最新高考数学填空题秒题法(教师版)

1高考数学填空题秒题法（教师版）方法一 直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1 在等差数列{}n a 中，135,3851-=-=a a a ，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 329-变式训练 1 若函数)3(log )(-+=x m x f a 的图象恒过点)4,4(，则4)(22+=+x x m m x g 的最大值是4 变式训练2 设(1)3,(1),a m i j b i m j =+-=+-其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又()()a b a b +⊥-，则实数m = 2-变式训练3 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________1613.方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 例2 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于Q P 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,q p 、则qp 11+为 a 4 变式训练 1 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，如果c b a 、、成等差数列，则=++C A C A cos cos 1cos cos 54（特殊角、特殊边）变式训练2 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a23变式训练3 若函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，则)4(),2(),1(f f f 的大小关系是 )4()1()2(f f f <<方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果 例3 当10≤≤x 时，不等式kx x≥2sinπ成立 ，则实数k 的取值范围是 1≤k变式训练1 已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2 00≤>x x ，则关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a的范围是 ),1(+∞变式训练2 若关于x 的方程21x -)2(-=x k 有两个不等实根，则k 的取值范围是 k <-33≤0 变式训练3 （理数）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是_________0α<≤u r 方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何体等具体的数学模型，使问题快速解决．例4 已知b a 、为不垂直的异面直线，α是一个平面，则b a 、在α上的射影有可能是：①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点。

在上面的结论中，正确的序号是 ①②④ （写出所有正确序号）变式训练 点P 在正方形ABCD 所在平面外，且⊥PD 面,,AD PD ABCD =则PA 与BD 所成角的度数为060方法五 特征分析法例5 已知函数221)(x x x f +=，那么+++++)31()3()21()2()1(f f f f f =++⋅⋅⋅)20131()2013(f f 22025变式训练 已知数列{}n a 中，)3,(,2,12121≥∈-===*--n N n a a a a a n n n ， 则=2013a 1 方法六 等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果例6 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 31≤≤-a2变式训练1 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为_______53____ 变式训练2 （理科）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是m ≤或m ≥ 仿真模拟演练1．设全集{},,1,01,n A C m x x x A R U U --=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-==则22n m += 22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则=+⋅⋅⋅++1032313log log log a a a 10 （等比数列为常数列） 3．在数列{}n a 中，若)1(32,111≥+==+n a a a n n ，则该数列的通项n a 321-+n（构造等比数列）4．设非零向量,,,=+==则与的夹角的余弦值为 21-（特殊为正三角形） 5．设等差数列{}{}n n b a ,的前n 项的和分别为n S 与n T ，若,132+=n nT S n n 则=nn b a1312--n n （构造二次函数） 6．已知向量)sin ,(cos θθ=，向量)1,3(-=，则-2的最大值是7．已知椭圆14922=+y x 的焦点21F F 、，点P 是椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为)(,m H ++=,则实数=m9．已知四面体ABCD 的一条棱长为x，其余棱长都为1，则x 的取值范围是10．观察下列等式：,,104321,6321,321233332333233⋅⋅⋅=+++=++=+根据上述规律，第五个等式为11．若关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤-2121y ax y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 )2,1(-12．已知,9log )(2xxx x f -+=则=+⋅⋅⋅+++)8()3()2()1(f f f f 36 13．在ABC ∆中，如果,8:6:5sin :sin :sin =C B A 那么此三角形最大角的余弦值为 201-14．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为c 给出下列四个函数：（1）3y x =；（2）4sin y x =；（3）lg y x =；（4）2x y =；（5）12-=x y 则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是__（1）（3）（5）_______15．设等边ABC ∆的边长为P a ,是ABC ∆内任意一点，且P 到三边CA BC AB 、、的距离分别为321d d d 、、，则有321d d d ++为定值a 23；由以上平面图形的特性类比到空间图形，设正四面体ABCD 的棱长为P a ,是正四面体ABC D 内任意一点，且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面BC D 的距离分别为4321h h h h 、、、，则有4321h h h h +++为定值316．函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值17. