2013年高考数学必做100题(选修1-1)
经典数学选修1-1常考题1311
经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为[]A（1，0）B（2，2）C（3，2）D（2，4）2、已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（）ABCD23、对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+=（）A2011B2012C2013D20144、函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A2B3C4D55、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是[]A4B3C2D1简答题（共5道）6、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。
7、已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0).（1）当a＝0时，求f(x)的极值；（2）当a＞0时，讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的a∈(2,3)，x1,x2∈[1,3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围。
8、已知函数f(x)=x2+alnx(a∈R)．（1）若a=-1，求f（x）的单调递增区间；（2）当x＞1时，f（x）＞lnx恒成立，求实数a的取值范围．9、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。
经典数学选修1-1重点题983
经典数学选修1-1重点题单选题(共5道)1、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm 则力所做的功为A0.12J B0.18J C0.26JD0.28J的中点坐标为(A 1 6 A -,T 51 6 B -*56C153、已知函数y=f (x )的导函数y=f '( x )的图象如图，贝U(C 函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D 函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点2、已知椭圆 C:「| ，过点(3,0)的且斜率为扌的直线被C 所截线段1个极小值点B 函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点4、已知函数f （x）的定义域为实数R, f'（x）是其导函数，对任意实数x有f ( x）+xf' （x）> 0,则当a> b时，下列不等式成立的是（)Aaf（b）> bf(a)Baf （a）> bf(b)Cb f （a）> af(b)Db f （b）> af(a)5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是[]A4B3C2D1简答题（共5道）6 （本小题满分12分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点-的双曲线的标准方程。
7、设•丄--■: ■.5 2(1)若」在.，上存在单调递增区间，求一：的取值范围；(2)当「.：时，…一在」-.上的最小值为■，求.；在该区间上的最大值.8、( 14分)设.：•匚t'-' ■- - -在L：■ r上是单调函数.(1)求实数匚的取值范围；(2)设 > 1,八心> 1,且/ -八：，求证:Fd・；、.9、(本小题满分12分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点--二的双曲线的标准方程。
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。
高中数学必做100题选修1-1
073. 已知4:223x p --≤≤ , 22:210(0)q x x m m -+-≤> , 若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：∵﹁p 是﹁q 必要不充分条件，∴ q p ⌝⌝⇒，即p q ⇒.解4:223x p --≤≤得210x -≤≤， 即：:210p x -≤≤.解22:210q x x m -+-≤变形为[(1)][(1)]0x m x m ---+≤，解得11m x m -≤≤+，即:11q m x m -≤≤+.由p q ⇒，则12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥.所以实数m 的取值范围9m ≥。
074. 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹. 解：设d 是点M 到直线25:4l x =的距离， 根据题意得，点M 的轨迹就是集合45MFP M d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，45=。
将上式两边平方，并化简，得22925225x y +=。
即221259x y +=。
所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
075. 双曲线的离心率等于，且与椭圆22194x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程.解：椭圆22194x y +=焦点为(F ，根据题意得双曲线的焦点为(F ，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，且有c =。
又由c e a ==，得2a =， 得222541b c a =-=-=，所求双曲线的方程为2214x y -=。
076. 倾斜角为4π的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长. 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，,A B 到准线的距离分别为,A B d d ，由抛物线的定义可知121,1A B AF d x BF d x ==+==+，于是122AB AF BF x x =+=++。
(压轴题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是（ ）A ．2,10x R x x ∃∈-+<B ．2,10x R x x ∃∈-+≤C ．2,10x R x x ∀∈-+<D ．2,10x R x x ∀∈-+≤2．命题“1x ∀≥，使得2270x x -+>”的否定是（ ）A ．01x ∃≥，使得200270x x -+≤B ．01x ∃<，使得200270x x -+≤C ．1x ∀<，使得2270x x -+≤D ．1x ∀≥，使得2270x x -+≤3．“x y <”是“1122log log x y >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，2210x x -+<B ．x R ∀∉，2210x x -+>C ．x R ∃∈，2210x x -+≥D ．x R ∃∈，2210x x -+≤ 5．命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是（ ）A ．,40x x ∀∉<RB ．,40x x ∀∈≤RC ．00,40x x ∃∉<RD ．00,40x x ∃∈≤R 6．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00sin 0x x +<，则p ⌝为（ ）A ．()0,x ∀∈+∞，sin 0x x +≥B ．()0,x ∀∈+∞，sin 0x x +<C ．()00,x ∃∉+∞，00sin 0x x +<D ．()00,x ∃∉+∞，00sin 0x x +≥8．已知实数x ､y ，则“1x y +≤”是“11x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩.”的（ ）条件 A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要 9．下列说法错误的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥ D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题10．若“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则下列不可能是a 的一个取值的是（ ） A ．sin 3πB ．13C ．2D ．π 11．已知α，R β∈，则“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．命题“1x ∃>，21x ≥”的否定是（ ）A ．1x ∃≤，21x ≥B ．1x ∃≤，21x <C ．1x ∀≤，21x ≥D ．1x ∀>，21x < 二、填空题13．