离散数学第1-3章_习题解答-简化

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离散数学习题解答 P21习题1.3 （1） 若未加说明，可用真值表求
练习 3. 求下列各式的主析取范式和主合取范式：
( P ∨ Q) → ( P Q ) Q) ∨ (( P → P∨ P∨ Q )∧( Q →P)
( P ∨
( P ∧ Q ) ∨ (( ( P ∧ Q )∨ (( ( P ∧ Q ) ∨ (( ( P ∧ Q ) ∨ (
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2 1 1 1 1
3 0 1 1 1
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1 1 1 1
离散数学习题解答 *5. 设 A＝{1，2，3，4} ， R＝{ 1, 2 ， 2, 4， 3, 3}
S＝{ 1, 3 ， 2, 4， 4, 2}
（1）求出 R∪S， R∩S，R - S， R
步 骤
断 言（真） P∧Q P
根
据
1 2
3 4 5 6
P 附加前提 T, 1, I2 T, 1, I1
P T, 3, 4, I3 CP规则
P∨Q
P∨Q→R R P∧Q→R
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离散数学习题解答
P39 习题1.6
11. 设 P(x, y, z) 表示 x * y ＝z，E( x, y )表示 x＝y，G(x , y)表示 x > y，论述域是整数，将下列断言译成逻辑符。 2)如果 xy 0，那么 x 0并且 y 0 x y ( P(x, y,0) → E( x, 0 ) ∧ E( y, 0 )
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15. 设 E(x)表示 “x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，P(x)表示“x是质 数”， N(x)表示“x是负数”， I(x)表示“x是整数” 和一些 中缀表示的谓词 诸如 y＝x2＋1 等，将下列各句译成逻辑式： 3) 一个偶数和一个奇数之和是一个奇数
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P32 习题1.5
6.(1) 煤或大米将涨价，不是这种情况。如果铁路中断运输， 那么煤将涨价。因此铁路不会中断运输。 设 P :煤将涨价 Q :大米将涨价 R :铁路中断运输。
前提：
步 骤
(P ∨ Q)， R → P
断 言 (P ∨ Q) P∧ Q
结论：
根
R
据
1
2
P，前提1 T ，1 , E10 T，2， I2 P，前提2
或： x(Q( x) y ( P( y ) F ( x, y ))) 。。。 或：y (Q( y ) x( P( x) F ( x, y ))) 。。。
【此处假设非快即慢，没有等速的情况：F(x,y)等价于非F(y, x)】
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（4）某些卡车慢于所有火车，但至少有一火车，快于每一卡车。
解：设P(x)：x为火车，Q(x)：x为卡车，F(x,y)：x比y快。 （3） x( P( x) y (Q( y ) F ( x, y ))) （4） x(Q( x) y ( P( y ) F ( y, x)))
x( P( x) y (Q( y ) F ( x, y )))
步 骤
1 2
3
P P∨Q
Q
P 附加前提 P
T, 1 ,2, I5 P T, 3, 4, I5 P T, 5, 6, I3 CP规则
4 5 6 7 8
Q∨R R
R→S S P→S
也可先把前两式转化成蕴含式
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离散数学习题解答 CP规则
12. (3) P ∨ Q → R P ∧ Q → R
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1. 设 P 是命题“天下雪”；
Q 是命题“我去镇上”；
R 是命题“我有时间”。
（2）对下命题用中文写出语句： （ i）
Q （R ∧
P）
我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。 （i v） （R ∨ Q ）
说我有时间或我去镇上是不对的.
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离散数学习题解答 （ 3） ( P → Q ∧ R ) ∧ ( P → ( Q ∧ R )
( P ∨Q ∧ R ) ∧ (P ∨ Q∧ R )
( P ∨Q ) ∧ ( P ∨R ) ∧ ( P ∨ Q ) ∧ (P ∨ R ) Q) ∧
( P ∨Q∨R)∧( P∨Q∨ R)∧( P ∨R ∨ Q )∧( P∨R ∨ (P ∨ Q∨R )∧(P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ R∨Q)∧( P ∨ (
ch1-ch3 习题解答
主讲：鲍永平 数学与统计科学学院
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离散数学习题解答 1. 设 P 是命题“天下雪”； Q 是命题“我去镇上”； R 是命题“我有时间”。
P6 习题1.1
（1）用逻辑符号写出以下命题： （i）如果天不下雪和我有时间，那么我去镇上。 P∧R →Q （i i ）我去镇上，仅当我有时间。 Q →R
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P60 习题2.1
A C常真吗？试举例说明。
9~14 能判真假即可
9. 设 A B C是集合，如果 A B和 BC， A C可能吗？
A C 可能 但 不常真
例如： A＝{a} A＝{a} B＝{{a}} B＝{{a}} C＝{{{a}}, {a} } C＝{{{a}}}
)
3)如果 y ＝1，则对一切x， xy＝x y ( E( y, 1 ) → x P(x, y, x)
)
4) 2x=6，当且仅当 x＝3
x ( P(2, x, 6) E( x, 3 )
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)
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离散数学习题解答 13. 将下列断言符号化，自行选用谓词，式中要有量词。 （3）每一火车都比某些卡车快。
R∨
Q)
∨Q∨R)∧( P∨Q∨ R)∧( P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q∨R )∧ P
(P ∨ Q ∨ R ) ∧ (P∨Q ∨
(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ( 0 , 7 ) (P∧Q∧R)∨(
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R)
P∧ Q∧ R )
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若有 Q(x,y): x=y
