4、1函数变换简要讲义
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数的概念及其表示(解析版)
第09讲函数的概念及其表示模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；4．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点1函数的概念1、函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A →B ．3、函数的三要素（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则．如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方．（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值．4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．知识点2求函数定义域的依据1、分式中分母不能为零；2(2,)n k k N *=∈其中中；(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈；3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠；4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．知识点3函数的表示法1、函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．2、描点法作函数图象（1）列表：先找出一些有代表性的自变量x 的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示；（2）描点：从表中得到一些列的点(x ，f (x ))，在坐标平面上描出这些点；（3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来．知识点4分段函数1、定义：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．知识点5函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题．（1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围；（2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ；（3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得()f x ．3、配凑法：由已知条件()()()=f g x F x ，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代g (x )，便得()f x 的解析式．4、方程组法：主要解决已知()f x 与()-f x 、1⎛⎫ ⎪⎝⎭f x 、1⎛⎫- ⎪⎝⎭f x ……的方程，求()f x 解析式．例如：若条件是关于()f x 与()-f x 的条件（或者与1⎛⎫⎪⎝⎭f x ）的条件，可把x 代为-x （或者把x 代为x1）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出()f x ．考点一：对函数概念的理解例1．（23-24高一上·河南濮阳·月考）下图中可表示函数()y f x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义可知一个x 只能对应一个y 值，故答案为B.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）设{}{}123,,,M N e g h ==，，,如下选项是从M 到N 的四种应对方式,其中是M 到N 的函数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于A,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,A 错误;对于B,集合M 中的2N 中的两个数,B 错误;对于C,集合M 中的每个数在集合N 中都有唯一的数对应,C 正确;对于D,集合M 中的3对应了集合N 中的两个数,D 错误,故选:C.【变式1-2】（23-24高一上·四川泸州·期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合{}1,2,4=-M 到集合{}1,2,4,16N =的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2y x =D ．2xy =【答案】C【解析】对于A ，集合M 中的元素1-按对应关系2y x =，在集合N 中没有元素与之对应，A 不是；对于B ，集合M 中的元素4按对应关系2y x =+，在集合N 中没有元素与之对应，B 不是；对于C ，集合M 中的每个元素按对应关系2y x =，在集合N 中都有唯一元素与之对应，C 是；对于D ，集合M 中的元素1-按对应关系2x y =，在集合N 中没有元素与之对应，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（）A ．:,()f AB y f x →=B ．:,()f B A y f x →=C ．:,()f A B x f y →=D ．:,()f B A x f y →=【答案】B【解析】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B考点二：求函数的定义域例2.（23-24高一下·广东茂名·期中）函数y =）A ．()0,∞+B ．()2,+∞C ．[)0,∞+D ．[)2,+∞【答案】D【解析】对于函数y =20x -≥，解得2x ≥，所以函数y =的定义域是[)2,+∞.故选：D【变式2-1】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数3y =）A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．][(),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【答案】B【解析】由题知290->x ，解得33x -<<，所以函数的定义域为()3,3-．故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，则(32)f x -的定义域为（）A ．1[,2]2B ．[1,2]-C ．[1,5]-D ．5[1,]2【答案】A【解析】由于函数()f x 的定义域为[1,2]-，故1322x -≤-≤，解得122x ≤≤，即函数(32)f x -的定义域为1[,2]2.故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，则函数()2y f x =的定义域为（）A ．[]4,0-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]4,8【答案】C【解析】函数()2y f x =+的定义域为[]0,2，由[]0,2x ∈，有[]22,4x +∈，即函数()y f x =的定义域为[]2,4，令224x ≤≤，解得12x ≤≤，函数()2y f x =的定义域为[]1,2.故选：C考点三：判断两个函数是否相等例3.（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（）A ．2y =B ．2y =+C ．22x y x=+D ．