2015年湖北数学高考卷 理科(含答案)
15年高考真题——理科数学(湖北卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为虚数单位，（ ） （A ） （B ） （C ）1 （D ）i 607i=i i -1-2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系()1nx +数和为（ ） （A ）（B ）122112（C ） （D ）102924．设，，这两个()211,X Nμσ:()222,Y N μσ:正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） （A ）()()21P Y P Y μμ≥≥≥（B ）()()21P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数，t ()()P X t P Y t ≤≥≤（D ）对任意正数，t ()()P X t P Y t ≥≥≥5．设，，若：成等比数列；12,,,n a a a R ∈ 3n ≥p 12,,,n a a a ：，则（ ）q ()()()22222221212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ （A ）是的充分条件，但不是的必要条件p q q （B ）是的必要条件，但不是的充分条件p q q （C ）是的充分必要条件p q （D ）既不是的充分条件，也不是的必要条件p q q 6．已知符号函数，是上的增函数，()()()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x R ，其中，则（ ） （A ）()()()g x f x f ax =-1a >()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦（B ）()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦（C ）（D ）()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦7．在区间上随机取两个数，记1p 为事件“”的概率，2p 为事件[]0,1,x y 12x y +≥“”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）1||2x y -≤12xy ≤（A ）123p p p << （B ）231p p p <<（C ）312p p p <<（D ）321p p p <<8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加1e 1C a ()b a b ≠个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） （A ）对任意的，()0m m >2e 2C ,a b 12e e >（B ）当时，；当时， （C ）对任意的，a b >12e e >a b <12e e <,a b 12e e <（D ）当时，；当时，12e e >a b >12e e <a b <9．设集合，(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈，定义集合(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，则中元素的个数为（()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈A B ⊕） （A ）77 （B ）49（C ）45（D ）3010．设，表示不超过x 的最大整数。
2015年湖北数学高考卷理科含问题详解
实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.607的共轭复数为．为虚数单位，1ii．．．．A．B．C．1D．i1i??2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石n的展开式中第4项与第83．已知项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为)(1?x1211109．D．B．A ．C 2222实用文档22????．设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是，4)XN(N,Y(),2211??A．)Y?)?P(P(Y?12??．B)?)?P(P(X?X12，C．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t，D．对任意正数t)?t)?P(YP(X?t 题图第4p 成等比数列；，5．设.：若3n?a,,a,a,a?Ra,a,n121n22222222q：，则)a?a?)(aa??a(aa?)(?aa?a?a??an1231n223n?1?2n1qpq是的必要条件的充分条件，但不是A．qpq是的充分条件的必要条件，但不是B．qp C．的充分必要条件是qpq既不是的必要条件的充分条件，也不是D．0,x?1,??0,x?x?0,sgn上的增函数，．已知符号函数，则是61)(a?x)?f(f(x)ax)g(x)?f(R??0.x??1,?．B．A x??sgnsgn[g(sgn[g(x)]?sgnxx)]．C．D)]f(x(x)]?sgn[g(x)]sgn[f(x)]??sgn[sgn[g11”的为事件“”的概率，7．在区间上随机取两个数，记为事件“yx,1][0,pp?y||x?y?x?21221为事件“”的概率，则概率，p?xy 32A．B．p?p?p?p?pp332121．C．D pp?p?p??pp231123同时增加个单位的双曲线8．将离心率为的实半轴长和虚半轴长0)m(mb(a?b)?aCe11的双曲线，则长度，得到离心率为Ce22时，；当B．当时，，A．对任意的baa?b?ba,ee?ee?ee?221121时，．当C．对任意的，时，；当D ba?ba?eee?ee?e?ba,21122122}?Z2,x,y|?2,|y|?yB?{(x,)|x}y?1,x Z y?,,A?{(xy)x?，定义集合9．已知集合，}B)?,(x,yA(,{(x?xy?y)x,y)??AB?中元素的个数为，则B?A212211213045 D．77 B．49 C．A．n2x，若存在实数的最大整数. ，使得，…，表示不超过，．设10n]?[t]?2[tt R?x1[?t[]x]，则正整数同时成立的最大值是n．．．．6 ．．．．A3 B4 C5 D实用文档分．请将答案填在答题卡对应分，共25二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5．．．．．题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．．．