若命题p ；“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”，则p ⌝是________．14．命题“若0x >，则220x y +≠”的逆否命题为___________．15．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是______________．16．现给出五个命题：①a ∀∈R ，212a a +>； ②223,,2()2a b R a b a b ∀∈+>--；> ④4()cos ,0,cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的最小值等于4；⑤若不等式2210kx x k -+-<对[]1,1k ∀∈-都成立，则x 12x <<. 所有正确命题的序号为______17．命题“若a A ∉，则b B ∈”的逆否命题是______.18．由命题“存在x ∈R ，使x 2+4x +m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为_____．19．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y =的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“p ⌝”中是真命题的为_________． 20．设有两个命题：（1）不等式|||1|x x a -->的解集为∅；（2）函数()f x =a 的取值范围为________．三、解答题21．已知命题p ：“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；（2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围．22．已知:1p x >或2x <-，:q x a >，若q 是p 的充分不必要条件，求a 的取值范围.23．已知命题P :[1,2]x ∀∈,20x a -≥;命题Q :0x R ∃∈,使得200(1)10x a x +-+<.若“P或Q ”为真,“P 且Q ”为假,求实数a 的取值范围.24．已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围.25．已知0a >，且1a ≠，命题p :函数()log 1a y x =+在()0,x ∈+∞内单调递减；q :曲线()2231y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点.如果p 和q 有且只有一个真命题，求a 的取值范围.26．设a R ∈，命题p ：∃[]1,2x ∈，满足()11>0a x --，命题q ：∀x R ∈，2++1>0ax x .（1）若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；（2）()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】全称命题的否定是特称命题【详解】命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：B2．A解析：A【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题1x ∀≥，使得2270x x -+>的否定为01x ∃≥，使得200270x x -+≤，3．B解析：B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若0x y <<，则1122log log x y >不成立，故不具有充分性，因为12log y x =单调递减，若1122log log x y >，所以x y <，故有必要性， 故选：B .4．D解析：D【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x R ∀∈，2210x x -+>”的否定为“x R ∃∈，2210x x -+≤”，故选：D.5．D解析：D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是“00,40x x ∃∈≤R ”，故选：D. 6．C解析：C【分析】利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【详解】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件.所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.7．A解析：A【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题p 为特称命题，该命题的否定为():0,p x ⌝∀∈+∞，sin 0x x +≥.故选：A.8．B解析：B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】 若1x y +≤，则1x ≤且1y ≤，否则1x y +≤不成立，是充分的， 若1x ≤且1y ≤，1x y +≤不一定成立，如1x y ==，满足已知，但1x y +>，因此不必要．∴就是充分不必要条件，故选：B ．9．D解析：D【分析】根据充分条件和必要条件的定义可判断选项A ，根据逆否命题的定义可判断选项B ，根据特称命题的否定是全称命题即可判断选项C ，根据复合命题的真假判断命题的真假可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：1a >可得11a <，但11a <可得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 说法是正确的， 对于选项B ：“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 所以选项B 说法是正确的，对于选项C ：命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥，所以选项C 说法是正确的，对于选项D ：若p q ∧为假命题，则p 和q 至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以选项D 说法是错误的，10．B解析：B【分析】根据已知条件得出实数a 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】因为“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则12a ≥，而sin 32π=. 故满足条件的选项为B.故选：B. 11．A解析：A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“αβ=”，则“sin sin αβ=”必成立；但是“sin sin αβ=”，未必有“αβ=”，例如0,αβπ==.所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件.故选：A.12．D解析：D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“1x ∃>，21x ≥”的否定是“1x ∀>，21x <”. 故选：D.二、填空题13．【分析】根据全称命题的否定变换形式即可得出答案【详解】由命题：则为：故答案为：解析：2,210x R x mx ∃∈-+<【分析】根据全称命题的否定变换形式即可得出答案.【详解】由命题p ：“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”，则p ⌝为：2,210x R x mx ∃∈-+<. 故答案为：2,210x R x mx ∃∈-+<14．若则【分析】直接根据逆否命题的概念即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则解析：若220x y +=，则0x ≤【分析】直接根据逆否命题的概念即可得结果.【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若220x y +=，则0x ≤”，故答案为：若220x y +=，则0x ≤. 15．乙【分析】直接利用复合命题的真假判断推理得到答案【详解】由是真命题可知pq 中至少有一个是真命题因为比赛结果没有并列名次说明第一名要么是甲要么是乙；且r 是假命题；又是真命题则是真命题即p 是假命题故得第 解析：乙【分析】直接利用复合命题的真假判断推理得到答案.【详解】由p q ∨是真命题，，可知p 、q 中至少有一个是真命题，因为比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙；且r 是假命题；又()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝是真命题，即p 是假命题.故得第一名的是乙.故答案为：乙.【点睛】复合命题真假的判定:(1) 判断简单命题的真假;(2) 根据真值表判断复合命题的真假.16．