2014年春季新版华东师大版八年级数学下学期19.2、菱形同步练习1
(完整word版)华师大版八年级下《19.2.1菱形的性质》同步练习含答案解析
华师大版数学八年级下册第十九章第二节 19. 2.1菱形的性质同步练习、选择题1菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示./A . ( .2 , 1)B . ( 1，'‘ 2 ) 答案：Cc .( 2 1 , 1) D ( 1,2 1 )AOC = 45°OCE 为等腰直角三角形，•/ OC = ^2 , OE = CE ,又T OE^CE^OC 2 ,• OE = CE = 1,「.点 C 的坐标为(1, 1),又I BC = OA = , 2 ,••• B 的横坐标为 OE + BC =1,2 , B 的纵坐标为CE = 1,则点B 的坐标为（^.21 , 1），故选C .分析：根据菱形的性质，作 CE 丄x 轴，先求C 点坐标，然后求得点 B 的坐标.2.如图：在菱形 ABCD 中，AC = 6, BD = 8,则菱形的边长为（ ）A . 5CB . 10C . 6D . 8答案：A解答： 由菱形的性质知：AC 丄BD ,1 1 OA = AC = 3, OB = BD = 4，在 Rt A OAB 中，AB =22OA 2 OB 2 32 42 5，所以菱形的边长为 5.分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角， 可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出.解答：作CE 丄x 轴于点E ,T 四边形OABC 是菱形,OC = , 2 ,••• OA = OC =、. 2，又•••/AOC = 45° OC = ，则点 B 的3.如图, 在菱形 A ABCD 中，AB = 5, / BCD = 120 ° 则对角线 AC 等于()<XCA . 20B . 15C . 10D . 5答案：D解答：•/ AB = BC ,/ B +Z BCD = 180° / BCD = 120° /-Z B = 60° :. △ ABC 为等边三 角形，•/ AC =AB = 5.分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC 为等边三角形，从而得到 AC = AB .4.菱形的两条对角线的长分别是 6和8，则这个菱形的周长是（）A . 24B . 20C . 10D . 5答案：B解答：如图，AC = 6, BD = 8,/. OA = 3, BO = 4，•/ AB = 5,/这个菱形的周长是 20, 故选B .分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形， 根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可.5.已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2 cm ，则菱形的面积为（ ）A . 3cm 2B . 4cm 2C . . 3 cm 2D . 2.3 cm 2答案：D解答：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长 2. 3 , 则菱形的面积=2 2 ■■一3 "2 =2、3 cm 2，故选D .分析：根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形, 另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积= 求得菱形的面积.6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O , E 为AB 的中点，且 0E = a ,则菱形ABCD 的周长为（ ）利用勾股定理求得 -x 两条对角线的乘积，即可 2D CA . 16aB . 12a C. 8a D . 4a答案：C解答：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB = 2a,则菱形ABCD的周长为8a，故选C.分析：根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB= 20E，从而不难求得其周长.7. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E,则下列式子不成立的是（）A . DA = DEB . BD = CEC. / EAC= 90 ° D . / ABC= 2 / E答案：B解答：T四边形ABCD是菱形，••• AB // CE, AB = DA，又T BD // AE,二四边形ABDE是平行四边形，•- DA = AB= DE，故A正确；•••四边形ABCD是菱形，二BD丄AC, OAD + / ODA = 90°,又T BD // AE，•/EAD = Z ODA, • / EAD + Z OAD = 90°,即/EAC = 90° 故C正确；•••四边形ABCD是菱形，•••/ ABC = 2/ABD，又：•四边形ABDE是平行四边形，• / E=Z ABD，•/ ABC = 2/ E,故D 正确；所以选B .分析：依题意推出/ OAD + Z ODA = 90°,四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB = DA = DE，/ E=Z ABD，/ EAD + /ODA = 90 :则/ EAC= 90 ° / ABC = 2 / E .&如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A .四边形ABCD是平行四边形B . AC丄BDC.A ABD是等边三角形 D . Z CAB = Z CAD答案：C解答：菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C.分析：此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系.9. 如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架. 已知其中每个菱形的边长为20cm,墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20、、3 cm，则/ 1等于（）解答：铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，即20.3 cm,又因为菱形的边长为20cm，根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形求出/ 1 = 60°故本D . 30答案：B题选B.分析：首先铁钉A、B之间的距离就是一个菱形的对角线的长，又已知菱形的边长为20cm, 根据菱形的性质以及勾股定理，利用含30度角的直角三角形可求解.10. 已知菱形的边长为6cm，一个内角为60 °则菱形较短的对角线长是（）A . 6cm B. 6、、3 cm C. 3cm D. 3. 3 cm答案：A解答：根据菱形的性质可得较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线等于菱形的边长，已知菱形的边长为6cm，则较短的对角线的长为6cm,故选A .分析：本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用.11. 菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A. 60 °B. 90 °C. 120 °D. 150 °答案：D解答：设菱形的边长为a,高为h，则依题意，4a= 8h,即a= 2h，延长最大角的一边，让其邻边和高构造直角三角形，•••有一直角边是斜边的一半，•••菱形的较大内角的外角为30° •••菱形的较大内角是150°故选D .分析：熟悉菱形的性质，及一些特殊的直角是解题的关键，画出图形再解题有助于理清思路. 12. 在菱形ABCD 中，AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是（）A . AO 丄BOB . Z ABD = Z CBDC . AO = BOD . AD = CD答案：C解答：菱形的对角线互相垂直平分，所以A正确；一条对角线平分一组对角，所以B正确;菱形的对角线不相等，所以 C 不正确；菱形的四边均相等，所以 D 正确；故选C . 分析：根据菱形的对角线垂直、平分且平分每一组对角的性质对各个选项进行验证.13.菱形的周长为 20cm ,两邻角的比为 1： 2,则较长的对角线长为（)A . 4.5cmB . 4cmC.5.3 cmD . 4、、3 cm答案： C解答： 由已知可得，菱形的边长为 5c m ,两邻角分别为 60° 120°又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得 30°的角，所对边为2.5cm ，则此条对角线长5cm ，根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为空cm ,则较长的对角线长为 5、、3 cm ,2故本题选C .分析：根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数， 又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长.答案：C菱形的边长 AB = 5cm ，/ A = 45°, / D = 135°，作 BE 丄 AD 于 E , 则厶ABE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE = AE = 邑2 cm ,则菱形的面积为25 “ =^2cm2，故选 C .2 214.已知菱形的两条对角线长分别为4cm 和10cm ，则菱形的边长为（A . 116cmB . 29cm C.2.29 cmD . ■. 29 cm答案：D解答：因为菱形的两条对角线互相垂直平分, 所以 AC 丄 BD ,A0= CO = 2cm, B0= CO = 5cm , .22 5^ 29 cm ,故本题选D .分析：根据菱形的性质：两条对角线相互垂直且互相平分，求出 A0= CO = 2, B0= C0 ==5，然后根据勾股定理求出 AB 的长.15•菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1: 3,则菱形的面积为（A . 25cm2B . 16cm2C.25、“ 2 2cm2D . 16、2 cm 2解答：由已知可得,分析：首先由已知得出/ A和/ D的度数以及AB的长，然后作BE丄AD于E，得出△ ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BE = AE则易求出菱形的面积.二、填空题16.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程X-4=0的解，则菱形ABCD的周长为答案：16 解答：•••解方程X-4=0得：x= 4,/.菱形的边长为4，/•菱形ABCD的周长为4X 4= 16.2,Z ABC = 45 °则点D的坐标为分析：边AB的长是方程X-4=0的解，解方程求得x的值，即可求得菱形ABCD的周长.解答：过点D作DE丄X轴，垂足为E,在菱形ABCD中，/ ABC = 45° /-Z DCE = Z ABC=45° 又•••在Rt△ CDE 中，CD = 2,/. CE= DE = , 2，•/ OE = OC + CE= 2 <2，•/点分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标.18. ___________________________________________________________________ 边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6cm,则另一条对角线的长是___________________________________ c m.答案：8解答：在菱形ABCD中，AB = 5cm, AC= 6cm,因为对角线互相垂直平分，所以Z AOB = 90°AO = 3cm,在Rt△ AOB 中，BO = .AB2 - AO2二52 -32=4 cm，•/ BD = 2BO = 8cm.分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是 3cm ;根据勾股定理，得要求的对角线的一半是 4cm ，则另一条对角线的长是8cm .19. ___________________________________________________________________ 已知菱形ABCD 的对角线 AC = 6cm , BD = 8cm ，则菱形的边长是 ______________________________ cm .答案：511解答：菱形 ABCD 的对角线 AC = 6cm , BD = 8cm ,「. OA = OC = AC =6 = 3cm , OB 22=OC = — BD = — 8 = 4cm ，由勾股定理得 AB = \ OA 2 OB 2 = . 