2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9 [23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 1l [31．5，35．5) 12 [35．5．39．5) 7 [39．5,43．5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是 (A)16(B )13(C)12（D ）23答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==．2．复数1i i-+=(A )2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i答案：A 解：12i i i i i-+=--=-3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥1l ⇒∥3l （B ）12l l ⊥，2l ∥3l ⇒13l l ⊥ (C) 1l ∥2l ∥3l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD(D )CF答案D解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5．5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B )必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续．6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[6π，π) (C )(0，3π] (D) [3π，π)答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．10．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)ba =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）32 答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n n n f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn = （A ）415（B ）13（C ）25（D ）23答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．答案：20- 解：12111(lglg 25)100lg20410010--÷=÷=-14．双曲线22xy=1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 ．答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d da==⇒=15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ．答案：22R π解：22222max 224()S r R r r R r S ππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222Rr R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题： ①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：②③解 ：①错，12x x =± ;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ) 7733()sin coscos sincos cossin sin4444f x x x x x ππππ=+++2sin 2cos 2sin()4x x x π=-=-m ax 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ= 2()2(())20f f ββ∴=⇒-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ；本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅=则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅= 故ξ的分布列为 ξ0 2 4 6 8P18516 5163161165591784822E ξ=+++=19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ；(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离．本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D O D ⊂= 1面面面BA1//B P O D ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1AC D PC D ∴∆≅∆1C D C D ∴=,D 为1C C 的中点．（II ）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接B H ，则BH AD ⊥,AH B ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D ∆中，11551,,22AA AD A D ===,则25253525,,cos 553355AH AH BH AH B BH==∠===(Ⅲ)因为11C B PD B PC D V V -=，所以1111133B P D PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B =11111244P C D P C C P C D S S S ∆∆∆=-=-=,在1B D P ∆中，11119553525544,5,.cos ,sin 32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅⋅，1135315,22543B PD S h ∆∴=⋅⋅⋅==解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，A C ∥1PC ，111C P C D x A CC Dx∴==-．由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1x P x+-，1(1,0,1)A B ∴= ，1(0,1,)A D x ∴= ，1(1,1,0)1x B P x=-+-．设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ， 111(1)(1)(1)001x n B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=-由此可得12x =，故1C D C D =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =- ，又2(1,0,0)n =为平面1A A D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A D B --的平面角的余弦值为23．（Ⅲ）1(1,2,0)PB =- ，1(0,1,)2P D =-设平面1B D P 的一个法向量为3111(,,)n a b c =， 则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令11c =，可得31(1,,1)2n = ．又1(0,0,)2D C = ，C ∴到平面1BD P 的距离33||13||D C n d n ==．20．(本小题共12分) 设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C dn C dnC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11kk nn k CCn--=，所以111111(1)nn nk kk kk kn n nn n k k k k a C dCdd C dd d n----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列； 当1d =-，11a =-，0n a =（n ≥2），此时{}n a 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n n a d d -=+，从而21(1)n n b nd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21n S d ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]nn d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)nn n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+化得即得：1(1)(1)n n S dn d =+-+ 综上，1(1)(1)n n S dn d =+-+．