图形的综合提高
高斯小学奥数六年级下册含答案第04讲_曲线形问题综合提高
第四讲 曲线形问题综合提高本讲知识点汇总：一、 基本曲线形计算1. 圆：2ππC r d =⨯⨯=⨯；222ππ44πd C S r =⨯==． 2. 扇形：2π360nl r =⨯⨯⨯； 2π3602n l r S r ⨯=⨯⨯=． 3. 圆柱体：V S h =⨯底．4. 圆锥体：13V S h =⨯⨯底．二、 曲线形计算技巧：1. 割补法2. 平移、旋转3. 重叠（容斥）例1． （1）如图1，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多少？（π取3.14）（2）如图2，三角形ABC 是直角三角形，AB 长40厘米，以AB 为直径做半圆，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC 的长度．（π取3.14）「分析」（1）阴影是不规则图形，无法直接求出面积，需要进行割补整体法求解；（2）阴影分别加上空白部分均会变成规则图形直接求出面积．练习1、如图，扇形AOB 的圆心角是90度，半径是2，C 是弧AB 的中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.14）例2． （1）如下左图，两个相同的直角扇形放在一起，重叠部分恰好是一个长方形，且长和宽分别为15和5．那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，以直角三角形ABC 的三条边为直径做半圆，已知6AB =，8AC =，那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」（1）正方形的对角线刚好是扇形的半径；（2）这道题目可能会用到勾股定理．BC图1图2练习2、（1）如下左图，三角形ABC 是等腰直角三角形，以AC 为直径画半圆，以BC 为半径画扇形．已知10ACBC ==，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）例3． 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）「分析」首先画出小狗活动范围的图形，然后根据每块扇形的半径求出面积．练习3、如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗A 狗例4．一个半径为1的圆绕着边长为4的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）「分析」注意拐角处扇形的半径．练习4、一个半径为1的圆绕着边长为4的正六边形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）例5．面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」这道题目较难，需要进行巧妙的割补求解．例6．（1）如下左图，将对角线长度为6的正方形，按照如图所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，将上底是2，下底是4，高是4的梯形，按照图中所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）「分析」求出必要数据，结合公式即可得出答案．作业1. 如下图所示，如果正方形的边长为2，那么阴影部分的面积为多少？（π取3.14）2. 在下图中大圆的面积为30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为多少？3. 如图，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）4. 一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积是多少？（π取近似值3.14）5. 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为4米的等边三角形，绳长是6米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）4狗第四讲 曲线形问题综合提高例7． 答案：（1）18.5；（2）32.8．解答：(1)大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚好构成长方形，所以直角扇形与长方形的面积差即是两块阴影面积的差21106018.54π⨯⨯-=． （2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好等于直角三角形，半圆面积为21206282π⨯⨯=，所以，直角三角形面积为62828656+=，另一条直角边32.8AC =．例8． 答案：242.5；24．解答：（1）两个直角扇形面积之和减去长方形面积即为阴影面积： ()221515752242.52π⨯⨯+-⨯=．例9． 答案：1050．解答：狗的活动范围如图，分为A 、B 、C 三部分， 求面积得：22312010350105042πππ⨯⨯+⨯⨯==平方米．例10． 答案：44.56．解答：四个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形 即为该圆扫过的面积，212424444.564π⨯⨯⨯+⨯⨯=．例11． 答案：20．解答：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成一个顶角60°的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆；阴影部分的面积等于两个圆的面积，为20．例12． 答案：56.52；879275． 解答：（1）可以把得到的立体图形看做两个锥体，体积为2133256.523π⨯⨯⨯⨯=；可以把得到的立体图形看做两个锥体体积之差，体积为： 2211879248243375ππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=． 练习：练习1、答案：0．简答：两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之差是0．练习2、答案：28.5；12.765．简答：（1）半圆+圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：22111510101028.5282ππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=；（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积，2211521012.76544ππ⨯⨯+⨯⨯-=．练习3、答案：24.5．