2014年辽宁高考理科数学试卷word版
2014年高考理科数学 辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)=（）（A）{x|x≥0}（B）{x|x≤1}（C）{x|0≤x≤1}（D）{x|0<x<1}【答案】D【解析】A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}，故选D．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．（2）【2014年辽宁，理2，5分】设复数z满足(z−2i)(2−i)=5，则z=（）（A）2+3i（B）2−3i（C）3+2i（D）3−2i【答案】A【解析】由(z−2i)(2−i)=5，得：z−2i=52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，∴z=2+3i，故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，理3，5分】已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则（）（A）a>b>c（B）a>c>b（C）c>a>b（D）c>b>a 【答案】C【解析】∵0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴c>a>b，故选C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知m,n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A）若m//α，n//α，则m//n（B）若m⊥α，n⊂α，则m⊥n（C）若m⊥α，m⊥n，则n//α（D）若m//α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【解析】A：若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错；D．若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α，故D错，故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5）【2014年辽宁，理5，5分】设a,b,c是非零向量，已知命题p：若ab=0，bc=0，则ac=0；命题q：若a∥b，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是（ ）（A ）p ∨q （B ）p ∧q （C ）(¬p)∧(¬q) （D ）p ∨(¬q) 【答案】A【解析】若ab =0，bc =0，则ab =bc ，即(a −c )b =0，则ac =0不一定成立，故命题p 为假命题，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故命题q 为真命题，则p ∨q ，为真命题，p ∧q ，(¬p)∧(¬q)，p ∨(¬q)都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）（A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）24 【答案】D【解析】3人全排，有A 33=6种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D ．【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键． （7）【2014年辽宁，理7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）8−2π（B ）8−π（C ）8−π2（D ）8−π4【答案】B【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V =23−2×14×π×12×2=8−π，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则（ ）（A ）d <0 （B ）d >0 （C ）a 1d <0 （D ）a 1d >0 【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1−a n =d ，又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n+12a 1a n=2a 1d <1，∴a 1d <0，故选C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．（9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[π12,7π12]上单调递减 （B ）在区间[π12,7π12]上单调递增 （C ）在区间[−π6,π3]上单调递减 （D ）在区间[−π6,π3]上单调递增 【答案】B【解析】把函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y =3sin [2(x −π2)+π3]．即y =3sin (2x −2π3)．由−π2+2kπ≤2x −2π3≤π2+2kπ，得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ．取k =0，得π12≤x ≤7π12．∴所得图象对应的函数在区间[π12,7π12]上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（10）【2014年辽宁，理10，5分】已知点A (−2,3)在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）（A ）12（B ）23（C ）34（D ）43【答案】D【解析】∵点A (−2,3)在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，即准线方程为：x =−2，∴p >0，−p2=−2即p =4，∴抛物线C ：y 2=8x ，在第一象限的方程为y =2√2√x ，设切点B (m,n )，则n =2√2√m ，又导数 y ′=2√2⋅12√x，则在切点处的斜率为√2√m，∴n−3m+2=√2√m即√2m +2√2=2√2m −3√m ，解√m =2√2 （−√22舍去），∴切点B (8,8)，又F (2,0)，∴直线BF 的斜率为8−08−2=43，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．