2021届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)

衡水中学2020—2021学年度上学期高三年级七调考试理数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2i z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 的虚部为（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．452．已知集合2{},|1xA y y x R ==+∈，()ln 6*{}B x y x x N ==-∈,，集合C A B =⋂．则集合C 的子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．323．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，随机变量Y 服从正态分布()1,1N ，且()10.1587P X >=，则()12P Y <<=（ ）A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.65874．已知正项等比数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，32S -成等差数列，则4a =（ ）A ．8B ．18C ．16D ．1165．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是（ ）A ．36B ．32C ．28D ．246．函数1()sin ||f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[),0,]0(ππ-⋃的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的10N =．那么输出的S =（ ）A ．11112310++++B 111.12!3!10!++++C ．11112311++++D ．11112!3!11!++++8．已知点()3,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线．P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）A．1BCD．9．设实数x ，y 满足不等式组40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为1，则a =（ ）A ．14-B ．14C ．2D ．2-10．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ．这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ．其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x =+-⎛⎫ ⎪⎝-+-+⎭-，其中，kc 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知12121x x R x x R R-⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，1111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -11．已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线MN 与C 的左支交于M ，N 两点，若()21210F F F M MF +⋅=，22||2F N F M =，则C 的渐近线方程为（ ）A．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =12．若{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()min{,()}h x f g x x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π=； ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈；③值域为⎡⎤⎣⎦；①在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，若向量c 与a 共线，且c 在b则c =__________． 14．国际高峰论坛组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为__________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，535S =．且11(2*11n n n S S S n n N n n n -+=+≥∈-+且），则12231011111a a a a a a +++值为__________． 16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1．以顶点A 体的表面相交所得到的曲线的长等于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC △的面积的最大值． 18．（本小题满分12分〉）如图①，平行四边形PBCD 中，A为PD 的中点，2PD =，PB =45P ∠=︒，连接AB ，将PAB △沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②，点E 在线段PA 上，若//PC 平面BDE ．（1）求证：2PE AE =；（2）若二面角P AB C --的平面角为60︒，求平面PBC 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为，其中一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ=C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ． （1）求椭圆E 的方程；（2）设点A 是椭圆E 的左顶点，P ，Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为14-，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x mx m x =--，其中0m >．（1）若1m =．求函数()f x 的极值； （2）设()()g x f x mx =+．若1()g x x>在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）中国女排，曾经十度成为世界冠军．铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为： 扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧；顽强拼搏，同甘共苦，团结我斗，刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励，感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞．（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员，B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时，传给B 队员的概率为12，传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13；每当球由C 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13，记n a ，n b ，n c 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员，B队员，C 队员控制的概率．（i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求()E X ； （ⅱ）若112233n n n a b c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，2n ≥，*n N ∈． 证明：数列25,n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小． 