简答：解法同例3，首先画出小狗活动的范围图，然后把活动范围分成几个扇形来求解，2230024031=24.5360360ππ⨯⨯+⨯⨯．练习4、答案：60.56．简答：圆所扫过的面积可以分成6个长方形和6个扇形，面积之和为24262=60.56π⨯⨯+⨯．作业1.答案：0.86．简答：正方形的面积是4，圆的面积是3.14，所以，阴影的面积是0.86．2.答案：20．简答：大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的9倍，那么，阴影面积是整个面积的三分之二，即阴影面积为20．3.答案：4.56．简答：阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角形的面积，两个半圆的面积之和为12.56，直角三角形的面积是8，所以，阴影面积为4.56．4.答案：36.56．简答：扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为120度的扇形，长方形总面积2×4×3=24，扇形总面积为12.56，所以，扫过的整个面积是36.56．5.答案：98．简答：活动范围由三个扇形构成，最大的扇形面积为半径是6的圆的四分之三，即90，两个小扇形的面积之和为18，总面积为98．。
浅析小学数学几何图形的学习策略
浅析小学数学几何图形的学习策略【摘要】小学数学几何图形是小学数学学习的重要内容之一，对学生的数学思维能力和空间想象能力有着重要的促进作用。
为了有效学习小学数学几何图形，我们需要选择合适的教材和学习资源，注重基础知识和概念的理解，理论结合实践进行几何图形的绘制和测量，多做几何题，培养几何思维能力，利用文具和工具进行几何图形的实践操作。
通过这些学习策略，可以帮助学生更好地掌握几何图形的知识，巩固和提升学习成果。
培养学生对几何图形的兴趣和自信心也是学习几何图形的重要目标，通过不断练习和实践，学生可以更好地理解几何图形的概念和性质，从而提高学习效果。
通过合理的学习策略和方法，可以帮助学生更好地掌握小学数学几何图形，为日后数学学习打下坚实的基础。
【关键词】小学数学、几何图形、学习策略、教材、基础知识、概念、绘制、测量、几何题、思维能力、文具、工具、实践操作、兴趣、自信心、学习成果。
1. 引言1.1 为什么要学习小学数学几何图形小学数学几何图形是学生学习数学的基础，是培养学生分析、推理和解决问题能力的重要手段。
通过学习小学数学几何图形，可以帮助学生建立几何思维，提高逻辑推理能力，培养创新思维和空间想象能力。
几何图形的学习还能锻炼学生的观察力、分析力和整合能力，培养学生的耐心和细致性。
学习小学数学几何图形对学生的综合素质提升具有重要意义，可以促进学生全面发展，培养学生的创新意识和解决问题能力，为学生今后的学习和生活奠定良好的基础。
学习小学数学几何图形是必不可少的。
1.2 学习小学数学几何图形的重要性学习小学数学几何图形的重要性主要体现在以下几个方面：几何图形是数学中的一个重要分支，通过学习几何图形，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
几何图形在日常生活中随处可见，比如建筑物、道路等都涉及到几何图形的应用，因此学习几何图形可以增强学生对周围世界的观察和认识。
几何图形的学习可以培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的解决问题的能力。
(完整版)北师大数学七年级上册第一章丰富的图形世界(提高)
丰富的图形世界（提高）知识讲解【学习目标】1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．【要点梳理】要点一、立体图形1．定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：2．棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点三、截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．要点四、从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）【典型例题】类型一、立体图形1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．【答案与解析】解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体． 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、点、线、面、体2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x+y 的值．【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．【答案与解析】解：(1)6， 6， V+F-E ＝2；(2)20；(3)这个多面体的面数为x+y ，棱数为条，243362⨯=根据V+F-E ＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴ x+y ＝14．【总结升华】欧拉公式：V （顶点数）+F （面数）-E （棱数）＝2【变式】（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）be i ng ar e五棱柱B. 六棱柱C. 七棱柱D. 八棱柱【答案】B解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A 、五棱柱共15条棱，故A 误；B 、六棱柱共18条棱，故B 正确；C 、七棱柱共21条棱，故C 错误；D 、八棱柱共24条棱，故D 错误；3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（ ）A ．从正面看相同B ．从左面看相同C ．从上面看相同D ．三个方向都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状． 举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】Bngsinthe类型三、展开与折叠4．（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）A. 全B. 明C. 城D. 国【答案】C【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．举一反三：【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．类型四、截一个几何体5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：（1）截面一定是什么图形？（2）剩下的几何体可能有几个顶点？