2y =+【答案】D【解析】对A ，2y =的定义域为[)2,-+∞，2y x =+的定义域为R ，故A 错误；对B ，22y x ==+，故B 错误；对C ，22x y x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，故C 错误；对D ，22y x ==+，故D 正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．||,y x y =B ．2,x y x y x==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==【答案】A【解析】选项A ，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B ，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C ，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D ，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．xy x=与1y =B ．y =与y x=C ．y =|1|y x =-D ．321x x y x +=+与y x=【答案】BCD 【解析】对于A ，x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数1y =的定义域为R ，故A 错误；对于B ，函数y x ==，x ∈R ，故B 正确；对于C ，函数1y x ==-，x ∈R ，故C 正确；对于D ，函数()2322111x x x x y x x x ++===++，x ∈R ，故D 正确.故选：BCD.【变式3-3】（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（）A ．()f x =()g x =B ．()0f x x =与()01g x x =C ．()f x =()g x =D ．()22f x x x =-与()22g t t t=-【答案】BD【解析】对A ：对()g x =(],0-∞，则()g x ==故()f x =与()g x =A 错误；对B ：()()010f x x x ==≠，()()0110g x x x ==≠，故()0f x x =与()01g x x =是同一函数，故B 正确；对C ：()f x 定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，()g x 定义域为210x -≥，即1x ≥或1x ≤-，故()f x =()g x =C 错误；对D ：()22f x x x =-与()22g t t t =-定义域与对应关系都相同，故()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数，故D 正确.故选：BD.考点四：简单函数的求值求参例4.（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数()231f x x x -=-+，则()1f -=（）A ．5-B ．1-C ．2D ．3【答案】D【解析】取2x =，有()212213f -=-+=.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数1()4f x x =-，若()2f a =，则a 的值为（）A ．92B ．72C ．52D ．12-【答案】A【解析】由()2f a =，得124a =-，解得92a =.故选：A 【变式4-2】（22-23高二下·山东烟台·月考）已知函数()212f x x x -=-，且()3f a =，则实数a 的值等于（）A B ．C ．2D ．2±【答案】D【解析】令21,23x a x x -=-=，解得=1x -或3x =由此解得2a =±，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()1,12f x y f x f y f +=+-=，则()2f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】在()()()1f x y f x f y +=+-中，令1,0x y ==，得()()()(1)10101f f f f =+-⇒=，令1x y ==，得()()()21112213f f f =+-=+-=，令2,2-==y x ，()()()02211f f f =+--=，解得：()21f -=-，故选：A考点五：函数的三种表示方法例5.（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则[(2)]f g 的值是（）x123()f x 131()g x 321A ．1B ．2C ．3D ．1和2【答案】C【解析】由表可知：(2)2g =，则[(2)](2)3f g f ==.故选：C.【变式5-1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()0f g =（）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．0【答案】C【解析】由图可知()04g =，由表格可知()()()049f g f ==．故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·月考）若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x 1234()f x 2341x1234()g x 2143A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D【变式5-3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在[]22-,上的函数()y f x =表示为:x [)2,0-0(]0,2y1-2设()1f m =，()f x 的值域为M ，则（）A ．{}1,2,0,1m M ==-B ．{}2,2,0,1m M =-=-C ．{}1,|21m M y y ==-≤≤D ．{}1,|21m M y y ==-≤≤【答案】B【解析】因为1x =满足(]0,2x ∈，所以()12f m ==-，由表中数据可知：y 的取值仅有2,0,1-三个值，所以{}2,0,1M =-，故选：B.考点六：函数解析式的求解例6.（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以()1,3为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x=-+C ．()236f x x x=-D ．()224f x x x=-【答案】A【解析】设图象是以()1,3为顶点的二次函数()()213f x a x =-+（0a ≠）．因为图象过原点，所以03a =+，3a =-，所以()()2231336f x x x x =--+=-+．故选：A【变式6-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知()22143f x x -=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．224x x ++【答案】D【解析】令21t x =-，则12t x +=，则221()4()3242t f t t t +=+=++，所以()224f x x x =++，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上··期末）已知函数()f x 满足：2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()22f x x =+B ．()2f x x=C ．()()220f x x x =+≠D ．()()220f x x x =-≠【答案】A【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22f x x =+，故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足14()26f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．