附1：回归方程y bx a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()(())n ni iiii i nniii i x y nx y x x y b xn y x x x ====-⋅-==---∑∑∑∑，a y bx =-．附2：参考数据：515180i ii x y==∑，522222211234555i i x ==++++=∑．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（为φ为参数）．圆2C 的方程为()2211x y -+=，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为()00θθρ=≥．（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程； （2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且2ON OM =，求2MC N △的面积．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a x b c =++-+，其中0a >，0b >，0c > （1）当1a b c ===时，求不等式()4f x >的解集；（2）若()f x 的最小值为3．求证：2223b c a a b c++≥．参考答案及解析一、选择题1．C 【解析】∵12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴22z i =-＋．则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． ∴12z z 的虚部为45-． 故选C ．2．C 【解析】∵集合{}21,{}1x A y y x R y y ==+∈=>，()ln 6*,}{B x y x x N ==-∈{}60,*1,2,3,4|5{},x x x N =->∈=，∴集合{}2,3,4,5C A B =⋂=，则集合C 的子集的个数为4216=． 故选C ．3．B 【解析】由已知得()()10.15872P X P Y >==>，∴()()2120.8413P Y P y <=->=． 又()()110.5P Y P Y ≥=≤=∴()()()12210.3413P Y P Y P Y <<=<-≤=． 故选B ．4．A 【解析】由题意设()10n n a qq -=>．由已知得21322S S S =+-，所以()221112q q q +=+++-，即220q q --=．解得2q =或1q =-（舍），所以12n n a -=故3428a ==． 故选A ．5．D 【解析】几何体是一个正四棱柱挖去14个圆柱的几何体．正四棱柱的底面边长为2．高为3，圆柱的底面半径为2．如图：几何体的表面积为()2112332221222222444ππ⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎫⎪⎭⨯ =⎛⎝． 故选D ．6．A 【解析】根据题意，1()sin ||f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-⋃， 有1()sin f x x x x ⎛⎫-=--- ⎪-⎝⎭1sin ||()x x f x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 即函数()f x 为奇函数，排除D ，在区间()0,1上，10x x -<，sin 0x >．则有()0f x <， 在区间()1,π上，10x x->，sin ||0x >，则有()0f x >，排除B ，C ．故选A ．7．B 【解析】框图首先给累加变量S 和循环变量k 赋值，011S =+=，112k =+=；判断10k >不成立，执行112S =+，213k =+=； 判断10k >不成立，执行111223S =++⨯，314k =+=；判断10k >不成立，执行1111223234S =+++⨯⨯⨯，415k =+=；…， 判断10k >不成立，执11112!3!10!S =++++，10111k =+=．判断10k >成立，输出11112!3!10!S =++++．故选B ．8．D 【解析】因为PQ l ⊥，所以PF PQ =，又1FQ l ⊥，所以QR QF =，所以QR MR FR MR FM +=+≥， 当M 、R 、F 三点共线时取等号．由抛物线的方程可得()0,1F ，()3,2M --，所以MF ==故选D ．9．C 【解析】作出实数x ，y 满足不等式组，40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图：可知()1,3A -，()4,0B -，()0,0O ，当03a <≤或10a -≤<时，目标函数z ax y =+经过()1,3-时，取得最大值为1， 解得2a =；当3a >时，目标函数z ax y =+经过()0,0，取得最大值为1，无解； 当1a <-时，目标函数z ax y =+经过()4,0-，取得最大值为1， 解得14a =-（舍去）， 当0a =时，目标函数z ax y =+取得最大值为3，不符合题意． 故2a =．故选C ．10．D 【解析】根据题意，212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+--⎪+-+-⎝⎭212121111111kcq x x x x R R R R ⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪+++⎝⎭222212121122222(1111 )x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+--+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22221212112222222132 () x x x x x x x x kcq RR R R R kcq x x R R R ⎡⎤--=-++---=-⎢⎥⎣⎦． 故选D ．11．B 【解析】如图所示，设线段1MF 的中点为P ．则21222F F F M F P +=， ∵2121()0F F F M MF +⋅=∴2120F P FM ⋅=． ∴21F P FM ⊥，∴221||||2F M F F c ==，双曲线的定义可知：12||222MF MF a c a =-=-． 又22||2||4F N F M c ==，由双曲线的定义可知1224||2F N F N a c a =-=-． 在等腰12MF F △中，12cos 2c aF MF c-∠=； 又在2MNF △中，64MN c a =-，2222(64)4(4)cos 2(64)2c a c c NMF c a c-+-∠=-⋅，∵122cos cos F MF NMF ∠=∠，∴222(64)4(4)22(64)2c a c a c c c c a c--+-=-⋅， 整理得：()()22372032c ac a c a c a -+==--∵在双曲线中c a >，∴2c a =．∴224c a =，又∵222c a b =+，∴223b a =，ba =∴C的渐近线方程为b y x a=±=，故选B ． 12．D 【解析】当()()f x g x ≤时，sin cos sin cos x x x x +≤-，即cos 0x ≤，所以32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 当()()f x g x >时，sin cos sin cos x x x x +>-，即cos 0x >． 所以2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈． 所以()()(){,}min h x f x g x ==3()sin cos ,2,222()sin cos ,2,222f x x x x k k g x x x x k k ππππππππ⎧⎡⎤=+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪=-∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩k Z ∈． ①当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时，()sin cos h x x x =+， 此时352,222x k k πππππ⎛⎫+∈++⎪⎝⎭， ()()()sin cos sin cos h x x x x x πππ+=+-+=-+，()()h x h x π≠+，故①错误； ②当032,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时， 0x 关于212k x π+=的对称点0(21)2,222k x k k πππππ⎛⎫+-∈-++ ⎪⎝⎭，000sin c ()os h x x x =+，()[]()00021sin 2121()k x k x cox k h x πππ+-=+--+-⎡⎤⎣⎦0000()sin cos sin cos x x x x =--=+，所以()()0021()h x h k x π=+-． 