（11）【2014年辽宁，理11，5分】当x ∈[−2,1]时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[−5,−3] （B ）[−6,−98] （C ）[−6,−2] （D ）[−4,−3] 【答案】C【解析】当x =0时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0对任意a ∈R 恒成立；当0<x ≤1时，ax 3−x 2+4x +3≥0可化为a ≥1x −4x 2−3x 3，令f (x )=1x −4x 2−3x 3，则f ′(x )=−1x 2+8x 3+9x 4=−(x−9)(x+1)x 4（*），当0<x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )在0,1上单调递增，f (x )(1)max ∴a ≥−6；当−2≤x <0时，ax 3−x 2+4x +3≥0可化为a ≤1x −4x 2−3x 3，由（*）式可知，当−2≤x ≤−1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当−1<x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (x )(−1)min ，∴a ≤−2；综上所述，实数a 的取值范围是−6≤a ≤−2，即实数a 的取值范围是[−6,−2]，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．（12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)=f(1)=0；②对所有x,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f(x)−f(y)|<12|x −y|．若对所有x,y ∈[0,1]，|f(x)−f(y)|<k ，则k 的最小值为（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）12π （D ）18【答案】B【解析】依题意，定义在[0,1]上的函数y =f (x )的斜率|k |<12，不妨令k >0，构造函数()kx f x k kx⎧=⎨-⎩(0<k <12)，满足f (0)=f (1)=0，|f (x )−f (y )|<12|x −y |．当x ∈[0,12]，且y ∈[0,12]时，|f (x )−f (y )|=|kx −ky |=k |x −y |≤k |12−0|=k ×12<14；当x ∈[0,12]，且y ∈[12,1]，|f (x )−f (y )|=|kx −(k −ky )|=|k (x +y )−k |≤|k (1+12)−k|=k 2<14；当x ∈[12,1]，且y ∈[0,12]时，同理可得，|f (x )−f (y )|<14；当x ∈[12,1]，且y ∈[12,1]时，|f (x )−f (y )|=|(k −kx )−(k −ky )|=k |x −y |≤k ×(1−12)=k2<14； 综上所述，对所有x,y ∈[0,1]，|f (x )−f (y )|<14，∵对所有x,y ∈[0,1]，|f (x )−f (y )|<k 恒成立，∴k ≥14，即k 的最小值为14，故选B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年辽宁，理13，5分】执行右侧的程序框图，若输入x =9，则输出y = ． 【答案】299【解析】由程序框图知：第一次循环x =9，y =93+2=5，|5−9|=4>1；第二次循环x =5，y =53+2=113，|113−5|=43>1； 第三次循环x =113，y =119+2=299．|119+2−113|=49<1， 满足条件|y −x |<1，跳出循环，输出y =299．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（14）【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点A(−1,−1),B(1,−1),C(1,1),D(−1,1)分别在抛物线y =−x 2和y =x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴 影区域的概率是 ． 【答案】23【解析】∵A(−1,−1),B(1,−1),C(1,1),D(−1,1)，∴正方体的ABCD 的面积S =2×2=4，根据积分的几何意义以及抛 物线的对称性可知阴影部分的面积S =2∫(1−x 2)dx 1−1=2(x −13x 3)|−11=2[(1−13)−(−1+13)]=2×43=83，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是834=23．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键． （15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆C ：x 29+y 24=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|+|BN|= ． 【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得|QF 2|=12|NB |，|QF 1|=12|AN |，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a =6，∴|AN|+|BN|=12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查．（16）【2014年辽宁，理16，5分】对于c >0，当非零实数a,b 满足4a 2−2ab +4b 2−c =0，且使|2a +b|最大时，3a−4b +5c 的最小值为 ．【答案】−2【解析】∵4a 2−2ab +4b 2−c =0，∴c 4=a 2−12ab +b 2=(a −b 4)2+1516b 2，由柯西不等式得，[(a −b 4)2+1516b 2][22+(6√15)2]≥[2(a −b4)+√154b ⋅6√15]2=|2a +b |2，故当|2a +b |最大时，有a−b42=√154b 6√15，∴a =32b ，c =10b 2，∴3a −4b +5c =332b−4b +510b 2=12(1b )2−2b =12(1b −2)2−2，当b =12时，取得最小值为−2．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，理17，12分】在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边a,b,c ，且a >c ，已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，cos B =13，b =3，求： （1）a 和c 的值； （2）cos(B −C)的值．解：（1）由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2得ac ⋅cos B =2．又cos B =13，所以ac =6．由余弦定理得22a c +=b 2+2ac ⋅cos B ． 又因为b =3，所以22a c +=32+2×6×13=13．解{ac =6a 2+c 2=13得{a =2c =3或{a =3c =2．因为a >c ，∴{a =3c =2． （2）在ΔABC 中，sin B =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23．由正弦定理得bsin B=csin C ，所以sin C =c sin B b=2×2√233=4√29．因为a >c ，所以角C 为锐角．cos C =√1−sin 2C =(4√29)=79．cos(B −C)=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2√23×4√29=2327．