83【答案】D【解析】由14()2()6f x f x x x+=+①，令1x x =，162()(4f x f x x x+=+②，由2⨯-②①得83()2f x x x=+，所以288()333f x x x =+≥=，当且仅当2833x x =，即2x =时，取等号，所以()f x 的最小值为83.故选：D考点七：分段函数的求值求参例7.（23-24高一上·河北石家庄·期中）若21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则 (3)f =（）A ．9B ．10C ．6-D ．6【答案】C【解析】 (3)236f =-⋅=-.故选：C【变式7-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知函数()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，则(){}1f f f =⎡⎤⎣⎦（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A【解析】因为()21,02,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩，所以()1121f =-=-，()()()211110f f f =-=--=⎡⎤⎣⎦，所以(){}()102f f f f ==⎡⎤⎣⎦.故选：A【变式7-2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.【变式7-3】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数()231,2,2x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩．若2123f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】结合题意可得：2222,=3+1=3333f ⎛⎫<∴⨯ ⎪⎝⎭，()2232,=333123f f f a ⎛⎫⎛⎫≥∴=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =.故选：B.【变式7-4】（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．[)(]2,00,2-U C ．(][),22,-∞-+∞U D ．()()2,00,2-⋃【答案】D【解析】由()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，若0a >，则()()0f a f a -->，即()1210a a +--⨯-->⎡⎤⎣⎦，解得2a <，所以02a <<若a<0，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为()()2,00,2-⋃.故选：D考点八：函数图象实际应用例8.（23-24高一上·北京·期中）在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线()y f x =（实线表示）；另一种是平均价格曲线()y g x =（虚线表示）.如()23f =是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；()23g =表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C ；买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B ；买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D ；故选：A.【变式8-1】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A ；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C ；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B ；故选：D【变式8-2】（23-24高一上·宁夏固原·月考）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈()A B O A →→→，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当小明在弧AB 上运动时，与O 点的距离相等，所以AB 选项错误.当小明在半径BO 上运动时，与O 点的距离减小，当小明在半径OA 上运动时，与O 点的距离增大，所以C 选项错误，D 选项正确.故选：D【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期中）某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．一、单选题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数1()2f x x =-的定义域为（）A ．{2|3x x >且2x ≠}B ．{2|3x x <且2x >}C ．2|23x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{2|3x x ≥且2x ≠}【答案】D【解析】由题意得32020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x ≥且2x ≠，即定义域为223xx x ⎧⎫≥≠⎨⎬⎩⎭∣且.故选：D .2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21f x -的定义域为()1,2-，则函数()1f x -的定义域为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,4-D ．()2,1-【答案】C【解析】函数()21f x -的定义域为()1,2-，所以12x -<<，224,3213x x -<<-<-<，所以()f x 的定义域为()3,3-，对于函数()1f x -，由313x -<-<，得24-<<x ，所以函数()1f x -的定义域为()2,4-.故选：C3．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数()y g x =的对应关系如表所示，函数()y f x =的图象是如图所示，则()1g f ⎡⎤⎣⎦的值为（）x123()g x 43-1A ．-1B ．0C ．3D ．4【答案】A【解析】由图象可知()13f =，而由表格可知()31g =-，所以()11g f ⎡⎤=-⎣⎦.故选：A 4．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数()21,04,01x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪+⎩，则()()()1f f f -=（）A ．2B ．3C ．3-D ．5【答案】A【解析】依题意，()()2412,2221f f +-===+，所以()()()()()()1222f f f f f f -===.故选：A5．（23-24高一上·山东淄博·月考）已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+【答案】B【解析】令1t x =+，由于x ∈R ，则R t ∈，1x t =-，所以()()()()221121245f x f t t t t t +==---+=-+，得()245f t t t =-+，所以函数()f x 的解析式为()245f x x x =-+．故选：B6．