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD | =322时，求直线l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P O Q ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 解：由已知可得椭圆方程为2212yx +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x kk k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()22(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=±++l ∴的方程为21y x =+或21y x =-+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k-． 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k+=-+，12212x x k=-+，直线A C 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1y y x x =--将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--．因为121,1x x -<<，所以11x x +-与21y y 异号．222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------22222211122()211122k k k k kk k k --++-++==--+-+++． 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号，1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，01(,0)(,)1O P O Q k y k=--=故O P O Q为定值．22．(本小题共l4分)已知函数21(),()32f x x h x x =+=(I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=---(Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+-，（x ≥0）知，21()32F x x'=-，令()0F x '=，得916x =当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=．第11页（共11页） （Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-； 即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=- 等价于:10400(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x aa x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ 故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得:(1)当14a <≤时,原方程有一解35x a =--;(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a =±-;(3)当5a =时,原方程有一解3x =;(4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k ===∑∑．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n g n =-，*()n N ∈． 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--， 又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=----221(43)(41)(1)6(43)(41)11106(43)(41)1k k k k k k k k k k k k ----=-+--=>-+--则对任意的2100k ≤≤，有k a k >． 又因为111a ==，所以10010011k k k a k ==>∑∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷word版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷word 版）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。
球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。
球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0B ．3C ．1D 4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若62(a x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)——数学理卷
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟，考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。
球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。
球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．（ 2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0 B．3C ．1D4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ= （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（本小题满分12分）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A-2cos C2c-a=cos B b．（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，b=2，ABC∆的面积S。
2011年高考江西省数学试卷-理科(含详细答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni ini ini i iy yx xy y x xr 12121)()())(( 其中nx x x x n +++= (21)ny y y y n+++= (21)锥体的体积公式 13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1） 若ii z 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2 答案：C 解析： i i ii i ii z -=--=+=+=21222122（2） 若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( )A.}01|{<≤-x xB.}10|{≤<x xC.}20|{≤≤x xD.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A （3） 若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0) B. (21-,0] C. (21-,∞+) D. (0,∞+)答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4） 若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0) 答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f（5） 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6） 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini i iyyxxyy x xr 12121第一组变量正相关，第二组变量负相关。
2011年四川高考理科数学试题及答案
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 答案：A解析：12i i i i i-+=--=-3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥[来源:](C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=[来源:](A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
2011年全国普通高等学校招生统一考试-理科数学(山东卷)
