10，所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)，故|b |＝ 2. 【答案】2已知a a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a ，b 之间的关系，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求得夹角．【自主解答】 由已知，得(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， 即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0， 即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② ①②两式相减，得2a ·b ＝b 2， ∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2， 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b|2＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1．求向量a ，b 夹角的流程图：求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b |a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ2．若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a·b ≠|a||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a·b ≠－|a||b |.[再练一题]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2 ＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]探究1 a 在b 上的投影． 【提示】 a 在b 上的投影为|a |cos θ， 又cos θ＝a·b |a||b |，∴|a |cos θ＝a·b |b |.探究2 数量积a·b ＝|a||b |cos θ的几何意义是什么？【提示】 数量积a·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积，或等于b 的模与a 在b 方向上的投影|a |cos θ的乘积．已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.【导学号：06460060】【精彩点拨】 分别列出a 在b 方向上的投影和b 在a 方向上的投影，解方程组便可．【自主解答】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a·b|b |＝－3，a·b |a |＝－32，a·b ＝－9，∴|a |＝6，|b |＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－96×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.1．投影是个数量，可正、可负、可为零．2．计算投影时要分清“谁是投影线”，即a 在b 上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |；b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |.[再练一题]4．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影； (3)AB →在BC →方向上的投影．【解】 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16； (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.[构建·体系]1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝________. 【解析】 m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.【答案】 －12 22．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】 |a |cos θ＝a ·b |b |＝125. 【答案】 1253．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝______. 【解析】 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0， ∴λ＝±35.【答案】 ±354．下面给出的关系式中正确的有________． ①0·a ＝0； ②a·b ＝b·a ； ③a 2＝|a |2； ④a·b ≤|a||b |； ⑤(a·b )2＝a 2·b 2.【解析】 ①②③正确；④|a|·|b |≥a·b ，⑤(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ. 【答案】 ①②③④5．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 【导学号：06460061】【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22， ∴cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b＋b 2＝102.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二十一) 数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e 1，e 2是两个平行的单位向量，则e 1·e 2＝________.【解析】 ∵e 1∥e 2，∴e 1，e 2的夹角为0°或180°，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝±1.【答案】 ±12．已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为________．【解析】 ∵|a |＝8，|b |＝4，b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝4×cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 【答案】 －23．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角θ为120°，则a·a ＋a·b ＝________.【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，∴a·b ＝|a||b |cos 120°＝－12.又a·a ＝|a |2＝1，∴a·a ＋a·b ＝1－12＝12.【答案】 124．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．【解析】 ∵|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，∴|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，∴△ABC 为直角三角形．又cos ∠ABC ＝513，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513 ＝－25.【答案】 －255．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.【答案】 66．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝________.【解析】 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴⎩⎨⎧(a ＋b )2＝10， ①(a －b )2＝6， ② ①－②得a·b ＝1.【答案】 17．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为________．【导学号：06460062】【解析】 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，∴a·b ＝2×1×cos 60°＝1，∴|a －4b |＝(a －4b )2 ＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝2 3.【答案】2 38．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a ×b |＝|a|·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a ×b |等于________．【解析】 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×45＝8.【答案】 82．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】 120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设|AB →|＝x (x ＞0)，则AB →·AD →＝12x ，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围．【解】 (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a ||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)∵|k a ＋b ＋c |＞1，∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )＞1， 即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c ＞1.∵a·c ＝a·b ＝b·c ＝cos 120°＝－12，∴k 2－2k ＞0，解得k ＜0或k ＞2.即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.。