对一道竞赛题解法的分析
国际信息学奥林匹克竞赛2023题解
国际信息学奥林匹克竞赛（International Olympiad in Informatics，简称IOI）是一项面向高中生的信息学竞赛，旨在促进全球信息学教育和人才培养。
每年都会有来自世界各地的优秀学生参加这一盛事，并通过解决一系列复杂的编程问题来展示他们的才华。
作为一项高级的信息学竞赛，IOI赛题往往涉及到算法和数据结构的深度思考，考验选手在编程能力和解决问题能力上的造诣。
2023年国际信息学奥林匹克竞赛的题目更是备受瞩目，接下来我们就来深度剖析这些题目并提供解题思路。
第一道题目：“字符串排列”题目描述：给定一个长度为n的字符串s，求出它的所有排列方式，并将其按字典序输出。
解题思路：1. 我们可以利用递归的方法来求解字符串的全排列。
具体地，可以将字符串s的第一个字符与后面的字符依次交换，然后对剩下的字符串进行全排列，直到交换完成一次排列。
这样就可以得到字符串s所有的排列方式。
2. 在程序设计的过程中，我们要注意剪枝操作，可以通过设定一个标志数组来记录某个字符是否已经被使用过，从而避免重复排列的情况。
这道题目的解法较为经典，通过深入的逻辑分析和编程技巧，可以很好地完成题目要求。
第二道题目：“最大子段和”题目描述：给定一个长度为n的整数序列，求出其连续子段的和的最大值。
解题思路：1. 一个直观的解法是利用动态规划来解决这个问题。
具体地，我们可以设置一个dp数组，dp[i]表示以第i个数结尾的最大子段和，然后通过递推式dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])来更新dp数组。
2. 在实现过程中，我们要注意处理边界情况和初始化操作，以及在遍历过程中及时更新最大子段和的值。
这道题目需要考虑到较多的边界情况和递推关系，是一道非常有挑战性的动态规划问题。
总结回顾：国际信息学奥林匹克竞赛2023的题目涵盖了递归、动态规划等多个领域，对选手的算法能力和编程功底提出了很高的要求。
从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧
从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？方法1：微元法如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.D 点两侧各有入水点C 和E ，使得在该处入水追船所用时间相等.现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.于是因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD.又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.即有 在⊿ABK 中，用正弦定理可得： 那么方法2：类比法设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.由此得： 下面解法与方法1相同.最后可得： 21v CF v CE =21cos ==CE CF θ︒=60θ1max v AK v AB =21135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max s m v v v ===︒==30arcsin 12v v β)/(22max s m v =方法3：图解法如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°，于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°在⊿ABK 中,据正弦定理得： 而所以：方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为：要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为： 作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点；（2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°；设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:（4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°，∠ABE ＝45°.因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那21135sin 30sin =︒︒=AK AB 1max 1max v v t v t v AK AB ==)/(2222211max s m v v v ===v v u -=11vv u -=22方法5：等效法设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的.故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H→D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A→E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，则有因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以故得方法6：极值法（利用三角函数）如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船. 