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和等于 1830 . 解：12)1(1-=-++n a a n n n ，n +1代n ，得12)1(112+=-++++n a a n n n ，当n 为奇数时，121-=-+n a a n n ，1212+=+++n a a n n ⇒22=++n n a a ⇒a 1+a 3=a 5+a 7=… = a 57+a 59=2⇒S 奇=302230=⨯，由121-=-+n a a n n 得：112=-a a ，534=-a a ，956=-a a ，…，15925960-⨯=-a a ，以上各式相加，得S 偶-S 奇=177030215921=⨯-⨯+ ∴S 60=(S 偶-S 奇)+2S 奇=1770+60=1830.18.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件：①对于任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立； ②存在x ∈(-∞,-4)，使得f (x )⋅g (x )<0成立．则m 的取值范围是 (-4, -2) .解：由g (x )<0⇒x <1，要使对于任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立，则x ≥1时，)3)(2()(++-=m x m x m x f <0恒成立，故m <0，且两根2m 与-m -3均比1小，得-4<m <0①.∵x ∈(-∞,-4)时，g (x )<0，故应存在x 0∈(-∞,-4)，使f (x 0)>0，只要-4>2m 或-4>-m -3⇒m <-2或m >1②，由①、②求交，得-4<m <-2.19. (理)设0<m <21，若k ≥+21恒成立，则k 的最大值为 8 . 解：84244)]21(2)([(2142121222212222121=+≥++=-++=+=+-----mmm m m m m m m m m m , 当m m m m 21421--=，即m =41时，上式成立等号，故8)(min 2121=+-m m ，∴k ≤8. 法二：812412)(2121121+--+-===+m mm ，其中81241)(2+--=m u ∈(0,81] ∴81≥u ，当m=41时，8)(min 2121=+-m m ，∴k ≤8. 20. (理)已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为)1,4(+-m m ，则实数c 的值为 -21/4 .解：△=0⇒a 2+4b =0, 1)(->c x f ⇒012>+-++-c b ax x ⇒2+--b ax x的解集为)1,4(+-m m ⇒|x 1-x 2|=5⇒(x 1+x 2)2-4x 1x 2=25⇒a 2-4(-b +c -1)= a 2+4b -4c +4=25⇒-4 c =21⇒ c =421-. 21. 已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数，g (x )是(-∞,+∞)上的奇函数，g (x )=f (x -1)，g (3)=2013，则f (2014)的值为2013 ．解：g (x )=f (x -1)⇒ f (x )=g (x +1)，又f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，∴f (x )= f (-x )= g (-x +1)=-g (x -1)=-f (x -2) ∴f (x +2)=-f (x )⇒f (x +4)=-f (x +2)=f (x )⇒T =4，∴f (2014)= f (2012+2)= f (2)=g(3)=2013. 22.(理)已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题， 假命题．．．的是( C ) (A)公差d <0 (B)在所有S n <0中，S 13最大(C)满足S n >0的n 的个数有11个 (D)a 6>a 7解：S 6>S 7⇒a 7=S 7-S 6<0，S 6>S 5⇒a 6>0，∴(A)、(B)正确，S 7-S 5=a 6+a 7>0⇒S 12=122121⋅+a a=6(a 6+a 7)>0，S 13=13131⋅+a a ＝13 a 7<0，故(C)错(应有12个)(B)对.23. 数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ， 则)2012()2013(f f -等于（ C ） .A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 20134 解：2013201321221)2013(a a a a f ++++=- )()(201320132421231a a a a a a +++++++=- (都有222013项) )()]12(31[20122212013a a a ++++-+++= )2012(2201221212013f +⋅=-+=()2012()2(22012f +=()2012(42012f +⇒20124)2012()2013(=-f f . 24. (理)已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 [-3, +∞] .解：直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a 整理为(-x +y -4)a +(x +y -4)=0，此式对任意实数a 恒成立，则⎩⎨⎧=-+=-+-0404y x y x ⇒⎩⎨⎧==40y x ，即直线过定点P (0,4)，令Q (x ,x +x1)，则k PQ =3)2(12141421--=-+=-+x x x ，当21=x ，即21=x 时，k PQ 有最小值为-3，k PQ 无最大值. 25. (理)已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若AO m AC AB BCC B ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 ( B )(A)1 (B)sin A (C)cos A (D)tan A 解：连结AO 并延长，交圆于D ，连DB 、DC ，则=2)(s i n c o ss i nc o s BD AB m AD m AC AB BC C B +=⋅=+，由AD 为直径知AB ⊥BD 故两边点乘AB ，得)0(2sin cos 2sin cos +=⋅+m BCCB，即2sin cos 2sin cos cos mc A bc c BCC B =⋅+⋅，由正弦定理得a =2R sin A ，b =2R sin B c =2R sin C ，代入上式，得C m A C B C BC C B 2sin cos 2sin cos sin cos sin sin sin =⋅+⋅ ⇒C m A C C C B 2sin cos sin cos sin cos =+⇒CC A C A CAC B m sin)cos(cos cos sin cos cos cos +-+== =A CCA C A C A sin sin sin sin cos cos cos cos ==+-.26．观察下列算式：113=，45323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m 45 ．