沪教版(上海)七年级第二学期 13.4 平行线的判定的深度剖析二 学案设计

上海市初中数学2019-2020学年度七年级数学同步教学案平行线的判定的深度剖析之二【知识点梳理】1．平行线的概念同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．【注意】①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．2．平行线的表示方法平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．3．平行线的基本性质(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．【注意】这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．4．平行线的三种判定方法(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单地说，同位角相等，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单地说，同旁内角互补，两直线平行．基本图形如图所示：(1)如果12∠=∠，那么12//l l ；(2)如果32∠=∠，那么12//l l ；(3)如果24180∠+∠=︒，那么12//l l ．【注意】①平行线的判定，实质上是同位角、内错角、同旁内角的识别，对于它们的识别，一要注意它们的位置特征，二要注意它们的图形特征．②判定两直线平行应根据所给条件，适当选用三种方法中的一种．③判定两直线平行还可以根据定义和平行的传递性（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【典型例题讲解】【例l 】下列结论中正确的个数是 ( )①同一平面内不相交的两条直线必平行；②同一平面内不平行的两条直线必相交；③同一平面内不相交的两条线段必平行； ④同一平面内不平行的两条线段必相交．(A)l (B)2 (C)3 (D)4【分析】在同一平面内的两条直线的位置关系，只有相交与平行（重合的情形通常不考虑），所以①②是正确的；由于线段的特征，当两条线段不相交时，也有可能不平行，故③④是错误的．【解析】B ．【方法总结】此类题首先要理解好概念进行判断，往往利用画出反例的图形进行判断．【例2】完成下列推理：(1)如图，已知AB ∥EF ，AB ∥CD ．因为AB ∥EF ， （已知），所以____∥____( )(2)如图所示，已知MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D ．因为MN AB ⊥于M ，CD AB ⊥于D （已知），∠=____＝( )．所以NMB你能发现这两条直线MN与CD位置关系是．【分析】平行公理及其推论是解决这类问题的依据．这两个问题都可依据平行公理及其推论完成推理过程．【解析】(1) AB∥CD CD EF平行公理推论∠90︒垂直定义平行(2)CDB【方法总结】说明两直线平行的考法很多，利用平行公理说明两直线平行时，首先要明确想要说明的是哪两条直线平行，应通过哪些直线平行，来说明这两条直线平行．【借题发挥】平行线是( )A．没有公共点的两条直线B．在同一平面内，不相交的两条直线C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D．永远不会相交的两条直线【解析】本题考查对平行线定义的理解，选B．【例3】如图所示，经过点M画MN∥OA，交OB于点N；画ME∥OB，交OA于点E．【分析】本题是利用平行线的基本画法来画．【解析】画法一落：把三角板的一边落在直线OA上；二靠：把直尺紧靠三角板的一边；三推：把三角板沿着直尺的边推到使刚才落在OA 上的边恰好经过已知点M 的位置；四画：沿着三角板经过点的边画直线MN ，交OB 于点N ．用同样的方法画ME ∥OB ．【方法总结】“一落二靠三推四画”是画平行线的基本方法．注意的是：画平行线的关键是过哪点画哪两条直线平行，因此一般画平行线时，应先说明过哪一点，再说明哪两条直线平行．【借题发挥】利用直尺和三角板画平行线．【解析】略，可参考例1的解析．【例4】如图所示，直线a 与b 被直线c 所截，如果12180∠+∠=︒，那么a ∥b ．试简述理由．【解析】将∠1的邻补角记作∠3，则∠1+∠3180=︒（邻补角的定义）．因为12180∠+∠=︒（已知），所以23∠=∠（同角的补角相等），所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）．【方法总结】(1)在几何图形中往往隐含着一些条件，而这些条件可在图形中挖掘．如本题中由图可知∠l 与∠3的邻补角关系．要学会观察图形，从中寻找条件．(2)几何解题过程中，每一步都要有一定的依据，请同学们务必充分注意．【例5】如图所示，∠1＝70︒，∠2＝110︒，问AB 与CD 平行吗？为什么？试用不同的方法来说明．【解析】我们用三种方法来判定AB 与CD 平行．方法一：因为2180CNM ∠+∠=︒（邻补角的定义），2110∠=︒(已知）．所以180270CNM ∠=︒-∠=︒．