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15．P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（2）X可能取的值为0,1,2,3．相应概率为P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064；P(X=1)=C31×0.6×0.42= 0.288；P(X=2)=C32×0.62×0.4=0.432；P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216．X的分布列为：X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216因为X∼B(3,0.6)×0.4=0.72．【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．（19）【2014年辽宁，理19，12分】如图，ΔABC和ΔBCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120o，E、F分别为AC、DC的中点．（1）求证：EF⊥BC；（2）求二面角E−BF−C的正弦值．解：解法一：（1）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC，可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=π2，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO．又EF⊂面EFO，所以EF⊥BC．（2）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连结EG．由平面ABC⊥平面BCD，从而EO⊥面BCD，又OG⊥BF，由三垂线定理可知EG⊥BF，因此，∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=12EC=12BC⋅cos30∘=√32，由△BGO∽△BFC知，OG=BOBC FC=√34，因此tan∠EGO=EOOG=2，从而sin∠EGO=2√55，即二面角E-BF-C正弦值为2√55．FEAB图1FEBAOG解法二：（1）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示 空间直角坐标系． 易得B(0,0,0)，A(0,−1,√3)，D(√3,−1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0,12,√32)，F(√32,12,0)，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,−√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，因此EF⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EF ⊥BC ． （2）在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1=(0,0,1)，设平面BEF 的法向量n 2=(x,y,z)，又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√32)，由{n 2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得其中一个n 2=(1,−√3,1)．设二面角E-BF-C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos <n 1,n 2>|=|n 1⋅n 2|n 1|⋅|n 2||=5，因此，sin θ=2√55，即所求二面角正弦值为2√55． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．（20）【2014年辽宁，理20，12分】圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1过点P 且离心率为√3．（1）求C 1的方程；（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．解：（1）设切点坐标为(x 0,y 0)（x 0>0,y 0>0），则切线斜率为−x 0y 0，切线方程为y −y 0=−x0y 0(x −x 0)，即x 0x +y 0y =4,此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =12⋅4x 0⋅4y 0=8x0y 0．由x 02+y 02=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=√2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此P 坐标为(√2,√2)，由题意知{2a 2−2b 2=1a 2+b 2=3a 2，解得a 2=1,b 2=2，故C 1方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）知C 2的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0)，由此设C 2的方程为x 23+b 12+y 2b 12=1，其中b 1>0， 由P (√2,√2)在C 2上，得23+b 12+2b 12=1，解得b 12=3，因此C 2方程为x 26+y 23=1，显然，l 不是直线y =0，设l 的方程为x =my +√3，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由{x =my +√3x 26+y 23=1，得(m 2+2)y 2+2√3my −3=0,，又y 1,y 2是方程的根，因此{y 1+y 2=−2√3mm 2+2 (1)y 1y 2=−3m 2+2(2)， 由x 1=my 1+√3,x 2=my 2+√3得{x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2√3=4√3m 2+2 (3)x 1x 2=m 2y 1y 2+√3m(y 1+y 2)+3=6−6m 2m 2+2 (4)因AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−x 1,√2−y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−x 2,√2−y 2)，由题意可知AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1x 2−√2(x 1+x 2)+y 1y 2−√2(y 1+y 2)+4=0 （5） 将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，2m 2−2√6m +4√6−11=0，解得m =3√62−1或−√62+1，因此直线方程为x −(3√62−1)y −√3=0或x +(√62−1)y −√3=0．