32 42 = 5 cm .2 2分析：根据菱形性质与勾股定理解题即可.20. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60 °勺小菱形组成的网格中，点 P 是其中的一个顶点，以点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ________________________________ .答案：2, 4, ,7 , .13 , 2 .3A_ e f r rp * - T-亠-八-JJJ>jiji解答：如图（1）所示，••• PD = 1，每个菱形有一个角是 60° A PC =73 , •••/APB = 90°所示，MN =、.PM 2 • PN 2 = 2 3 ；综上所述，可能的直角三角形斜边的长有2, 4, 7 ,DA = -. 12 2^=13 ,AB = 4;如图•••斜边 CD = 2, CB =分析：根据已知求得 PD , PC 的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长. 三、解答题21. 如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 相交于点O , H 为AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为24,求OH 的长.1解答：解：由题意可得 AD = 6,在Rt △ AOD 中，OH 为斜边上的中线，二 OH = - AD = 3.2分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分， H 为AD 的中点，从而求得OH 的长.22. 如图，在菱形 ABCD 中，/ ADC = 72 ° AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点P ,垂足为 E ,连接CP ,求/ CPB 的度数.答案：72°解答：解：如下图，先连接 AP ,由四边形 ABCD 是菱形，/ ADC = 72°可得/ BAD = 180 —72° = 108°根据菱形对角线的对称性可得/ ABD = Z ADB = 1 / ADC = lx 7^, EP 是2 2AD 的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得/ DAP = Z ADB = 36° A / PAB =Z DAB —/ DAP = 108°— 36° = 72° 在厶 BAP 中，/ APB = 180° — / BAP — / ABP = 180°— 72° — 36°图（1）图（2）答案：3=72°由菱形对角线的对称性可得/ CPB =/ APB = 72°D分析：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的；灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷.23. 如图，在菱形ABCD中，/ BAD = 80° AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，求/ CDF的度数.答案：60°解答：解：如图，连接BF,在厶BCF 和厶DCF 中，•/ CD = CB, / DCF =Z BCF , CF = CF,1•••△BCFDCF , •••/CBF = Z CDF , v FE 垂直平分AB, / BAF = X 80°= 40°••/ ABF2=Z BAF = 40° •••/ ABC = 180°—80°= 100° / CBF = 100°—40°= 60°CDF = 60°分析：连接BF，利用SAS判定△ BCF◎△ DCF，从而得到/ CBF = Z CDF，根据已知可注得/ CBF 的度数，则/ CDF也就求得了.24. 在菱形ABCD中，AE丄BC, AF丄CD，且E, F分别为BC , CD的中点，求/ EAF . 答案：60°解答：解：v AE丄BC, AF 丄CD，•/ AFC + Z AEC = 180° C + Z EAF = 180° 又v1 1/ B +Z C = 180°, EAF = /B，又v BE =—BC, AB = BC,「. BE = AB，•/ BAE =2 2 30 ° •/ B = 60 °，•/ EAF = 60 °分析：画出图形，根据菱形的性质求出/C +Z EAF = 180°又因为/ B +Z C = 180°推出1 1BE =— BC , AB = BC , BE = — AB ，最后可推出Z EAF = 60° 2 225. 如图，在菱形 ABCD 中，Z A = 110 ° E , F 分别是边 AB 和BC 的中点，EP 丄CD 于点 P ,求Z FPC .pCBF =NPCF解答：解：延长 PF 交AB 的延长线于点 6,,在厶BGF 与厶CPF 中， BF =CFI /BFG —CFP1•••△ BGF ◎△ CPF , ••• GF = PF , /• F 为 PG 中点.又 v EP 丄 CD ,「.Z BEP = 90°,二 EF = PG2 ，v PF =〔PG （中点定义），• EF = PF , •••/ FEP = Z EPF , vZ BEP =Z EPC = 90 °2BEP — Z FEP = Z EPC — Z EPF ,即 Z BEF = Z FPC , v 四边形 ABCD 为菱形，• AB = BC ,1Z ABC = 180° — Z A = 70° v E , F 分别为 AB , BC 的中点，• BE = BF , Z BEF = Z BFE =-2• Z FPC = 55°答案：55°分析：延长PF交AB的延长线于点G.根据已知可得Z ABC , Z BEF , Z BFE的度数,再根据余角的性质可得到Z EPF的度数，从而不难求得Z FPC的度数.。
华师大版初中数学八年级下册《19.2 菱形》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《19.2 菱形》同步练习卷一．选择题（共14小题）1．若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD的面积是（）A．30 cm2B．36 cm2C．48 cm2D．60cm22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）A．B．2C．2D．2﹣13．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛的面积等于（）A．18米2B．18米2C．36米2D．36米2 4．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为（）A．48B．40C．24D．205．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（6，8）B．（10，8）C．（10，6）D．（4，6）6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=3，BD=8，则菱形ABCD的周长为（）A．14B．20C．22D．287．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO=5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm8．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ABE=90°D．BE平分∠DBC 11．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分且相等C．两条对角线相等且互相垂直D．两条对角线互相垂直平分12．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线13．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分14．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角二．填空题（共4小题）15．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：．16．如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则重叠部分的面积为．17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF ＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．18．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是（填正确的序号）三．解答题（共14小题）19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．（1）求证：四边形AQPE是菱形．（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．20．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC=45°，DE=2，求AD的长．21．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，E为BC边点，AB=DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠C=60°，CD=4，求四边形ABCD的面积．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E，若AB=10，AC=12，求四边形CODE的周长．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，AE∥BC，且AE= BC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，AE=2，求BE的长．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC 平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．25．如图，已知△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB的中线，分别过点A、点C 作CE和AB的平行线，交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE=60°，求△ACB的面积．26．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC=4，BC=3时，求BF的长．28．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD=2，则当四边形ABCD的形状是时，四边形AOBE的面积取得最大值是．29．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE 到F，使EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．30．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．31．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．32．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED，AC 与ED相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）试探究AB、CD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由；若EA=ED=2，求此时菱形AECD的面积．华师大新版八年级下学期《19.2 菱形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是5cm、12cm，则菱形ABCD的面积是（）A．30 cm2B．36 cm2C．48 cm2D．60cm2【分析】根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形的对角线长AC、BD的长度分别为5cm、12cm．∴菱形ABCD的面积S=BD×AC=×5×12=30cm2．故选：A．【点评】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）A．B．2C．2D．2﹣1【分析】作CH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA的长即可解决问题；【解答】解：作CH⊥x轴于H．∵四边形OABC是菱形，∴OA=OC，∵C（1，2），∴OH=1，CH=2，∴OC==，∴菱形OABC的面积=×2=2．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．