1.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案 2
专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)
1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。
2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。
3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。
（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。
【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。
【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为 ．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可． 【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为 ．【分析】由题意可得 ，化简可得 ，由此求出x 的范围，即得函数的定义域． 【答案】解：∵函数，∴，即 ．化简可得 ，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题． 【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为 ．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域 ． 【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5， 故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为 ．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]， 所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴， 函数的值域为． 故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是 ．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围． 【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]． 若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可． 【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数． （1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π． 【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象． 【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题． 【考点4 正、余弦函数的最小正周期】 【例4】求下列函数的最小正周期． （1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论． （2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论． 【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期 （1）cos2y x =； （2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解． 【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期． （1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】 【例5】判断下列函数的奇偶性： （1）cos2y x =，x R ∈； （2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可． 【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数； （2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数； （4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 【变式5-1】判断下列函数的奇偶性 （1）()sin()f x x x π=+； （2）1cos ()sin xf x x-=． 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． （2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ， 且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数． （2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ）， 故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ； （2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数； （2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1， 解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题． 【变式5-3】判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数． 【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）； 即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点． 【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心． 【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为 （2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题． 【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心． 【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣）， 令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ． 令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+， 可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ． 令2x ﹣＝k π，求得x ＝+， 可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可． 【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题． 【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心． （1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题． 【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1． （Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间． 【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3． 取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题． 【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可． 【答案】解：（1）， 由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题． 【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ， 令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题 的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出． 【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7， 当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值． 【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值； （2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值； （Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0， 即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0， 即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ， 由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣； （Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。
高中数学导高中数学学案2：1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
必修四 第一章 三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评． “合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评． “巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题． “能力展示”5分钟，教师作出总结性点评． 通过本节学习应达到如下目标：1．认识并理解五点法作正弦函数、余弦函数图象2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界． 3．通过合作学习培养合作精神． 学习重点：五点法作正弦函数、余弦函数图象 学习难点：五点法作正弦函数、余弦函数图象 学习过程 一. 自主学习 ①“五点法”作简图：观察y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？关键五点：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（32π ，-1）、（2π，0）。
