三角形的内角(含习题及答案)

三角形的内角教学目标1.经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理.2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.重点：三角形内角和定理难点：三角形内角和定理的推理的过程课前准备每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形教学过程一、做一做1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.2)让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB = 180º.3)把∠B和∠C剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？图(3)二、想一想如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知△ABC，说明∠A+∠B+∠C = 180º，你有几种方法？说明这个结论成立.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º下面介绍两种说明三角形内角和180º的方法：已知：ΔABC，说明：∠A+∠B+∠C = 180º．方法一：如图①，过点A作DE//BC，则有∠B =∠DAB，∠C =∠EAC所以∠A+∠B+∠C =∠A+∠DAB+∠EAC = 180º方法二：如图②，延长BC，过点C作CD//AB，则有∠A =∠ACD，∠B =∠DCE所以∠A+∠B+∠C =∠ACD+∠DCE+∠C = 180º推论：直角三角形的两个锐角互余.三、例题如图，C岛在A岛的北偏东50º方向，B岛在A岛的北偏东80º方向，C岛在B岛的北偏西40º方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角；如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB解：∠CAB =∠BAD−∠CAD = 80º−50º = 30º由AD//BE，可得∠BAD+∠ABE = 180º所以∠ABE及= 180º−∠BAD = 180º−80º = 100º，∠ABC =∠ABE−∠EBC = 100º−40º = 60º在△ABC中，∠ACB = 180º−∠ACB−∠CAB = 180º−60º−30º = 90º答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90º．补充练习：1.判断题：1)三角形中最大的角是70º，那么这个三角形是锐角三角形（）2)一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）3)一个等腰三角形一定是锐角三角形（）4)一个三角形最少有一个角不大于60º（）答案：1)正确；2)正确；3)错；4)正确2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )(A)带①去(B)带②去(C)带③去(D)带①和②去答案：(C)三角形的外角教学目标1.使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质.2.利用学过的定理论证这些性质.3.能利用三角形的外角性质解决实际问题.重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理难点：三角形外角的定义及定理的论证过程一、想一想三角形的内角和定理是什么？三角形的内角和180º.二、做一做把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？它是三角形的外角．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.想一想：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角．归纳：每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个．每个外角与相应的内角是邻补角．三、议一议∠ACD与△ABC的内角有什么关系？（1）∠ACD =∠A+∠B（2）∠ACD>∠A，∠ACD>∠B再画△ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？同学用几何语言叙述这个性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？已知：∠ACD是△ABC的外角说明：（1）∠ACD =∠A+∠B（2）∠ACD>∠A，∠ACD>∠B结合图形给予说明说明：因为∠ACD是△ABC的外角，根据外角的定义，知∠ACD+∠ACB = 180º又根据三角形内角和定理知∠A+∠B+∠ACB = 180º所以∠ACD =∠A+∠B显然∠ACD =∠A+∠B>∠A，同时∠ACD =∠A+∠B>∠B三角形的外角与内角的关系：1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．备选题1)如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同三个外角，则∠1+∠2+∠3 =2)三角形的三个外角中最多有锐角，最多有个钝角，最多有个直角3)△ABC的两个内角的一平分线交于点E，∠A = 52º，则∠BEC =4)已知△ABC的∠B，∠C的外角平分线交于点D，∠A = 40º，那么∠D =5)在△ABC中∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A = ，∠B = ，∠C =答案：1)360º；2)一个、三个、一个；3)116º；4)70º；5)36º、72º、72º典型例题例题：1．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )A．180ºB．240ºC．360ºD．540º答案：C说明：因为三角形内角和为180º，所以∠A+∠C+∠E = 180º，∠B+∠D+∠F = 180º，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360º．2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )A．180ºB．360ºC．540ºD．240º答案：B说明：由三角形内角和为180º，知∠A+∠B+∠APB = 180º，∠C+∠D+∠CQD = 180º，∠E+∠F+∠ERF = 180º，∠RPQ+∠PQR+∠QRP = 180º，因为∠APB =∠RPQ，∠CQD =∠PQR，∠ERF =∠QRP，所以∠APB+∠CQD+∠ERF = 180º；而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 180º−∠APB+180º−∠CQD+180º−∠ERF = 540º−(∠APB+∠CQD+∠ERF) = 540º−180º = 360º，所以答案为B．3．一个三角形的三个内角之比为2：3：4，那么这个三角形的最大内角的度数为________．答案：80º说明：由已知可设这个三角形的三个内角度数为2x，3x，4x，则有2x+3x+4x = 180º，所以x = 20º，这样这个三角形的三个内角的度数分别是40º，60º和80º，所以这个三角形的最大内角为80º．4．