②③⑤【分析】①时不成立；②作差后再配方可得答案；③利用分析法证明；④不满足基本不等式的条件；⑤构造关于的一次函数再利用一次函数的单调性可求出的取值范围【详解】解：①当时所以①不正确；②因为所以成立解析：②③⑤【分析】①1a =时不成立；②作差后再配方可得答案；③利用分析法证明；④不满足基本不等式的条件；⑤构造关于k 的一次函数，再利用一次函数的单调性可求出x 的取值范围【详解】解：①当1a =时，212a a +=，所以 ①不正确；②因为222222232()23(1)()1210a a b a b a b b a b +----++=+=+-++>，所以223,,2()2a b R a b a b ∀∈+>--成立；③>>>③正确；④由于0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，因为4()cos 4cos f x x x =+≥=，而此时要()cos 20,1x =∉，所以取不到等号，所以4()cos ,0,cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的最小值不等于4，所以④不正确； ⑤令22()21(1)21f k kx x k x k x =-+-=--+，因为不等式2210kx x k -+-<对[]1,1k ∀∈-都成立，所以(1)0(1)0f f -<⎧⎨<⎩，即2212101210x x x x ⎧--+<⎨--+<⎩12x <<， 所以⑤正确故答案为：②③⑤【点睛】此题考查了不等式的性质，利用分析法证明不等式，基本不等式，属于中档题. 17．若则【分析】直接利用逆否命题求解【详解】因为命题若则所以其逆否命题是若则故答案为：若则【点睛】本题主要考查四种命题及其关系属于基础题 解析：若b B ∉，则a A ∈【分析】直接利用逆否命题求解.【详解】因为命题“若a A ∉，则b B ∈”，所以其逆否命题是“若b B ∉，则a A ∈”故答案为：若b B ∉，则a A ∈【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，属于基础题.18．【分析】先求得否命题为真再根据恒成立问题求解即可【详解】由命题存在x ∈R 使x2+4x+m≤0是假命题知对于任意的故判别式故实数m 的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题解析：(4,)+∞【分析】先求得否命题为真,再根据恒成立问题求解即可.【详解】由命题“存在x ∈R ,使x 2+4x +m ≤0”是假命题知“对于任意的x ∈R ,240x x m ++>”,故判别式16404m m -<⇒>.故实数m 的取值范围为(4,)+∞.故答案为：(4,)+∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型.19．【解析】∵若则或即不成立；故命题：是的充分条件为假命题；∵函数的定义域是∴命题为真命题；由复合命题真值表得：非p 为真命题；为真命题；假命题故答案为点睛：本题考查的知识点是复合命题的真假判定其中判断出解析：,p q p ⌝∨【解析】∵若0ab =，则0a =或0b =，即0a =不成立；故命题p ：0ab =是0a =的充分条件，为假命题；∵函数y =[)3,+∞，∴命题q 为真命题；由复合命题真值表得：非p 为真命题；p q ∨为真命题；p q ∧假命题，故答案为,p q p ⌝∨.点睛：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，其中判断出命题p 与命题q 的真假，是解答本题的关键，对复合命题真值表要牢记；根据充要条件的定义及函数定义域的求法，我们先判断出命题p 与命题q 的真假，再根据复合命题真值表，逐一判断题目中三个命题的真假，即可得到答案.20．【分析】分别求出两个命题为真时的的取值范围然后根据复合命题的真假确定结论【详解】其取值范围是不等式的解集为即恒成立若（1）为真命题则若（2）为真命题则（1）（2）均为真命题可得所以若（1）（2）至少解析：(,1)(2,)-∞⋃+∞【分析】分别求出两个命题为真时的a 的取值范围，然后根据复合命题的真假确定结论．【详解】1,1,121,01,1,0x x x x x x ≥⎧⎪--=-<<⎨⎪-≤⎩，其取值范围是[]1,1-，不等式|||1|x x a -->的解集为∅即|||1|x x a --≤恒成立，若（1）为真命题，则1a ≥，若（2）为真命题，则240a -≤，22a -≤≤，（1）（2）均为真命题，可得12a ≤≤，所以若（1）（2）至少有一个是假命题，则1a <或2a >．故答案为：(,1)(2,)-∞⋃+∞．【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，解题时可先求出每个命题为真时的参数范围，然后根据复合命题的真值有确定结论．在遇到“至少”、“至多”等时可从反面入手比较简单．三、解答题21．（1）21m -<≤；（2）22t -≤≤.【分析】（1）由p 为真可得1m ，从而123m m ≤⎧⎨-<<⎩，进而可得答案； （2）由r 是q 的充分不必要条件，可得213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），进而可得答案. 【详解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤． m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)t t +是(2,3)-的真子集，即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤． t ∴的取值范围22t -≤≤22．[)1,+∞【分析】由题意知：命题q 对应的集合是p 对应集合的真子集，借助于数轴即可求解.【详解】设{|2A x x =<-或}1x >，{}|=>B x x a ，若有q 是p 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，所以1a ≥，所以a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 23．3a >或11a -≤≤.【分析】分别判断出P ，Q 为真时的a 的范围，通过讨论P ，Q 的真假，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】11a -≤≤或3a >由条件知,2a x ≤对[]1,2x ∀∈成立,∴1a ≤;∵0x R ∃∈,使得()200110x a x +-+<成立.∴不等式()200110x a x +-+<有解,∴()2140a ∆=-->,解得3a >或1a <-; ∵P 或Q 为真,P 且Q 为假,∴P 与Q 一真一假.①P 真Q 假时,11a -≤≤;②P 假Q 真时,3a >.∴实数a 的取值范围是3a >或11a -≤≤.【点睛】本题借助考查了复合命题的真假判定，考查了特称命题与全称命题，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围．24．（1）14a ≤；（2）124a << 【分析】（1）关于x 的方程x 2﹣x+a=0有实数根，则△=1﹣4a≥0，解得a 的范围．（2）由题意得p 为真命题，q 为假命题求解即可.【详解】（1）方程20x x a -+=有实数根，得：:140q a ∆=-≥得14a ≤； （2）p q ∨为真命题，q ⌝为真命题∴ p 为真命题，q 为假命题，即2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩得124a <<. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假的判断方法，考查了推理能力，属于基础题．25．15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】 根据对数函数和复合函数的单调性，可知p 为真命题时01a <<．由二次函数的性质，可知q 为真命题时52a >或102a <<，再根据p 和q 有且只有一个真命题，分p 为真命题，q 为假命题和p 假命题， q 为真命题两种情况讨论，即可求出结果．【详解】若p 为真命题，由“函数()log 1a y x =+在区间()0,∞+内单调递减”， 可知:01p a <<；若q 为真命题，由“曲线()2231y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点”， 所以()22340a ∆=-->，解得52a >或12a <； 又0a >，且1a ≠， 所以5:2q a >或102a <<； 又p 和q 有且只有一个真命题，当p 为真命题，q 为假命题时，0115022a a a <<⎧⎪⎨≤≤≤⎪⎩或，得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 当p 假命题， q 为真命题时，0151022a a a a ≤≥⎧⎪⎨><<⎪⎩或或，即5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭． 综上，a 的取值范围为: 15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭． 【点睛】 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）322a <<；（2）3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由命题p q ∧是真命题，则需命题p 为真命题且q 为真命题，建立关于a 的不等式组，可得答案；（2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，分p 假q 假和p 真q 真，建立关于a 的不等式组，可得a 的取值范围；【详解】 （1）命题p 真时，则()1>0211>0a a -⎧⎨--⎩或()10111>0a a -<⎧⎨⨯--⎩， 得3>2a ； q 真，则240a -<，得22a -<<，所以p q ∧真，322a <<； （2）由()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真p ⇒、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则3222a a a ⎧≤-⎪⎨⎪≤-≥⎩或，得2a ≤-， 若p 真q 真，则3>222a a ⎧⎪⎨⎪-<<⎩，所以，322a <<， 综上2a ≤-或322a <<. 故a 的取值范围是3(,2],22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.。