事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本定位了。
因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。
注： 五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值；画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。
二.合作探讨如何准确简便的做出正弦函数与余弦函数图象二. 巩固练习1．已知函数在一个周期内的图象如图所示，要得到函数的图象，则需将函数的图象( )A ．向右平移B ．向左平移C ．向右平移D ．向左平移 2．为了得到的图象，只需将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位)0(sin >=ωωx y )1221sin(π+=x y x y ωsin=12π12π6π6π)32sin(π+=x y x y 2sin =3π3π6π6π3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） （A ）32 (B)34 (C)23(D)3 4．将函数x y 4sin =的图像向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图像，则ϕ等于（ ） A 、12π-B 、3π-C 、3π D 、12π 5．若函数的图象相邻两条对称轴间距离为，则等于（ ） A ．B ．C ．2D ．46．已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如右：那么ω＝（ ） A ．1B ．2C ．21D ．317．函数的图像的两个相邻零点为和(,0)2π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、 B 、)42sin(2π+=x y C 、)623sin(2π+=x y D 、)62sin(2π+=x y 8．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图像（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（ ） A 、1,3πωϕ==B 、1,3πωϕ==-C 、1,26πωϕ== D 、1,6πωϕ==- cos()3y x πω=+(0)ω>2πω1212)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y )0,6(π-)423sin(2π+=x yx四.个人收获与问题 知识：方法：我的问题五.拓展能力：已知()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-≤≤的图象如右图（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）说明()y f x =的图象是由sin y x =的图象经过怎样的变换得到?答案：三. 巩固练习四. 1—8、DCCCC, BAC 五.拓展能力： 解: ( 1) 由图知A= 4由35466T πππ=-=,得109T π= 所以95ω=由 9562ππϕ⨯+=,得5πϕ= 所以,9()4sin()55f x x π=+(2) ①由sin y x =得图象向左平移5π单位得sin()5y x π=+的图象② 再由sin()5y x π=+图象的横坐标缩短为原来59得9sin()55y x π=+的图象③由9sin()55y x π=+的图象纵坐标伸长为原来的4倍得9()4sin()55f x x π=+的图象。
人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图 步骤： (1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x1－11(2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______平移π2个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．知识点二利用三角函数图象求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.课时作业一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象( ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称 3．如果x ∈[0,2π]，则函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域为( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤π2，πD.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．已知函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π2≤x ≤5π2的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π二、填空题6．函数y ＝cos x1＋sin x的定义域为____________．7．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题9．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．10．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|sin x |，x ∈R ；(2)y ＝sin|x |，x ∈R .§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理1．(1)正弦 余弦2．(2)(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) 3．左 自主探究解 正、余弦曲线如图所示．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ，②当π4<x <5π4时，sin x >cos x .③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .对点讲练例1 解 利用“五点法”作图 取值列表：x 0 π2π3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 121变式训练1 x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2例2 解 由题意，x 满足不等式组⎩⎨⎧sin x >016－x 2≥0， 即⎩⎨⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．变式训练2 解 由⎩⎪⎨⎪⎧8x －x 2>0cos x ≥0，得⎩⎨⎧0<x <8cos x ≥0.画出y ＝cos x ，x ∈[0,3π]的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2∪⎣⎡3π2，5π2.例3 解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫1101，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．变式训练3 解 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．课时作业 1．D2．C [结合图象易知．]3．C [∵sin x ≥0且－cos x ≥0，∴x ∈⎣⎡⎦⎤π2π.] 4．A[∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.]5．C [数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2， y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π.]6.⎝⎛⎦⎤－π22k π，π2＋2k π (k ∈Z ) 解析 x 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin x ≠0⇒sin x ≠－1，cos x ≥0，综合正、余弦函数图象可知：－π2＋2k π<x ≤π2＋2k π. 7.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋2π3 ，(k ∈Z ) 解析 由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12，∴2k π－2π3x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .8.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π] 与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象得：π4≤x ≤5π4.9．解 利用“五点法”作图． (1)列表：(2)列表：10．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)(可编辑修改word版)