在△ABC中，∠A = 50º，点P是∠B、∠C平分线的交点，则∠BPC的度数是( )A．65ºB．115ºC．130ºD．100º答案：B说明：不难得到∠ABC+∠ACB = 180º−50º = 130º，BP为∠ABC的平分线，CP为∠ACB 的平分线，即∠ABC = 2∠PBC，∠ACB = 2∠PCB，所以∠PBC+∠PCB = (∠ABC+∠ACB)÷2 = 130º÷2 = 65º，因此，在ΔBPC中，可求得∠BPC = 180º−(∠PBC+∠PCB) = 180º−65º = 115º，所以答案为B．5．在△ABC中，若∠A =∠B =∠C，求∠C的度数？答案：∠C = 90º说明：设∠A的度数为x，则根据已知不难得到∠B的度数是2x，∠C的度数是3x；由三角形内角和为180º，有x+2x+3x = 180º，解得x = 30º，这时3x = 90º，即∠C的度数为90º．习题一一、选择题：1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形2．下列说法正确的是( )A．三角形的内角中最多有一个锐角 B．三角形的内角中最多有两个锐角C．三角形的内角中最多有一个直角 D．三角形的内角都大于60°3．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为( )A．60°，90°，75° B．48°，72°，60°C．48°，32°，38° D．40°，50°，90°4．已知△ABC中，∠A=2(∠B+∠C)，则∠A的度数为( )A．100° B．120° C．140° D．160°5．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形6．设α，β，γ是某三角形的三个内角，则α+β，β+γ，α+γ中 ( )A．有两个锐角、一个钝角 B．有两个钝角、一个锐角C．至少有两个钝角 D．三个都可能是锐角7．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形二、填空题：1．三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20º，则此三角形的最小内角的度数是________．2．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C，则此三角形是_____三角形．3．已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角为_______．4．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132º，则∠A=_______度．5．如图，已知∠1=20º，∠2=25º，∠A=35º，则∠BDC的度数为________．三、基础训练：1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，试说明∠EAD=(∠C−∠B)．2．在△ABC中，已知∠B−∠A=5°，∠C−∠B=20°，求三角形各内角的度数．四、提高训练：如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=32º，∠D=28º，求∠P的度数．五、探索发现：如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的关系．六、中考题与竞赛题：(2001·天津)如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF=________度．答案：一、1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B二、1．40° 2．直角钝角 3．36°或90° 4．84 5．80°三、1．解：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90º，∴∠BAD=90º−∠B，又∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=(180º−∠B−∠C)，∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=90º−∠B−(180º−∠B−∠C)=90º−∠B−90º+∠B+∠C=∠C−∠B=(∠C−∠B)．2．∠A=50º，∠B=55º，∠C=75º．四、∠P=30°五、解：∵∠1=180º−2∠CEF，∠2=180º−2∠CFE，∴∠1+∠2=360º−2(∠CEF+∠CFE)=360º−2(180º−∠C)=360º−360º+2∠C=2∠C．六、68．习题二一、选择题：1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定2．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180º，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°3．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为( ) A．90° B．110° C．100° D．120°4．已知等腰三角形的一个外角是120º，则它是( )A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形5．如图(1)所示，若∠A=32º，∠B=45º，∠C=38º，则∠DFE等于( )A．120° B．115° C．110° D．105°(1) (2)(3)6．如图(2)所示，在△ABC中，E，F分别在AB，AC上，则下列各式不能成立的是( )A．∠BOC=∠2+∠6+∠A B．∠2=∠5−∠A C．∠5=∠1+∠4 D．∠1=∠ABC+∠4二、填空题：1．三角形的三个外角中，最多有_______个锐角．2．如图(3)所示，∠1=_______．3．如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225º，则与这个外角相邻的内角是____度．4．已知等腰三角形的一个外角为150º，则它的底角为_____．5．如图，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60º，则∠BOC=_______，∠D=_____，∠E=________．6．如图，∠A=50º，∠B=40º，∠C=30º，则∠BDC=________．三、基础训练：如图，在△ABC中，∠A=70º，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数．四、提高训练：如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63º，求∠DAC 的度数．五、探索发现：如图，在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求下列各图中α与β的关系，并选择一个加以说明．六、中考题与竞赛题：(2004·吉林)如图所示，∠CAB的外角等于120º，∠B等于40º，则∠C 的度数是_______．答案：一、1．C 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C二、1．1 2．120° 3．95 4．30°或75° 5．120° 30° 60° 6．120°三、∠BOC=125°四、∠DAC=24°五、(1)β = 90º+α；(2)β =α；(3)β = 90º−α (说明略)六、80º．。