3．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛的面积等于（）A．18米2B．18米2C．36米2D．36米2【分析】作菱形的高DE，先由菱形的周长求出边长为6m，再由60°的正弦求出高DE的长，利用面积公式求菱形的面积．【解答】解：作高DE，垂足为E，则∠AED=90°，∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∴AB=AD=6m，∵∠BAD=60°，sin∠BAD=，∴sin60°=，∴DE=3m，∴菱形花坛ABCD的面积=AB•DE=6×3=18m2．故选：B．【点评】本题考查了菱形的面积的求法，一般作法有两种：①菱形的面积=底边×高；②菱形的面积=两条对角线乘积的一半．4．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为（）A．48B．40C．24D．20【分析】由菱形的对角线长分别为6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵菱形的对角线长分别为6和8，∴菱形的面积为：×6×8=24．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质．注意掌握菱形的面积等于对角线积的一半是关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A．（6，8）B．（10，8）C．（10，6）D．（4，6）【分析】在Rt△ADO中，求出OD即可解决问题；【解答】解：∵A（﹣6，0），B（4，0），∴AB=10，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=DC=10，在Rt△ADO中，OD==8，∴D（0，8），∵CD∥AB，∴C（10，8），故选：B．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=3，BD=8，则菱形ABCD的周长为（）A．14B．20C．22D．28【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC，OB=BD=4，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2EF=6，得出OA=3，由勾股定理求出AB，即可求出菱形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC，OB=BD=4，∴∠AOB=90°，∵E、F分别是AB、BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AC=2EF=6，∴OA=3，∴AB==5，∴菱形ABCD的周长=4AB=20；故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO=5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm【分析】根据菱形的性质可以判定O为BD的中点，结合E是AB的中点可知OM 是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可知AD的长，于是可求出四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵M是AB的中点，∴MO是△ABD的中位线，∴AD=2MO=2×5=10cm，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×10=40cm，故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是证明EO是△ABD的中位线，此题难度不大．8．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）A．2B．3C．4D．5【分析】只要证明△MAE∽△NAF，可得==2，由此即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠MAE=∠NAF，∵∠AEM=∠AFN=90°，∴△MAE∽△NAF，∴==2，∴EM=2NF=4，故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．9．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．故选：C．【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．10．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ABE=90°D．BE平分∠DBC 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可；【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；C、∵∠ABE=90°，∴BD=DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．故选：A．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．11．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分且相等C．两条对角线相等且互相垂直D．两条对角线互相垂直平分【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可；【解答】解：A、两组对边分别相等．不能判断是菱形，只能判断是平行四边形；本选项不符合题意；B、两条对角线互相平分且相等．不能判断是菱形，只能判断是矩形；本选项不符合题意；C、两条对角线相等且互相垂直．无法判断是菱形，本选项不符合题意；D、两条对角线互相垂直平分．能判断是菱形，本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．12．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线【分析】根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF=∠DCB，∠BAE=∠BAD，∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．13．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分【分析】根据原四边形对角线的情况与连接各边中点得到的四边形的关系解答．【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选：A．【点评】本题主要考查连接四边形各边中点所得四边形与原四边形的对角线的关系，需要熟练掌握．14．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【分析】根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断．【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选：C．【点评】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．二．填空题（共4小题）15．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．【分析】根据四条边相等的四边形是菱形即可求解．【解答】解：∵已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF 于点B，D，∴AB=AD，∵分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，∴BC=CD=AB，∴AB=AD=BC=CD，∴所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．故答案为：四条边相等的四边形是菱形．【点评】考查了菱形的判定与性质，关键是根据题意得到AB=AD=BC=CD．16．如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则重叠部分的面积为．【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，则AE=3，∵∠ABE=α，∴AB==，∴BC=AB=，∴重叠部分的面积是：×3=故答案为．【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF ＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=CD=AB，①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，=S△ABF；不正确；∴S四边形ODGF正确的是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．18．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是①③（填正确的序号）【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别相等且平行，故①说法正确；根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得②说法错误；根据菱形的性质：菱形对角线互相垂直可得③正确；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得④错误．【解答】解：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等，说法正确；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误；③菱形的对角线互相垂直，说法正确；④对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；正确的说法是①③，故答案为：①③．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及菱形的性质和判定，关键是掌握平行四边形的性质和判定定理，菱形的性质和判定定理．三．解答题（共14小题）19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．（1）求证：四边形AQPE是菱形．（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD 平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；（2）只要证明EQ∥BC，EF∥AB即可；=EP•h，S平行四边形EFBQ=EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积（3）S菱形AEPQ=S四边形EFBQ．的一半，则EP=EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD=∠EPA，∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：结论：四边形EQBF是平行四边形．∵四边形AQPE是菱形，∴AD⊥EQ，即∠AGQ=90°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC即∠ADB=90°，∴EQ∥BC，∵EF∥QB，∴四边形EQBF是平行四边形．=S四边形EFBQ（3）解：P为EF中点，即AP=AD时，S菱形AEPQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBQ．菱形AEPQ【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．20．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ABC=45°，DE=2，求AD的长．【分析】（1）证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AD=AB=CD=BC，由等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．∴平行四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD．∴∠DCE=∠ABC=45°．∵DE⊥BC，∴∠E=90°．∴∠CDE=45°．∴∠CDE=∠DCE．∴DE=CE=2．∴CD=．∴AD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键．21．