山东省聊城市第四中学人教版高中数学必修五学案1.1 正弦定理(1)(无答案)
山东省聊城市第四中学人教版高中数学必修五学案：1.1 余弦定理(1)[ 高考]
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1.1.2余弦定理（一）一.学习目标：1、了解从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理.2、掌握并熟记余弦定理及其推论，并会应用解简单三角形.3、了解余弦定理与勾股定理之间的关系.二．课前知多少：1、正弦定理： = = =2、已知任意两角和一边：已知12,30,120,b A B ===求a3、已知任意两边和其中一边的对角：已知在ABC ∆中,6,30,8===b B a 求A cos三．探究互动 合作交流 问题解决问题1 如果已知三角形的两边及夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，那么，怎样在已知三角形的两边及其夹角的条件下解出三角形呢？1、首先用数学符号表达上述数学问题的已知和未知：2、如何用C b a ,,来表示边c 呢？余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 即=2a =2b=2c问题2 余弦定理和以前关于三角形的什么定理在形式上非常接近？他们有什么联系？问题3 以上我们求得c 后三角形的三边就确定了，若只知道三边，你能求出三个内角吗？ 余弦定理的关系式变形得推论：=A cos=B cos=C cos问题4 余弦定理的应用例1 在ABC ∆中，,︒===60,3,1A c b ，求a 的值.例2 已知在ABC ∆中,5,3,7===c b a ，求最大的角和C sin .变式：在ABC ∆中,已知2:3:1::=c b a ，求ABC ∆的各角的度数.五、尝试小结六、作业：1. 在ABC ∆中, 45,10,1===C b a ,则 c =2. 在ABC ∆中， 135,10,1===A c b ，则a =3. 在ABC ∆中,7,3,2===c b a ,则C=4. 在ABC ∆中，已知26,22,2+===c b a ，则A 等于5. 在ABC ∆中, 43cos ,1,2===C BC AC ，AB = 6. 三角形中,B C A 2=+，且4,1==BC AB 则边BC 上的中线AD 的长为7．在ABC ∆中, 8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B =8. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ac b =2且a c 2=，求B cos9. 在ABC ∆中,若4,13,3===AC BC AB ，求AC 边上的高.10. 已知2,1,++a a a 是锐角三角形的三边长，求a 的取值范围.。
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
高中数学必修五全部学案
【高二数学学案】§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理一、1、基础知识 设∆ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是∆ABC 的外接圆半径。
（1）正弦定理： = = =2R 。
（2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。
②==B RaA sin ,2sin ，=C sin 。
③=c b a :: 。
（3）三角形中常见结论：①A+B+C= 。
②a <⇔b 。
③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。
④2sin BA += ，=+)sin(B A ，)(2sin B A += 。
2、课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a <b B 、a ≥b C 、a >b D 、a ，b 的大小无法确定（2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ）A 、4B 、24C 、34D 、54 （3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。
二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ∆： （1）已知ο30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。
例2、在ABC ∆中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。
三、练习 1、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。
2、在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求CBA sin sin sin 2-的值。
四、课后练习 1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos =B 、A cC b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin =2、在ABC ∆中，ο120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35 B 、53 C 、73 D 、753、在ABC ∆中，已知ο60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、332 4、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A 、ο30,16,8===A b a ，有两解 B 、ο60,20,18===B c b ，有一解 C 、ο90,2,5===A b a ，无解D 、ο150,25,30===A b a ，有一解6、已知ABC ∆中，οο45,60,10===C B a ，则c 等于（ ） A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、3107、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角或等腰三角形8、在ABC ∆中，C=2B ，则BBsin 3sin 等于（ ）A 、a bB 、b aC 、c aD 、ac9、在ABC ∆中，已知ο45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、2<x <22B 、x >22C 、2<x <2D 、0<x <210、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。
人教版高中数学必修五导学案：1.1.1正弦定理
§ 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 考： C 的大小与它的对边及AB B ，使边 AC 绕着极点的长度之间有如何的数C转动．思量关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角确地表示出来？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来 商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc 进而在直角三角形ABC 中，abcsin A sin B ．sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD = asin B bsin A ，则 a b c bsin A ，同理可得 sin C ，a bc sin B sin B 进而sin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即abc ．sin A sin Bsin C试一试 ：（ 1）在ABC中，必定建立的等式是（）．A ．a sin A bsinB B .a cosA b cosBC. a sin B bsin A D .a cosB bcosA（ 2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝ 8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（ 1）化边为角；（ 2）化角为边．