在⊿ACD 中应用正弦定理得又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则 由以上两式得 又在⊿CDB 中应用正弦定理得设人游过DB 段所用时间为t ’,则 由以上两式得由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得 又由于，要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于 )/(2222max s m v v ==2max v BH v AB =BHAB 2=)/(2222max s m v v ==AC AD =--)sin()sin(αθθπvtAC t v AD ==,1BC BD =--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v v =+βθθ)1()sin(sin 1v v =-αθθ)3()sin(2)sin(αθβθ-=+1v v AD AC =α为恒量，则θ越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有所以： 方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0<k<1)，位移为s1=k v 1t,人在湖中游用时为(1－k)t （0<k<1)，位移为s2=(1-k)v 2t.那么，据余弦定理有：把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得于是有要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取： 方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则 上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数 两边平方得： 整理后得：此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有由此解得：所以： 由（3）、（4）式得： 这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.)/(2222max s m v v ==αcos 2121222ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[22≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θθsin cot 21v d v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 112θθθv v y -=θθθ2222122221212sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()cos 1(cos cos 2222212222121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(222212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(222122212min v v v v y -=21cos 12==v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1121min+︒=-+︒=v d v v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max+︒︒===v t d t AB v θ。
38届物理竞赛预赛解析
38届物理竞赛预赛解析导言38届物理竞赛预赛作为一场重要的学术竞赛，吸引了众多物理爱好者的参与。
本文将对此次竞赛的题目进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握其中的物理知识。
一、第一题第一题主要考察了电路的基本知识。
题目要求根据已知的电阻值和电源电压，计算电路中的电流强度，并求出电源所消耗的功率。
解题时，我们可以根据欧姆定律和功率公式进行计算，得出最终结果。
需要注意的是，题目中提到了电源的两个端点，我们要正确判断电流的流向，以保证计算结果的准确性。
二、第二题第二题涉及到了光的折射现象。
题目给出了两个介质的折射率和入射角度，要求计算出折射角度。
在解答这道题时，我们可以运用折射定律，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。
此外，还需要注意角度的单位，确保计算过程的准确性。
三、第三题第三题是一道力学题，考察了物体在斜面上的运动。
题目给出了物体的质量、斜面的倾角和摩擦系数，要求计算物体在斜面上的加速度。
解答这道题时，我们可以运用牛顿第二定律和斜面上物体的受力分析，得出加速度的表达式，并进行计算。
需要注意的是，题目中提到了摩擦系数，我们要根据具体情况选择合适的模型进行计算。
四、第四题第四题是一道热学题，涉及到了热传导和温度变化。
题目给出了两个物体的初始温度和热传导系数，要求计算它们达到热平衡时的温度。