解：第m (m >1)行第一个数是m 2-(m -1)，最后一个数是m 2+(m -1)，令m 2-(m -1)≤2013≤m 2+(m -1)，即⎩⎨⎧≥-+≤--020*********m m m m ⇒⎩⎨⎧≥+≤-2014)1(2012)1(m m m m ⇒⎩⎨⎧≥≤4545m m ⇒m =45. 27．设m 、n ∈R ，定义在区间[m , n ]上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是[0, 2]，若关于t 的方程()01||21=++m t (t ∈R )有实数解，则m +n 的取值范围是 [1,2) . 解：()01||1=++m t (t ∈R )有实数解⇒()]1,0(1||1∈=--t m ⇒-2≤m <-1；|)|4(log )(2x x f -=的值域是[0, 2]⇒1≤4-|x |≤4⇒0≤|x |≤3，此式对于m ≤x ≤n 时成立，且-2≤m <-1，则必有n =3，∴1≤m +n <2.28．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是24-．解：a 、b 、c 成等差数列⇒a -2b +c =0⇒ a ⋅1+b ⋅(-2)+c =0，∴直线l ：ax+by+c =0过定点Q (1,-2)，又P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，∴∠PMQ =90︒，∴M 在以PQ 为直径的圆上,圆心为C (0, -1)，半径r =222||222121=+=PQ ，线段MN 长度的最小值即是N (0, 3)与圆上动点M 距离的最小值=|NC |-r =4-229.(理)已知△ABC 的面积为1，在△ABC 所在的平面内有两点P 、Q ，满足=+，BC QC QB QA =++，则四边形BCPQ 的面积为 2/3 . 解：=+⇒P 为线段AC 中点，QC BQ QC QB QA +=++⇒2-=⇒Q 是线段AB 的三等分点，且离B 较近， 如图，313221sin sin 2121=⋅=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆∆ABAQ ACAPAAB AC A AQ AP SS A B CA P Q，得S △APQ =31，∴S 四边形BCPQ =32. 30.已知函数⎩⎨⎧>-≤≤-=1||,111,cos )(22x x x x f x π，则关于x 的方程02)(3)(2=+-x f x f 的实根的个数是 5 .解：02)(3)(2=+-x f x f ⇒1)(=x f 或2)(=x f ，画出)(x f 的图像，由图可知：直线y =1和y =2与y =f (x )的图像共有5个交点，故原方程 有5个实根. 31.(理) 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆1242=+y x 上的动点，则||1||1MD MC +的最小值为 132. 三棱锥S -ABC 中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH 将三棱锥S -ABC 分成两部分的体积之比为 1:1 .解：取AB 中点I ，连HI 、GI ，则EF A -HGI 是三棱柱，由于I 是AB 中点，∴B 与A 到面HGI 的距离相等，∴V EF A -HGI=3V B -HGI ，而V B -HGI :V B -SAC =1:23=1:8，令V B -HGI =1，则V EF A -HGI =3， ∴V B -HGI + V EF A -HGI =4，故分成两部分的体积之比为为1:1.33. 已知函数⎩⎨⎧≥-<≤+=1,210,1)(21x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是)2,[4334．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x ax x a x f x满足对任意21x x ≠都有02121)()(>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是)2,[23． 解：由对任意21x x ≠都有02121)()(>--x x x f x f 成立⇒)(x f 在R 上递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅->->111)2(021a a a a ⇒23≤a <2. 35．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值……………………（ A ）． A .恒为正数.B 恒为负数 C .恒为0 D .可正可负 解：021********>=+a a a ⇒20131a a ->⇒)()()(201320131a f a f a f -=->⇒0)()(20131>+a f a f同理，0)()(20122>+a f a f ，0)()(20113>+a f a f ，…，0)()(10081006>+a f a f ，又01007>a ⇒0)0()(1007=>f a f ，以上各式相加，得0)()()()()(20132012321>+++++a f a f a f a f a f . 36. 若函数xax x f 12)(-=在(0,+∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围是( A )(A)a ≥0(B)a >0(C)a ≤0(D)a <0解：ax x f 1)(-=，了取a =-1，则)()(1x x f +-=在(0,1]递增，在[1,+∞)递减，故(C)、(D)错； 又当a =0时，x f 1)(-=在(0,+∞)上单调递增，故(B)错，∴选(A). 37. (理)在ABC ∆中，若4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，则ABC ∆的面积为 21/2 ． 解：7)tan(=+B A ⇒7tan 1tan 1tan tan 1tan tan ==-+-+B B B A B A ⇒tan B =43⇒sin B =53，又由7)tan(=+B A ⇒ tan C =-7 ⇒ sin C =257，由正弦定理，Bb Ccsin sin =⇒72335257sin sin =⋅⋅=⋅=b c BC ， ∴S =221212121723sin =⋅⋅⋅=A bc .38 已知函数()()⎩⎨⎧≤-->+=.0,2,0,1log 22x x x x x x f 若函数()()m x f x g -=有3个零点， 则实数m 的取值范围是 (0,1) .解：画出函数)(x f 的图像如右，()()m x f x g -=有3个零点，即是直线m y =与函数)(x f A BCPQ （第13题图）S A BC EFGHI50<m <1.39. (理)设函数⎩⎨⎧<-≥⋅=.0,2sin 2,0,2)(x x x x x f x 则方程1)(2+=x x f 的实数解的个数为 340.设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x ∈R )在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 (-10/3, -5/2) .解：偶函数⇒m =0，即1||)(2++=x a x x f ，令0)(=x f ⇒01||2=++x a x⇒||1||1||2x x x x a +==-+，x ∈(2,3)，∴x x a 1+=-， 由图可知，0)(=x f 在x ∈(2,3)时有唯一解的充要条件 是312132+<-<+a ⇒25310-<<-a-a。