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，E为BC边点，AB=DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠C=60°，CD=4，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再由AB=AD，可得出平行四边形ABCD为菱形；（2）可得出△DEC为等边三角形，由此基础上求出BC的长即可求出梯形的面积．【解答】证明：（1）∵BD⊥DC，E为BC中点，∴BE=ED=EC，∴∠DBE=∠BDE；又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∴∠ADB=∠BDE，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠BDE=∠ABD∴DE∥AB又∵AD∥BC，即AD∥BE，∴四边形ABCD为平行四边形又AB=AD，∴平行四边形ABCD为菱形．（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，∵∠C=60°，∴△DEC为等边三角形．作DF⊥BC于F，则，BC=2BE=2AD=8，=（AD+BC）×DF=×（4+8）×2=12．∴S梯形ABCD【点评】本题考查了菱形的判定及梯形的面积公式，难度较大，关键综合全面的掌握各类图形的性质及判定做题时融会贯通．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E，若AB=10，AC=12，求四边形CODE的周长．【分析】首先证明四边形CODE是平行四边形，然后证明∠DOC=90°可得到四边CODE是矩形，然后证明CO=AO=6，∠AOB=90°，运用勾股定理求出BO，即可解决问题．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形∴∠DOC=90°，∴四边形CODE是矩形；∵四边形ABCD为菱形，∴AO=OC=AC=6，OD=OB，∠AOB=90°，由勾股定理得：BO2=AB2﹣AO2，而AB=10，∴DO=BO==8，由（1）得四边形CODE是矩形，∴四边形CODE的周长=2（6+8）=28．【点评】本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，AE∥BC，且AE= BC，连接CE．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，AE=2，求BE的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质易证四边形ADCE为平行四边形，易证AD=BC=CD，从而可证四边形ADCE为菱形；（2）易证AB=AE，由于BD=BC=AE，所以AB=BD，所以∠BOD=90°，易求得AD=DC=CE=AE=2，BC=4，由勾股定理即可求出BE的长度．【解答】解：（1）∵AD为BC边上的中线∴BD=CD=BC∵AE=BC∴AE=CD∵AE∥BC∴四边形ADCE为平行四边形∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线∴AD=BC=CD∴四边形ADCE为菱形（2）连接BE与AD相交于点O∵若BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∵AE∥BC∴∠AEB=∠CBE∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE∵BD=BC=AE∴AB=BD∴∠BOD=90°∵四边形ADCE为菱形，AE=2∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4∵AD∥CE∴∠BEC=∠BOD=90°∴BE==2【点评】本题考查平行四边形的综合问题，涉及平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等性质，需要学生灵活运用所学知识．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC 平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，【分析】即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．25．如图，已知△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB的中线，分别过点A、点C 作CE和AB的平行线，交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE=60°，求△ACB的面积．【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AD∥CE，CD∥AE∴四边形AECD为平行四边形，∵∠ACB=90°，CE是△ACB的中线∴CE=AE，∴四边形ADCE是菱形（2）∵CE=4，AE=CE=EB∴AB=8，AE=4∵四边形ADCE是菱形，∠DAE=60°∴∠CAE=30°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=8，∴AC=，∴．【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．26．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠DBF，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴平行四边形BFDE是菱形；（2）连接EF，交BD于O，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF∥AB，∴∠FDC=∠A=90°，∴DF=，在Rt△DOF中，OF=，∴菱形BFDE的面积=．【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC=4，BC=3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF=∠ECD，∵E是AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF=CD，∴四边形AFCD是平行四边形，。
2014年春季新版华东师大版八年级数学下学期第19章、矩形、菱形与正方形单元复习试卷1
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单元评价检测(四)第20章(45分钟 100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2012·益阳中考)如图,点A是直线l外一点，在l上取两点B,C,分别以A,C 为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连结AB,AD,CD,则四边形ABCD 一定是( )(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)梯形2.(2012·张家界中考)顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形3.点A，B，C，D在同一平面内,从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种4.(2012·威海中考)如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )(A)AE=AF (B)EF⊥AC(C)∠B=60°(D)AC是∠EAF的平分线5.下列说法不正确的是( )(A)对角线相等且互相平分的四边形是矩形(B)对角线互相垂直平分的四边形是菱形(C)一组对边平行且不等的四边形是梯形(D)一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6.四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( )(A)菱形 (B)矩形 (C)等腰梯形 (D)平行四边形7.如图,在等边△ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,D为MN的中点,CD,BD 的延长线分别交于AB,AC于点E,点F,下列结论正确的是( )；①MN的长是BC的12；②△EMD的面积是△ABC面积的116③EM和FN的长度相等；④图中全等的三角形有4对；⑤连结EF，则四边形EBCF一定是等腰梯形.(A)①②⑤ (B)①③④ (C)①②④ (D)①③⑤二、填空题(每小题5分,共25分)8.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是___________,逆命题是___________命题(填“真”“假”).9.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是________. (填上你认为正确的一个答案即可)10.如图是五个正三角形组成的图形,图中等腰梯形的个数有_________个.11.如图,四边形ABCD是矩形,F是AD上一点,E是CB延长线上一点,要使四边形AECF为等腰梯形,在不连结其他线段的前提下,还需添加的一个条件是_______.12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有________.(只填写序号)三、解答题(共47分)13.(11分)如图,在□ABCD中,AC交BD于点O,点E、点F分别是OA,OC的中点,请判断线段BE,DF的位置关系和数量关系,并说明你的理由.14.(12分)已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE,DF是△ABC的中位线,连结EF,AD.求证:EF=AD.15.(12分)(2012·温州中考)如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,将△ABC沿射线BC方向平移10 cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连结AD,求证:四边形ACFD是菱形.16.(12分)(2012·盐城中考)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°, E为BC上一点,∠BDE=∠DBC.(1)求证:DE=EC；(2)若1试判断四边形ABED的形状,并说明理由.AD BC,2答案解析1.【解析】选A.根据题意,得AD=BC,AB=DC,根据平行四边形的判定定理,四边形ABCD一定是平行四边形,故选A.2.【解析】选C.∵矩形的对角线相等,∴所得的四边形是菱形,故选C.3.【解析】选B.根据平行四边形的判定方法, ①②, ①③, ②④,③④能使四边形ABCD是平行四边形,故选B.4.【解析】选C.由题意易证四边形AECF是平行四边形，再由菱形的判定方法知A,B选项都可判定四边形AECF是菱形；而D选项中AC是∠EAF的平分线易证AE=AF,故也能判定四边形AECF是菱形；C选项不能判断四边形AECF是菱形.5.【解析】选D.根据题意,选项A，B，C都正确,选项D可以是直角梯形,故不正确.6.【解析】选C.如图,∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,∴∠A=∠D,∠B=∠C,且∠A≠∠B,∠C≠∠D,∴2(∠A+∠B)=360°,∴∠A+∠B=180°,即同旁内角互补,∴四边形ABCD的形状是等腰梯形.故选C.7.【解析】选D.①由三角形的中位线可证得,故正确；②无法得到此结论,故不正确；③利用A.S.A.可判定△EMD≌△FND,从而可得到EM=FN,故正确；④共5对,分别是:△BDM≌△CDN,△DME≌△DNF,△BDE≌△CDF,△ABF≌△ACE,△BCE≌△CBF,故不正确.⑤可通过证明三角形全等得到BE=CF且EF∥BC,从而推出四边形EBCF一定是等腰梯形,故正确；所以正确的有①③⑤,故选D.8.【解析】原命题的逆命题是:对角线互相平分的四边形是平行四边形；逆命题是真命题.答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形真9.【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为90°的平行四边形为矩形可得结论.答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不唯一)10.【解析】根据题意,四边形ABEG、BCDF、EFAC、ACDG均为等腰梯形.答案：411.【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AF∥BC,AB=CD,∠ABE=∠D=90°,当BE=DF或∠E=∠CFD或∠EAB=∠FCD时,△ABE与△CDF全等,∴AE=CF,∴四边形AECF为等腰梯形.答案：BE=DF或∠E=∠CFD或∠EAB=∠FCD或AE=CF12.【解析】∵DE∥CA，DF∥BA.∴四边形AEDF是平行四边形；当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，可证AE=ED,故四边形AEDF是菱形；当AD⊥BC且AB=AC时，由等腰三角形的三线合一性质得AD平分∠BAC.答案：①②③④13.【解析】BE=DF,BE∥DF.理由:∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE=OF,∴BFDE是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF.14.【解析】∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DF∥AC ,∴四边形AEDF是平行四边形.又∵∠BAC=90°.∴平行四边形AEDF是矩形,∴EF=AD.15.【证明】方法一:∵∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,()AC10cm.∴===由平移变换的性质,得CF=AD=10 cm,DF=AC=10 cm,∴AD=CF=AC=DF,∴四边形ACFD为菱形.方法二:由平移的性质,得AD∥CF,AC∥DF,且AD=CF=10 cm,∴四边形ACFD是平行四边形.又∵∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,∴===AC10 cm,∴AC=CF,∴四边形ACFD是菱形.16.【解析】(1)∵∠BDC=90°,∴∠BDE+∠EDC=90°,且∠DBC+∠C=90°, 又∵∠BDE=∠DBC,∴∠EDC=∠C,∴DE=EC；(2)四边形ABED是菱形.理由:∵∠BDE=∠DBC,∴BE=DE,BC.∵DE=EC,∴BE=EC=12∵AD=1BC,∴AD=BE.2又∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形.又∵BE=DE,∴四边形ABED为菱形.。