(好题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试(答案解析)
一、选择题1．命题p ：0x ∀>，21x >，则命题p 的否定形式是（ ） A ．0x ∀>，21x ≤ B ．0x ∀≤，21x >C ．00x ∃>，021x ≤D ．00x ∃≤，021x >2．命题“对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x ”的否定是（ ） A ．对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x < B ．对任意的(,3)x ∈-∞，都有29x C ．存在[3,)x ∈+∞，使得29x <D ．存在[3,)x ∈+∞，使得29x 3．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 4．已知命题:,sin cos p x R x x ∀∈<，则p 命题的否定为（ ）A ．:,sin cos p x R x x ⌝∃∈>B ．:,sin cos p x R x x ⌝∀∈>C ．:,sin cos p x R x x ⌝∃∈≥D ．:,sin cos p x R x x ⌝∀∈≥5．已知命题3:0,0,p x x x ∀>+>则命题p 的否定为（ ） A ．30,0x x x ∀≤+≤ B ．30000,0x x x ≤+≤∃C ．30,0x x x ∀>+≤D ．30000,0x x x >+≤∃6．命题“a ∀∈R ，20a >或20a =”的否定形式是（ ） A ．a ∀∈R ，20a <B ．a ∀∈R ，20aC ．0a R ∃∈，200aD ．0a R ∃∈，200a <7．已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．](,1-∞B ．](,3-∞-C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞8．已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 9．设x ∈R ，则“20x -=”是“24x =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ） A ．4433m -≤≤ B ．423m -<≤C ．4433m -<≤ D ．403m -≤<11．若“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则下列不可能是a 的一个取值的是（ ） A ．sin3πB ．13C ．2D ．π12．“2,6a k k Z ππ=+∈”是“cos a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．命题“若0x >，则220x y +≠”的逆否命题为___________．14．命题“若实数a ，b 满足25a b +>，则2a >且1b >”是_______命题(填“真”或“假”). 15．若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.16．命题“若1x >，则0x >”的否命题是______命题（填“真”或“假”） 17．给出下列命题：①命题“x R ∃∈，20x x -≤”的非命题是“x R ∃∈，20x x ->”；②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题是真命题；④命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件； ⑤若n 组数据()11,x y ，，(),n n x y 的散点都在21y x =-+上，则相关系数1γ=-；其中是真命题的有______.（把你认为正确的命题序号都填上） 18．命题“若a 、b 都是偶数，则+a b 是偶数”的逆命题是_____________________________________． 19．设集合0,{03}1x A xB x x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，那么“m A ∈”是“m B ∈”的_______条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个）20．已知ABC △中，AC ==BC ABC △BA 的延长线上存在点D ，使4BDC π∠=，则CD =__________．三、解答题21．已知命题p ：22310x x -+≤和命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤（1）若12a =，且p 和q 都是真命题，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．已知命题p ：方程22121x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：不等式()24421x m x >+-恒成立.若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围.23．若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac<0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．24．已知命题:p 实数x 满足2650x x -+≤,命题:q 实数x 满足11m x m -≤≤+ （1）当5m =时,若“p 且q ”为真,求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件,求实数m 的取值范围．25．已知0a >,设命题:p 函数x y a =在R 上单调递减，:q 不等式21x x a +->的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围. 26．已知0m >，p ：(2)(6)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+ ． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据全称命题否定的定义得解. 【详解】由全称命题否定的定义，命题p 的否定形式是：00x ∃>，021x ≤.故选:C2．C解析：C 【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时， 一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以“对任意的[3,)x ∈+∞，都有29x ”的否定是“存在[3,)x ∈+∞，使得29x <”， 故选：C.3．B解析：B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项. 【详解】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足； 反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥， 必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件. 故选：B4．C解析：C 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题：“:,sin cos p x R x x ∀∈<”的否定为“:,sin cos p x R x x ⌝∃∈≥”. 故选：C.5．D解析：D 【分析】利用全程命题的否定直接写出答案. 【详解】由于“∀”的否定为“∃”，则排除A 与C 选项；命题的否定是对该命题的真值取否定. 故选:D 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．