（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值，如sin A asin B ；sinCb ．（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在ABC中，已知 A45，B60 ，a 42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45 ， C 60 ，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式 ：在 ABC 中， b3, B 60 , c 1, 求a 和A,C ．三、总结提高 ※ 学习小结1. 正弦定理：a b csin A sin B sin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展abc 为外接圆直径 .sin A sin B2R ，此中 2Rsin C学习评论1. 在 ABC 中，若cos Ab，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶ 1∶ 4，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ） .A ．1∶ 1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶ 1∶ 3D ．2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不可以确立4. 已知 ABC 中， sin A:sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a : b: c = ．5. 已知ABC 中，A 60 ， a3 ，则a b c=．sin A sin B sin C课后作业1.已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ k∶ (k＋1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．。
山东省聊城市第四中学高中数学1.1正弦定理(1)学案(无
1．1 正弦定理（一）一.学习目标： 通过正弦定理的推导过程，体会分类和化归的数学思想，理解正弦定理的内容并会用它初步解决与三角形有关的问题.二.课前知多少? 1.见学案12.三角形的分类：3．两向量的数量积：三.合作探究,问题解决:问题一:我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？1.在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边,根据正弦函数的定义，sin a A c=， sin b B c =. 所以 sin sin a b c A B==. 又 sin 1C =，所以 sin sin sin a b c A B C== 2.对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立?当ABC ∆是锐角三角形时:探究:(1)当ABC ∆是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?(2)是否可以用其他方法证明正弦定理?(3) 设三角形的外接圆的半径是R ，证明：Cc B b A a sin sin sin ==＝2R3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:变形：(1) ::a b c =(2) =B a sin ，=C b sin ，=C a sin（3） ab = , ac = , bc = .（4）=B Asin sin ， =C Asin sin ， =C Bsin sin .探究：在三角形中，B A <与B A sin sin <的关系？问题二.正弦定理的应用一般地,把三角形的三个角,,A B C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 1.已知任意两角和一边求其余角和边(1)已知12,30,120,b A B ===求a . (2)在ABC ∆中,5,45,105,a B C ===求边c .2.已知任意两边和其中一边的对角,解三角形.(1)已知在ABC ∆中,2,30,4===b B a ，解此三角形.(2)已知在ABC ∆中, 4,30,4===b B a ，解此三角形.(3)已知在ABC ∆中,︒===45,2,3B b a ，解这个三角形四.作业:1.在ABC ∆中，已知 75,60,8===C B a ，则b 等于（ ） A.24 B. 34 C. 64 D.3322.在ABC ∆中，已知,30,10,25 ===A c a 则B 等于（ ）A. 105B. 60C. 15D. 105或 153.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知,1,3,3===b a A π则c 等于（）A.1B.2C.13-D.34. 在ABC ∆中，下列关系中一定成立的是（ ）A.A b a sin <B. A b a sin =C. A b a sin >D. A b a sin ≥5.在ABC ∆中，已知,45,60,12 ===B A BC 则=AC6.若三角形三个内角之比为1：2：3，则这个三角形三边之比是7. 在ABC ∆中，,14,67,60===a b B 则=A8. 在ABC ∆中，已知105,30,20A C c cm ===，求b9.已知三角形的两角分别是,30,45 它们的夹边的长是1，求最小边长。
高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理
必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。
人教版高二数学(必修5)导学案：1.1.1正弦定理(无答案)
1.1.1正弦定理班级： 姓名： 编者： 高二数学备课组 问题引航2. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
自主探究在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.大角对 边，小角对 边。
2.在ΔABC 中，C B A ∠-=∠+∠π,即 =+)sin(B A sin ,也就是互补的两个角的正弦值 。
3.①在Rt ΔABC 中，∠C=900, A c sin = ,B c sin = ，即sin a A = = 。
② 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则CD = = ，即sin a A = ，同理得 ，故有sin aA = 。
③ 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则CD= = ，即sin a A = ，故有sin a A= 。
互动探究一．新课导入，推导公式.（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是：二．典例解析例1．在∆ABC 中，已知c =10，∠030=A ，∠0120=C ，求b 。
例2．在ΔABC 中,,316,16==b a ∠030=A ，求∠B 。
当堂检测1.已知在ΔABC 中,0075,60,18=∠=∠=C B a ，求b .2.在ΔABC 中，350,150,300===∠b c B ，则ΔABC 的形状是（ ）。
A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形或等腰三角形知识拓展中，三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则三角形三边长分别为： 。
作业4页练习题1，2题.自我评价）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。
山东省聊城四中高二数学必修5《121高二必修5解三角形应用举例(一)》导学案