华东师大版八年级下册19.2.1菱形的性质同步练习含答案
华东师大版八年级下册第19章矩形、菱形与正方形19．2菱形19.2.1菱形的性质同步练习题1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是()A．25B．20C．15D．102．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A，B的坐标分别是()A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4)3．已知菱形的周长为20 cm，两个邻角的比是1∶2，这个菱形较短的对角线的长是____cm.4．已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：△ADE≌△CDF.5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于()A．10 B.7 C．6 D．57．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝____．8．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．9．菱形既是图形，又是图形．10．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)11．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于()A．75°B．60°C．50°D．45°12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝k x的图象上，则k的值为____．13．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE. 求证：OE＝BC.14．如图，在菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F.如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．15．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．416．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．答案：1. B2. D3. 54. 由AAS可证△ADE≌△CDF5. D6. D7. 12 58. 1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB綊CD，又∵BE＝AB，∴BE綊CD∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°9. 轴对称中心对称10. B11. B12. －613. ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC，∴四边形OCED是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC14. 连结BD，∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD，又∵EF⊥AC，∴BD∥EF，∴四边形EFBD 为平行四边形，∴FB＝ED＝2，∵E是AD的中点，∴AD＝2ED＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝1615. C16. (1)连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF(2)连结AC，由(1)得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形。
华师大版初中数学八年级下册《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．菱形的周长为4，两个相邻内角度数为1：2，则该菱形的面积为（）A．B．C．2D．24．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°5．下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分6．某课外小组设计了一个菱形挂钟．如图，菱形的边长为12厘米，时钟的中心在菱形的交点上，∠ADC=120°，数字3，6，9，12分别在四个顶点ABCD上，则数字1的位置与D点的距离为（）A．3厘米B．4厘米C．3厘米D．6厘米7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．28．如图，在菱形ABCD中，∠B=100°，O是对角线AC的中点，过点O作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N，则下列结论错误的是（）A．∠ACD=40°B．OM=ON C．AM+BN=AB D．MN=AC 9．如果菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积是（）A．12B．6C．5D．710．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC 的中点，在下列结论中错误的是（）A．S△ADE=S△EODB．四边形BFDE是中心对称图形C．△DEF是轴对称图形D．∠ADE=∠EDO12．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相C．一组邻边相等D．对角线互相平分13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P在对角线BD上，PE⊥AD，若BD=12cm，则PE的长为（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定二．填空题（共22小题）16．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为．17．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=．18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=s时，△PAB为等腰三角形．19．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=8，则菱形ABCD的面积为．20．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为．21．如图，边长为2菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第6个菱形的边长为．22．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是．23．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．24．如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线相交于点F．若∠BCF=90°，则∠D的度数为．25．如图，菱形ABCD落在平面直角坐标系中，其中A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），则C点坐标是．26．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=10，E点在BD上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于．27．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为．28．已知菱形的周长为40，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长度分别为．29．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为．30．若菱形的周长是20cm，相邻的两个内角的度数比是1：2，那么菱形中较短的一条对角线的长是cm．31．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．32．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=度．33．如图，菱形ABCD的边长为cm，菱形的四个顶点正好能放在间隔距离（相邻两条平行线间的距离）为1cm的一组平行线上，则菱形的面积为cm2．34．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．35．学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为cm，其中一个内角为60°．若d=26，该纹饰要用231个菱形图案，则纹饰的长度L=cm．36．如图所示，两个全等的菱形边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA…的顺序沿菱形的边循环运动，行走2011m停下，则这个微型机器人停在点．37．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．三．解答题（共13小题）38．如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．39．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF=BE．（2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM=BE．40．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：菱形ABCD对角线AC，BD的长．41．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，DE⊥AB于E，（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求DE的长．42．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．43．如图，菱形ABCD的周长为48cm，它的一条对角线BD长12cm．（1）求菱形的每一个内角的度数．（2）求菱形另一条对角线AC的长．44．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．45．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B=60°，从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以2cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以4cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当Q点运动点D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时，请求此时x的值是多少秒？46．