14题）（一）必考题（11—．，则11．已知向量，3?||OA??OA?ABOBOAπx2 12．函数的零点个数为．|ln(x?1)f(x)?4cos2sincos(?x)?x?|22 D的处时测得公路北侧一山顶在西偏北．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到1330A，则此山的高度方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为3075Bm.?CD yBDCN M AC O x TBA第13题图题图第14AB的上方），与14．如图，圆与轴相切于点轴正半轴交于两点（，在yB,AC0)(1,Tx2AB?．且；（Ⅰ）圆的标准方程为C．．22两点，下列三个结论：任作一条直线与圆相交于（Ⅱ）过点1x?y?O:NM,ANBNBMANAMAMA．；①②；③2????22?MBNBMBMBNANA其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）P AAPBC是圆的割线，是圆的切线，如图，为切点，BPC AB . 且，则PBBC?3?AC A16．（选修4-4：坐标系与参数方程）第15题图xOyOxl的极坐标方已知直线以在直角坐标系中，为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.实用文档1?x?t?,??t tlCABC???,两程为为参数) ，，曲线相交于( 的参数方程为与0)??3cos(sin?1?y?t??t?点，则 .?||AB三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）π????在某一个周期内的图象某同学用“五点法”画函数)0,|x??)(|?(fx)?Asin(2时，列表并填入了部分数据，如下表：π3π???x0 π2π22ππ5x63??)?Asin(x 55?（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解)xf(．．．．．．．．．．．析式；??个单位长度，得到的图图象上所有点向左平行移动（Ⅱ）将)xy?fy?(x)g(?0)(5π?的最小值. . 象若，求图象的一个对称中心为)gy?(x0),(12实用文档18．（本小题满分12分）dnq．已知，，，项和为等比数列的公比为设等差数列的公差为，，前d?q2a?{a}bb{b}?S21n1nn．100S?10（Ⅰ）求数列，的通项公式；}{{a}b nn a n n项和．时，记，求数列的前（Ⅱ）当?c1?dT{c}nnn b n 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．P底面，中，侧棱如图，在阳马ABCD?PABCD?PD于作交的中点且，过棱，PCPD?CDPBEFE?PBE点，连接F.,BE,DF,BDDEF．试判断四面体是（Ⅰ）证明：DEF平面PB?DBEF（只需写否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角CD；若不是，说明理由；出结论）π，（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF3BADC 19题图第求的值．BC分）（本小题满分1220．小12吨，使用设备某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶BA,A元．要求每小时，获利12001.5吨产品需鲜牛奶吨，使用设备1.5时，获利1000元；生产1B. 12小时2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过天产品的产量不超过产品产量的BA,AB W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为假定每天可获取的鲜牛奶数量W18 12 15 P0.20.3 0.5（单位：元）该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z 是一个随机变量．的分布列和均值；（Ⅰ）求Z元的概100001天的最大获利超过3（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求天中至少有率．分）（本小题满分1421．NOMNON处铰链与转动，长杆可绕所示．一种作图工具如图1是滑槽的中点，短杆通过OAB ABDDONMNAB 内作上的栓子在滑槽可沿滑槽，滑动，且．当栓子连接，3MN??DN?ON1DNCMN也不动）不动时，处的笔尖画出的曲线记为．以为绕转动一周（带动往复运动时，，OO．．原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．ABx实用文档C的方程；（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线llQP,0l:x?2yxl:?2y?0?21OPQ的面积是否存在最小值？若有且只有一个公共点，试探究：△总与曲线C存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．yNNBOAD O x DM M2题图1第第21题图2114分）22．（本小题满分1n，e为自然对数的底数．的各项均为正数，已知数列}a{)a(n?b?n(1?)N n?nn n1xn与e的大小；（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较e?f(x)?1x?)(1?nbbbbbbbbb n22131211的公式，并给出证明；，由此推测计算（Ⅱ）计算，，aaaaaaaaa n312212111（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.)aac?(anSe?}}a{{cTST nn21nnnnnnn实用文档绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案分）50小题，每小题5分，共一、选择题（本大题共101．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）．12．2 1311．96100122．；（Ⅱ）①②③14．15（Ⅰ）．1622)?1)??(y(x?522三、解答题（本大题共6小题，共75分）分）（1117．π??. 数据补全如下表：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得??2,?A?5,6??0 Eπ2πF3π2Eπ2π且函数表达式为.)??5sin(2xf(x)6ππ?.，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知)2?)x?5sin(2x(x)?5sin(2x?)