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，选项A 中集合M 中2对应的数有两个，故错误；选项B 中集合M 中3没有对应的数，故错误；选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N ，故错误；选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D二、多选题7．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()(),f x x g x ==B ．()(),f x x g x ==C ．()()1,1f x x g t t =-=-D ．()()01,f x x g x x x=+=+【答案】AC【解析】A.()(),f x x g x x ==，定义域都为R ，故表示同一函数；B.()(),f x x g x x ==，故不是同一函数；C.()()1,1f x x g t t =-=-，解析式相同，定义域都为R ，故表示同一函数；D.()()01,1f x x g x x x x =+=+=+，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数，故选：AC8．（23-24高一上·云南曲靖·月考）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则x【答案】BD【解析】对于A ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以()f x 的定义域为(,1](1,2)(,2)-∞--=-∞ ，所以A 错误；对于B ，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，204x ≤<，所以()f x 的值域为(,1][0,4)(,4)-∞=-∞ ，所以B 正确；对于C ，因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，所以2(1)11f ==，所以C 错误；对于D ，当1x ≤-时，由()3f x =，得23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，由()3f x =，得23x =，解得x =x =综上，x =D 正确.故选：BD.三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()f g x =⎡⎤⎣⎦.【答案】224x x -++【解析】函数()4f x x =+，()22g x x x =-+，则()()22224f g x f x x x x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦.故答案为：224x x -++10．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数y =的值域为.【答案】[]0,4【解析】由y =可得()80x -≥，故08x ≤≤，又()288162x x x x +-⎛⎫-≤= ⎝⎭，当且仅当8x x =-，即4x =时取等号，4≤，故函数y []0,4，故答案为：[]0,411．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()2,131,1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，则不等式()()13f x f x +-<的解集为．【答案】65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】当1x ≤时，10x -≤，()()()1221423f x f x x x x +-=+-=-<，得54x <，所以1x ≤；当12x <≤时，11x -≤，()()()13121533f x f x x x x +-=-+-=-<，得65x <，所以615x <<；当2x >时，11x ->，()()()131311653f x f x x x x +-=-+--=-<，得43x <，所以无解；综上所述，不等式()()13f x f x +-<的解集为65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.故答案为：65x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知函数()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩.(1)画出函数()f x 的图象；(2)当()2f x ≥时，求实数x 【答案】(1)作图见解析；(2)1,0,7,.3⎛⎫⎡⎛⎤-∞+∞ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭【解析】（1）因为()2,01,0132,1x x xf x x x x x ⎧≤⎪-⎪=<<⎨⎪--≥⎪⎩，所以()f x的图象如图所示：（2）由题可得202x x ≤⎧⎨≥⎩或0112x x x<<⎧⎪-⎨≥⎪⎩或1322x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得x ≤或103x <≤或7x ≥，所以实数x的取值范围为1,0,7,.3∞∞⎛⎫⎡⎛⎤-⋃⋃+ ⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎝⎭13．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数()4,11,11x x x f x x x x-⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩2()1g x x =-.(1)求()2f ，()2g 的值；(2)若7(())9f g a =-，求实数a 的值.【答案】(1)13-，3；(2)3±【解析】（1）因为21>-，且()4,11,11x x x f x x x x -⎧≤-⎪⎪=⎨-⎪>-⎪+⎩，所以121(2)123f -==-+.因为2()1g x x =-，所以2(2)213g =-=.（2）依题意，令()g a t =，若1t ≤-，则47(())()9t f g a f t t -===-，解得914t =>-，与1t ≤-矛盾，舍去；若1t >-，则17(())()19t f g a f t t -===-+，解得81t =>-，故2()18g a a =-=，解得3a =±，所以实数a 的值为3±；综上所述：a 的值为3±.。
第四章积分变换法详解
第二十五页，共47页。
L(eat ) 1 , pa
p L(cos at ) p2 a2
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
2)线性性质
L f g L f L g
3) 微分性质
若 F ( p) L[ f (t)], 则
L[ f 't ] pF p f 0 ,
L[ f ''t ] p2F p p f 0 f '0, L[ f n t ] pnF p pn1 f 0 pn2 f '0
u x, y FouxrierU , y
由傅立叶变换的线性性质
u y
x,
y
Fouxrier
U
,
y
y
d dy
U
,
y
是参数
同理,
第九页，共47页。
2u y2
x
,
y
Fouxrier
d2 dy 2
U
,
y
4.2 傅立叶变换的应用
第十页，共47页。
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
1 t fˆ (, ) sina(t ) d
a 0
由初始条件 U (,t) ()cosat () sinat a
第十八页，共47页。
1 t fˆ (, ) sina(t ) d
a 0
4.2 傅立叶变换的应用
注意到 ()cosat 1 [()eiat ()eiat ]
2
取傅立叶逆变换，得
u 2u
t
x 2
,
t 0, x R .