同理当02,222x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭时，()()0021()h k x x h π+-=也成立，故②正确； ③当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时， ()sin cos 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 372,2444x k k πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，sin 1,42x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 4h x x π⎫⎡⎤=+∈⎪⎣⎦⎭． 当2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，()sin cos 4h x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，32,4244k k x πππππ⎛⎫-++ ⎪⎝-⎭∈，sin 1,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦()4h x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭． 所以()f x的值域为⎡⎤⎣⎦，故③正确； ④当35,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，353,2,24422k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊆++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．此时()sin cos 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,42x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 易知sin y x =在3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减， 所以()h x 在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．故④正确， 故正确的是②③④．故选D ．二、填空题13．5 【解析】向量()1,2a =-，向量c 与a 共线，设(),2c λλ=-，由()3,4b =，所以c在b方向上的投影为|38 cos5||cbcbλλθ⋅-+===解得λ=(5,c=-所以||(5)5c=-=．14．198 【解析】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有231633108C C A=种不同的提问方式；②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有21263290C C A=种不同的提问方式．综上，共有10890198+=种不同的提问方式．15．1031【解析】数列{}n a的前n项和为n S，且112(211n n nS S Snn n n-+=+≥-+且*n N∈）．则数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．设公差为d．51(51)651S Sd-=-=，解得32d=，所以3311(1)222nSn nn=+-=-，故23122nS n n=-，故2213131(1)(1)322222n n na S S n n n n n-=-=---+-=-，11a=也适合此式．所以32na n=-，()131231na n n+=+-=+，所以111111(32)(31)33231n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭；则1223101111111111342831a a a a a a⎛⎫+++=-++-⎪⎝⎭1110133131⎛⎫=-=⎪⎝⎭．16．6【解析】如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上． 在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =11AA =，则16A AE π∠=， 同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 6π=， 而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B 2FBG π∠=，所以弧FG 2π=，这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=． 三、解答题17．解：（1）由题意及正弦定理得sin sin sin cos sin A C A B A B +=+，∵A B C π++=，∴sin si ()n C A B =＋，sin cos si n s n sin()in A B A B B A B +=++，化简得sin cos 1)0B A A --=∵sin 0B >cos 10A A --=， ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0A π<<，3A π=．（2）∵a = ∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， 得2211222b c bc+-=，2212bc b c =+-， ∴2212212bc b c bc =+-≥-（当且仅当b c =时，取等号），∴12bc ≤，∴1sin 24ABC S bc A bc ∆==≤∴ABC △的面积的最大值为．18．解：（1）连接AC 交BD 于F ．连接EF ，因为//PC 平面BDE ，PC ⊂平面PAC ．平面BDE ⋂平面PAC EF =，所以//EF PC ，所以AE AF PE FC=， 又因为//AD BC ，且12AD BC =． 所以12AF AD FC BC ==， 所以12AE PE =，故2PE AE =． （2）取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作//OG AB 交BC 于G ，由图（1）得：AB AD ⊥，AB AP ⊥，所以PAD ∠就是二面角P AB C --的平面角，所以60PAD ∠=︒又因为1AD AP ==，所以PAD △为等边三角形，所以OP AD ⊥又AD AP A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，因为//OG AB ，所以OG ⊥平面PAD所以OP ，OD ，OG 两两互相垂直，以OG 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭．11,,22PB ⎛=-- ⎝⎭，(0,2,0)BC =，10,,22PD ⎛=- ⎝⎭，(1,1,0)DC =． 设平面PBC 的一个法向量为111,(),m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111102220x y z y ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1x =(3,0,2)m =．设平面PCD 的一个法向量为222,(),n x y z =则00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222210220y z x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 令21x =，得1,1,3n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBC 与平面PCD 所成的锐二面角为θ． 