?g(f66因为的对称中心为，. Z?k0),ksiny?xπ(πππk??，，解得令 .Zk????kπ?x?2x?26212ππ5πk5π?，由于函数的图象关于点成中心对称，令)y?g(x??(,0)?1221212πππk???取得最小值时，. 由.可知，当解得，1k?Zk?0???23618．（12分）10a?45d?100,2a?9d?20,??11（Ⅰ）由题意有，即??ad?2,ad?2,??11实用文档1?9,a?79),?a?(2n??1,n?a?2?1,a?1n????9n1故解得或或????21n?22,d?.2b?.?d?????1n?.()b?9?n9? n?9?1n?21?n，于是，故，知（Ⅱ）由，2b?1d?1n?a?2?c nnn1n?21n?35792①，???T?1???n1n?23422222935n?11712. ②????T???n532n42222222②可得①-12n?12n?3111，??3?????T?2nn?22nn2222222n?3.故T??6nn?12分）1219．（）（解法1（Ⅰ）因为底面，所以，BCABCD?PD?PD由底面为长方形，有，而，D?PDCDCDBCABCD?所以. 而，所以. DEBC?PCDBC?平面平面DEPCD?又因为，点是的中点，所以. PCDEPC?CD?PDE而，所以平面. 而，所以. CPCBC?PBCDE?PBDE?PBCPB?平面，所以平面.又，DEEF?EEFPB?PBDEF?由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，PBCBDEFPB??DEDEF即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. DFB?EFB，?DEF，?DEB?，BDEF（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面ABCDDGPBCBCGDEFFE的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. DGPB?DEF平面PB?又因为底面，所以. 而，所以.PPDPB?DGABCD?PD?PDPBD平面DG?故是面与面所成二面角的平面角，ABCDDEFBDF?2???1BD?，设，，有?BCPD?DC?1πPDB, 得, 由在Rt△, 中PB?DF??FDB?DPF?3πBD2??. 解得则, 2?3tanDPFtan?????1?3PD实用文档2DC1所以.???2BCπ2DC所成二面角的大小为与面时，. 故当面ABCDDEF?2BC3）（解法2设分别为为原点，射线轴的正半轴，建立空间直角坐标系. （Ⅰ）如图2，以zx,y,DPDA,DC,D???的，则，，点是，1),1,PB?(?PC?PD?DC?1BCP(,0,,0,0,1)(,B1,0))(0,1,0CD(0,0),E1111中点，所以，，),,)DE(0,E?(0,2222. ，即于是0?PB?DEDE?PB.，而，所以又已知EDEEF?PB?EFDEFPB?平面., 因, 则, 所以1)?PC?(0,1,0PC?DE?PCDE?PBC平面DE?由的四个面都是直角三角形，，平面，可知四面体平面PBCBDEFPB?DEFDE?.是一个鳖臑，其四个面的直角分别为即四面体DFB?DEF，?EFB，?DEB，?BDEFzPP219题解答图第19题解答图1第，所以（Ⅱ）由是平面的一个法向量；1)?(0,0,DPABCDABCD?平面PD?1)??,BP1,?(. ，所以由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量DEFDEF?PB平面π，若面与面所成二面角的大小为ABCDDEF31π1DP?BP??cos?则，23||DP?BP||2?2?21DC ? . 解得所以2?.???2BC实用文档π2DC. 所成二面角的大小为时，故当面与面ABCDDEF?2BC3分）20．（12（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有yx,BA,z2x?1.5y?W,??x?1.5y?12,?（1）?2x?y?0,??x?0, y?0.?目标函数为．yx?1200z?1000yyy1210888(3,6)B(3,6)B(2.4,4.8)B(6,4)C12(0,0)A12C(6,0)xA(0,0)(7.5,0)(9,0)xDCOO12(0,0)AxO3题解答图第202题解答图第201 题解答图第20当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．12W?(6, 0)CA(0, 0), B(2.4, 4.8),5z将变形为，y1000x?1200z??xy??612005zy轴上的截距最大，在当时，直线：l4.8y?x?2.4, ??xy?61200最大获利．8160?1200??z?2.4?10004.8Z?max当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．15W?(7.5, 0)B(3, 6), CA(0, 0),5z将变形为，y1200xz?1000???xy?612005z当时，直线：在轴上的截距最大，yl6?x?3, y?y?x?61200最大获利．10200?6?1200?Z?z?31000?max当时，（1）表示的平面区域如图3，18W?四个顶点分别为.(9, 0)D(3, 6), C(6, 4), A(0, 0), B5z将变形为，y1200z?1000x???xy?612005zy轴上的截距最大，：当时，直线在l4y?x?6,?xy??61200最大获利．10800?1200?46?Zz??1000?max故最大获利的分布列为Z8160 1020010800 Z0.20.50.3 P实用文档因此，9708.10800?0.2??8160?0.3?10200?0.5?E(Z)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率0.7??0.2p?P(Z?10000)?0.51元的概率为天中至少有1天最大获利超过10000由二项分布，3 330.973.1?0.3??1?(1?p)?p1．（14分）21 （Ⅰ）设点，，依题意，2)?D(t,0)(|t|),y(x,y),M(xN00，且，1|?|DN|?|ONDN?2MD yPND xOQM21题解答图第22?1,?y?(x?t)?00所以，且)y?2(x?t,?(t?x,y)?00221.?y?x??00,2t2t?x?x??0即且0.?(t?2x)t?0.2yy???0 0，由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于tND22yxyx22，，代入于是，故，可得1?y?xx?2t1???x?,y?000004162422yx的方程为即所求的曲线C1.??4161. ，都有）当直线的斜率不存在时，直线为或（Ⅱ）（14?xx?4?ll84?4?S??OPQ?212）当直线的斜率存在时，设直线，（l)??:y?kx?m(kl2,?kx?my?222. 