【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．（21）【2014年辽宁，理21，12分】已知函数f(x)=(cos x −x)(π+2x)−83(sin x +1)，g(x)=3(x −π)cos x −4(1+sin x)ln(3−2x π)．证明：（1）存在唯一x 0∈(0,π2)，使f(x 0)=0；（2）存在唯一x 1∈(π2,π)，使g(x 1)=0，且对（1）中的x 0，有x 0+x 1<π．考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）根据x ∈（0，）时，f ′（x ）＜0，得出f （x ）是单调减函数， 再根据f （0）＞0，f （）＜0，得出此结论；（Ⅱ）构造函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]， 令t=π﹣x ，得u （t ）=h （π﹣t ），求出u （t ）存在唯一零点t 1∈（0，），即证g （x ）存在唯一的零点x 1∈（，π），满足x 0+x 1＜π．解答： 证明：（Ⅰ）∵当x ∈（0，）时，f ′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣cosx ＜0，∴函数f （x ）在（0，）上为减函数， 又f （0）=π﹣＞0，f （）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x ，则x ∈[，π]时，t ∈[0，]，记函数u （t ）=h （π﹣t ）=﹣4ln （1+t ），则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，由u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．Array（22）【2014年辽宁，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED．解：（1）∵PD =PG ∴∠PDG =∠PGD ∵PD 为圆的切线，∴∠PDA =∠DBA又∵∠PGD =∠EGA ∴∠DBA =∠EGA ∴∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ， ∴∠BDA =∠PFA ∵AF ⊥EP ∴∠PFA =90°∴∠BDA =90°∴AB 为直径． （2）连接BC,DC ∵AB 是直径∴∠BDA =∠ACB =90°，在RtΔBDA 与RtΔACB 中，AB =BA,AC =BD ，RtΔBDA ≅RtΔACB ，∴∠DAB =∠CBA ∵∠DCB =∠DAB ∴∠DAB =∠CBA ∴DC//AB ∵AB ⊥EP ∴DC ⊥EP,∠DCE =90°∴ED 为直径， 由（1）AB =ED ．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． （23）【2014年辽宁，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线l:2x +y −2=0与C 的交点为P 1,P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设(x 1,y 1)为圆x 2+y 2=1上任意一点，按题中要求变换后的点(x,y)．根据题意得{x =x 1y =2y 1，所以{x 1=x y 1=y 2．由x 12+y 12=1得x 2+y 42=1．故C 的参数方程为{x =cos θy =2sin θ（θ为参数）． （2）由{4x 2+y 2=42x +y −2=0解得{x =1y =0或{x =0y =2．不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段中点坐标(12,1)．所求直线的斜率为k =12，于是所求直线方程为y −1=12(x −12)，即2x −4y +3=0．化为极坐标方程为2ρcos θ−4ρsin θ+3=0，即ρ=34sin θ−2cos θ．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． （24）【2014年辽宁，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数f(x)=2|x −1|+x −1，g(x)=16x 2−8x +1，记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N ． （1）求M ；（2）当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f(x)+x[f(x)]2≤14．解：（1）f(x)=2|x −1|+x −1={3x −3,x ∈[1,+∞)1−x,x ∈(−∞,1)．当x ≥1时，f(x)=3x −3≤1，解得1≤x ≤43；当x <1时，f(x)=1−x ≤1，解得0≤x <1．所以f(x)≤1的解集为M ={x|0≤x ≤43}．（2）g(x)=16x 2−8x +1≤4，解得N ={x|−14≤x ≤34}．M ∩N ={x|0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f(x)=1−x ．x 2f(x)+x[f(x)]2 x 2(1−x)+x(1−x)2=x −x 2=14−(x −12)2，x ∈{x|0≤x ≤34}．∴x 2f(x)+x[f(x)]2≤14．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。
2014年高考理科数学辽宁卷
过点 P ,求 l 的方程.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) (cos x x)(π 2x) 8 (sin x 1) , 3 g(x) 3(x π)cos x 4(1 sin x) ln(3 2x) . π
证明：
（Ⅰ）存在唯一
x0
(0,
π ) ,使 2
f
(x0 )
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
此 注意事项：
数学(供理科考生使用)
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上.
卷
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
14.正方形的四个顶点 A(1, 1) , B(1,1) , C(1,1) , D(1,1) 分别在抛物线 y x2 和 y x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概 率是________.
15.已知椭圆 C ： x2 y2 1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 94
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
19.（本小题满分 12 分） 如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB BC BD 2 , ABC DBC 120 , E , F 分别为 AC , DC 的中点. （Ⅰ）求证： EF⊥ BC ； （Ⅱ）求二面角 E BF C 的正弦值.