解答这道题时，我们可以运用热传导定律，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。
需要注意的是，题目中提到了热传导系数，我们要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
五、第五题第五题是一道电磁学题，涉及到了电场和电势能。
题目给出了电场强度和电荷间的距离，要求计算电势能的变化。
解答这道题时，我们可以运用电势能的定义和电场强度的公式，根据已知的数据进行计算，最终得出结果。
需要注意的是，题目中提到了电场强度的方向，我们要正确判断电势能的变化情况。
六、第六题第六题是一道光学题，涉及到了光的干涉现象。
题目给出了两束光的波长和相位差，要求计算出干涉条纹的间距。
高数建模比赛真题答案解析
高数建模比赛真题答案解析高数建模比赛是大学生数学建模领域中的一项重要竞赛，对于培养学生的数学建模能力和创新思维具有重要意义。
在这篇文章中，我们将从几道典型的高数建模比赛真题入手，解析其中的解题思路和求解方法。
第一道题目是关于人口增长的问题。
假设某国当前的人口数量为P0，年增长率为r。
题目要求我们计算若干年后的人口数量。
首先，我们可以列出一个递推公式来表示人口数量的变化。
每年的人口数量可以表示为Pn+1 = Pn + rPn，其中Pn表示第n年的人口数量。
可以通过迭代计算的方式，得到若干年后的人口数量。
接下来的问题是如何求解这个递推公式。
我们可以采用MATLAB等数学软件来编写一个循环程序，计算若干年后的人口数量。
首先，我们需要给出初始条件P0和增长率r。
然后，设置一个循环，逐个计算每年的人口数量，直到达到预定的年份为止。
最后，程序会输出若干年后的人口数量。
第二道题目是关于微分方程的求解。
题目描述了某一过程的速率与其自身值之间的关系。
我们需要求解这个微分方程，并列出其解析解。
首先，我们将问题转化为一个微分方程的初值问题。
对于速率与值之间的关系，我们可以表示为dv/dt = kv，其中v表示过程的速率，t表示时间，k表示比例常数。
然后，我们可以通过分离变量和积分的方法，解出这个微分方程。
最后，我们还可以根据初值条件得到具体的解析解。
接下来的问题是如何求解这个微分方程。
我们可以采用数值方法来求解。
例如，我们可以采用欧拉法或龙格-库塔法进行数值计算。
首先，我们需要给出初始条件v0、时间步长Δt和求解的时间范围。
然后，我们可以通过迭代的方式，逐次计算出每个时间点的速率值，直到达到所求解的时间范围为止。
最后，我们可以绘制出速率随时间变化的曲线图。
在高数建模比赛中，还涉及到其他类型的题目，例如概率统计问题、最优化问题等。
对于这些题目，我们可以采用不同的方法来求解。
例如，对于概率统计问题，我们可以利用概率论和数理统计的知识，运用概率分布、期望和方差等概念进行分析和计算。
奥数竞赛解题技巧
奥数竞赛解题技巧
以下是 9 条关于奥数竞赛解题技巧：
1. 嘿，要学会找关键信息呀！就像在森林里找宝藏的线索一样。
比如一道题说有几个小朋友分苹果，那人数和苹果数不就是关键嘛。
2. 哎呀，大胆去假设呀！比如说那道追及问题，咱就假设其中一个速度，就好解决多啦，你说是不是？
3. 记得灵活运用公式呀！公式就像是武器，要用对地方。
比如计算图形面积的公式，碰到相应图形就拿出来用呀。
4. 咋能忘了画图呢？这就好比给题目画一幅地图，一下子就清晰了。
像行程问题，画出路线，答案就容易找到啦。
5. 尝试多角度思考呀！别死磕一种方法，就像走迷宫，这条路不行就换条路嘛。
比如那道方程题，换个未知数试试呢？
6. 一定要细致呀！不能放过任何一个小细节，不然就像千里之堤毁于蚁穴。
那道计算的题，一个小数点可不能错哟。
7. 多积累一些特殊解法呀！这就像游戏里的隐藏技能。
比如特殊的图形规律，学会了可厉害啦。
8. 学会类推呀！看见一个题，想想以前做过的类似的，不就有思路了嘛。
那道找规律的题不就和以前做的很像嘛。
9. 心态要稳住呀！别急别慌，这可不是打仗。
就算遇到难题，咱也慢慢分析，肯定能找到办法的啦。
我的观点结论就是：掌握这些奥数竞赛解题技巧，就能在竞赛中更得心应手啦！。
二元一次方程组竞赛题集答案解析
【例1】方程组的解*，y满足方程5*-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.〔１〕由方程组消去k，得*与y的关系式，再与5*-y=3联立组成方程组求出*，y的值，最后将*，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.〔２〕把k当做数，解方程组，再根据5*-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. 〔３〕将方程组中的两个方程相加，得5*-y=2k+11，又知5*-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5*-y=2k+11.又由5*-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
〔∵两个方程等效〕 ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