由消去，可得y0168kmx?4m(1?4k?)x???2216,4y?x??总与椭圆有且只有一个公共点，因为直线Cl2222220?m64k16)m?4(1?4k?)(4??，即①所以. 4k?m?16,my?kx??mmmm?22.；同理可得又由可得),Q)P(,(?0,y?x?2k1?22k1?2k1?21?k?||m2的距离为和，可得由原点到直线O|xx1|PQ|??k?|PQ?dQP2k1?2m222mm111?|PQ|?Sd?|m||x?x|??|m|??. ②Q?OPQP2k412121222?k?k?实用文档21k?42m2. 将①代入②得，8?S?OPQ?22k?4114k?212?4k12当时，；8?)?8(1?)S?8(?kOPQ?2214k?4k?142124k1?2.时，当)?8(?1?S?8()?k0?OPQ?22k1k?41?4421222，所以，则因，，1k?0?1?481?)??2S0?k??8(?OPQ?22kk4141??4.当且仅当时取等号0k?S8.的最小值为所以当时，0k?OPQ?OPQ8.的面积取得最小值在四个顶点处相切时，△）（2）可知，当直线与椭圆综合（1Cl分）22．（14x?.，（Ⅰ）的定义域为e1?(x)f?)??(??,f(x)?，即时，单调递增；当0x?))(x?0xf(f?.时，单调递减当，即0?x)f(xx)?0f(. 的单调递增区间为，单调递减区间为故)??,0)??f(x)(0,(x. 时，当，即ex??10?x0?f(0)?f(x)1111n . ①令，即，得e?1?ex?)?(1?n nnnbbbbb11222121112（Ⅱ）；；3???1)?2?2(1??)1?1??2)??(2??1(12a1aaaa21211bbbbbb133********. 4?(3?3??3(1?)1)???3aaaaaa312213bbb nn21②由此推测：.1)(?n?aaa n12.下面用数学归纳法证明②. ，②成立1）当时，左边右边（?1n?2?bbb kk12. 时，②成立，即（2）假设当k?n1)k?(?aaa k1211k?时，当，由归纳假设可得1?n?ka1)(1?)(b?k?1k?k?11k?bbbbbbbb11??1kkk1k2k12kk?1?1. 2)??1)(1?)?(k1)??(k??(k1kaaaaaaaa?1k?k?12kk112.所以当时，②也成立1?n?kn. 都成立21）（），可知②对一切正整数根据（几何平均不等式，的定义及①得（Ⅲ）由的定义，②，算术-bc nn1111)aa(?)aaa?)a()a(?a(?a??c?c??cT?c n321n11112223n321n实用文档1111)(bbbb(bb))(bb)(b n321n32112211?????14?n23b?b?b?b?bb?bb?bn12312211?????1)n4??22n?3(3?11111111??????b[?b][?]???b2n14?122?33nn(?1)3?1)?n(n(1)n?2?n11111)?b?b(1?(()?b?)??n211?nn1n?2n?1bbb11121nn21?a?))?(1???a)a????(1(1?2n12n21n1.???eaa?eaeS?e2nn1.即SeT?nn。
2015高考数学真题 湖北理科解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题解析1．解析 6074151332i i i i i i ⨯+===⋅=-，其共轭复数为i .故选A . 评注 考查复数的四则运算及共轭复数的概念. 2．解析 设这批米内夹谷x 石，则281534254x =，得153428169254x ⨯=≈石.故选B .评注 考查用样本估计总体.3．解析 由条件知37C C n n =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=，故选D . 评注 考查二项式系数及二项式系数和.4．解析 由正态分布的性质知正态分布2(,)N ξμσ~中,x μ=为密度曲线的对称轴，σ 越小密度曲线越“高廋”，由图知1212,μμσσ<<. 由图（1）得121()()P Y P Y S μμ-=厖，A 错； 由图（2）得212()()P X P X S σσ-=剟，B 错；当20t μ<…时，由图（3）得1()()2P X t P Y t >剠 , 当2t μ>时，由图（4）得10()()2P X t P Y t <<<厖, 从而()1()1()()P X t P X t P Y t P Y t =->-=剠>厔,故选C . 评注 考查正态分布密度曲线的特征.5．解析 由柯西不等式知22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++++++…，当且仅当存在常数K 使得1(1)i i a Ka i +=…时取等号. 若12,,,n a a a 成等比数列，则存在常数1=()K q q为公比使得1(1)i i a Ka i +=…，即p q ⇒；当i =0a 时，1(1)i i a Ka i +=…，此时12,,,n a a a 不成等比数列，即q 不能推出p ，故选A .评注 考查等比数列的判定、柯西不等式及充分条件与必要条件等知识.6．解析 ()f x 是R 上的增函数，当1a >时，若0x >，则ax x >，()()f ax f x >，()0g x <； 若0x =，则ax x =，()()f ax f x =，从而()0g x =；若0x <，则ax x <，()()f ax f x <， 从而()0g x >.故选B.评注 考查函数的单调性、分段函数等知识及分类讨论的思想方法. 7．解析 123,,p p p 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B .也可作如下的计算： 由图（1）得11117=12228p -⨯⨯=；由图（2）得21113=122224p -⨯⨯⨯=；由图（3）得111312211111ln 2=1d ln 222222p x x x ⨯+=+|=+⎰. 三个值比较得231p p p <<，故选B .评注 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.8．解析 2222221222()()()()()()a b a m b m b b m m b a e e a a m a a m a a m +++++--=-=++++， 当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b <时，22120e e ->，12e e >.故选D .图1图2图3评注 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法. 9．