0；
（Ⅱ）存在唯一
x1
(π 2
, π)
,使
g ( x1 )
2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
数学高考真题-2014辽宁卷理科
2014年普通高等学校招生考试辽宁卷(理科数学)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1． 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}2． 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i3．、 已知a ＝2－13，b ＝log 213， c ＝log 1213，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a4． 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α5． 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(┐p )∧(┐q )D ．p ∨(┐q )6． 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．247．某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4图1-18． 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >09． 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 10． 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4311． 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |. 若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13． 执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-214． 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1-3 15． 已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．16． 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b＋5c的最小值为________． 三、解答题17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值．18．（本小题满分12分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．图1-4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．19．（本小题满分12分） 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E -BF -C 的正弦值．图1-520．（本小题满分12分） 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．21．（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3－2x π.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0； (2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图1-7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .图1-723.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.。
2014年辽宁省高考数学试卷理科
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2014年高考理科数学辽宁卷及答案
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()U A B =ð （ ）A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x ＜＜ 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =（ ）A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则（ ）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .c a b ＞＞D .c b a ＞＞4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是（ ）A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=,b c 0=,则a c 0=；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是 （ ）A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A .82π- B .8π-C .π82-D .π84-8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则（ ）A .0d ＜B .0d ＞C .10a d ＜D .10a d ＞9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数 （ ） A .在区间π7π[,]1212上单调递减 B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（ ）A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 （ ） A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y --＜.若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -＜恒成立,则k 的最小值为（ ）A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________.14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.15.已知椭圆C ：22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c ＞,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c ＞.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列、期望()E X 及方差()D X .19.（本小题满分12分）如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E BF C --的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P （如图）.双曲线1C ：22221x y a b-=过点P.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πxg x x x x =--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对（Ⅰ）中的0x ,有01πx x +＜.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC BD =,求证：AB ED =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N . （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x MN∈时,证明：221()[()]4x f x x f x +≤.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可知，{|01}A B x x x =≤≥或，所以(){|01}U AB x x =<<ð.故选D. 【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()AB ð.【提示】把给出的等式两边同时乘以2i-，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z【提示】利用指数式的运算性质得到01a <<，由对数的运算性质得到0b <，1c >，则答案可求.【考点】对数的基本运算 4.【答案】B【解析】由题可知，若m α∥，n α∥则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错误.若m α∥，m n ⊥，则n α∥或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选B.【提示】A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断. 【考点】空间直线与直线，直线与平面的位置关系 5.【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0b ≠时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】向量的平行与垂直，真假命题的判定 6.【答案】D【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，333424A C =.故选D.【提示】几何体是正方体切去两个4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的【提示】由于数列1{2}n a a 为递减数列，可得111212n a d a a +=<，解出即可.【提示】由题意先求出准线方程2x =-，再求出p ，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方。
2014年高考数学真题辽宁【理】试题及答案