6．D解析：D 【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得出结论. 【详解】命题“a ∀∈R ，20a >或20a =”为全称命题，该命题的否定为“0a R ∃∈，200a <”.故选：D.7．D解析：D 【分析】根据充分不必要条件的定义及集合包含的关系求解． 【详解】123x x +>⇔<-或1x >，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以1a ≥， 故选：D ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．8．B解析：B 【分析】根据全称命题的否定直接写出答案.【详解】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R故选：B 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．9．A解析：A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】20x -=，即2x =时，一定有24x =，充分的，但24x =时，2x =±， 不一定是2x =，不必要，因此应为充分不必要条件． 故选：A ． 10．B解析：B 【分析】求出“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”成立时实数m 的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论. 【详解】由关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ，可得()23440m ∆=--⨯≤，解得4433m -≤≤，所以m 的取值范围是4433m -≤≤. 根据必要不充分条件的概念可知B 项正确. 故选：B.11．B解析：B 【分析】根据已知条件得出实数a 的取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】因为“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则12a ≥，而sin 3π=.故满足条件的选项为B. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若2,6a k k Z ππ=+∈，则cos cos6a π==，若cos 2a =，则2,6a k k Z ππ=+∈或2,6a k k Z ππ=-+∈，故“2,6a k k Z ππ=+∈”是“cos a =”的充分不必要条件， 故选：A.二、填空题13．若则【分析】直接根据逆否命题的概念即可得结果【详解】依题意原命题的逆否命题为若则故答案为：若则解析：若220x y +=，则0x ≤ 【分析】直接根据逆否命题的概念即可得结果. 【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若220x y +=，则0x ≤”， 故答案为：若220x y +=，则0x ≤.14．假【分析】列举特殊值判断真假命题【详解】当时所以命题若实数ab 满足则且是假命题故答案为：假解析：假 【分析】列举特殊值，判断真假命题. 【详解】当0,6a b ==时，25a b +>，所以，命题“若实数a ，b 满足25a b +>，则2a >且1b >”是假命题. 故答案为：假15．【分析】由题意得从而解出实数a 的取值范围【详解】若命题使得成立是真命题则在上有解即解得或故答案为：【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用 解析：()(),13,-∞-+∞【分析】由题意得()2140a ∆=-->，从而解出实数a 的取值范围． 【详解】若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则()2110x a x +-+<在R 上有解，即()2140a ∆=-->，解得3a >或1a <-. 故答案为：()(),13,-∞-+∞【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用.16．假【分析】根据否命题的定义写出并判断命题的真假【详解】解：命题若则的否命题是若则可判断为假命题故答案为假【点睛】本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键解析：假 【分析】根据否命题的定义，写出并判断命题的真假． 【详解】解：命题“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ≤，则0x ≤”，可判断为假命题． 故答案为假． 【点睛】本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键．17．②④⑤【分析】根据四种命题的相互转化即可判断②③真假判断利用特称命题的否定即可判断①利用充分必要条件的定义即可判断④利用相关系数的概念即可判断⑤【详解】①命题的非命题是；不正确②命题已知x 若则或的逆解析：②④⑤ 【分析】根据四种命题的相互转化即可判断②、③真假判断.利用特称命题的否定，即可判断①，利用充分必要条件的定义即可判断④，利用相关系数的概念即可判断⑤. 【详解】①命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的非命题是“x ∀∈R ，20x x ->”；不正确②命题“已知x ，y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或7y ≠”的逆否命题是“已知x ，y ∈R ，若2x =且7y =，则3x y +=”正确③命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题是“若函数()221f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”a 有可能是零，不正确④命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，正确⑤若n 组数据()11,x y ，…，(),n n x y 的散点都在21y x =-+上，则x ，y 成负相关相关系数1r =-，正确 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题主要考查了四大命题的转化，以及特称命题的否定，考查了充分必要条件的判断，以及相关系数的判断，属于综合类题目，属于中档题.18．若是偶数则都是偶数【解析】逆命题就是将结论和条件互换位置即可故逆命题应该为：若是偶数则都是偶数故答案为若是偶数则都是偶数解析：若+a b 是偶数，则a 、b 都是偶数 【解析】逆命题就是将结论和条件互换位置即可．故逆命题应该为：若a b +是偶数，则a 、b 都是偶数．故答案为若a b +是偶数，则a 、b 都是偶数．19．充分不必要【分析】先化简集合A 再利用集合法判断即可【详解】因为所以AB 所以是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查集合法判断逻辑条件以及分式不等式的解法属于基础题解析：充分不必要 【分析】先化简集合A ，再利用集合法判断即可. 【详解】 因为{}001,{03}1x A xx x B x x x ⎧⎫=<=<<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以A B ，所以“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查集合法判断逻辑条件以及分式不等式的解法，属于基础题.20．【解析】的面积为或若可得与三角形内角和定理矛盾在中由余弦定理可得：在中由正弦定理可得：故答案为【方法点睛】以三角形为载体三角恒等变换为手段正弦定理余弦定理为工具对三角函数及解三角形进行考查是近几年高解析：3【解析】2,6,AC BC ABC==∆的面积为311··sin26sin22AC BC ACB ACB=∠=∠，1sin,26ACB ACBπ∴∠=∴∠=或56π，若5,64ACB BDC BACππ∠=∠=<∠，可得546BAC ACBπππ∠+∠>+>，与三角形内角和定理矛盾，6ACBπ∴∠=，∴在ABC∆中，由余弦定理可得：2232?·cos2622622AB AC BC AC BC ACB=+-∠=+-⨯⨯⨯=6Bπ∴∠=，∴在BCD∆中，由正弦定理可得：16·sin23sin2BC BCDBDC===∠，故答3【方法点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.三、解答题21．（1）112x≤≤；（2）12a≤≤.【分析】（1）由一元二次不等式可得命题p ：112x ≤≤，命题q ：1322x ≤≤，即可得解；（2）由命题间的关系转化条件为112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭{}1x a x a ≤≤+，即可得解. 