解析 如图，集合B 有25个元素(点)（构成中间的正方形），{(0,0),(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A =--.当11(,)(0,0)x y =时，121222(,)(,)x x y y x y ++=，共25个点； 当11(,)(1,0)x y =-时，左边增加5个点；当11(,)(0,1)x y =，11(,)(1,0)x y =，11(,)(0,1)x y =-时，上 面、右边、下面各增加5个点.则A B ⊕中元素中共有254545+⨯=个点，故选C . 评注 考查集合与计数原理的相关知识，属新定义题型.10．解析 解法一：由已知可得，12t <…，223t < (1)12223t ⇒<?；334t < (1)13334t ⇒<…；445t < (1144)45t ⇒<?.)11111133332223341,2,,34,⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎡⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭= ,而11111133344434,,455,3⎡⎫⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭=. 当5n =时，556t < (1)15556t ⇒<….但1135536363<⇔<，所以11555,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭11343,5⎡⎫=⎪⎢⎪⎢⎣⎭∅ 所以正整数n 的最大值是4.故选B .解法二：由[]1t =， 2[]2t =，…，5[]5t =，得21t <…①，232t <…②，343t <…③，454t <…④，565t <…⑤，前4个不等式之间无矛盾，即存在t 同时满足①②③④. 由②③得5612t <6 ，与⑤矛盾，所以正整数n 的最大值是4.故选B . 评注 考查归纳推理与不等式的性质. （一）必考题（11～14题）11．解析 因为，所以0OA AB ⋅=，即 ()0O A O B O A ⋅-=， 22239OA OB OA OA ⋅====，故填9.评注 考查向量垂直的条件、平面向量的线性运算及向量的模与数量积的运算. 12.解析 2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+=2(1cos )sin 2sin |ln(1)|sin 2|ln(1)|x x x x x x +--+=-+，()f x 的零点个数即函数sin 2y x =与函数|ln(1)|y x =+的交点个数，OA AB ⊥因为(sin 2)'2cos2x x =，1(ln(1))'1x x +=+， 所以0(sin2)'2cos02x x =∣==，(ln(1))'1x x =0+⎪=，又5πln(1)14+>， 所以函数sin 2y x =与函数|ln(1)|y x =+的草图如图所示，两个函数图像有2个交点，所以函数()f x 有 2个零点.评注 考查诱导公式，二倍角的正弦、余弦公式，函数的零点及导数的几何意义等知识. 13．解析 在△ABC 中，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =tan 30CD BC ︒==，所以CD =. 评注 考查正弦定理在测量中的应用.14．解析（1）由条件可设圆C 的标准．．方程为222(1)()x -+y -r r =(r 为半径)，因为2AB =，所以r C 的标准．．方程为22(1)(2x +y -=. （2）在22(1)(2x +y -=中，令0x =得1),1)A B , 因为N 在圆22:1O x y +=上，所以由三角函数的定义可设(cos ,sin ),N θθ从而NA NB1==.同理1MA MB=，故NA MA NBMB=，1)2NB MA NAMB-=，1)NB MANA MB+==所以正确结论的序号是①②③.评注考查圆的标准．．方程的求法，三角函数的定义和同角公式.（二）选考题15．解析因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线.由切割线定理知，()2PA PB PC PB PB BC=⋅=+，因为3BC PB=，所以224PA PB=，即2PA PB=.由△△PAB PCA∽，所以12AB PBAC PA==.故填12.评注考查切割线定理.16．解析因为()sin3cos0ρθθ-=，所以sin3cos0ρθρθ-=，所以30y x-=，即3y x=；由11ttx ty t-+⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，消去t得224y x-=.联立方程组2234xyyx-=⎧=⎪⎨⎪⎩，解得xy⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩或xy⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩，即22A⎛⎝⎭，22B⎛--⎝⎭，故AB=评注考查极坐标方程、参数方程与普通方程的转化与两点间的距离.17.解析（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6Aωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知 ()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()π5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()sin f x x =的对称中心为()π,0,k k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ,23k k θ=-∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 评注 考查“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数图像的平移变换，三角函数的性质等知识. 18．解析（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n na nb -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得，221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-. 评注 考查等差数列、等比数列通项公式和错位相减法求数列的前项和. 19．解析 解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . 而DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB ⊂平面PBC ，所以PB DE ⊥.π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><n又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠. （2）如图1，在平面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线. 由（1）知，PB ⊥平面DEF ，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PDPB P =，所以DG ⊥平面PBD .故BDF ∠是平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则πtantan 3BDDPF PD=∠==解得λ=所以1DC BC λ==. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =. 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D x y z -. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF .因为(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB ∠，DEF ∠，EFB ∠，DFB ∠..F P ED CB AG图(1) 图(2)（2）由PD ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量； 由（1）知，PB ⊥平面DEF ，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3， 则π1cos32||||BP DP BPDP λ⋅===⋅，解得λ=所以1DC BCλ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =. 评注 考查四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，及二面角的求法. 20.解析（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪⎩………厖① 目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+， 当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，图3()图2()图1()当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大， 最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利Z 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973P p =--=-=.评注 考查线性规划，分布列、均值与二项分布. 21.解析（1）设点(,0)(||2)D t t …，00(,),(,)N x y M x y 依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=， 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （2）（i ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482△OPQ S =⨯⨯=. （ii ）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214△OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k =⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441△OPQk m S k k +==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141△OPQ k S k k +==+>--；当2104k <…时，2224128()8(1)1414△OPQ k S k k +==-+--. 因为2104k <…，则20141k <-…，22214k -…，所以228(1)814△OPQ S k=-+-…，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，△OPQ S 的最小值为8.综合（i ）（ii ）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 评注 考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系以及函数最值的求法. 22.解析（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-. 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<. ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（i ）当1n =时，左边=右边2=，②成立.专注数学 成就梦想 （ii ）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k k k b b b k a a a =+. 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.根据（i ）（ii ），可知②对一切正整数n 都成立. 即()11*22(1),n n nb b b n n a a a =+∈N . （3）由nc 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131*********()()()()n n a a a a a a a a a ++++ 111131212312112()()()()2341n n b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++++++⨯⨯⨯+… 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <. 评注 考查导数的应用，数学归纳法，基本不等式与数列的相关知识.。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年高考真题数学试题(广东+湖北卷-含答案解析)
1, x 0,
sgn x 0, x 0,
6．已知符号函数
1, x 0.