山东理科1.(2011山东,理1)设集合M={x|x 2+x-6<0},N={x|1≤x ≤3},则M ∩N=( ). A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]2.(2011山东,理2)复数z=2-i 2+i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2011山东,理3)若点(a,9)在函数y=3x 的图象上,则tan a π6的值为( ). A.0 B. 33C.1D. 34.(2011山东,理4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( ). A.[-5,7] B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7,+∞)D.(-∞,-4]∪[6,+∞)5.(2011山东,理5)对于函数y=f(x),x ∈R,“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2011山东,理6)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω=( ). A.3 B.2 C.32 D.23根据上表可得回归方程y ＾=b ＾x+a ＾中的b ＾为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ). A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元8.(2011山东,理8)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( ). A.x 25-y 24=1 B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 23=19.(2011山东,理9)函数y=x2-2sin x 的图象大致是( ).10.(2011山东,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ).A.6B.7C.8D.911.(2011山东,理11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( ).A.3B.2C.1D.012.(2011山东,理12)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( ).A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上13.(2011山东,理13)执行下图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.14.(2011山东,理14)若(x-ax2)6展开式的常数项为60,则常数a的值为.15.(2011山东,理15)设函数f(x)=xx+2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=xx+2,f 2(x)=f(f 1(x))=x3x+4, f 3(x)=f(f 2(x))=x7x+8, f 4(x)=f(f 3(x))=x15x+16,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)=f(f n-1(x))= .16.(2011山东,理16)已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a ≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x 0∈(n,n+1),n ∈N *,则n= .17.(2011山东,理17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos A-2cos C cos B=2c-a b.(1)求sin Csin A的值;(2)若cos B=14,b=2,求△ABC 的面积S.18.(2011山东,理18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.19.(2011山东,理19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB=90°,EA ⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG ∥BC,EG ∥AC,AB=2EF.(1)若M 是线段AD 的中点,求证:GM ∥平面ABFE;(2)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.20.(2011山东,理20)等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足:b n=a n+(-1)n ln a n,求数列{b n}的前n项和S n.21.(2011山东,理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.22.(2011山东,理22)已知动直线l 与椭圆C:x 23+y 22=1交于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两不同点,且△OPQ 的面积S△OPQ= 62,其中O 为坐标原点.(1)证明:x 12+x 22和y 12+y 22均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点D,E,G,使得S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由.山东理科1.A ∵M={x|x 2+x-6<0}={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<2},N={x|1≤x ≤3},∴M ∩N={x|1≤x<2}.2.D ∵z=2-i2+i =(2-i)2(2+i)(2-i)=3-4i 5=35-45i, ∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限.3.D 由题意知9=3a ,∴a=2. ∴tan a π6=tan π3= 3.4.D (法一)令y=|x-5|+|x+3|, 则函数对应的图象为令y=10,即|x-5|+|x+3|=10,得x=-4或x=6,结合图象可知|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).(法二)将x=6代入可知适合,故排除C;将x=0代入可知不适合,故排除A,B. 5.B 若f(x)是奇函数,则对任意的x ∈R,均有f(-x)=-f(x),即|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, 所以y=|f(x)|是偶函数,即y=|f(x)|的图象关于y 轴对称.反过来,若y=|f(x)|关于y 轴对称,则不能得出y=f(x)一定是奇函数,比如y=|x 2|,显然,其图象关于y 轴对称,但是y=x 2是偶函数.故“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要而不充分条件.6.C 根据函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,可知ωπ3=π2,即ω=32.7.B ∵a ＾=y -b ＾x =49+26+39+544-9.4×4+2+3+54=9.1, ∴回归方程为y ＾=9.4x+9.1,令x=6,得y ＾=9.4×6+9.1=65.5(万元).8.A 由题意得,x 2a -y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±b ax,即bx ±ay=0, 又圆C 的标准方程为(x-3)2+y 2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0). ∴a 2+b 2=32=9,且=2,解得a 2=5,b 2=4.∴该双曲线的方程为x 25-y 24=1. 9.C 令f(x)=x 2-2sin x,x ∈R, 则可知f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,故排除A. 又f'(x)=12-2cos x, 可知f'(x)有无穷多个零点,即f(x)有无穷多个极值点, 故排除B,D.选C.10.B 当0≤x<2时,令f(x)=x 3-x=0,得x=0或x=1. 根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2, 可知y=f(x)在[0,6)上有6个零点, 又f(6)=f(3×2)=f(0)=0,所以f(x)在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 11.A ①正确,如图一直三棱柱,其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形,且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1,即满足要求. ②正确,如图一正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,即满足要求.