2第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 ； 画余弦函数 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x ＝sin (x ＋π)，要得到 y ＝cos x 的图象，只需把 y ＝sin x 的图象向π平移 个单位长度即可．2知识点归纳：1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2. 五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题 1. 函数 y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴πC ．直线 y ＝xD ．直线 x ＝2π2. 函数 y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后，得到函数 y ＝g (x )的图象，则 g (x )的解析式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y ＝－sin x ，x ∈[－2， 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π，3π)B.(π π] (5π 3π]， ∪ ， C.(π，π)D.(5π，7π)5. 若函数 y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y ＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图 形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程 sin x ＝lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是 ．8. 函数 y ＝ 2cos x ＋1的定义域是 ． 9. 方程 x 2－cos x ＝0 的实数解的个数是 ． 10. 设 0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则 x 的取值范围为 ． 三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．4 4 4 212.分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13.求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．( )解析 y ＝sin x −−−−−−→ y ＝sin x － 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2．(0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0) (0,1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)π 3 π 3 22223．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出 y ＝sin x ，x ∈(0，π)与 y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得 x ∈(π，3π).]4 45．D [作出函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线 y ＝2 围成的 平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位， 得到 y ＝sin x 的图象．描出点 1，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y ＝lg x 的图象，如图所示．10由图象可知方程 sin x ＝lg x 的解有 3 个．] 7．y ＝－cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1，结合图象知 x ∈[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z . 2 3 39．2解析 作函数 y ＝cos x 与 y ＝x 2 的图象，如图所示，4 4由图象，可知原方程有两个实数解．10.[π，5π]解析由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：π 5观察图象知x∈[ ，π]．4 411.解利用“五点法”作图(1)列表：X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 －1 01－sin x 1 0 1 2 1(2)列表：X 0π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－1－cos x －2 －1 0 －1 －212.解(1)y＝|sin x|＝Error! (k∈Z)．其图象如图所示，(2)y＝sin|x|＝Error!，其图象如图所示，13.解由题意，x 满足不等式组Error!，即Error!，作出y＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．14.解f(x)＝sin x＋2|sin x|＝Error!图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
《正弦函数、余弦函数的图像》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(解析版)
§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应．由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R . 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份．过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象，如图．把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象．正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象“五点法”作正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的步骤 1．列表2.描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 3．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y ＝sin x (x ∈[0,2π])、余弦函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的简图．1．正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右和上、下无限伸展．( × )提示 正弦函数y ＝sin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y ＝1和y ＝－1之间．2．函数y ＝sin x 与y ＝sin(－x )的图象完全相同．( × ) 提示 二者图象不同，而是关于x 轴对称．3．余弦函数y ＝cos x 的图象与x 轴有无数个交点．( √ )4．余弦函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状和位置都不一样．( × ) 提示 函数y ＝cos x 的图象与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．题型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．考点正弦函数图象题点正弦函数图象解(1)取值列表：(2)描点连线，如图所示．反思感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示．题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．反思感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．跟踪训练2 求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域． 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z .正弦、余弦函数图象的应用典例 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用解 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6.作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立．所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪ π6＋2k π<x ≤π3＋2k π，⎭⎬⎫或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . [素养评析] 作出相应正弦、余弦函数的图象，借助三角函数图象使问题得解，这正是数学核心素养直观想象的具体体现.1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 B解析 “五点法”作图是当2x ＝0，π2，π，3π2，2π时的x 的值，此时x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 D解析 方法一 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象，作关于x 轴的对称图象，就可以得到函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图． 方法二 可以用特殊点来验证． x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C. 当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. 4．点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m ＝________. 考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 －1解析 点M 在y ＝sin x 的图象上， 代入坐标得－m ＝sin π2＝1，所以m ＝－1.5．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 画图可知(图略)．1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y＝a sin x＋b的图象的步骤3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．一、选择题1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点 考点 正弦函数的图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 画出y ＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确．2．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象 答案 A解析 由“五点法”可知选A.3．