2014高考数学辽宁【理】一．选择题.1．已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b =，0b c =，则0a c =；命题q ：若//,//a bb c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π- 8．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增10. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C大洼高中的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12．已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<恒成立，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18二．填空题13．执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14. 正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示， 若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段 MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最 小值为 .三．解答题17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18． （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.日销售量/个C20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.P23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 2014辽宁【理】参考答案一．选择题二．填空题三、解答题17．【解析】 (Ⅰ) 由12cos 2,cos 63BA BC c a B B ac ⋅=⇒⋅⋅===又所以, 由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 又3b =所以 2292213a c +=+⨯=,解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==, 因a c >，所以3,2a c ==,(Ⅱ)在△ABC 中，sin B = 由正弦定理，得2224sin sin 3c C B b ===.因a =b >c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C =于是，1723cos()cos cos sin sin 3927B C B C B C -=+=⋅+=.18.【解析】(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”, 2A 表示事件“日销售量低于50个” B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个” 因此 ()()10.0060.0040.002500.6P A =++⨯=,()20.003500.15P A =⨯=()220.60.150.108P B =⨯⨯=(Ⅱ)由已知X 的可能取值为0,1,2,3。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,理1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案:D解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.2.(2014辽宁,理2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=.∴z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.故选A.3.(2014辽宁,理3)已知a=,b=log2,c=lo,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案:C解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选C.4.(2014辽宁,理4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是().A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D 不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,理5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.( p)∧( q)D.p∨( q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q 为真命题.故选A.6.(2014辽宁,理6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().A.144B.120C.72D.24答案:D解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.7.(2014辽宁,理7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案:B解析:由三视图知,原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱,故几何体的体积为8-2×π×2×=8-π.故选B.8.(2014辽宁,理8)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则().A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0答案:C解析:∵数列{}为递减数列,∴,n∈N*,∴a1a n>a1a n+1,∴a1(a n+1-a n)<0.∵{a n}为公差为d的等差数列,∴a1d<0.故选C.9.(2014辽宁,理9)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案:B解析:设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin=3sin=-3sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的递减区间为,k∈Z,同理得递增区间为,k∈Z.从而可判断得B正确.10.(2014辽宁,理10)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF的斜率为().A.B.C.D.答案:D解析:由题意可知准线方程x=-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x.由已知易得过点A与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k>0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*) 由相切得Δ=64-4k(24+16k)=0,解得k=或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B 的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为.11.(2014辽宁,理11)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是().A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案:C解析:∵当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,即当x∈[-2,1]时,不等式ax3≥x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,a∈R.(2)当0<x≤1时,由(*)得a≥恒成立.设f(x)=,则f'(x)=-.当0<x≤1时,x-9<0,x+1>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,1]上单调递增.当0<x≤1时,可知a≥f(x)max=f(1)=-6.(3)当-2≤x<0时,由(*)得a≤.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).∴当-2≤x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,∴f(x)在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x∈[-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.∴可知a≤f(x)min=-2.综上所述,当x∈[-2,1]时,实数a的取值范围为-6≤a≤-2.故选C.12.(2014辽宁,理12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为().A.B.C.D.答案:B解析:不妨令0≤x<y≤1,则|f(x)-f(y)|<|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-[f(y)-f(1)]|≤|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|<|x-0|+|x-y|+|y-1|=x+(y-x)+(1-y)=,即得|f(x)-f(y)|<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.法二:当|x-y|≤时,|f(x)-f(y)|<|x-y|≤,当|x-y|>时,|f(x)-f(y)|=|[f(x)-f(1)]-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=(1-x)+y=(y-x)<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,理13)执行右侧的程序框图,若输入x=9,则输出y=.答案:解析:输入x=9,则y=5,|y-x|=4>1,执行否,x=5,y=,|y-x|=>1,执行否,x=,y=,|y-x|=<1,执行是,输出y=. 14.(2014辽宁,理14)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案:解析:由题意可知空白区域的面积为[x2-(-x2)]d x=x3.又正方形的面积为4,∴阴影部分的面积为4-,∴所求概率为.15.(2014辽宁,理15)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,理16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,的最小值为.答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.∵4a2-2ab+4b2-c=0,∴4a2+b2=c+2ab-3b2.∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+·2b(2a-b)≤c+=c+,即(2a+b)2≤c,当且仅当2b=2a-b,即3b=2a时取到等号,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a时,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=a2.∴-2.∴当时,取到最小值-2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,理17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)将条件中的·=2,转化为边角的量表示,可得a与c的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C,进而求出cos C,再由两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解:(1)由·=2,得c·a cos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2ac cos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=·.