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=10，过O作OH⊥AB，垂足为H．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求OH的长．47．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF（1）AE和AF有何数量关系？证明你的结论．（2）过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．48．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．49．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP 交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．50．如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．华师大新版八年级下学期《19.2.1 菱形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．用一长一短的两根木棒，在它们的中心处固定一个小螺钉，做成一个可转动的叉形架，四个顶点用橡皮筋连成一个四边形，转动木条，这个四边形变成菱形时，两根木棒所成角的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】根据菱形的判定方法即可解决问题；【解答】解：如图，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故选：A．【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是熟练掌握类型的判定方法，属于中考常考题型．2．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC ⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=6（cm）．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．菱形的周长为4，两个相邻内角度数为1：2，则该菱形的面积为（）A．B．C．2D．2【分析】求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解．【解答】解：如图，AB=4÷4=1，∵两个相邻内角的度数的比为1：2，∴∠BAD=×180°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴BO=×1=，在Rt△ABO中，AO===，∴AC=2AO=，∴菱形的面积为：AC•BD=×1×=故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线BD为边的三角形是等边三角形是解题的关键．4．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠AED，易得解．【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故选：B．【点评】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．5．下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】由菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形对角线所在直线是对称轴，继而求得答案．【解答】解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，∴对角线所在直线是对称轴．故A，B，D正确，C错误．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．6．某课外小组设计了一个菱形挂钟．如图，菱形的边长为12厘米，时钟的中心在菱形的交点上，∠ADC=120°，数字3，6，9，12分别在四个顶点ABCD上，则数字1的位置与D点的距离为（）A．3厘米B．4厘米C．3厘米D．6厘米【分析】设时钟的中心为O点，数字1所在的位置是E点，连结AC、OD、OE，根据菱形的性质得出∠ODC=∠ODE=∠ADC=60°，OD⊥AC，∠DOE=∠AOD=30°．解Rt△ODC求出OD=CD=6cm，解Rt△ODE，求出DE=OD=3cm．【解答】解：设时钟的中心为O点，数字1所在的位置是E点，连结AC、OD、OE．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ODC=∠ODE=∠ADC=60°，OD⊥AC，∠DOE=∠AOD=30°．∵在Rt△ODC中，∠COD=90°，∠OCD=30°，∴OD=CD=6cm．∵在Rt△ODE中，∠OED=180°﹣∠DOE﹣∠ODE=180°﹣30°﹣60°=90°，∠DOE=30°，∴DE=OD=3cm．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求出∠OED=90°是解题的关键．7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．8．如图，在菱形ABCD中，∠B=100°，O是对角线AC的中点，过点O作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N，则下列结论错误的是（）A．∠ACD=40°B．OM=ON C．AM+BN=AB D．MN=AC【分析】根据菱形的性质，对角线互相平分且垂直，各边平行且相等，然后判断各选项即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=100°，∴∠BCD=80°，∴∠BCA=∠DAC=40°，连接BD，如下图所示：∵在△DOM和△BON中，，∴△DOM≌△BON（AAS），∴OM=ON，DM=BN，∴AM+BN=AB，∵M不是AD的中点，∴MN≠AC，∴选项D是错误的，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用．9．如果菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积是（）A．12B．6C．5D．7【分析】根据菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度），求出即可．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴这个菱形的面积是：×3×4=6．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练根据菱形对角线求面积公式是解题关键．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．11．如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC 的中点，在下列结论中错误的是（）A．S△ADE=S△EODB．四边形BFDE是中心对称图形C．△DEF是轴对称图形D．∠ADE=∠EDO【分析】由O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，易证得四边形BFDE是菱形，△DEF是等腰三角形，即可判定B，D正确；又由等底等高三角形的面积相等，即可判定A正确，继而求得答案．【解答】解：A、∵E是OA的中点，∴AE=OE，∵△ADE与△EOD等高，∴S=S△EOD，△ADE故本选项正确；B、∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是中心对称图形；故本选项正确；C、∵OE=OF，AC⊥BD，∴△DEF是等腰三角形，∴△DEF是轴对称图形；故本选项正确；D、∵AD＞OD，AE=OE，∴∠ADE≠∠ODE，故本选项错误．故选：D．【点评】此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相C．一组邻边相等D．对角线互相平分【分析】对菱形和平行四边形的性质进行比较从而得到最后答案．【解答】解：根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，发现只有一组邻边相等只有菱形具有平行四边形不具有，故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质及平行四边形的性质，属于基础题，要注意掌握一些图形的基本性质．13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P在对角线BD上，PE⊥AD，若BD=12cm，则PE的长为（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm【分析】连接AC，则可判定△ADC是等边三角形，然后可得出AD、ED的长度，继而在Rt△PED中可求出PE的长．【解答】解：由题意得，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，故可得△ADC是等边三角形，OD=OB=BD=6cm，在RT△AOD中，AD===4，又∵E是AD的中点，∴AE=ED=AD=2cm，在RT△PED中，PE=EDtan∠ADB=2×=2cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，利用菱形的对角线平分一组对角的性质求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°﹣130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．15．如图，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定【分析】根据菱形四边相等的性质，可得出AE=AD=BC=EB，从而可得出AB与BC 的关系．【解答】解：∵菱形的四边相等，∴AE=AD=BC=EB，即可得出AB=AE+EB=2BC．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质及平行四边形的性质，属于基础知识的考察，关键是掌握平行四边形的对边相等及菱形的四边相等的性质．二．填空题（共22小题）16．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为52．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可知AO和BO的长，再根据勾股定理即可求得AB的值，由菱形的四个边相等，继而求出菱形的周长．【解答】解：已知AC=10，BD=24，菱形对角线互相垂直平分，∴AO=5，BO=12cm，∴AB==13，∴BC=CD=AD=AB=13，∴菱形的周长为4×13=52．故答案是：52．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求AB的值是解题的关键．17．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=．【分析】先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH 的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB==5，∵S=•AC•BD，菱形ABCDS菱形ABCD=DH•AB，∴DH•5=•6•8，∴DH=．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=5或8或s时，△PAB为等腰三角形．【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，AP2=32+（4﹣AP）2，AP=；t=÷1=（s），故答案为：5或8或．【点评】本题考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．19．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=8，则菱形ABCD的面积为24．【分析】由菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=×6×8=24．故答案为：24．【点评】此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线乘积的一半定理的应用．20．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为8．【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半，即可得出另一条对角线的长．【解答】解：设另一条对角线为x，由题意得，×x×4=16，解得：x=8．故答案为：8．【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意掌握菱形的面积=对角线乘积的一半．21．