教学目标：能够运用正弦定理和余弦定理理解三角形的知识，解决不可到达的距离测量问题、角度问题.知识点：1.基本概念:基线：方位角：2.用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般步骤：⑴分析：理解题意，分清已知和未知，画出示意图；⑵建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；⑶求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；⑷检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.（一） 复习正弦定理，余弦定理.（二） 新授：（I ）距离问题例1. 如图，设A,B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55cm ，0075,51=∠=∠ACB BAC .求A 、B 两点间的距离（精确到0.1 cm ）.注：测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形问题，用 正弦定理 就可解决问题.例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.注：测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用余弦定理 求三角形的边长问题，然后转化为例1.（II ）角度问题例3.如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东075的方向航行67.5n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东032的方向航行54.0n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到01.0，距离精确到0.01n mile ）注：测量角度问题就是在三角形内利用 正弦定理 和 余弦定理 求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.通常在求角时多选用余弦定理的推论，因为余弦函数在（π,0）上单调递减，求出余弦值后只有一个角与之对应. 作业：1.如图，为了测量障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）A. b a ,,αB. a ,,βαC. γ,,b aD. b ,,βα2.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A. akmB. akm 3C.akm 2 D. akm 2 3.某人朝正东方向走xkm 后，向后转0150，然后朝新方向走km 3，结果他离出发点恰好,3km 那么x 的值为（ ）A. 3B. 32C. 332或D. 34.已知A,B 两岛相距10n mile,从A 岛看B,C 两岛的视角是060，从B 岛看A,C 两岛的视角是075，则B,C 两岛的距离为 n mile.5.如图，要测量河对岸A,B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40m 的C,D 两点，测得,30,45,60000=∠=∠=∠ADC BCD ACB 则AB 的距离是 m.6.货轮在海上以35n mile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为0150的方向航行.为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角为0120，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是060.求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离.7.一架飞机下A 地飞往B 地，两地相距km 700.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成030角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成045的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来的路程km 700远了多少？8.一架飞机以h km /326的速度，沿北偏东075的航向从城市A 出发向城市B 飞行，min 18以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？写出简单求解步骤.（如：第一步 由――求得――,不必求出具体数值）.9.如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向.已测得隧道两端的两点A 、B 到某一点C 的距离b a ,及α=∠ACB ，求A 、B 两点之间的距离，以及BAC ABC ∠∠,.。
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1．1 正弦定理（一）
一.学习目标：
通过正弦定理的推导过程，体会分类和化归的数学思想，理解正弦定理的内容并会用它初步解决与三角形有关的问题.
二.课前知多少? 1.见学案1
2.三角形的分类：
3．两向量的数量积：
三.合作探究,问题解决:
问题一:我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
1.在ABC Rt ∆中， C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边,根据正弦函数的定义，sin a A c
=， s i n b B c =. 所以 s i n s i n
a b c A B ==. 又 sin 1C =，所以 sin sin sin a b c A B C
== 2.对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立?
当ABC ∆是锐角三角形时:
探究:(1)当ABC ∆是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
(2)是否可以用其他方法证明正弦定理?
(3) 设三角形的外接圆的半径是R ，证明：
C
c B b A a sin sin sin ==＝2R
3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:
变形：(1) ::a b c =
(2) =B a sin ，=C b sin ，=C a sin
（3）
a b = , a c = , b c
= . （4）=B A sin sin ， =C A sin sin ， =C
B s i n s i n . 探究：在三角形中，B A <与B A sin sin <的关系？
问题二.正弦定理的应用
一般地,把三角形的三个角,,A B C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的 , 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
1.已知任意两角和一边求其余角和边
(1)已知12,30,120,b A B ===求a . (2)在ABC ∆中,5,45,105,a B C ===求边c .
2.已知任意两边和其中一边的对角,解三角形.
(1)已知在ABC ∆中,2,30,4===b B a
，解此三角形.
(2)已知在ABC ∆中, 4,30,4===b B a ，解此三角形.
(3)已知在ABC ∆中,︒===45,2,3B b a ，解这个三角形
四.作业:
1.在ABC ∆中，已知 75,60,8===C B a ，则b 等于（ ） A.24 B. 34 C. 64 D.332
2.在ABC ∆中，已知,30,10,25 ===A c a 则B 等于（ ）
A. 105
B. 60
C. 15
D. 105或 15
3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知,1,3,3===b a A π
则c 等于（
）
A.1
B.2
C.13-
D.3
4. 在ABC ∆中，下列关系中一定成立的是（ ）
A.A b a sin <
B. A b a sin =
C. A b a sin >
D. A b a sin ≥
5.在ABC ∆中，已知,45,60,12 ===B A BC 则=AC
6.若三角形三个内角之比为1：2：3，则这个三角形三边之比是
7. 在ABC ∆中，,14,67,60===a b B 则=A
8. 在ABC ∆中，已知105,30,20A C c cm ===，求b
9.已知三角形的两角分别是,30,45 它们的夹边的长是1，求最小边长。
10. 在ABC ∆中，C B A ,,所对的三边长分别为,,,c b a 若,sin 2A b a =求B .
*11.求证: 在ABC ∆中0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a。