f (x) 是 R 上的增函数， g(x) f (x) f (ax) (a 1) ，则
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． 212
B． 211
C． 210
D． 29
4．设 X
~ N(1,
12 ) ，Y ~ N(2,
2 2
)
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1． i 为虚数单位， i607 的共轭复数为
A． i
B． i
C．1
D． 1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
A B { ( 1x 2x, 1y 2y) ( 1x, 1y) A, (2x ,2y ，) 则BA} B 中元素的个数为
A．77
B．49
C．45
D．30
10．设 x R ，[x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ，使得[t] 1，[t2 ] 2 ，„， [tn ] n
2015年湖北省高考数学试卷理科
2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）5．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t 为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．5．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．8．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．10．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）已知向量⊥，||=3，则•=9．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．12．（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为2．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t 为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为．=，（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，可得S△OPQ将①代入②得S=||=8||，△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当k2＞时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），当0≤k2＜时，S△OPQ∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，△OPQ的最小值为8，∴当k=0时，S△OPQ综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x．取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n．【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．第31页（共31页）。
高考真题-2015年湖北省高考数学试卷理科
第1页（共31页） 2015年湖北省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A．212 B．211 C．210 D．29 4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t） 5．（5分）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（ ） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 第2页（共31页）
6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）] 7．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，
2015年湖北省(理科)高考数学真题试题(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔把答题卡上试卷类型A 后方的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）A.iB.-iC.1D.-12.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷（ ）A.134石B.169石C.338石D.1365石3.已知nx ）（+1的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122B.112C.102D.924.设N X ~（1μ，21σ），N Y ~（2μ，22σ），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ） A.P (2μ≥Y ）≥ P (1μ≥Y ） B.P (2σ≥X ）≤ P (1σ≥X ）C.t ∀＞0，P (t X ≤）≥ P (t Y ≤）D.t ∀＞0，P (t X ≥）≥ P (t Y ≥）第4题图5.设1a ，2a ，…n a R ∈，3≥n .若p ：1a ，2a ，…n a 成等比数列；q ：（212221-+++n a a a ）（22322n a a a +++ ）=（n n a a a a a a 13221-++ ）2则（ ）A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧〈-=〉=0,10,00,1sgn x x x x ，)(x f 是R 上的增函数，)1)(()()(〉-=a ax f x f x g，则（ ）A.[]x x g sgn )(sgn =B.[]x x g sgn )(sgn -=C.[][])(sgn )(sgn x f x g =D.[][])(sgn )(sgn x f x g -= 7.在区间[]1,0上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“21≥+y x ”的概率，2p 为事件“21≤-y x ”的概率，3p 为事件“21≤xy ”的概率，则（ ）A.1p ＜2p ＜3pB.2p ＜3p ＜1pC.3p ＜1p ＜2pD.3p ＜2p ＜1p8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b （b a ≠）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率2e 为的双曲线2C ，则（ ）A.对任意的a ，b ，1e ＞2eB.当a ＞b 时，1e ＞2e ；当a ＜b ，1e ＜2eC.对任意的a ，b ，1e ＜2eD.当a ＞b 时，1e ＜2e ；当a ＜b ，1e ＞2e 9.已知集合{}Z y x y x y x A ∈≤+=,,1),(22,{}Z y x y x y x B ∈≤≤=,,2,2),(,定义集合{}B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕),(,),(),(22112121,则B A ⊕中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.3010.设R x ∈,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ，使得[]1=t ，[]22=t ，…，[]n t n=同时成立，则正整数的最大值为（ ）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11-14题）11.已知向量→OA ⊥→AB ，3=→OA ，则=⋅→→OB OA .12.函数)1ln(sin 2)2cos(2cos 4)(2+---=x x x x x f π的零点的个数为 . 13.如图一辆汽车在一条水平的公路上向正西方行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上,行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD= m.14.如图，圆C 与x 轴相切于)0,1（T ，与y 轴正半轴交于两点A 、B （B 在A 的上方），且2=AB .(Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O ：122=+y x 相交于M 、N 两点，下列结论： ①MBMA NBNA =；②2=-MBMA NANB ；③22=+MBMA NANB .其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC=3PB ，则=ACAB. 第13题图第14题图ABCDxOyTC NAMB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为0)cos 3sin =-θθρ（，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.1,1t t y tt x（t 为参数），l 与C 相交于A 、B 两点，则=AB .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数ωϕω)(sin()(+=x A x f ＞0，ϕ＜2π）在某一个周期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）将)(x f y =图像上所有点向左平行移动θθ（＞)0个单位长度，得到)(x g y =的图像.若)(x g y =的图像的一个对称中心为)0,125(π，求θ的最小值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11a b =，22=b ，d q =，10010=S .