如图，边长为2菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第6个菱形的边长为18．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律不难求得第6个菱形的边长．【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=2，∴BM=1，∴AM==，∴AC=2AM=2，同理可得AC1=AC=6，AC2=AC1=6，AC3=AC2=18，AC4=AC3=18．故答案为：18．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．22．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是24．【分析】先由菱形ABCD的周长求出边长，再根据菱形的性质求出OA，然后由勾股定理求出OB，即可得出BD．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=AC=5，OB=BD，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AB=13，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB===12，∴BD=2OB=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和运用勾股定理计算是解决问题的关键．23．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，∵BM=AE，∴AD=ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，∴∠MEF=∠ADE，∴在△DAE和△EMF中，∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE=MF，∠M=∠A=60°，又∵BM=AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF=AE，∵AE=t，CF=2t，∴BC=CF+BF=2t+t=3t，∵BC=4，∴3t=4，∴t=故答案为：．或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到AE=BF，列出方程即可．【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．24．如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线相交于点F．若∠BCF=90°，则∠D的度数为60°．【分析】首先连接AC．由条件易得AE垂直平分CF，则AC=AF，易证得△AEF≌△DEC，则可得△ACD为正三角形，故∠D=60°．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=AC，∵∠BCF=90°，∴∠AEF=∠BCF=90°，即AD⊥CF，∵点E是AD的中点，∴AC=AF，∵AB∥CD，∴∠F=∠DCE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴CD=AF，∴AC=AD=CD，∴∠D=60°．故答案为：60°．【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．如图，菱形ABCD落在平面直角坐标系中，其中A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），则C点坐标是（2，0）．【分析】根据勾股定理得出AD的长，再利用菱形的性质得出CD的长，即可得出C点坐标．【解答】解：∵A点坐标（0，4），D点坐标（﹣3，0），∴AO=4，DO=3，∴AD=5，∴CD=5，则OC=2，∴C点坐标是：（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出CD的长是解题关键．26．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=10，E点在BD上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于．【分析】首先连接AC，得出BO的长以及EO的长，再利用勾股定理得出AO的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：连接AC，∵在菱形ABCD中，对角线BD=10，∴AC⊥BD，BO=5，∵AE=BE=3，∴EO=2，∴AO==，∴AB==．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，得出AO的长是解题关键．27．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为2和2．【分析】依题意，根据菱形的性质首先求出边长，然后推出对角线与菱形的两边构成的三角形为等边三角形，最后可解答．【解答】解：∵菱形的周长为8，∴菱形的边长是：8×=2，∵两个邻角的比是1：2，∴较大的角是120°，较小的角是60°，∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，∴AC=2，BD=2××tan60°=2．故答案为：2和2．【点评】本题考查菱形性质的运用，属于基础题目，根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据等边三角形的性质求解．28．已知菱形的周长为40，两条对角线长度之比为3：4，那么对角线的长度分别为12，16．【分析】首先根据题意画出图形，然后设OA=3x，OB=4x，由菱形的性质，可得方程：102=（3x）2+（4x）2，继而求得答案．【解答】解：如图，∵菱形的周长为40，∴AB=10，OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵两条对角线长度之比为3：4，∴OA：OB=3：4，设OA=3x，OB=4x，在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，∴102=（3x）2+（4x）2，解得：x=2，∴OA=6，OB=8，∴AC=12，BD=16，∴对角线的长度分别为：12，16．故答案为：12，16．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．29．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为8a．【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得AB=2OE，从而不难求得其周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵点E是AB的中点，∴AB=20E，则菱形ABCD的周长为8a．故答案为：8a．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及中位线的性质的理解及运用，属于基础题．30．若菱形的周长是20cm，相邻的两个内角的度数比是1：2，那么菱形中较短的一条对角线的长是5cm．【分析】由已知可求得较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而得到较短的对角线的长等于其边长．【解答】解：如图，AB=20÷4=5cm，∵两个相邻内角的度数的比为1：2，∴∠BAD=×180°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=5cm，∴BO=×10=cm，∴BD=5cm，在Rt△ABO中，AO==cm，∴AC=2AO=2×=5cm，∴菱形中较短的一条对角线的长是5cm．故答案为5．【点评】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的理解及运用，难度一般，如果不熟练菱形的性质，解答本题的时候可以先画出草图．31．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm．【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．【解答】解：连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，。
新课标华东师大版八年级数学下册 19.1～19.2矩形、菱形同步测试 (含解析)
新课标华东师大版八年级数学下册19.1～19.2矩形、菱形同步测试（含解析）一、选择题(每小题4分，共24分)1．下列命题中，是真命题的是( )A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是( )A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DACC．AC⊥BD D．AB＝BC3．如图4－G－1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定．．．正确的是( )A．AB＝CDB．AC＝BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形4－G－14－G－2.如图4－G－2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm5．如图4－G－3所示，下列条件能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝AD；④AC＝BD.A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③图4－G－34－G－4.如图4－G－4，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结CP，则∠CPB的度数是( )A．108° B．100° C．90° D．72°二、填空题(每小题4分，共24分)7．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝__________．8．已知菱形的边长为5 cm，一条对角线的长为5 cm，则菱形的最大内角的度数是________．9．如果菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC∶BD＝4∶3，那么对角线AC ＝______cm，BD＝______cm.10．如图4－G－5，在矩形ABCD中，BC＝2AB.以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连结BE.若AB＝1，则AE的长为________．4－G－54－G－611．如图4－G－6所示，在▱ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，当AC＝________时，四边形ABCD是矩形．图4－G－712．如图4－G－7，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连结EC，CD，若AB＝BC，则以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的是__________(填序号)．三、解答题(共52分)13．(8分)如图4－G－8，四边形ABCD是平行四边形，EB＝EC，EA＝ED，∠AEB＝∠DEC.求证：四边形ABCD是矩形．图4－G－814.(10分)如图4－G－9，在四边形ABCD中，BC＝DC，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．图4－G－915．(10分)如图4－G－10，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC 沿BC方向平移，使点B移到点C的位置，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图4－G－1016．(12分)如图4－G－11所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE，CF.(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．图4－G－1117．(12分)如图4－G－12，以△ABC的边AB，AC为边的△ABD和△ACE都是等边三角形，四边形ADFE是平行四边形．(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？(2)当∠BAC满足什么条件时，▱ADFE不存在？(3)当△ABC满足什么条件时，▱ADFE是菱形？图4－G－121．A [解析] 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，又因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项正确，C选项错误；对角线互相垂直且相等的四边形可能是下图所示的情况，所以B，D两个选项错误．