u x, 0 f x
解：由自变量的取值范围 ，对 x 进行傅立叶变换，设
北京大学版高等数学讲义1-4函数的极限
、自变量趋向无穷时函数的极限
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
记作x → a + 0;
定义 ( 右极限 )
设y = f ( x ) 是定义在 ( a, b ) 上的一个函数 若存在一个实数l , 对于任意给定的ε > 0, 无论它多么小,都存在一个δ > 0, 使得 f ( x) − l < ε , 记作 lim f ( x ) = l
x→a + 0
只要 0 < x − a < δ , 或 f ( x ) → l ( x → a + 0)
x →a
x 验证 lim 不存在. x→0 x
y
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
x → −0
1
o
x
−1
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
2.δ与任意给定的正数 ε有关 .
3.几何解释 几何解释: 几何解释
当x在a的去心δ 邻 域时, 函数y = f ( x) 图形完全落在以直 线y = l为中心线, 宽为2ε的带形区域内.
y
y = f (x )
函数的基本变换
函数的基本变换函数是数学中的基本概念之一，它描述了独立变量与因变量之间的关系。
在数学中，我们经常会进行函数的变换，以便研究其性质和特点。
本文将介绍函数的基本变换，包括平移、伸缩、翻转和复合等。
一、平移变换平移变换是将函数沿着坐标轴的方向上移动一定的单位长度。
对于一元函数f(x)，平移变换可表示为f(x-a)，其中a为平移的长度。
平移变换后的函数与原函数形状相同，但是在坐标系上向左或向右移动了a个单位长度。
二、伸缩变换伸缩变换是将函数在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
对于一元函数f(x)，伸缩变换可表示为af(x)或f(ax)，其中a为伸缩的比例因子。
当a大于1时，函数在坐标系上沿x轴方向上拉伸；当0＜a＜1时，函数在坐标系上沿x轴方向上压缩。
三、翻转变换翻转变换是将函数在坐标轴的方向上进行反转。
对于一元函数f(x)，翻转变换可表示为-f(x)或f(-x)。
当函数翻转后，其图像将沿y轴对称或x轴对称。
四、复合变换复合变换是对函数进行多次变换的组合操作。
例如，可以先进行平移变换，然后再进行伸缩变换，并且还可以进行翻转变换。
通过复合变换，可以将函数的图像在坐标系上进行任意的平移、伸缩和翻转，从而得到具有不同特点的函数。
总结：函数的基本变换是函数研究中常用的操作。
通过平移、伸缩、翻转和复合等变换，我们可以改变函数的位置、形状和特性，进而深入理解函数的性质。
在实际应用中，函数的变换也常常用于图像处理、信号处理和数据分析等领域。
以上是关于函数的基本变换的介绍，希望对您有所帮助。
函数的变换是数学中的重要概念，对于深入理解和应用函数具有重要意义。
通过变换操作，我们可以更好地把握函数的特性和变化规律，为数学研究和实际应用提供有力支持。
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
人教版高中数学必修四第一章三角函数图像变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
课后作业
1、指出函数y=2/5sin3x的振幅、周期，并画出其图象。 2、作出y=2sin1/2x的简图。
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
谢谢莅临指导！ 再见！
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
教学重点： “用五点法”作函数y=Asinx和y=sinωx的简图及振 幅、周期对正弦函数图象的影响。
教学难点：在直角坐标中会寻找“五点”的位置及由y=sinx的 图象变为y=Asinωx的图象规律。
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
导入课题：
解：∵函数y=sin4x的周期T=/2 ∴在[0, /2]上作图
令Z=4x 则x=Z/4 从而sinZ=sin4x
x
0
8
4
3
8
2
4x 0
2
3 2
2
sin 4 x 0 1 0 -1 0
y
1
y sin 4 x
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
