湖北省武汉市武昌区2013届高三五月供题训练数学理试题 Word版含答案

武昌区2013届高三年级五月供题训练理 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i -在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠” B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥ 3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则2 2侧视图俯视图判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是 A ．613B ．365C ．65D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅AC OD A ．2- B ．23-C ．21-D ．43 7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形， 侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ．167 D ．839．设点P 是双曲线22197xy-=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则P M P N -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,1222 1 1 A ． 2 1 1 B ． 2 1 1 C ． 21 1 D ．1 1 123 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………10．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyy x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍， 则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示） 14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++cb a m ++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为 OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则OB OA ⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A 、B 两种型号的客车运送旅客，A 型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B 型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表： 频 数 频 率A 型车8：00发车 25 0．25 A 型车8：20发车 m 0．50 A 型车8：40发车 25 0．25B 型车9：00发车 25 0．25 B 型车9：20发车 50 0．50 B 型车9：40发车25 n （Ⅰ）直接写出表中的m ，n 的值；（Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A 型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间ξ（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n a nnn b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列．20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上． （Ⅰ）证明：AM ⊥PN ；（Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+yx的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．A B CN MPA 1B 1C 1武昌区2013届高三年级五月供题训练理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14．5+ 15． 553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )在x ＝π处取最小值， ∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．由f (A )＝32，得cos A ＝32． ∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴sin B ＝22． ∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分（ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭， ()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ 103050 70 90P12 1411618116∴111111030507090302416816E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为d （d ≠0），由题意，知2371a a a =⋅，65=a ．于是⎩⎨⎧=++=+.64,)2()6(12111d a d a d a a解得1,21==d a ．1+=∴n a n ．………………………………………………………4分（Ⅱ）∵1n a n =+， ∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．要使数列{}n b 为递增数列，则n n b b >+1(*n ∈N ）恒成立．∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使数列{}n b 为递增数列．…………………………………12分20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则)1,0,0(1A ，)1,0,1(1b ，)21,1,0(M ，)0,21,21(N ． 由题意，可设)1,0,(λP ． （Ⅰ）∵)21,1,0(=AM ，)1,21,21(--=λPN ， 021210=-+=⋅∴PN AM ．∴ AM ⊥PN ．………………………6分（Ⅱ）设),,(z y x n =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=NM ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n PN n NM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++-,021)21(,0212121z y x z y x λ得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.322,321x z x y λλ 令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ， ∴)22,21,3(λλ-+=n ．若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<n m ,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得0131042=++λλ．∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解．∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为)0,2(F ．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=．代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ．设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+．因为点F 始终在以线段AB 为直径的圆内， AFB ∠∴为钝角．又),2(11y x FA -=，),2(22y x FB -=，0<⋅∴FB FA ，0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ，034))(32(422121<++++-∴mx x m x x ．因此043632<--m m ，321418321418+<<-∴m ．综上，实数m 的取值范围是)321418,321418(+-．（Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y yλ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=．于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ．AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立， 所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020mxx mm x解得20-=x ，2=m ．所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切．…………13分22．解：（Ⅰ）()x x f ln 1+='．由()0>'x f ，得e1>x ；由()0<'x f ，得e10<<x ．∴()f x 在)e1,0(单调递减；()fx 在),e1(+∞单调递增．()fx ∴在e1=x 取最小值e1)e1(-=f ．………………………………………………4分（Ⅱ）令()()()()112112g x p f x p f x f p x p x =+-+，不妨设12x x x ≤≤， 则()()()22112g x p f x p f p x p x '''=-+．0111211≤-=-+x p x p x x p x p ， x x p x p ≤+∴211．而()1ln f x x '=+是增函数，()()112f x f p x p x ''∴≥+．()()()221120g x p f x p f p x p x '''∴=-+≥，所以()g x 在[]12,x x 是增函数．∴()()210g x g x ≥=，即()()()112211220p f x p fx fp x p x +-+≥．∴()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．………………………………8分（Ⅲ）先证明()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++ ． 当2n =时，由（Ⅱ）知不等式成立．假设当n k =时，不等式成立，即()()()()11221122k k k k p fx p fx p fx fp x p x p x +++≥+++ ．当1n k =+时，()112211k k k k fp x p x p x p x ++++++()1122111111k kk k k k p x p x p x f p p x p ++++⎛⎫+++=-+ ⎪-⎝⎭()()1122111111k k k k k k p x p x p x p f p fx p ++++⎛⎫+++≤-+ ⎪-⎝⎭()()()()()1121121111111111k k k k k k k k p p p p fx fx fx p fx p p p ++++++++⎡⎤≤-++++⎢⎥---⎣⎦()()()()11221111k k k k p fx p fx p fx p fx ++++=++++ ．所以，当1n k =+时，不等式成立，()()()()11221122n n n n p fx p fx p fx fp x p x p x ∴+++≥+++ ．由（Ⅰ）()f x 在),e1(+∞上单调递增，因此()f x 在),e (+∞上也单调递增．e 2211≥+++n n x p x p x p ，e e)()(2211=≥+++∴f x p x p x p f n n ．∴e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ． ……………………………14分。