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C=··.18.(本小题满分12分)(2014辽宁,理18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).分析:(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.(2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,理19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.分析:法一:几何法.(1)证明线线垂直,可由线面垂直证得,可寻求过EF的平面与BC垂直即可.(2)由面面垂直可得线面垂直,再利用线面垂直性质构造二面角求解.法二:建立空间直角坐标系.(1)求各点坐标,利用向量垂直的条件证明线线垂直.(2)平面BFC的法向量易求出,平面BEF的法向量可运用法向量条件求得,再运用公式求出两法向量夹角的余弦值,进而求出所求正弦值.(1)证明:(方法一)过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF,由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.图1所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO.又EF⊂面EFO,所以EF⊥BC.图2(方法二)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E,F,所以,=(0,2,0),因此·=0.从而,所以EF⊥BC.(2)解:(方法一)在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC.又OG⊥BF,由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角.在△EOC中,EO=EC=BC·cos30°=,由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2.从而sin∠EGO=,即二面角E-BF-C正弦值为.(方法二)在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量n2=(x,y,z).又.由得其中一个n2=(1,-,1).设二面角E-BF-C大小为θ,且由题意知θ为锐角,则cosθ=|cos<n1,n2>|=.因此sinθ=,即所求二面角正弦值为.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).双曲线C1:=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.分析:(1)设出切点P的坐标,利用直线和圆相切的性质,求出切线,进而求出切线与坐标轴的交点,运用基本不等式求出取最值时P的坐标代入双曲线方程求得结果.(2)运用待定系数法求出椭圆方程,将以AB为直径的圆过点P转化为·=0,运用韦达定理求解.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··.由=4≥2x0y0,知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值.因此点P的坐标为().由题意知解得a2=1,b2=2.故C1方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为=1,其中b1>0.由P()在C2上,得=1,解得=3.因此C2方程为=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2+2my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理,得2m2-2m+4-11=0.解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,理21)已知函数f(x)=(cos x-x)(π+2x)-(sin x+1),g(x)=3(x-π)cos x-4(1+sinx)ln.证明:(1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0;(2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1<π.分析:(1)先判断f(x)的单调性,再运用根的存在性定理证明.(2)可构造函数h(x)=,再换元后,结合(1)可求出x0与x1的关系.证明:(1)当x∈时,f'(x)=-(1+sin x)(π+2x)-2x-cos x<0,函数f(x)在上为减函数.又f(0)=π->0,f=-π2-<0,所以存在唯一x0∈,使f(x0)=0.(2)考虑函数h(x)=-4ln,x∈.令t=π-x,则x∈时,t∈.记u(t)=h(π-t)=-4ln,则u'(t)=.由(1)得,当t∈(0,x0)时,u'(t)>0.当t∈时,u'(t)<0.在(0,x0)上u(t)是增函数.又u(0)=0,从而当t∈(0,x0]时,u(t)>0.所以u(t)在(0,x0]上无零点.在上u(t)为减函数,由u(x0)>0,u=-4ln2<0,知存在唯一t1∈,使u(t1)=0.所以存在唯一的t1∈,使u(t1)=0.因此存在唯一的x1=π-t1∈,使h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0.因为当x∈时,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈,使g(x1)=0,因为x1=π-t1,t1>x0,所以x0+x1<π.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB是直径,即证明∠BDA=90°.由∠PFA=90°,从而寻求∠BDA=∠PFA就可证明.(2)要证AB=DE,即证DE为直径,连DC,即证∠DCE=90°,从而只需证明AB∥DC即可.证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x∈M∩N的条件下,先化简x2f(x)+x[f(x)]2,再配方求其最大值即可.解:(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4,得16≤4,解得-≤x≤.因此N=.故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=.。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A
B =（ ）
A ．{|0}x x ≥
B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x ≤≤
D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知1
3
2a -=，2
1211
log ,log 33
b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若
//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82
π
-
D ．84
π
-
8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a
为递减数列，则（ ）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212
ππ
上单调递减
B ．在区间7[
,]1212
ππ
上单调递增 C ．在区间[,]63
ππ
-上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ
-
上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．
12 B ．23 C ．34 D ．43
11.当[2,1]x ∈-时，不等式32
430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,3]--
B ．9[6,]8
-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--ZXXK 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；
②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1
|()()|||2
f x f y x y -<
-
.
若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．
12 B ．14 C ．12π D ．18
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . ZXXK
14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，
B ，线段MN 的中点在
C 上，则||||AN BN += . ZXXK
16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，3
45a b c
-+的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()
E X 及方差()D X
.
19. （本小题满分12分）
如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，
E 、
F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值.
20. （本小题满分12分）
圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切
点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P
（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数8
()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+，
2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π
=--+-
.
证明：（1）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（2）存在唯一1(
,)2
x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲学科网
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于
点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建
立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-，2
()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为
N.
（1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4
x f x x f x +≤
.。