（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当d ＞1时，记nnb ac =n ，求数列{}n c 的前n 项和n T . ϕω+x0 2π π23π π2x3π 65π)sin(ϕω+x A5-5第15题图APBC《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马ABCD P -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且CD PD =，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE .(Ⅰ）证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为3π，求BCDC的值.20.（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A 、B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A 、B 两种产品时之和不超过12小时.假定每天可获取得鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量.（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.第19题图B A D F E CP一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动， 且DN=ON=1，MN=3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动是，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C.AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线02:1=-y x l 和02:2=+y x l 分别交于P 、Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.第21题图① 第21题图② 22.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，)()11(+∈+=N n a nn b n n n ，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数x e x x f -+=1)(的单调区间，并比较n n)11+（与e 的大小； （Ⅱ）计算11a b 、2121a a bb 、321321a a a b b b ，由此推测计算nn a a a b b b 2121的公式，并给出证明；（Ⅲ）令nn n a a a c 121)( =，数列{}n a 、{}n c 的前n 项和分别记为n S 、n T ，证明：n T ＜n eS .B A D O M N x D O M N y。
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数 学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，607i的共轭．．复数．．为 A．i B．i C．1 D．1 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3．已知(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A．122 B．112 C．102 D．92 4．设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A．21()()PYPY B．21()()PXPX C．对任意正数t，()()PXtPYt D．对任意正数t，()()PXtPYt
5．设12,,,naaaR，3n. 若p：12,,,naaa成等比数列； q：22222221212312231()()()nnnnaaaaaaaaaaaa，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx ()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa，则 A．sgn[()]sgngxx B．sgn[()]sgngxx C．sgn[()]sgn[()]gxfx D．sgn[()]sgn[()]gxfx
7．在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“1||2xy”的
概率，3p为事件“12xy”的概率，则 A．123ppp B．231ppp C．312ppp D．321ppp 8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位 长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则 A．对任意的,ab，12ee B．当ab时，12ee；当ab时，12ee C．对任意的,ab，12ee D．当ab时，12ee；当ab时，12ee 9．已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合
12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30 10．设xR，[]x表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn 同时成立．．．．，则正整数n的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6
第4题图 二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．
题号．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14题） 11．已知向量OAAB，||3OA，则OAOB ． 12．函数2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx的零点个数为 ． 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.
14．如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方）， 且2AB． （Ⅰ）圆C的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：
①NAMANBMB； ②2NBMANAMB； ③22NBMANAMB． 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线， 且3BCPB，则ABAC .
16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方
第13题图 第14题图
AB
C
Dx O
y
T C N A M
B
第15题图 APBC程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为1,1xttytt ( t为参数) ，l与C相交于A,B两点，则||AB . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分） 某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0
π
2 π 3π
2 2π
x π3 5π
6
sin()Ax 0 5 5 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解 析式； （Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图
象. 若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值. 18．（本小题满分12分） 设等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，等比数列{}nb的公比为q．已知11ba，22b，qd，
10100S． （Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；
（Ⅱ）当1d时，记nnnacb，求数列{}nc的前n项和nT．
19．（本小题满分12分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD， 且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于 点F，连接,,,.DEDFBDBE （Ⅰ）证明：PBDEF平面．试判断四面体DBEF是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，
求DCBC的值． 20．（本小题满分12分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,AB两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （Ⅰ）求Z的分布列和均值； （Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分） 一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
第19题图 BADFECP（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分） 已知数列{}na的各项均为正数，1(1)()nnnbnannN，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数()1exfxx的单调区间，并比较1(1)nn与e的大小； （Ⅱ）计算11ba，1212bbaa，123123bbbaaa，由此推测计算1212nnbbbaaa的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()nnncaaa，数列{}na，{}nc的前n项和分别记为nS,nT, 证明：ennTS.
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
第21题图1 BADOMN第21题图2 x D
O
M
N y