(2018·山西孝义高二期末)对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下描述： ①将[0,2π]内的图象向左、向右平移2k π(k ∈Z )个单位长度；②与y＝sin x图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有()A．1个B．2个C．3个D．4个考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的应用答案 D解析根据余弦函数的图象可以判断都正确．4．(2018·安徽滁州高二期末)函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()考点正弦函数的图象题点正弦函数图象答案 B解析 当x ＝π2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝1； 当x ＝2π时，y ＝1；结合正弦函数的图象可知B 正确． 5．下列各组函数中图象相同的是( ) ①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )； ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2； ③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .A ．①③B ．①②C ．③④D ．④ 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 D解析 由诱导公式知，只有④中，y ＝sin(2π＋x )＝sin x . 6．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根考点 余弦函数的图象 题点 余弦函数图象的应用 答案 C解析 在同一坐标系中作出函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x |＝cos x 有两个根． 7．(2018·广西贺州高二期末)在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤3π4，π考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用 答案 C解析 如图所示，在同一坐标系内作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象和y ＝22的图象．由图可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 8．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，2π，0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故选D.二、填空题9．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 答案 [－1,0]解析 ∵2m ＋1＝sin x ∈[－1,1]， 即－1≤2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0.10．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫7π6，11π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是____________．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈N 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示．当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象的上方，此时－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k ∈N )．三、解答题12．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域． 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 解 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z .sin x >12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．13．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．考点正弦函数图象题点正弦函数图象的应用解列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)由图可知，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．14．(2018·广西钦州高二期末)已知函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π 考点 正弦函数图象 题点 正弦函图图象的应用 答案 C解析 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积， ∴S ＝2π.15．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．考点 正弦函数图象 题点 正弦函数图象的应用解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3)．。
正弦函数、余弦函数的图象 导学案 高一数学人教A版第一册(全国)
第五章 三角函数5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习要求】1.了解正弦函数图象的正弦线画法,掌握正弦函数图象的几何特征;2.掌握五点法,并能熟练画一些简单函数的图象. 【教学过程】 一、情境引入1.终边相同角的诱导公式：sin(2)k απ+= ()k Z ∈.2.周期函数：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数．一般地，对于函数f (x )，如果存在非零常数T ，使得定义域内的“每一个x 值”，都有f (x+T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做f (x )的周期．3.正弦函数的周期是： ；最小正周期是： ．二、知识整理用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象sin ,[0,2]y x x π=∈，(2)描点连线(3)因为终边相同的角的三角函数值相同,所以sin y x =在……,[4,2]ππ--, [2,0]π-,[0,2]π,[2,4]ππ,……的图象与sin y x =，[0,2]x π∈的图象相同.方法小结：（1）用“五点法”作正弦函数的图象； （2）“五点法”作图的关键点.x 0 2π π32π 2πy1-1三、典例选讲例1.作下列函数的简图(1)1sin ,[0,2]y x x π=+∈; （2）sin 2,[0,]y x x π=∈;（3）5sin(),[,]333y x x πππ=+∈-； （4）53sin(2),[,]366y x x πππ=+∈- .思考：几何法（利用三角函数线画正弦函数图象）四、小结提升通过这节课的学习①你经历了什么样的过程？②你获得了什么样的知识、技能、方法？③你感受最深的是什么？五、练习巩固1.1sin y x =+，x ∈[0，2π]的图象与直线y =1.5的交点个数为 .2.在[0，2π]内4sin y x =的单调增区间为 ;单调减区间为 .3.用五点法分别作下列函数在[2,2]ππ-上的图象：(1) sin y x =-; (2) sin 2y x =-.4.把第3题所作的图象和sin y x =,[2,2]x ππ∈-的图象进行比较，说明这些图象与sin y x =,[2,2]x ππ∈-的图象的位置关系.5.画出下列函数的图象(1) sin()y x =-,[0,2];x π∈ (2) sin()4y x π=-,9[,]44x ππ∈(3)12sin()26y x π=-, 13[,]33x ππ∈ (4)sin(2)14y x π=+-, 7[,]88x ππ∈-。
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§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
出题人： 尹书燕 审核人： 一、 学习目标：
1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。
2、能熟练运用“五点法”作图。
二、知识回顾：
1、弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2、正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异
于原点的）一点P （x,y ），则：r= =αsin =αcos
3、正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，
OM 叫做角α的余弦线。
三、 知识梳理：
1、 正弦函数图象的画法： （1）、几何法—借助三角函数线 （2）、描点法—五点法
用“五点法”画正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
、 、 、 、 。
2、 余弦函数图象的画法： （1）、要得到y=cosx 的图象，只需要把y=sinx 的图象 单位长度便可，这
是由于cosx=
（2）、用“五点法”画余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是 、 、 、 、 。
四、
小试牛刀：
例1：用“五点法”画下列函数的简图
（1)y=-1+sinx ，x ∈[0，2π] （2）y=-cosx
例2：如何利用y=sinx ，x ∈[0，２π]的图象，通过图形变换（平移、翻转
等）来得到（1）y ＝-1＋sinx ,x ∈[0，２π〕的图象；（2）y=sin(x-π/3)，x
∈[0，２π]的图象；
小结：函数值加减，图像 移动；自变量加减，图像 移动。
例3：用“五点法”画
的简图
五、
能力创新：
1、函数1sin ,[0,2]y
x x π=-∈的大致图象是 （ ）
A B. C. D.
2、不等式cos 0,[0,2]x x π<∈的解集为（ ） A ．
3、将sin 1y x =-的图象向左平移再向上平移1个单位，得到()f x 的图象，则()f x =____________________. 4
y 的取值范围是（ ）
A.[1,1]-
B.
六、
选做题：
1、函数1sin ,[0,2]y x x π=+∈的图象与直线
）
2、作出下列函数的简图：
（1）2cos ,[0,2];y x x π=+∈ （2)2sin ,[0,2].y x x π=-∈
3、函数f(x)=2|sinx|,x ∈[0,2π]的图象与直线y k =有且仅有两个不同交点，求k 得取值范围.。