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离散数学习题解答 18. 如果论述域是｛a,b,c}，试消去下列公式中的量词： (1) x R(x) ∧ x S(x) R(a) ∧ R(b) ∧ R(c) ∧ ( S(a) ∨ S(b) ∨ S(c) )
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Q1
A C
I3
B＝{a，b}
C＝{ {a，b}}
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P69 习题2.2
18. 指出下列集合的幂集合: （3） 设 A＝｛a｝，求 A 和 （A）的幂集。 解： （A）＝｛ ，｛a｝｝
（（A））＝｛ ，｛ ｝，｛｛a｝｝，｛ ,｛a｝｝｝
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2. 否定下列命题
（1）上海处处清洁 上海并非处处清洁
P14 习题1.2 4. （2）(P→Q)∧(R→Q) (﹁P∨Q)∧(﹁R∨Q)
(﹁P∧﹁R)∨Q ﹁(P∨R)∨ Q P∨R→Q 其它题易证
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x y
(
E( x ) ∧ O( y ) → O( x+y )
)
4)有两个奇数它们的和是奇数
xy
(
O( x )∧O( y ) ∧O( x+y )
)
10) 如果1=3，那么任何整数的平方是正的 ( 1=3 ) → x
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( I( x )→
N( x ) ∧ x 0 )
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,1,
｛0｝, 1 , ｛0,1｝, 1 }
｛0｝, 0 , ｛0,1｝, 0 ,
｛1｝, 0 , ｛1｝, 1 ,
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P97 习题3.1
3. 对下列关系 R，求出关系矩阵MR
（3） A＝{5，6，7，8}， B＝{1，2，3}
R＝{ x, y | x A ∧y B ∧3 x-y 7 }
解：R＝{ 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 7, 1 , 7, 2 , 7, 3 , 8, 1 , 8, 2 , 8, 3 } 1 5 MR ＝ 6 7 8
P 假设前提 P T, 1, 2, I5 P
T, 4, I2
T, 3,5, I3
T, 4, I2 T, 3,7, I3 T, 6,8, 合取式 P
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T, 9,10, 合取式
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12. (1)
适用CP规 则 P ∨ Q ， Q ∨ R，R → S P → S 断 言（真） 根 据
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P89 习题2.5
3. 设 A＝{0，1}，构成 ( A )× A 解： ( A ) ＝｛ ，｛0｝，｛1｝，｛0, 1｝｝
(A)×A
＝ ｛ ，｛0｝，｛1｝，｛0, 1｝｝× { 0, 1 }
＝ { ,0,
Q ) ∧(Q ∨ P )) Q ) ∧Q ) ∨( P ∨ Q ) ∧ P )) Q ∧Q ) ∨ P ∧ P ∨ Q ∧ P )) Q∧P)
P ∧Q ∨ P ∧Q )∨(
( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧Q )∨(P ∧ Q ) (1 , 2 , 3 ) ( 0 ) ( P ∨ 鲁东大学 Q) 2013-2014-2
A C AC
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离散数学习题解答 12. 设 A B 且 A B可能吗？
可能
如： A＝{a}
B＝{a , b , {a} }
14. 对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假： （1）如果 A B 及 B C ，则 A C （3）如果 A B 及 B C ，则 A C （1）真 证：B C x ( xB xC ) AB AC AB （3）假 反例：A＝{a}
前提： P → Q ∨ R， S →
R， P∧S
结论：Q
步 骤
1 2 3 4 5 6 7
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断 言（真）
P∧S
根
据
P P→Q∨R
Q∨R S S→ R
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P T, 1, I2 P T, 2,3, I3 T, 1, I2 P T, 5,6, I3 数学与统计科学学院 T, 4,7, I5
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14. 试译出“ a 是 b 的外祖父”，只允许用以下谓词：
P(x) 表示 “x是人”，F(x , y)表示 “x 是 y 的父亲”， M(x，y)表示 “ x 是 y 的母亲”
x ( P(x) ∧ P(a) ∧ P(b) ∧ F (a , x) ∧ M (x, b)
)
补充：已知 H(x , y) ：x 是 y 的丈夫，S(x , y) ：x 是 y 的姐妹， 翻译 “a 是 b 的连襟” : x y ( P(x) ∧ P(y) ∧ S(x , y) ∧ H(a , x) ∧ H(b , y) )
3
4
Baidu Nhomakorabea
P
R→P
5
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R
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T，3, 4, I4
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9. (1) 如果今天是星期二，那么我有一次计算方法测验或物理测验。如果 物理老师生病，那么没有物理测验。今天是星期二并且物理老师生病。 所以我有一次 计算方法测验。 设 P :今天是星期二 Q :我有一次计算方法测验 R :我有物理测验 S :物理老师生病
8
R Q
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离散数学习题解答 *11.(1) (A →B) ∧ (A →C ), 步 骤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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(B ∧ C ) , D ∨A 推得 D 根 据
断 言（真）
反证法
D D ∨A A (A →B) ∧ (A →C ) A →B B
A →C C B∧C (B ∧ C) (B ∧ C)∧ (鲁东大学 B ∧ C)