高一必修1函数图象变换知识点总结经典
.. 函数的图象变换一：函数的图像基本函数图象 ：一次，二次，反比例函数，指数，对数，幂函数二．图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
关键：提取系数1． 平移变换：“左+右-” “上+下-”(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
向下平移个单位向上平移b 个单位向左平移a 个单位向右a 平移个单位y=f x ()y=f x+a ())-by=f x ()+by=f x-a ().. 2． 对称变换：(1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（实际上y = f (|x|)是偶函数）(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (a+mx) = f (b -mx)， 则函数y = f (x)的图象关于直线2b a x +=对称。
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函数的图象变换
知识要点
利用平移变换，可以由函数()y f x =的图象演变出以下三种函数图象：
()()(),,y f x h y f x k y f x h k =-=+=-+
平移变换是位置变换，这三种图象与()y f x =图象的位置关系列表如下:
典型例题
例1、利用1
()f x x
=
作出下列函数的图象 211-=
x y ）（ (2) 21x y x -=- 31(3)22
x y x -=-
例2、设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()f x 图象上一点21A -（，）变为曲线C 上点33A -（，），则曲线C 的函数解析式为（ ）
(). 12A y f x =-+ (). 12B y f x =++ (). 12C y f x =-- (). 12
D y f x =+-
例3、由函数()1y f x =-的图象通过怎样的变换可得到()2f x +的图象；
例4、将函数2x y -= 图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位所得图像的函数解析式为（ ）
（A ）123x y -+=+ （B ）123x y -+=- （C ）123x y --=+ （D ）
123x y +=-
例5、为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-图象适当平移，这个平移为（ ）
A. 向右平移1个单位
B. 向左平移1个单位
C. 向右平移21个单位
D. 向左平移2
1
个单位
高考真题
（2014湖北文15）如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．
若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．
（2014湖北理10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
2221
()(|||2|3)2
f x x a x a a =
-+--.若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤
，则实数a 的取值范围为( )
A.1
[6-，1]6 B.[
C.
1[3-，1]3 D.[
第15题图
课后作业
1、把函数()2
1y x =-图像向右平移2个单位，所得图像函数解析式为 ；
2、把函数()y f x =图象向下移动22个单位长度，得到的是函数1
y x
=
的图象，则()f x 是（ ）
A. 11y x =
+ B. 1y x =+ C. y x
= D. 1y x =3、将函数2x y = 图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位所得图像的函数解析式为
4、为了得到函数(2)y f x =的图象，可以把函数(21)y f x =-图象适当平移，这个平移为（ ）
A. 向右平移1个单位
B. 向左平移1个单位
C. 向右平移
21个单位 D. 向左平移2
1
个单位 5、已知函数1
()2
x f x x -=- (1)试根据函数1
y x
=
的图像作出函数f(x)的图像,并写出变换过程; (2)由图像指出()f x 的单调区间.。