又因为170∠=︒（已知）．所以1CNM ∠=∠（等量代换），所以AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)．方法二：因为1BMN ∠=∠（对顶角相等），170∠=︒（已知）．所以70BMN ∠=︒．由方法一知70CNM ∠=︒，所以CNM BMN ∠=∠ (等量代换)，所以AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．方法三：因为1BMN ∠=∠（对顶角相等），170∠=︒（已知），所以70BMN ∠=︒．因为2DNM ∠=∠（对顶角相等），2110∠=︒（已知），所以110DNM ∠=︒．所以180BMN DNM ∠+∠=︒（等式性质），所以AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)．【方法总结】本题是同一个题用三种方法来进行判断，由于判断途径不同，所以判断过程及方法也不一样，同一题常会有多种解题方法，读者必须充分重视，这有利于培养思维的灵活性，提高解题能力．【借题发挥】如图所示，145,2135∠=︒∠=︒，则直线1l 、2l 平行吗？为什么？【分析】由题目提供的条件可知，12180∠+∠=︒，而13180∠+∠=︒，由此可知23∠=∠．根据同位角相等，两直线平行，可得出1l ∥2l 的结论．【解析】直线1l 、2l 平行，理由如下：因为13180∠+∠=︒，145∠=︒所以3135∠=︒，又因为2135∠=︒，所以23∠=∠．所以1l ∥2l （同位角相等，两直线平行）【方法总结】要判定直线1l 、2l 平行，首先说明这两条直线被直线3l 所截，形成的同位角2∠、3∠相等，根据“同位角相等，两直线平行”，即可判定这两条直线平行．【例6】如图所示，已知1120,260∠=︒∠=︒．求证：AB ∥CD ．【分析】要说明AB ∥CD ，只要得出同位角、内错角、同旁内角的关系即可．【证明】证法一：因为15180,1120∠+∠=︒∠=︒，所以560∠=︒，因为260∠=︒，所以25∠=∠，所以AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)．证法二：因为23∠=∠(对顶角相等)．又因为260∠=︒（已知），所以360∠=︒（等量代换）．因为15180∠+∠=︒（互补的定义），又因为1120∠=︒，所以560∠=︒（等式性质），所以35∠=∠（等量代换）．所以AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．证法三：因为23∠=∠，260∠=︒，所以360∠=︒，因为16∠=∠．1120∠=︒，所以6120∠=︒，所以36180∠+∠=︒，所以AB ∥CD (同旁内角互补．两直线平行)．【方法总结】初步感知逻辑推理的过程及其表达，一定要做到有理有据．【借题发挥】如图所示：(1)因为3A ∠=∠，所以 ∥ ，理由是 ；(2)因为24∠=∠，所以 ∥ ，理由是 ；(3)因为46180∠+∠=︒，所以 ∥ ，理由是 ；(4)因为5∠= ，所以EF ∥ ，理由是 ；(5)因为5∠= ，所以BC ∥ ，理由是 ．【分析】对于第(1)(2)(3)题，首先判断已知的两角是同位角、内错角、还是同旁内角，然后根据平行线的判定方法判定被截两直线平行；对于(4)(5)两题，条件和结论都不完整，故需前后综合考虑．【解析】(l) EF ∥AC ．同位角相等，两直线平行；(2) EF ∥AC ．内错角相等，两直线平行；(3) ED ∥BC ，同旁内角互补，两直线平行；(4) C ∠，AC ，同位角相等，两直线平行；(5) ∠4．ED ，内错角相等，两直线平行．【方法总结】本题考查的是平行线的判定方法，故要对平行线的三种判定理解透彻，要判定哪两条直线平行，一定要辨明是哪两条直线被第三条直线所截．【随堂练习】1．过一点画已知直线的平行线有 ( )A ．有且只有一条B ．有两条C ．不存在D ．不存在或仅一条【解析】过一点画已知直线的平行线分两种情况：当这个点在已知直线上时，平行线不存在；当这个点是已知直线外的一点时，有且仅有一条平行线平行已知直线，所以选D ．2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是 ( )(A)相交或垂直 (B)垂直或平行(C)平行或相交 (D)相交或垂直或平行【解析】准确掌握同一平面内两直线的住置关系，在同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交或平行，两直线互相垂直是相交的一个特例．所以选C ．3．如图所示，下列条件中，不能判定1l ∥2l 的是（ ）(A)13∠=∠ (B)23∠=∠(C)45∠=∠ (D)24180∠+∠=︒【解析】因为13∠=∠，所以1l ∥2l （内错角相等，两直线平行）；因为45∠=∠，所以1l ∥2l （同位角相等，两直线平行）；因为24180∠+∠=︒，所以1l ∥2l （同旁内角互补，两直线平行）．因为2∠与3∠之间的关系和两直线之间是否平行没有任何关系，所以由23∠=∠不能判定两直线平行，故答案选B ．判定两直线平行，必须严格按照平行线的判定方法．