【详解】不等式22310x x -+≤即()()2110x x --≤，解得112x ≤≤， 不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤即()()10x a x a ---≤，解得1a x a ≤≤+， 则命题p ：112x ≤≤，命题q ：1a x a ≤≤+， （1）当12a =时，命题p ：112x ≤≤，命题q ：1322x ≤≤， 若p 和q 都是真命题，则112x ≤≤； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭{}1x a x a ≤≤+， 所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩且等号不同时成立，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围为102a ≤≤.22．(][),32,1-∞--【分析】由p q ∨为真，p q ∧为假判断p ，q 中一真一假，分别求出p ，q 为真的参数m 的取值范围，再分类讨论解不等式即可. 【详解】若命题p 为真命题，则2010m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-.若命题q 为真命题，则216(2)160m ∆=+-<， 解得3<1m -<-.又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p ，q 中一真一假.①若p 真q 假，则满足2m ≤-①，1m ≥-或3m ≤-②，①②必须同时满足，解得3m ≤-；②若p 假q 真，则231m m ≥-⎧⎨-<<-⎩，解得21m -≤<-；综上：(][),32,1m ∈-∞--.【点睛】本题考查由复合命题的真假求解参数范围，属于中档题23．逆命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个相异实根，则ac<0，是假命题； 否命题：若ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)没有两个相异实根，是假命题； 逆否命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)没有两个相异实根，则ac≥0，是真命题．【分析】本题考查的知识点是四种命题及其真假关系，解题的思路：认清命题的条件p 和结论q ，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假．【详解】原命题为真命题．逆命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个相异实根，则ac<0，是假命题； 否命题：若ac≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)没有两个相异实根，是假命题； 逆否命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)没有两个相异实根，则ac≥0，是真命题．【点睛】若原命题为：若p ，则q ．逆命题为：若q ，则p ．否命题为：若┐p ，则┐q ．逆否命题为：若┐q ，则┐p ．解答命题问题，识别命题的条件p 与结论q 的构成是关键，24．(1) 45x ≤≤；(2) 24m ≤≤【分析】（1）先由题意得到:p 15x ≤≤,:q 46x ≤≤，再由“p 且q ”为真，即可得出结果；（2）根据q 是p 的充分条件，得到{}|11x m x m -≤≤+是{}x |15x ≤≤的子集,列出不等式求解，即可得出结果.【详解】解：()1由题意:p 15x ≤≤,:q 46x ≤≤,“p 且q ”为真,p ∴, q 都为真命题,得45x ≤≤()2又q 是p 的充分条件,则{}|11x m x m -≤≤+是{}x |15x ≤≤的子集,1115m m -≥⎧∴⎨+≤⎩24m ∴≤≤【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判断即可，属于常考题型. 25．102a <≤或1a ≥. 【分析】先通过指数函数的单调性求出p 为真命题的a 的范围,再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题q 为真命题的a 的范围,分p 真q 假与p 假q 真两类求出a 的范围即可.【详解】由函数x y a =在R 上单调递减知01a <<所以命题p 为真命题时a 的取值范围是01a << 令2y x x a =+-则222),{2(2).x a x a y a x a -≥=<（，不等式21x x a +->的解集为R 只要min 1y >即可，而函数y 在R 上的最小值为2a所以21a >，即1.2a >即q 真⇔1.2a > 若p 真q 假,则10;2a <≤若p 假q 真，则1a ≥ 所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是102a <≤或1a ≥. 【点睛】解决复合命题的真假问题一般通过真值表将复合命题的真假问题转化为构成它的简单命题的真假来解决.26．（1）[)4,+∞；（2）[)(]3,26,7-．【分析】（1）p 是q 的充分条件转化为集合的包含关系即可求解；（2）“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题转化为,p q 一真一假，分情况讨论，然后求并集即可.【详解】解：（1）:26p x -≤≤，∵p 是q 的充分条件，∴[]2,6-是[]2,2m m -+的子集，022426m m m m >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩，∴m 的取值范围是[)4,+∞．（2）由题意可知，当5m =时，,p q 一真一假， p 真q 假时，即[]2,6x ∈-且()(),37,x ∈-∞-+∞，所以x ∈∅， p 假q 真时，()(),26,x ∈-∞-+∞且[]3,7x ∈-，所以[)(]3,26,7x ∈--， 所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7-．【点睛】考查由充分条件确定参数的范围以及由命题的真假确定参数的范围，中档题.。
经典数学选修1-1常考题120
经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、函数y=x2cosx的导数为（）Ay′=x2cosx-2xsinxBy′=2xcosx-x2sinxCy′=2xcosx+x2sinxDy′=xcosx-x2sinx2、设函数y=f（x），x∈R的导函数f′（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是（）Af（0）＜e-1f（1）＜e2f（2）Be2f（2）＜f（0）＜e-1f（1）Ce2f（2）＜e-1f（1）＜f（0）De-1f（1）＜f（0）＜e2f（2）3、函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）AB-1C0D4、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是[]A4B3C2D15、命题：“方程x2-1=0的解是x=±1”，其使用逻辑联结词的情况是（）A使用了逻辑联结词“且”B使用了逻辑联结词“或”C使用了逻辑联结词“非”D没有使用逻辑联结词简答题（共5道）6、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。
7、已知函数f（x）=|sinx|．（1）若g（x）=ax﹣f（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点，且公共点的横坐标的最大值为α，求证：．8、已知函数，.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）设函数，对满足的一切的值，都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，请问：是否存在整数的值，使方程有且只有一个实根？若存在，求出整数的值；否则，请说明理由.9、已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点.（1）求这两条曲线的标准方程；（2）已知点在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点的坐标.10、（1）A（-2，0）、B（2，0），M满足=0，求M轨迹．（2）若（1）中的轨迹按向量（1，-1）平移后恰与x+ky-3=0相切，求k．（3）如图，l过=1（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两焦点，P∈l，P、A不重合，若∠EPF=α，则有0＜α≤arctan，类比此结论到=1（a＞0，b＞0），l是过焦点F且垂直x轴的直线，A、B是两顶点，P∈l，P、F不重合，∠APB=α，求α取值范围．填空题（共5道）11、若双曲线的渐近线方程为，则等于_______12、双曲线的离心率为,则m等于．13、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=____．