【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．【答案与解析】（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．类型五、从三个方向看物体的形状6．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．（1）说出这个立体图形的名称；（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．举一反三：【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？主视图俯视图【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数： ，3222110++++=最多需要小方块的个数： ．3323116⨯+⨯+=丰富的图形世界（提高）巩固练习【巩固练习】（资料联系QQ ：1061139820）一、选择题1．（2015•新乐市一模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（ ）A.B.C. D.2．用一个平面去截一个圆柱体，截面的形状不可能是（ ）．A ．长方形B ．圆C ．椭圆D ．等腰梯形 3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )．4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）．A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．（2016•福建龙岩市）如图所示正三棱柱的主视图是（ ）eAl l th i n ggA ．B ．C ．D ．6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（2016•宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是__________个.8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A ，B ，C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．9．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．11．用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截四棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是_______，12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是10 cm 、8 cm 、6 cm ，有一只蚂蚁从A 点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A 点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．14．(1)一个梯形ABCD ，如图所示，画出绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．(2)梯形绕BC 所在直线旋转一周形成什么图形?(3)梯形绕DC 所在直线旋转一周形成什么图形? 15．（2014秋•扶沟县期末）将图中的几何体进行分类，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】A 、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；B 、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C 、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D 、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确.2．【答案】D 3．【答案】D【解析】选项A 中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B 中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C 中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D 中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D ．4．【答案】B【解析】如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数． 5．【答案】B【解析】解：正三棱柱的主视图中前面正对的一条棱是可以看到的，要用实线标出，所以其主视图平行排列的两个矩形.故选B ．6．【答案】C【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A 、B 都不符合，且D 折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C ．二、填空题7．【答案】5【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．8．【答案】6【解析】与l 相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B 可知3的对面为4，由A 可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．9．【答案】19，48．【解析】∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32=36个，∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，表面积为：2×（9+7+8）=48.10．【答案】4 【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个数．11．【答案】5、6、7【解析】截面能经过几个面，得到的形状就是几边形．12．【答案】(1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．三、解答题13．【解析】解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．14．【解析】如图所示．解：(1)(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．15．