③正确,横卧的圆柱即可,如图.12.D ∵C,D 调和分割点A,B, ∴AC=λAB ,AD =μAB ,且1λ+1μ=2(*), 不妨设A(0,0),B(1,0),则C(λ,0),D(μ,0),对A,若C 为AB 的中点,则AC=12AB ,即λ=12,将其代入(*)式,得1μ=0,这是无意义的,故A 错误;对B,若D 为AB 的中点,则μ=12,同理得1λ=0,故B 错误; 对C,要使C,D 同时在线段AB 上,则0<λ<1且0<μ<1,∴1λ>1,1μ>1,∴1λ+1μ>2,这与1λ+1μ=2矛盾;故C 错误;显然D 正确.13.68 由程序框图可知,y 的变化情况为y=70×2+21×3+15×5=278,进入循环,显然278>105, 因此y=278-105=173;此时173>105,故y=173-105=68. 经判断68>105不成立,输出此时y 的值68.14.4 由二项式定理可知T r+1=C 6r x 6-r (- a x )r =C 6r (- a )r x 6-3r , 令6-3r=0,得r=2,∴T 3=C 62(- a )2=60.∴15a=60.∴a=4.15.x(2n -1)x+2n 由已知可归纳如下:f 1(x)=x (21-1)x+21,f 2(x)=x (22-1)x+22,f 3(x)=x (23-1)x+23,f 4(x)=x (24-1)x+24,…,f n (x)=x(2n-1)x+2n . 16.2 ∵a>2,∴f(x)=log a x+x-b 在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=log a 2+2-b,f(3)=log a 3+3-b, ∵2<a<3<b<4,∴0<log a 2<1,-2<2-b<-1. ∴-2<log a 2+2-b<0.又1<log a 3<2,-1<3-b<0,∴0<log a 3+3-b<2,即f(2)<0,f(3)>0. 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调函数, ∴f(x)在(2,3)必存在唯一零点.17.解:(1)由正弦定理,设asin A =b sin B =c sin C =k, 则2c-a b=2k sin C-k sin A k sin B =2sin C-sin Asin B , 所以cos A-2cos C cos B=2sin C-sin Asin B , 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.化简可得sin(A+B)=2sin(B+C), 又A+B+C=π,所以sin C=2sin A.因此sin Csin A=2. (2)由sin C sin A=2得c=2a. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B 及cos B=14,b=2, 得4=a 2+4a 2-4a 2×14. 解得a=1.从而c=2.又因为cos B=14,且0<B<π,所以sin B=154.因此S=12acsin B=12×1×2×154=154.18.解:(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.红队至少两人获胜的事件有:DE F、D E F、D EF、DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DE F)+P(D E F)+P(D EF)+P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F、E、D是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此P(ξ=0)=P()=0.4×0.5×0.5=0.1,P(ξ=1)=P(DE F)+P(D E F)+P(D EF)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.因此Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.19.(1)证法一:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FG∥BC,FG=12BC,在▱ABCD中,M是线段AD的中点,BC,则AM∥BC,且AM=12因此FG∥AM且FG=AM.所以四边形AFGM为平行四边形.因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.证法二:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.在▱ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN∥AB.因为MN∩GN=N,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面ABFE.(2)解法一:因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°.又EA⊥平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直.分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).又EF=12设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·BC=0,m·BF=0,所以 y 1=0,x 1=z 1.取z 1=1,得x 1=1,所以m=(1,0,1).设平面ABF 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2), 则n ·AB=0,n ·BF =0, 所以 x 2=y 2,z 2=0.取y 2=1,得x 2=1, 则n=(1,1,0). 所以cos<m,n>=m ·n |m|·|n|=12. 因此二面角A-BF-C 的大小为60°.解法二:由题意知,平面ABFE ⊥平面ABCD, 取AB 的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CH ⊥AB. 则CH ⊥平面ABFE.过H 向BF 引垂线交BF 于R,连接CR, 则CR ⊥BF.所以∠HRC 为二面角A-BF-C 的平面角. 由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE 中,连接FH,则FH ⊥AB. 又AB=2 2,所以HF=AE=1,BH= 2. 因此在Rt △BHF 中,HR= 63. 由于CH=12AB= 2, 所以在Rt △CHR 中,tan ∠HRC= 2 63= 3.因此二面角A-BF-C 的大小为60°. 20.解:(1)当a 1=3时,不合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时,符合题意; 当a 1=10时,不合题意. 因此a 1=2,a 2=6,a 3=18. 所以公比q=3.故a n =2·3n-1. (2)因为b n =a n +(-1)n ln a n =2·3n-1+(-1)n ln(2·3n-1)=2·3n-1+(-1)n [ln 2+(n-1)ln 3]=2·3n-1+(-1)n (ln 2-ln 3)+(-1)n nln 3,所以S n =2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n ](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)n n]ln 3,所以当n 为偶数时,S n =2×1-3n1-3+n 2ln 3=3n +n 2ln 3-1;当n为奇数时,S n =2×1-3n 1-3-(ln 2-ln 3)+(n-12-n)ln 3=3n -n-12ln 3-ln 2-1. 综上所述,S n =3n +n 2ln 3-1,n 为偶数,3n-n -12ln 3-ln 2-1,n 为奇数.21.解:(1)设容器的容积为V, 由题意知V=πr 2l+43πr 3, 又V=80π3, 故l=V-43πr 3πr 2=803r 2-43r=43(20r 2-r). 由于l ≥2r,因此0<r ≤2.所以建造费用y=2πrl ×3+4πr 2c=2πr ×43(20r -r)×3+4πr 2c. 因此y=4π(c-2)r 2+160πr ,0<r ≤2. (2)由(1)得y'=8π(c-2)r-160πr2=8π(c-2)r 2(r 3-20c-2).0<r<2. 由于c>3,所以c-2>0. 当r 3-20c-2=0时,r= 20c-23. 令 20c-23=m,得m>0, 所以y'=8π(c-2)r 2(r-m)(r 2+rm+m 2). ①当0<m<2即c>92时, 当r=m 时,y'=0;当r ∈(0,m)时,y'<0; 当r ∈(m,2)时,y'>0.所以r=m 是函数y 的极小值点,也是最小值点. (2)当m ≥2即3<c ≤92时, 当r ∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减. 所以r=2是函数y 的最小值点.综上所述,当3<c ≤92时,建造费用最小时r=2;当c>92时,建造费用最小时r= 20c-23. 22.解:(1)当直线l 的斜率不存在时,P 、Q 两点关于x 轴对称, 所以x 2=x 1,y 2=-y 1.因为P(x 1,y 1)在椭圆上,因此x 123+y 122=1.①又因为S △OPQ = 62,所以|x 1|·|y 1|= 62.② 由①、②得|x 1|= 62,|y 1|=1,此时x 12+x 22=3,y 12+y 22=2.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m,由题意知m ≠0,将其代入x 23+y 22=1得(2+3k 2)x 2+6kmx+3(m 2-2)=0, 其中Δ=36k 2m 2-12(2+3k 2)(m 2-2)>0,即3k 2+2>m 2.