〔∵两个方程是矛盾的〕 ③ 当2121b b a a ≠〔即a 1b 2－a 2b 1≠0〕时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 〔这个解可用加减消元法求得〕 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，假设要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进展。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解〔把待定系数当己知数〕，再解含待定系数的不等式或加以讨论。
〔见例2、3〕例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解【例2】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－m*，③把③代入②，得 2*+5〔4－m*〕=8，解得〔2－5m 〕*=-12，当2－5m ＝0，即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 例4. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解*和y 都是整数？ 二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
最难imo数学竞赛题
最难imo数学竞赛题
正文:
被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”的这道难题，是一道来自 2018 年国际数学奥林匹克竞赛的题目。
这道题目的难度极高，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。
这道题要求学生们解决一个二次方程的问题，其中方程的根既不是正数也不是负数，而是介于正数和负数之间的一个数。
这道题让学生感到困惑和棘手，因为通常情况下，二次方程的根应该是正数或负数。
在解决这道题的过程中，学生们需要运用一些高超的数学技巧和方法，例如求导数、积分、极值分析等。
这些技巧和方法要求学生具备深厚的数学功底和熟练的运用能力，才能够成功地解决这道题。
最终，学生们需要在给出的有限时间内，将方程的根精确地求解出来。
这道题的难度和挑战性极高，因此被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”。
拓展:
这道难题的解法并不简单，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。
一些优秀的学生可能需要数小时甚至数天的时间来解决这个问题。
在解决这道题的过程中，学生需要充分理解数学概念和方法，并且能够熟练地运用它们。
此外，学生还需要具备严谨的数学思维和解题能力，才能够成功地解决这道题。
对于参加国际数学奥林匹克竞赛的学生来说，解决这道难题是一个重要的挑战和机遇。
通过解决这道题，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高自己的数学水平和思维能力。
amc 10 2023 题目
【主题】解析AMC 10 2023年数学竞赛题目【内容】一、导言2023年AMC 10数学竞赛作为一项备受关注的数学竞赛，吸引了众多中学生的参与。
在本文中，我们将对2023年AMC 10数学竞赛的题目进行一一解析，帮助读者更好地理解和掌握其中的数学知识和解题技巧。
二、数学竞赛概况AMC（American Mathematics Competitions）是由美国数学协会（MAA）主办的一项全国性数学竞赛。
AMC 10是专门面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养其数学能力和解决问题的能力。
每年举办的AMC 10数学竞赛题目涵盖了数学中的各个领域，要求考生具有扎实的数学基础和灵活的思维能力。
三、2023年AMC 10数学竞赛题目解析1. 第一道题目题目：求下列无理数的整数部分：$\sqrt{129}+\sqrt{189}-\sqrt{144}-\sqrt{121}$解析：我们可以将每个无理数的平方根表示成对应的整数和余数的形式，然后进行合并化简，经过一系列运算，最终得到答案。
2. 第二道题目题目：设函数$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$，其中$a,b,c,d$是常数，$ad-bc\neq0$，且$c\neq0$。
若对任意实数$x$恒有$f(f(x))=x$，则$f(x)$的表达式是什么？解析：通过设定函数$f(x)$，并根据题目给出的条件，我们可以利用函数的复合运算和方程的求解，来确定$f(x)$的表达式。
3. 第三道题目题目：在平面直角坐标系中，曲线$C$的方程为$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，则曲线$C$的图像是什么？解析：通过将方程进行配方完全平方，消去一次项，得到标准方程，然后结合圆的性质，来描述曲线$C$的图像特征。
4. 第四道题目题目：若正实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$，则$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$的值是多少？解析：题目中给出的条件可以让我们有一个开始，然后我们可以通过利用分式的化简和求和规律来得出最终的结果。
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多 的思 考 ； 能 够在 探究 能力 、 学 习能力 和解 决 问题能 力方 面有 更好 的发 展 ； 能够 在责 任感 、 合 作精 神和 创 新 意识 等 方 面 得 到 提 高 ． 在 教