【解析】解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．（1）长方体是由平面组成的，属于柱体．（2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体．（3）球体是由曲面组成的，属于球体．（4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体．（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体．（6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体．（7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体．若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面，若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．。
1.1 生活中的立体图形 提高练习 2021-2022学年北师大版数学七年级上册
1.1 生活中的立体图形提高练习一、选择题1．如图，含有曲面的几何体编号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④2．如图，CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（）．A．绕着AC旋转B．绕着AB旋转C．绕着CD旋转D．绕着BC旋转3．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示蛋糕的形状类似于（）A．圆柱体B．球体C．圆D．圆锥体4．围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（）A．B．C．D．5．如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（）A．正方体B．长方体C．三棱柱D．三棱锥6．从棱长为a的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）A．6a2+3B．6a2C．6a2﹣3D．6a2﹣17．如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则新几何体的棱数为（）A．11B．12C．13D．148．下边的立体图形是由哪个平面图形绕轴旋转一周得到的（）A．B．C．D．9．下列几何体中，是圆柱的为A．B．C．D．10．六棱柱中，棱的条数有（）A．6条B．10条C．12条D．18条二、填空题11．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个_____面体．12．如图，一长方体木板上有两个洞，一个是正方形形状的，一个是圆形形状的，对于以下4种几何体，你觉得哪一种作为塞子既可以堵住圆形空洞又可以堵住方形空洞？（填序号）．13．一个棱柱有12个顶点，所有的侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是____.14．如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为30 cm，容器内的水深为8 cm.现把一块长，宽，高分别为15 cm，10 cm，10 cm的长方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将升高________cm.15．一个棱柱有12个面，它有__________个顶点，___________条棱．16．这是一个_______体，它的长是_______ cm，宽是_______ cm，高是_______ cm．棱长总和是_______cm．17．“枪打一条线，棍打一大片”这个现象用数学知识解释说明：___________.18．如图，把一个长方体的礼盒用丝带打上包装，蝴蝶结部分需丝带42cm，那么打好整个包装所用丝带总长为________cm．19．请同学们手拿一枚硬币，将其立在桌面上用力一转，它形成的是一个______体,由此说明______________.20．笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说点动成线；汽车的雨刷在档风玻璃上画出一个扇面，这可以说______.三、解答题21．如图，把下列物体和与其相似的图形连接起来．22．如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体.用线连一连.23．如图是一张长方形纸片，AB长为3cm，BC长为4cm.(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是______；(2)若将这个长方形纸片绕AB边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积是____3cm(结果保留 )；(3)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积(结果保留 ).24．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列儿种简单多面体模型，解答下列问题:(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是______________________.（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是；（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．参考答案一、选择题1--10CBABA BDAAD二、填空题11．12．12．12．）．13．814．315或115．20 3016．长方25 12 18 22017．点动成线，线动成面18．14019．球面动成体20．线动成面三、解答题21．.22．. 23．(1)圆柱；(2)48π；(3)240cm π或233cm π. 24．(1)V+F -E=2；(2) 20；(3)26。
丰富的图形世界能力提高练习
七年级上册《丰富的图形世界》能力提高题班级_______姓名________一、填空题1、面与面相交成___，线与线相交得到___，点动成____，线动成_____，面动成____.2、下面是两种立体图形的展开图．请分别写出这两个立体图形的名称：________，___________3、下图所示的三个几何体的截面分别是：(1)_________；(2)__________；(3)___________．4、已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条棱。