4．如图，要判定AD ∥BC ，只要说明内错角 ＝ ，要判定AB ∥CD ，只要说明内错角 ＝ ．【解析】23∠=∠；14∠=∠5．如图，(1)因为∠1＝ （已知），所以DF ∥ ( )(2)因为∠2＝ （已知），所以BC ∥ ( )(3)因为∠2＝ （已知），所以EF ∥ ( )(4)因为∠3+ ＝180°（已知），所以EF ∥ ( )【解析】(1);B BC ∠；同位角相等，两直线平行(2)3;DE ∠；内错角相等，两直线平行(3);C AC ∠；同位角相等，两直线平行(4)5;AC ∠；同旁内角互补，两直线平行6．如图，(1)因为∠1=∠2(已知)，所以 ∥ ( )(2)因为∠3＝DCB ∠(已知)所以 ∥ ( )(3)因为∠4＝∠EAF (已知)，所以 ∥ ( )(4)因为180EAF ADC ∠+∠=︒所以 ∥ ( )【解析】(1)AD ;BC ; 内错角相等，两直线平行(2) AD ;BC ;内错角相等，两直线平行(3) BC ;AD ;同位角相等，两直线平行(4) ;DC AB ;同旁内角互补，两直线平行7．如图，直线a 、b 被直线c 所截，如果12∠=∠，那么a ∥b 吗？为什么？【解析】a ∥b ．将∠l 的对顶角记作∠3，则有∠l ＝∠3（对顶角相等），又因为12∠=∠（已知），所以∠2＝∠3（等量代换），所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）．8．如图，利用直尺和三角板，经过点P 画直线PE ∥OA 交OB 于点E ，画直线PF ∥OB交AO 的延长线于点F ．【解析】如图所示：【课堂总结】【课后作业】1．看右图填空，并在括号内填人适当的理由．(1)如果内错角相等，即12∠=∠，能否判定//a b ？解 因为12∠=∠（已知）13∠=∠ ( )．所以32∠=∠，( )所以//a b ( )．(2)如果同旁内角互补，即24180∠+∠=︒，能否判定//a b ？解 因为24180∠+∠=︒ ( )．34180∠+∠=︒( ),所以 32∠=∠( )．所以//a b ( )．(3)由(1)、(2)，可知两条直线平行的基本判定方法是： ，还有两种判定方法分别是： ， ．2．看图填空，并在括号内填写适当的理由．如右图，因为5∠= （已知），所以AD ∥BC ( )．因为2∠+ 180=︒（已知），所以AB ∥DC ( ).因为3∠= （已知），所以AB ∥DC ( ）．3．选择题(1)如图1，DE 是过点A 的直线，如果要使//DE BC ，那么需要条件( )(A) ACB BAD ∠=∠; (B) ACB BAC ∠=∠;(C) ACB CAE ∠=∠; (D) ACB ABC ∠=∠.图1 图2 图3(2)如图2，直线a 、b 被直线c 所截，根据同旁内角互补，得到//a b 的结论，则已知互补的两个角是 ( ) (A)1∠和3∠； (B) 2∠和4∠；(C)2∠和5∠； (D) 2∠和3∠．(3)如图3，下列条件中，不能判断直线12//l l 的是 ( )(A) 13∠=∠； (B) 23∠=∠；(C) 45∠=∠； (D) 24180∠+∠=︒．(4)如图4，如果42,138B BDE ∠=︒∠=︒，那么 ( )(A)EF ∥BC ; (B) ED ∥AB ;(C) DF ∥AC ; (D)图中没有平行直线．图4 图5 图6(5)如图5，已知55,80,45B BAC CAD ∠=︒∠=︒∠=︒，可以判定AD ∥BC ，其根据是 ( )(A)内错角相等，两直线平行；(B)同位角相等，两直线平行；(C)同旁内角互补，两直线平行，(D)平行于同一直线的两直线平行．(6)如图6，下列说法中，错误的是 ( )(A)因为24∠=∠，所以AB ∥DC ；(B)因为13∠=∠，所以AD ∥BC ;(C)因为43180B ∠+∠+∠=︒，所以AD ∥BC ;(D)因为12180D ∠+∠+∠=︒，所以AB ∥DC ．4．如图所示，已知直线EF 和AB 相交于点D ，180B ADE ∠+∠=︒，直线EF 与BC 平行吗？为什么？【答案】1．(1)对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行(2)已知；邻补角定义；等式性质；同位角相等，两直线平行(3)同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行2．6∠；内错角相等，两直线平行；6∠；同旁内角互补，两直线平行；5∠；同位角相等，两直线平行3．(1)C (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C4．本题中，利用“同旁内角互补，两直线平行”，首先应判定这两直线被第三条直线所截，所形成的同旁内角互补．本题中还利用了“对顶角相等”这一重要命题．ADE ∠与BDF ∠是对顶角，根据“对顶角相等”即可得到180B ADE ∠+∠=︒．从而根据“同旁内角互补，两直线平行”，说明EF ∥BC ．【解析】因为直线EF 和BC 相交于点D ．所以ADE ∠＝ BDF ∠ (对顶角相等)．因为180B ADE ∠+∠=︒，所以180B BDF ∠+∠=︒．所以EF ∥BC (同旁内角互补，两直线平行)．。