14、对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；③当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中正确命题的个数为______个．15、老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性质．甲：对于R，都有f(1+x)=f(1x)；乙：f(x)在(,0]上是减函数；丙：f(x)在(0,+)上是增函数；丁：f(0)不是函数的最小值．现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是（只需写出一个这样的函数即可）．------------------------------------- 1-答案：B2-答案：tc解：构造辅助函数，令g（x）=e-x•f（x），则g′（x）=（e-x）′•f（x）+e-x•f′（x）=-e-x•f（x）+e-x•f′（x）=e-x（f′（x）-f（x））．∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）=e-x（f′（x）-f（x））＜0，∴函数令g（x）=e-x•f（x）为实数集上的减函数．则g（-2）＞g（0）＞g（1）．∵g（0）=e0f（0）=f（0），g（1）=e-1f（1），g（-2）=e2f（-2），又f（-x）=f（x），∴g（-2）=e2f（2）∴e-1f（1）＜f（0）＜e2f（2）．故选D．3-答案：tc解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=-1．故选B．4-答案：B5-答案：B-------------------------------------1-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略2-答案：解：（1）根据图象可知，我们只需要考虑，此时g（x）=ax﹣sinx所以g′（x）=a﹣cosx当a≥1时，g′（x）≥0，易知函数g（x）单调增，从而g（x）≥g（0）=0，符合题意；当a≤0，g′（x）＜0，函数g（x）单调减，从而g（x）≤g（0）不符合题意；当0＜a＜1时，显然存在，使得g′（x）=0，且x∈[0，x0）时函数g（x）单调减，从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意．综上讨论知a≥1．（2）f（x）的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点时如图所示，且在内相切，其切点为A（α，﹣sinα），由于f′（x）=﹣cosx，，则故．3-答案：（Ⅰ）... .......（1分）且由已知得:........（2分） ...........（3分）（Ⅱ）.......（4分）令，即则依题意：对满足的一切的值，都有，即解得：......................（6分）（Ⅲ）存在........................（7分）理由如下：方程有且只有一个实根即为函数的图象与直线只有一个公共点（1）若,则,在实数集R上单调递增此时,函数的图象与直线只有一个公共点......（8分）（2）若，则..........（9分）列表如下：依题意，必须满足，即综上：...................(11分)又是整数，可取所以，存在整数的值为，使方程有且只有一个实根略4-答案：（1）,；（2）或.试题分析：（1）可以先利用待定系数法可以先求抛物线方程，然后利用定义法或待定系数法求出双曲线方程;（2）先利用三角形的面积是4，求出点p的纵坐标是，再利用点P 在抛物线上，求出横坐标即可.试题解析：（1）∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.3分∴抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为．法一：∴，，∴，．5分∴．∴双曲线的标准方程为. 8分法二：，∵双曲线经过点，∴，5分解得，.∴双曲线的标准方程为. 8分（2）设点的坐标为，由题意得，，∴，11分∵点在抛物线上，∴，∴点的坐标为或. 14分5-答案：解：（1）设，所以点M的轨迹方程为x2+y2=4．（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆（x-1）2+（y+1）2=4，因为圆平移后恰与x+ky-3=0相切，所以，得k=0或．（3）由题意可得：不妨设P（c，t）（t＞0），则所以所以0＜tanα≤．显然α为锐角，即：0＜α≤arctan 所以α取值范围为：．解：（1）设，所以点M的轨迹方程为x2+y2=4．（2）将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆（x-1）2+（y+1）2=4，因为圆平移后恰与x+ky-3=0相切，所以，得k=0或．（3）由题意可得：不妨设P（c，t）（t＞0），则所以所以0＜tanα≤．显然α为锐角，即：0＜α≤arctan 所以α取值范围为：．-------------------------------------1-答案：1令则得双曲线的渐近线方程为，又b>0则b=1.2-答案：9试题分析：因为，双曲线的离心率为,所以，，即，解得，m=9。
经典数学选修1-1常考题4
经典数学选修1-1常考题单选题(共5道)1'm'"1、设f(X)是可导函数，且f' (x0) =-3 ,AvA-3B-6C-9D-122、函数宀宀―的导数是( )Cex-e-xDex+e-x3、函数f(x) = x3 + 3x2 + 3x —a的极值个数是()A2B1C0D与a值有关4、给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直; 其中真命题的个数是[]A4B3C2D15、考察下列命题（）①命题“若lgx=O ,则x=1”的否命题为“若Igx工0,则XM 1；”②若“p A q”为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：?x € R,使得sinx > 1 ;则?p：?x € R,均有sinx < 1;④“ ？m€ R,使f （x）= （m-1）?xm24m+3是幕函数，且在（0, +x）上递减”则真命题的个数为（）A1B2C3D4简答题（共5道）6 （本小题满分12分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点-的双曲线的标准方程。
7、已知函数f (x) =1n (ax+1) +— (x>0, a 为正实数).(I)若a=1，求曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程;(U)求函数f (x)的单调区间；(川)若函数f (x)的最小值为1,求a的取值范围.8、已知函数f(x)= -x3-x .(1)若不等式f (x) v k-2005对于x€[-2 , 3]恒成立，求最小的正整数k;(2)令函数g(x)=f(x)- ；ax2+x(a >2)，求曲线y=g (x)在(1, g (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.9、( 12分)求与双曲线f 令=1共渐近线且焦点在圆余门广吨^上的双曲线的标准方程。
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一、解答题（共16小题，满分192分）1、已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．2、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．3、双曲线的离心率等于，且与椭圆+=1有公共焦点，求此双曲线的方程．4、倾斜角为的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．5、当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？6、一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？7、已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．8、在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线l：x﹣y+4=0的距离最短，并求最短距离．9、点M是椭圆+=1上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60°，求△F1MF2的面积．10、（2006•江苏）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．11、已知函数f（x）=xe x（e为自然对数的底）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．12、设函数f（x）=﹣+2x2﹣3x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极大值和极小值．13、（2005•福建）已知函数f（x）=的图象在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为x+2y+5=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．14、（2004•浙江）已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）．（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围．15、（2005•陕西）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？16、（2006•江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分192分）1、已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件。