5、当上面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在与数字2所在的平面相对的平面上.6、从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点和其余各顶点，可以把这个多边形分割成10个三角形，则这个多边形的边数为_____。
7、已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么1和5的对面数字分别是____和_____。
8．图①是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图②的图形，如果把图②的纸片重新恢复成图①的纸盒，那么与点G重合的点是．9．你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为．10．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是．二、选择题11．一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它摆成如图的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被她染上颜色的面积有( )平方米．A．21 B．24 C．33 D．37 E．4212、用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（）A、七边形B、四边形C、六边形D、五边形13、下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（）14．如图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是下列图形中的( )．15．图(a)是图(b)中立方体的平面展开图，图(a)与图(b)中的箭头位置和方向是一致的，那么图(a)中的线段AB 与图(b)中对应的线段是( )． A ．e B ．h C ．k D ．d三、解答题16、画出下列几何体的三视图。
高斯小学奥数六年级下册含答案第04讲_曲线形问题综合提高
第四讲 曲线形问题综合提高本讲知识点汇总：一、 基本曲线形计算1. 圆：2ππC r d =⨯⨯=⨯；222ππ44πd C S r =⨯==． 2. 扇形：2π360nl r =⨯⨯⨯； 2π3602n l r S r ⨯=⨯⨯=． 3. 圆柱体：V S h =⨯底．4. 圆锥体：13V S h =⨯⨯底．二、 曲线形计算技巧：1. 割补法2. 平移、旋转3. 重叠（容斥）例1． （1）如图1，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多少？（π取3.14）（2）如图2，三角形ABC 是直角三角形，AB 长40厘米，以AB 为直径做半圆，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC 的长度．（π取3.14）「分析」（1）阴影是不规则图形，无法直接求出面积，需要进行割补整体法求解；（2）阴影分别加上空白部分均会变成规则图形直接求出面积．练习1、如图，扇形AOB 的圆心角是90度，半径是2，C 是弧AB 的中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.14）例2． （1）如下左图，两个相同的直角扇形放在一起，重叠部分恰好是一个长方形，且长和宽分别为15和5．那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，以直角三角形ABC 的三条边为直径做半圆，已知6AB =，8AC =，那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」（1）正方形的对角线刚好是扇形的半径；（2）这道题目可能会用到勾股定理．BC图1图2练习2、（1）如下左图，三角形ABC 是等腰直角三角形，以AC 为直径画半圆，以BC 为半径画扇形．已知10ACBC ==，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）例3． 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）「分析」首先画出小狗活动范围的图形，然后根据每块扇形的半径求出面积．练习3、如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗A 狗例4．一个半径为1的圆绕着边长为4的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）「分析」注意拐角处扇形的半径．练习4、一个半径为1的圆绕着边长为4的正六边形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）例5．面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」这道题目较难，需要进行巧妙的割补求解．例6．（1）如下左图，将对角线长度为6的正方形，按照如图所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，将上底是2，下底是4，高是4的梯形，按照图中所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）「分析」求出必要数据，结合公式即可得出答案．作业1. 如下图所示，如果正方形的边长为2，那么阴影部分的面积为多少？（π取3.14）2. 在下图中大圆的面积为30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为多少？3. 如图，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）4. 一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积是多少？（π取近似值3.14）5. 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为4米的等边三角形，绳长是6米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）4狗第四讲 曲线形问题综合提高例7． 答案：（1）18.5；（2）32.8．解答：(1)大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚好构成长方形，所以直角扇形与长方形的面积差即是两块阴影面积的差21106018.54π⨯⨯-=． （2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好等于直角三角形，半圆面积为21206282π⨯⨯=，所以，直角三角形面积为62828656+=，另一条直角边32.8AC =．