学 中， 有 目的地 激 发 、 培 养 学 生 的 学 习兴 趣 ，
分析 ： 上述 解 法 忽 略 了原 题 中 隐含 的一
个 条 件 ，即 ： ０＜ Ｃ Ｏ Ｓ Ａ ＋ｓ ｉ ｎ Ｂ ＜２ ， ０＜
ｓ ｉ ｎ ２Ａ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ ＜２
Ｃ
，
从 而实数 ｔ 还 必须 同时满
， ’
足 ０＜ ｔ＜２ 和 ０＜ ｔ ＜２ 这两 个条 件 ．
错 因之 一 ： 思 维定 势 。 类 似问题 学 生在 复
整式方程 的根后要代入原方程进行检验 ， 但
学生 只是 在 老师 的指 导下 从程 序上 知道 最后
要进 行 验 根 ， 很 少 有 学 生 去深 入 探 究 为什 么 要验 根 ． 转 化思 想 是 数 学 中 的一 个 重 要 思想
方法 ， 它 在解 题 中起 到 了化 繁 为简 、 化未 知 为
已知 的作 用 ． 转 化 有 等 价转 化 和 非 等 价转 化
两类 ， 对 于非 等价 转化 ， 学 生往往 受 经验 和视
・
４５ ・
２ ０ １ ５ 年 第 ３期
河北理 科教 学研 究
短 文 集锦
野 的影响 ， 很难 全面 考虑 ， 常常 把非 等价转 化 当作 等价 转 化 ． 此 题 在 消 去 ４， ， 转 化 为 关
叶 叶
生往 往不 假 思 索地 直接 用 韦 达 定 理 求 出 “ 实
数 ｔ 所有 可能 值 的和 ” ， 而 不去考 虑符 合题 意 的 ｔ 可 能 只有 一 个 或 者没 有 ， 而 这种 可 能 性 由于有 条件 的限 制是存 在 的 ． 错 因之三 ： 知 识认识 肤 浅 ． 在 初 中学 习 阶
年龄 段 的 学 生数 形 结 合 的 能力 还 不 够 强 ， 对
易想 到 常 规 的解 法 ， 而 给 出 的答 案 中 恰 恰有
错 误 的选 项 ． 当学 生看 到用 自己的 解 法 在答
案 中找 到 了 相应 的选 项 ， 往 往 会 不 加 思 索地 确信 自己 的做 法 是 正 确 的 ， 所 以出 现 了那 么
ｔ 所 有 可能 的值 的和 是 １ ， 应 该选 Ｃ． 错 因剖析 ：
一
个 普遍 出现 的错 解 ， 其 中必 然 隐含 着
某些 合 理 的思 想 和 方 法 因 素 ， 我 们 有 必要 对 产生 错 解 的 原 因 进 行 分 析 ， 从 而 提 高 解 题
能力 ．
段， 很 多 学 生对 锐 角 三 角 函数 的理 解 仅仅 局 限于 它 们 的定 义 和 在 解 直 角 三 角 形 时 的应 用， 而对 ０ ＜ ｓ ｉ ｎ Ａ ＜１ 等 本质 的东 西认 识不
完全 到 位 ． 要 真正认清 ０ ＜ｓ ｉ ｎ Ａ ＜１ 、 ０＜
此 类题 目在 初 中 数 学 复 习 中 比较 常 见 ， 解 法 也相 对 固定 ， 所 以学 生 一 眼看 上 去很 容
ｃ ｏ ｓ Ａ ＜ １等知 识 ， 不但 要 有 直角 三 角形 的 的 直观 支撑 ， 最好 有 三角 函数 图形 的配 合 ． 但 此
生 了变 化 ， 因 而是 非 等 价 转 化 ． 其 实 分 式 方
程、 根式 方程转 化 为整式 方程 时 ， 前 者 由于消 去 了分母 ， 根 的取值 范 围扩大 ； 后者 则是 因为
０
＋ ｔ一２＝ ０的两个 根 ， 选 择 符合 上述 条件
叶
的 一元二次方程寻ｔ ＋ ｔ 一 ２＝０ 时， 恰好
叶 叶
。
的根再求和． 解得 １ ＝１ ， ＝ 一 詈． 只有
：
△ ＞０ ， 正 好 与学 生 的心理 暗示 吻合 ， 所 以学
１ 满足０ ＜ 寻￡ ＜２ 和０ ＜ ￡ ＜ ２ ， 所以
叶 叶
， ’
错 因之二 ： 心 理 暗示 ． 本 题要 求 的结论 是 “ 求实 数 ｔ 所 有 可 能值 的和 ” ， 学 生 得 到 的暗
示 一般 是 “ ｔ 的可能值 在 ２ 个或 ２ 个 以上 ” ， 因
所以正确的 解法应先求出 一元二次方程寻ｔ
叶
Ｃ
此， 当把 试题 的条 件 ① 、 ② 两式 转化 为关 于 ｔ
于ｓ ｉ ｎ Ａ、 ｃ ｏ ｓ Ａ 的定 义 域 、 值 域 等 知 识 一般 只
能达 到 “ 了解 ”的程度 ， 远 未达 到 “ 理解 ” 、 “ 掌
高的错误率 ． 其实作为一道竞赛题 ， 它常常会
隐藏 玄机 ， 考 验 解 题者 思 维 的发 散 性 和解 题 的特 殊技 巧 ， 实现 选拔 人才 的 目的 ． 这种 题 目
习和 练 习 中会 经 常 遇 到 ， 其 基 本 的 思 路是 通 过消 元 ， 转化 为一 元二 次方 程 ， 再用 韦 达定 理 求 出两根 之 和或 两 根 之 积 ． 由于 已经形 成 了 思维 定 势 ， 学 生 往 往 不会 深 入 地 去 考 虑具 体
的细 节 ． 在 没有 附 加条 件 的情况 下 ， 这种 转化
２ ０ １ ５年 第 ３期
择 Ｂ．
河 北理科 教 学研 究
短 文集锦
必定 是 等 价转 化 ， 所 以 一般 情 况 下学 生 不 用 去考 虑 方程 的根 是 否符 合 题 目的 条 件 ， 答 案 也不会 错 ． 套用 这 种思 维方 式 ， 往 往会 因条 件 发生 变化 而 出现失 误 ．
用普通 的和“ 应 用 ”的程度 ．
错 因之 四 ： 转 化思 想领 悟不 深刻 ． 比如很
多学 生 知道在 解 分式 方程 、 根式 方程 时 ， 先要
把分 式 方程 、 根式 方程 转化 为整 式方 程 ， 解 出
要 么误入 歧途 ．