故选A.2．A [解析] 要使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是OA＝OB，(对角线相等的平行四边形是矩形)．故选A.3．B 4.D5．A [解析] 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．D [解析] 连结PA，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.故选D.7．5 [解析] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O, AC＝10，∴OA＝OB＝12AC＝ 5.∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5.8．120°9.16 1210. 3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，AB＝1，∴AD＝BC＝2，∠A＝90°，∴BE＝BC＝2，∴AE＝BE2－AB2＝22－12＝ 3.故答案为 3.11.34 cm [解析] 要使▱ABCD为矩形，需要一个角为直角，不妨让∠B＝90°，则在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝32＋52＝34(cm)．12．①②③④13．证明：如图，连结AC ，∵∠AEB ＝∠DEC ，∴∠AEB ＋∠BEC ＝∠DEC ＋∠BEC ， 即∠AEC ＝∠DEB . 在△ACE 和△DBE 中， ⎩⎨⎧EA ＝ED ，∠AEC ＝∠DEB EC ＝EB ，， ∴△ACE ≌△DBE (S.A.S.)， ∴AC ＝BD .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：(1)延长OA 到点E .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ，∴∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO .同理可得∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO )，即∠BOD ＝2∠BAD . 又∵∠BCD ＝2∠BAD ， ∴∠BOD ＝∠BCD . (2)连结OC .∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO ，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD .又∵∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ， ∴OB ＝BC .又∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，∴OB ＝BC ＝DC ＝DO ，∴四边形OBCD 是菱形． 15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ， ∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得：DE ＝AC ，CE ＝BC ，DC ＝AB ， ∠ECD ＝∠ABC ＝90°，∴AD ＝CE .在△ACD 和△EDC 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE ， ∴△BDE 是等腰三角形．16．解：(1)证明：∵AF ∥CE ，∴∠FAD ＝∠ECD . ∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . 又∵∠ADF ＝∠CDE ， ∴△ADF ≌△CDE ， ∴AF ＝CE .(2)若AC ＝EF ，则四边形AFCE 是矩形． 证明：由(1)知AF 綊CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AFCE 是矩形．17．解：(1)当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE 是矩形． (2)当∠BAC ＝60°时，▱ADFE 不存在． (3)当AB ＝AC 时，▱ADFE 是菱形．。
华师大新版八年级(下) 中考题同步试卷：19.2 菱形(04)
华师大新版八年级（下）中考题同步试卷：19.2 菱形（04）一、选择题（共5小题）1．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 2．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝（）A．3B．4C．5D．63．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题）6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．7．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于．8．如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是cm．9．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD 先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为．10．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．11．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE ＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．12．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD＝1：2，则AO：BO＝，菱形ABCD的面积S＝．13．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，则＝．三、解答题（共17小题）14．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．15．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．16．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF 平行于BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？17．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．18．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD 是菱形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．20．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．22．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO．24．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE＝EC；（2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．25．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．26．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF＝CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．28．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．29．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：OE＝BC．30．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．华师大新版八年级（下）中考题同步试卷：19.2 菱形（04）参考答案一、选择题（共5小题）1．B；2．B；3．B；4．B；5．C；二、填空题（共8小题）6．AB＝BC或AC⊥BD等；7．4；8．3；9．（﹣5，7）或（5，﹣7）；10．3；11．（）n﹣1；12．1：2；16；13．；三、解答题（共17小题）14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．1；2；。
八年级数学下册19.2菱形1.菱形的性质练习(含答案)
19.2 菱形1.菱形的性质1.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,则对角线BD的长为( C )(A)1 (B)(C)2 (D)22.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( C )(A)4 (B)(C)(D)53.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是( B )(A)24 (B)20 (C)10 (D)54.如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4 cm,则点P到BC的距离是 4 cm.5.如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16 c m,若墙上钉子间的距离AB=BC=16 cm,则∠1= 120°.6.如图,在菱形ACBD中,对角线AB,CD相交于点O,CE⊥AD于点E,若AB=16,CD=12,则菱形的面积是96 ,CE= 9.6 .第6题图7.(2018广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(-5,4) .第7题图8.已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:∠AFD=∠CBE.证明:因为四边形ABCD是菱形,所以CB=CD,CA平分∠BCD.所以∠BCE=∠DCE.又CE为公共边,所以△BCE≌△DCE.所以∠CBE=∠CDE.因为在菱形A BCD中,AB∥CD,所以∠AFD=∠FDC,所以∠AFD=∠CBE.9.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.解:(1)如图所示,直线EF即为所求.(2)因为四边形A BCD是菱形,∠CBD=75°,所以∠ABD=∠DBC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.所以∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°.所以∠C=∠A=30°.因为EF是线段AB的垂直平分线,所以AF=FB.所以∠A=∠FBA=30°.所以∠DBF=75°-30°=45°.10.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连结EF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)∠BEF=∠BFE.证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD,∠A=∠C.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°.所以△ADE≌△CDF.(2)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB.因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF.所以AB-AE=C B-CF.所以BE=BF.所以∠BEF=∠BFE.11.(规律探索题)如图,两个连在一起的全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,当微型机器人行走了2 019米时停下,求这个微型机器人停在哪个点?并说明理由.解:这个微型机器人停在D点.理由如下:因为两个全等菱形的边长为1米,所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA顺序走一圈所走的距离为8×1=8米.因为2 019÷8=252……3,所以当微型机器人走到第252圈后再走3米正好到达D点.12.(拓展探究题)如图1,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)解:(1)因为菱形的两条对角线长分别为6,8,所以对角线的一半分别为3,4,所以菱形的边长为5,所以图1平行四边形的周长为2×(5+8)=26; 图2平行四边形的周长为2×(5+6)=22.(2)如图3所示.。