例8． 答案：242.5；24．解答：（1）两个直角扇形面积之和减去长方形面积即为阴影面积： ()221515752242.52π⨯⨯+-⨯=．例9． 答案：1050．解答：狗的活动范围如图，分为A 、B 、C 三部分， 求面积得：22312010350105042πππ⨯⨯+⨯⨯==平方米．例10． 答案：44.56．解答：四个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形 即为该圆扫过的面积，212424444.564π⨯⨯⨯+⨯⨯=．例11． 答案：20．解答：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成一个顶角60°的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆；阴影部分的面积等于两个圆的面积，为20．例12． 答案：56.52；879275． 解答：（1）可以把得到的立体图形看做两个锥体，体积为2133256.523π⨯⨯⨯⨯=；可以把得到的立体图形看做两个锥体体积之差，体积为： 2211879248243375ππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=． 练习：练习1、答案：0．简答：两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之差是0．练习2、答案：28.5；12.765．简答：（1）半圆+圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：22111510101028.5282ππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=；（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积，2211521012.76544ππ⨯⨯+⨯⨯-=．练习3、答案：24.5．简答：解法同例3，首先画出小狗活动的范围图，然后把活动范围分成几个扇形来求解，2230024031=24.5360360ππ⨯⨯+⨯⨯．练习4、答案：60.56．简答：圆所扫过的面积可以分成6个长方形和6个扇形，面积之和为24262=60.56π⨯⨯+⨯．作业1.答案：0.86．简答：正方形的面积是4，圆的面积是3.14，所以，阴影的面积是0.86．2.答案：20．简答：大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的9倍，那么，阴影面积是整个面积的三分之二，即阴影面积为20．3.答案：4.56．简答：阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角形的面积，两个半圆的面积之和为12.56，直角三角形的面积是8，所以，阴影面积为4.56．4.答案：36.56．简答：扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为120度的扇形，长方形总面积2×4×3=24，扇形总面积为12.56，所以，扫过的整个面积是36.56．5.答案：98．简答：活动范围由三个扇形构成，最大的扇形面积为半径是6的圆的四分之三，即90，两个小扇形的面积之和为18，总面积为98．。
033几何图形(提高)巩固练习--苏教版苏科版初一数学七年级数学上册
33几何图形（提高篇）－巩固练习一、选择题1．小亮在观察如图所示的热水瓶时，从左面看得到的图形是( )．2．如图所示：桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，从左面看到的图是图中的( )．3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )．4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）．A．5 B．6 C．7 D．85.（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱B．六棱柱C．七棱柱D．八棱柱6．（2016•资阳）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）A． B． C． D．二、填空题7．（2014秋•临沂期末）在圆、正方形、圆锥、长方体、线段、球、三棱柱、直角三角形中，是立体图形的有个．8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A，B，C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．9．如图是由小正方体堆积组成，图形看不见的地方也同样有小正方体，每个小正方体的体积为1个立方单位，则这堆正方体的体积是________个立方单位．10．（2016•黄冈校级自主招生）如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有块．11．给出下列各结论：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中：1个是平的，1个是不平的；③球仅由1个面围成，这1个面是平的；④正方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的为________(写出序号即可)．12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)．三、解答题从A点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．14． (1)一个梯形ABCD，如图所示，画出绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．(2)梯形绕BC所在直线旋转一周形成什么图形?(3)梯形绕DC所在直线旋转一周形成什么图形?15．（2014秋•张掖校级期中）如图，是一个正六棱柱，它的底面边长是3cm，高是6cm．（1）这个棱柱的侧面积是多少？（2）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？（3）这个棱柱共有多少个顶点？（4）通过观察，试用含n的式子表示n棱柱的面数与棱的条数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】从左面看到的平面图形，仍是热水瓶的轮廓，可排除C、D．而从左面看时热水瓶的柄恰在正中，所以排除A，故选B．2．【答案】C3．【答案】D【解析】选项A中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D．4．【答案】B【解析】如右图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数．