分析：p与q是数的范围问题，所以“p是q的必要不充分条件”可以转化为集合间的包含关系解决．解答：解：p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）⇔（x﹣（1﹣m））（x﹣（1+m））≤0⇔1﹣m≤x≤1+m，若p是q的必要不充分条件即“q⇒p”⇔{x|1﹣m≤x≤1+m}⊆{x|﹣2≤x≤10}，∴，∴m≥3所以实数m的取值范围是m≥3．点评：本题考查充要条件问题，利用集合的包含关系解决充要条件问题是一种常用方法．2、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．考点：椭圆的定义。
专题：计算题。
分析：由于，由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．解答：解：设d是点M到直线l：x=的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|=}，（4分）由此得=．将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225．即+=1．（9分）所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．（12分）点评：本题考查了椭圆的定义，及求椭圆标准方程的方法，是个基础题．3、双曲线的离心率等于，且与椭圆+=1有公共焦点，求此双曲线的方程．考点：圆锥曲线的综合。
专题：计算题；转化思想。
分析：由题意，先求得椭圆的焦点坐标，即可求出双曲线的焦点坐标，由双曲线的离心率等于，求出双曲线的方程的方程中的参数a，b，写出其方程即可．解答：解：椭圆+=1焦点为F（±，0），根据题意得双曲线的焦点为F（±，0）（3分）设双曲线的标准方程为﹣=1，且有c=．（6分）又由e==，得a=2，得b2=c2﹣a2=5﹣4=1，（10分）所求双曲线的方程为﹣y2=1．（12分）点评：本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是根据两个曲线的共同特征，求出双曲线的焦点坐标，再根据其离心率，求出a，b的值．4、倾斜角为的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的应用。
专题：计算题。
分析：先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．解答：解：设A（x1，），B（x2，），A，B到准线的距离分别为d A，d B，由抛物线的定义可知|AF|=d A=x1+1，|BF|=d B=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2．（3分）由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k=tan=1，所以直线AB方程为y=x﹣1．（6分）将y=x﹣1代入方程y2=4x，得（x﹣1）2=4x，化简得x2﹣6x+1=0．由求根公式得x1=3+2，x2=3﹣2，（9分）于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8．所以，线段AB的长是8．（12分）点评：本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，属中档题．5、当α从0°到180°变化时，方程x2+y2cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？考点：二元二次方程表示圆的条件。
专题：分类讨论。
分析：根据cosα符号，对角α分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．解答：解：当α=0°时，cos0°=1，方程x2+y2=1表示圆心在原点的单位圆；当90°＞α＞0°时，1＞cosα＞0，方程x2+y2cosα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；当α=90°时，cos90°=0，方程x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；当180°＞α＞90°时，cosα＜0，方程x2+y2cosα=1表示焦点在x轴上的双曲线；当α=180°时，cos180°=﹣1，方程x2﹣y2=1表示焦点在x轴上的等轴双曲线．点评：本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．6、一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？考点：抛物线的应用。
专题：计算题；待定系数法。
分析：（1）设抛物线方程x2=﹣2py，抛物线过点（26，﹣6.5），代入抛物线方程求出参数p 即得抛物线方程．（2）把x=2代入抛物线的方程求得y值，由6.5﹣6=0.5＞求得的y值，可知木排能安全通过此桥．解答：解：（1）设抛物线方程x2=﹣2py．（2分）由题意可知，抛物线过点（26，﹣6.5），代入抛物线方程，得262=13p，解得p=52，所以，抛物线方程为x2 =﹣104y．（6分）（2）把x=2代入，求得y=﹣．（9分）而6.5﹣6=0.5＞，所以木排能安全通过此桥．（12分）点评：本题考查用待定系数法求抛物线的标准方程的方法，以及利用抛物线的方程解决实际问题．7、已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系。
专题：计算题。
分析：先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．解答：解：设椭圆C的方程为+=1，由题意a=3，c=2，b==1．（3分）∴椭圆C的方程为+y2=1．（5分）联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．（12分）点评：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．8、在抛物线y2=4x上求一点P，使得点P到直线l：x﹣y+4=0的距离最短，并求最短距离．考点：抛物线的应用；点到直线的距离公式。
专题：计算题；数形结合。
分析：先设出与直线平行且与抛物线相切的直线，与抛物线联立消去x，根据判别式等于0求得k，则切线方程可得，进而与抛物线方程联立求得切点的坐标，进而根据点到直线的距离求得答案．解答：解：设与直线l：x﹣y+4=0平行，且与抛物线y2=4x相切的直线为x﹣y+k=0．由，消x得y2﹣4y+4k=0．∴△=42﹣16k=0，解得k=1，即切线为x﹣y+1=0．由，解得点P（1，2）．∴最短距离d==．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合和转化与化归的思想．9、点M是椭圆+=1上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60°，求△F1MF2的面积．考点：椭圆的应用。
专题：计算题。
分析：先根据椭圆的标准方程，求得半焦距c，进而根据椭圆的定义求得|MF1|+|MF2|的值，进而利用余弦定理求得|MF1|和|MF2|的关系式，联立方程求得|MF1|和|MF2|，最后根据三角形面积公式求得三角形的面积．解答：解：由+=1，得a=8，b=6，c==2．根据椭圆定义，有|MF1|+|MF2|=2a=16．在△F1MF2中，由余弦定理，得到|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|•cos∠F1MF2．即=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|•cos60°，112═|MF1|2+|MF2|2﹣|MF1|•|MF2|=（|MF1|+|MF2|）2﹣3|MF1|•|MF2|=162﹣3|MF1|•|MF2|，解得|MF1|=|MF2|=48．△F1MF2的面积为：S=|MF1|•|MF2|sin∠F1MF2=×48×sin60°=12．点评：本题主要考查了椭圆的应用．特别是利用椭圆的定义解决椭圆的实际问题．10、（2006•江苏）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．考点：圆锥曲线的综合；椭圆的应用。