1cos 7||||m n m n θ⋅==． 19．解：（1）双曲线22221x y a b-=的焦距2c =，则c =227a b +=，①渐近线方程b y x a=±，由题知tan 2b a θ==，② 由①②解得24a =，23b =，∴椭圆E 的方程为22143x y +=． （2）在（1）的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：222()3484120k x kmx m ++-=+， 设11(),P x y ，22(),Q x y ， 则122834km x x k-+=+，212241234m x x k -=+， 又()2,0A -，由题知12121224AP BQ y y k k x x ⋅=⋅=-++， 则1212224()(0)x x y y +++=，且1x ，22x ≠-，则12121224()()()4x x x x kx m kx m ⋅++++++()2212121424(4()4)k x x km x x m =++++++22222(14)(412)8(24)443434k m km km m k k +--=++++++0=， 则2220m km k --=，∴()()20m k m k -+=，∴2m k =或m k =-．当2m k =时，直线PQ 的方程为()22y kx k k x =+=+， 此时直线PQ 过定点()2,0-，显然不适合题意，当m k =-时，直线PQ 的方程为()1y kx k k x =-=-． 此时直线PQ 过定点()1,0．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点()1,0，P ，Q 点的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 满足14AP AQ k k ⋅=-． 综上，直线PQ 过定点()1,0．20．解：（1）当1m =时，()2ln f x x x x =--，,()0x ∈+∞， ∴2121()21x x f x x x x--'=--= (1)(21)x x x-+= ∴当()0,1x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．函数()f x 单调递增，∴函数()f x 的极小值为()10f =．无极大值．（2）()2ln g x x m x =-， 若1()g x x>在(1,)+∞上恒成立， 即21ln 0x m x x-->在()1,+∞上恒成立， 构造函数21()ln G x x m x x =--，1x > 则322121()2m x mx G x x x x x -+'=-+=， 令()321H x x mx =-+，1x >， ∴()26H x x m '=-， （i ）若6m ≤，可知()0H x '>恒成立，∴()H x 在()1,+∞上单调递增，∴()()13H x H m >=-，①当30m -≥．即03m <≤时，()0H x >在()1,+∞上恒成立， 即()0G x '>在()1,+∞上恒成立，∴()()10G x G >=在()1,+∞上恒成立，∴03m ≤≤满足条件．②当30m -≤，即36m ≤≤时，∵()130H m =-<，()21720H m =->，∴存在唯一的()01,2x ∈．使得0()0H x =，当0()1,x x ∈时，()0H x <．即()0G x '<，∴()G x 在()01,x 上单调递减，∴()()10G x G <=，这与()0G x >矛盾，（ⅱ）若6m >．由()0H x '=，可得1x =，2x =易知()H x 在⎛ ⎝上单调递减，∴()()130H x H m <=-<在⎛⎝上恒成立，即()0G x '<在⎛ ⎝恒成立，∴()G x 在⎛⎝上单调递减，∴()()10G x G <=在⎛⎝上恒成立， 这与()0G x >矛盾．综上所求，实数m 的取值范围为(]0,3． 21．解：（1）设线性回归方程为：ˆy bxa =+ 由已知可得：1234535x ++++==， 6405404203002004205y ++++==，∴5152221551805342011255535i ii i i x y x y b xx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑， ˆ4201123756a y bx=-=+⨯=， ∴线性回归方程为：112756y x =-+，令11275610x -+<，可得746 6.7112x >≈， 又x N ∈．故7x ≥． 故可以预测从第7月份开始该大学体重超标人数降至10人以下． （2）（i ）X 的可能取值为0，1，2， 1211(0)2326P X ==⨯⨯=， 121112111211(1)2322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=， 1211112(2)2322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=， ∴111219.()012618918E X =⨯+⨯+⨯=． （ii ）∵111123n n n b a c --=+，11123n n n c a b -=+， ∴1111133n n n n n b c a b c ---+=++， ∴112233n n n a b c --=+， ∴1132n n n b c a --+=， ∴132n n n b c a ++=， ∴113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+， ∴11122122223333n n n n n n a a a a a a a a +---+=+=+==+， ∵10a =，21212223233a =⨯+⨯=， ∴12233n n a a ++=，即1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以25-为首项，以23-为公比的等比数列．故199200222553a ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1991992002222221553535a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22．解：（1）由曲线1C的参数方程为cos 3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）， 消去参数φ，可得曲线1C 的普通方程为：22113y x +=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=． 代入可得2222cos3sin 1ρθρθ+=，∴曲线1C的极坐标方程为：ρ=由圆2C 的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=， ∴22cos 0ρρθ-=，得曲线C 2的极坐标方程：2cos ρθ=．（2）∵2ON OM =﹐∴224N M ρρ=，即22214cos 4cos 3sin θθθ=+，整理得422cos 3cos 10θθ-+=，且002πθ<<，解得21cos 2θ=，cos θ=，sin θ=．点2C ：到l的距离2||sin 1h OC θ=⋅==． ∴2MC N △的面积为：211||()22NC M N M S NM h h ρρ=⨯⨯=⨯-⨯△112cos 24h θ⎛⎫=⨯= ⎝． 23．解：（1）当1a b c ===时，不等式()4f x >化为1114x x ++-+>，即113x x ++->．当1x ≥时，化为113x x ++->．解得32x >； 当11x -<<时，化为()113x x +-->，此时无解； 当1x ≤-时，化为()()113x x -+-->．解得32x <-． 综上可得，不等式()4f x >的解集为：33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵0a >，0b >，0c >，∴由绝对值不等式得()()()3f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=． 由基本不等式得：22b a b a +≥=，22c b c b +≥=，22a c a c +≥=， 当且仅当1a b c ===时，上面三式等号成立．三式相加得：222222b c a a b c a b c a b c +++++≥++， 整理即得2223b c a a b c a b c ++≥++=． 故2223b c a a b c++≥．。