5.【答案】B.6．【答案】C【解析】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C符合题意．故选C．二、填空题7.【答案】4．8．【答案】6【解析】与l相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B可知3的对面为4，由A可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．9．【答案】33【解析】由下向上各层的立方单位为：9、8、6、5、3、1、1，则总共正方体的个数为33个．所以这一堆正方体的体积为33个立方单位．10.【答案】9【解析】解：综合主视图，俯视图，左视图，底层有2+2+1=5个正方体，第二层有3个正方体，第三层有1个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+3+1=9个．故答案为：9．11．【答案】②④【解析】认识立体图形，观察是重要的环节，解题时如果凭想象得出答案较困难，那么可以动手制作图形，进行观察．12．【答案】 (1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．三、解答题13．【解析】解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．14．【解析】解：(1)如图所示．(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．15.【解析】解：（1）正六棱柱的侧面积3×6×6=108（cm2）；（2）这个棱柱共有 6+6+6=18条棱；所有的棱长的和是12×3+6×6=36+36=72（cm）；（3）这个棱柱共有12个顶点；（4）n棱柱的面数是（n+2）面，n棱柱棱的条数是3n条．。
小学数学图形与几何对学生核心素养培养的作用
小学数学图形与几何对学生核心素养培养的作用
小学数学中的图形与几何是培养学生核心素养的重要内容之一。
图形与几何的学习可以提高学生的空间想象力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将从这三个方面详细阐述图形与几何对学生核心素养的培养作用。
图形与几何的学习可以提高学生的空间想象力。
在数学学习中，图形与几何可以帮助学生形成空间想象的能力，使他们能够准确地理解和描述物体在空间中的位置、角度和形状。
通过学习图形与几何，学生可以培养立体图形的观察和分辨能力，学会用图像表达和理解物体的形状，进而提高解决与空间有关的问题的能力。
空间想象力是理解数学概念和解决实际问题的基础，对学生的综合素质和创造力的培养具有重要意义。
图形与几何的学习可以促进学生的逻辑思维能力的发展。
图形与几何的学习过程中，学生需要进行形状的比较、分析、推理和推断等一系列的思维活动，从而激发学生的逻辑思维能力。
学生通过观察和研究不同的图形，可以发现其中的规律和特性，并运用这些规律和特性进行推理和解决问题。
通过这样的学习过程，学生的逻辑思维能力得到了锻炼和提高，不仅能够解决图形与几何问题，还可以应用到其他学科和实际生活中。
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一、考点突破图形的初步认识是几何的入门知识，引导我们将对周围物体形状的感性认识逐步上升为抽象的几何图形。
这部分内容的概念较多，在学习时要多结合图形，加深对概念的理解，抓住其本质属性，认识它们之间的区别和联系。
同时应加强几何语言的训练，体会几何语言的严密性。
二、重难点提示重点：两条直线的相交和平行的位置关系，以及相交、平行的综合应用。
难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用。
能力提升类例1 将图（1）中a×b的矩形剪去一些小矩形得图（2），图（3），请分别求出各图形的周长，其中EF=c。
一点通：把原题图（2）中的CD、EF、GH平移到AB上，DE、FG和AH移到BC上，把图（3）中的CD、IJ平移到AB上，DE、FG、HI和JA平移到BC上，即可得出各图形的周长。
解：原矩形图（1）的周长为2（a +b ）；图（2）的周长为2（a +b ）；图（3）的周长为2（a +b +c ）点评：本题考查求不同图形的周长。
采用平移的方法，将分开的长度平移到某条已知的直线上，再计算。
例2 如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2。
试问∠BEF ＝∠EFC 吗？为什么？一点通：已知AB ∥CD ，在两平行线之间建立联系，不妨连接BC ，再考虑平行线的性质解题.或者根据逆向思维，若要证明∠BEF ＝∠EFC ，只需证明EB ∥CF ，根据已知条件证明。
解：∠BEF ＝∠EFC 。
证明：连结BC 。
∵AB ∥CD ， ∴∠ABC ＝∠BCD 。
又∵∠1＝∠2， ∴∠EBC ＝∠FCB ， ∴EB ∥CF ， ∴∠BEF ＝∠EFC 。
点评：本题即使在两平行线间出现拐角，也不采用作平行线的方法，而是连接BC ，使已知的平行线被第三条直线所截。
综合运用类例3 一位父亲有一块正方形的土地，他把其中的41留给自己，其余的平均分给他的四个儿子，如图所示，他想使每个儿子获得的土地面积相等，形状相同，这位父亲应该怎么分?一点通：父亲和四个儿子分割一个正方形，父亲留41，则所剩的三个小正方形每一个再分割为四个相等的小正方形，并且让出一个小正方形，土地面积就会相等。
所让的三个小正方形必有一条棱重合才能为一体，故如图所分就可使形状相同。
解：点评：本题应多考虑正方形的特点，取正方形两边中点的连线可以平分正方形的面积。
例4 如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 之间有怎样的关系呢？直线两两平行，再考虑平行线的性质定理解题。
MNCM ∥AB ，DN ∥AB ， ∥DN ，EDN=z ，∠NDC=∠MCD ， ，∠BCD=∠BCM+∠DCM=90°BCM+∠CDN+∠EDN EDN=90°+z ， 两平行线间有两个拐点，分别过拐点作平行线，若出现一点通：平分三角形面积，应多考虑用等面积法解题，同时应考虑夹在两条平行线间的垂线段相等。
基本图形参考如下。
解：如图，连接EC，过点A作AD∥EC，与BC的延长线交于点D，取BD的中点F，连接EF，直线EF平分△ABC的面积.∵S△ACE=S△DCE（同底等高）∴S△ACE－S△COE=S△DCE－S△COE∴即S△AOE=S△DOC，∵EF平分△BED的面积，∴EF平分△ABC的面积。
如图（5），MA1∥NA n，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠A n＝_ __度。
一点通：分别过拐点作已知直线的平行线，根据平行线的性质解题。