(*) 又x 1+x 2=-6km 2+3k2,x 1x 2=3(m 2-2)2+3k2,所以|PQ|= 1+k 2· (x 1+x 2)2-4x 1x 2 = 2 6 3k 2+2-m 22+3k2.因为点O 到直线l 的距离为d=1+k .所以S △OPQ =12|PQ|·d =12 1+k 2·6 222·=6|m| 3k 2+2-m 22+3k2.又S △OPQ = 62.整理得3k 2+2=2m 2,且符合(*)式,此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-6km 2+3k2)2-2×3(m 2-2)2+3k2=3,y 12+y 22=23(3-x 12)+23(3-x 22)=4-23(x 12+x 22)=2. 综上所述,x 12+x 22=3,y 12+y 22=2,结论成立.(2)解法一:①当直线l 的斜率不存在时, 由(1)知|OM|=|x 1|= 62,|PQ|=2|y 1|=2, 因此|OM|·|PQ|= 62×2= 6. ②当直线l 的斜率存在时,由(1)知,x 1+x 22=-3k2m , y 1+y 22=k(x 1+x22)+m=-3k 22m+m=-3k 2+2m 22m=1m , |OM|2=(x 1+x22)2+(y 1+y 22)2=9k 24m 2+1m 2=6m 2-24m 2=12(3-1m 2),|PQ|2=(1+k 2)24(3k 2+2-m 2)(2+3k 2)=2(2m 2+1)m =2(2+1m ),所以|OM|2·|PQ|2=12×(3-1m 2)×2×(2+1m 2) =(3-1m 2)(2+1m 2)≤(3-1m 2+2+1m 22)2=254. 所以|OM|·|PQ|≤52,当且仅当3-1m =2+1m ,即m=± 2时,等号成立. 综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为52. 解法二:因为4|OM|2+|PQ|2=(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2+(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=2[(x 12+x 22)+(y 12+y 22)]=10.所以2|OM|·|PQ|≤4|OM|2+|PQ|22=102=5, 即|OM|·|PQ|≤52. 当且仅当2|OM|=|PQ|= 5时等号成立. 因此|OM|·|PQ|的最大值为52. (3)椭圆C 上不存在三点D,E,G,使得S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62. 证明:假设存在D(u,v),E(x 1,y 1),G(x 2,y 2)满足S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62, 由(1)得u 2+x 12=3,u 2+x 22=3,x 12+x 22=3;v 2+y 12=2,v 2+y 22=2,y 12+y 22=2, 解得u 2=x 12=x 22=32;v 2=y 12=y 22=1.因此u,x 1,x 2只能从± 62中选取,v,y 1,y 2只能从±1中选取, 因此D,E,G 只能在(± 62,±1)这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62矛盾.所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D,E,G.。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答．．．．．．．无效。
．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．3B ．3C ．3D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。
3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上．．．．作答无效．．．．）13．（20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．214．已知a ∈（2π，π），tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，，求 C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； （Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求X 的期望。
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=（Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ．证明：19291()10p e<<参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题不给中间分。
一、选择题1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题13．0 14．43-15．6 16 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：由a c +=及正弦定理可得s i n s i n 2s in .A CB +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故c o s s i n 2s i n ()C C A C++s i n (902)C ︒+c o s 2.C=…………7分cos 2,22C C C += c o s (45)c o s 2C C ︒-= 因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-15C =︒18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+…………3分()()()()0P C P A B P A P B =+=+=…………6分（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，…………10分所以期望1000.220.EX =⨯= …………12分 19．解法一：（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2，连结SE ，则,SE AB SE ⊥又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。
…………3分由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥= ， 得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。
所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，2S D S E SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。
连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥= ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。
…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。
S F F G FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为7由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有7设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin d EB αα=== …………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。
设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。
又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=- ，(1,,)DS x y z =-，由||||AS BS = 得=故x=1。
由22||11,DS y z =+=得又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得即221410,,2y z y y z +-+===故 …………3分于是133(1,(1,(1,222S AS BS =--=- ，1(0,0,0.22DS DS AS DS BS =⋅=⋅=故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥= 又 所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又3(1,,),(0,2,0),22BS CB =-=故30,220.m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩…………9分取p=2得((2,0,0)a AB ==-又。