）∠A1＋∠A2＝180°；）如图b，过点A2作PA2∥MA1，∠A1＋∠A2＋∠A3＝360°；＝540°；（4）∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720°；根据上述结论，可以发现规律：（5）∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠A n＝（n-1）∙180°。
∥AC ，∵AC ∥BD ， ∴PQ ∥BD ，∴∠PAC=∠APQ ，∠PBD=∠BPQ ， ∴∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD ；（2）如下图，当动点P 落在第②部分时，∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三者之间的数量关系：∠PAC+∠APB+∠PBD=360°；（3）如下图，当动点P落在第③部分时，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之间的数量关系：∠PAC-∠PBD =∠APB；（4）如下图，当动点P2落在第④部分时，∠P2AC，∠AP2B，∠P2BD三者之间的数量关系：∠P2BD =∠P2AC+∠AP2B。
点评：本题根据点P的不同位置，∠PAC，∠APB，∠PBD三者之间的数量关系在发生变化，同学们可以根据变化的情况分析点P落在第⑤、⑥部分时三个角之间的数量关系是什么。
1. 正确理解垂线段及点到直线的距离，距离一定代表长度；2. 正确辨别同位角、内错角、同旁内角，掌握规律与技巧；3. 正确识别截线与被截直线，从而准确判断两直线平行；4. 区分平行线的判定和性质、确定平行线性质成立的条件；5. 应用两直线平行的性质和判定解题是关键，要熟悉定理。
问题：如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，像图①②那样放置。
（1）若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD的度数。
（2）若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD的度数。
（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系，并写出理由。
一点通：两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，已知∠BOC=60°，可以求出∠AOC ，再把所求的角用已知角的和或差表示。
解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°， ∴∠AOC=∠AOB －∠BOC=90°－60°=30°。
又∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+90°=120°。
（2）∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°， ∠AOB=90°，∠COD=90°，∠BOC=70°，∴∠AOD=360°－∠AOB －∠COD －∠BOC=360°－90°－90°－70°=110°。
（3）由（1）知∠AOD+∠BOC=120°+60°=180°， 由（2）知∠AOD+∠BOC=110°+70°=180°， 故由（1），（2）可猜想：∠AOD+∠BOC=180°。
点评：本题也可以作为旋转图形考虑，旋转的两个三角形对应角相等，同时旋转的角度相等，即∠AOC=∠BOD 。
（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，若两条平行线EF ，MN 与直线AB 、CD 相交，则图中共有同旁内角的对数为（ ）Ａ. 4 B. 8 C. 12 D. 162. 一个人从Ａ点出发向北偏东60°的方向走到Ｂ点，再从Ｂ出发向南偏西15°方向走到Ｃ点，那么∠ＡＢＣ等于（ ）A. 75°B. 105°C. 45°D. 135°3. 已知，OA ⊥OC ，且∠AOB ：∠AOC ＝2：3，则∠ＢＯＣ的度数为（ ）Ａ. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 90°4. 如图，ＤＨ∥ＥＧ∥ＢＣ，ＤＣ∥ＥＦ，那么与∠ＥＦＢ相等的角（不包括∠ＥＦＢ）的个数为（ ）Ａ. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. ∠1和∠2是两直线b a ,被直线m 所截得到的同旁内角，若a ∥b ，则下列说法正确的是（ ）Ａ. ∠1＝∠2 B. ∠1＋∠2＝90°C.90221121=∠+∠° D. 9021=∠-∠° 6. 如图，已知a ∥b ，1051=∠°，1402=∠°，则=∠3（ ）Ａ. 55° B. 60° C. 65° D. 70°7. 如图，如果AB ∥CD ，CD ∥EF ，那么∠BCE 等于（ ）65=∠C °=∠1,则，∠C ＝29°，则∠AEC＋∠3＋……＋∠2n=12. 如图，Ｄ是ＡＢ上一点，ＣＥ∥ＢＤ，ＣＢ∥ＥＤ，ＥＡ⊥ＢＡ于点Ａ，若∠ＡＢＣ＝38°，则∠ＡＥＤ＝ °三、解答题13. 如图，ＤＢ∥ＦＧ∥ＥＣ，∠ＡＣＥ＝36°，ＡＰ平分∠ＢＡＣ，∠ＰＡＧ＝12°，求∠ABD的度数。
14. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，试判断ＥＤ与ＦＢ的位置关系，并说明为什么？15. 两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是多少个；（2）试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当n=2011时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？16. 如图，在四边形ABCD中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD⊥CD于D，EF⊥CD 于F，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由。
一、选择题1. D2. C3. C4. D5. C6. C7. C8. D二、填空题9. 115°, 65°10. 77°11. （2n－1）180°12. 52°理由：如图；（2）当有n对点时，最少可以画2（n－1）个三角形（3）2×（2011－1）＝4020个答：当n=2011时，最少可以画4020个三角形。
16. 解：能辨认∠1＝∠2证明：因为由已知∠A＝104°－∠2，∠ABC＝76°＋∠2，所以∠A＋∠ABC＝104°－∠2＋76°＋∠2＝180°，所以AD∥BC，∠1＝∠DBC，因为BD⊥DC，EF⊥DC，所以BD∥EF，所以∠2＝∠DBC，所以∠1＝∠2。
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