高中数学精讲与练第一轮教案：排列,组合,二项式定理
高中数学教案：排列与组合
高中数学教案：排列与组合一、教学目标：1. 让学生理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用排列与组合的知识解决生活中的问题，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容：1. 排列的概念及计算方法2. 组合的概念及计算方法3. 排列与组合的应用三、教学重点与难点：1. 重点：排列与组合的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
2. 难点：排列与组合的原理理解，以及如何解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解排列与组合的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握排列与组合的计算方法。
3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实际问题，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的概念，让学生理解它们的含义。
3. 讲解排列与组合的计算方法，让学生掌握计算技巧。
4. 案例分析：通过实际例子，让学生运用排列与组合的知识解决问题。
5. 练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并引导学生进行讨论，分享解题心得。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考排列与组合在生活中的应用。
7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和讨论，评价学生对排列与组合概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题解决，评价学生对排列与组合计算方法的掌握情况。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和数学应用意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活案例和实际问题，用于引导学生理解和应用排列与组合知识。
2. 准备排列与组合的计算方法讲解PPT，以便进行清晰的教学演示。
3. 准备练习题和讨论题目，用于巩固学生所学知识和促进学生思考。
八、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与程度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。
高三数学一轮复习教学案：排列、组合、二项式定理 学案
排列、组合、二项式定理2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。
高中数学新课 排列、组合和二项式定理 教案 (18)
课 题： 小结与复习(二)教学目的： 1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题.2.会利用二项式定理解决某些整除性问题教学过程：一、知识点：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ .2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n nC ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n nC +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ 二、讲解范例：例1．①计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x②计算:n nn n n C C C 242121++++ 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： ① )1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝11]1)1[(5=-+-x② n nn n n C C C 242121++++ ＝(12)n +＝n 3 例2． 证明恒等式:1010101100102=+++C C C分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的a 、b 取某些特殊值.证明：左边＝01101010101010(11)2C C C +++=+= ＝右边引伸:化简n nn n n n n n n C x C x C x C )1(22110-+++--- 解: n nn n n n n n n C x C x C x C )1(22110-+++--- ＝n x )1(- 例3． 求证)(983*22N n n n ∈--+能被64整除.分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有28的式子.因此,可将223+n 化成112)18()3(+++=n n 再进行展开,化简即可证得. 证明：∵221389(81)89n n n n ++--=+--＝1221111(18888)89n n n n n n C C C n +++++++++--＝22111888n n n n n C C ++++++ ＝2221118(88)n n n n n C C --+++++∴多项式展开后的各项含有28∴)(983*22N n n n ∈--+能被64整除.引伸:①求证1923+能被10整除;②求138除以9的余数.例4. 求52)1()1(x x -+的展开式中3x 的系数.解:利用通项公式r r n r n r b a C T -+=1,则2)1(x +的通项公式r r r x C T ⋅=+21,}2,1,0{∈r5)1(x -的通项公式k k k k k k x C x C T 551)1()(-=-⋅=+,}5,4,3,2,1,0{∈k令3=+r k ,则⎩⎨⎧==21r k 或⎩⎨⎧==12r k 或⎩⎨⎧==03r k 从而3x 的系数为535251215=-+-C C C C引伸:求103)1)(1(x x +-的展开式中5x 的系数. ( 答案:207 )例5． 求153)1(x x -的展开式中的常数项和有理项.解:设展开式中的常数项为第1+r 项,则653015153151)1()1()()1(rr r r r r r r x C x x C T --+⋅⋅-=⋅⋅-= (*) 由题意得06530=-r ,解得6=r , 所以展开式中的常数项为第7项5005)1(6156167=⋅-==+C T T . 由题意可得Z r ∈-6530,即r 是6的倍数,又因为150≤≤r ,所以r =0,6,12故展开式中的有理项为5501501)1(x x C T =⋅⋅-=,50057=T ,513420-=x T .三、课堂练习：1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理答案选B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_____种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3个位置可排共有13A 种排法，然后排学生共有44A 种排法，由分步计数原理可得答案是72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有24A 种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A 33种排法.由分步计数原理可得答案是72.3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数.（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个.4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）A.100种B.400种C.480种D.2400种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有2400441435442425=+A C C A C C （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有________种.解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有446C 种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故取4个点不共面时的不同取法有)(141)364(46410种=++-C C6.已知碳元素有3种同位素12C 、13C 、14C ，氧元素也有3种同位素16O 、17O 、18O ，则不同的原子构成的CO 2分子有（ ）A.81种B.54种C.27种D.9种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所以27131313==C C C N （种）7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ）A.360个B.180个C.120个D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有44A =24个.8 .在代数式522)11)(524(x x x +--的展开式中，常数项为_____.(答案:15) 9.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+,则()()2312420a a a a a +-++的值为A.1B.－1C.0D.2解：题中的0a ，1a ，…，4a 是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于04C ，14C ，…，4C 令x ＝1或－1可得它们的不同形式的代数和，于是可得结论答案选A.10．求6102)1()1(x x x -++展开式中各项系数的和.11．若7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++710a a a , =+++6420a a a a ,=+++7531a a a a ,=+++710a a a .12．n x x x )1()1()1(2++++++ 的展开式中的各项系数之和为 .13．设121111112084)3()3()3()4()1(a x a x a x a x x +++++++=++ ,求:(1)12210a a a a ++++ 的值;(2)12420a a a a ++++ 的值.答案：10. 令1=x ,得答案: 0 11. -1 12.221-+n .13.令2-=x ,得12210842)1(a a a a ++++=⋅- ,即2562812210==++++a a a a . 令4-=x ,得12210840)3(a a a a +-+-=⋅- ,即012210=+-+-a a a a ,故128)0256(21)]()[(21122101221012420=+=+-+-+++++=++++a a a a a a a a a a a a .四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题.2.通项公式的应用:①通项公式是第1+r 项,而不是第r 项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项五、课后作业：1． 已知n xx )2(2+的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3,求展开式中的常数项.解:由题意3:14:24=n n C C ,即05052=--n n ,∴10=n 或5-=n (舍去)∵2510102101012)2()(rr r r r r r x C x x C T --+⋅⋅=⋅=, 由题意得02510=-r ,得2=r ,∴常数项为第3项180********=⋅==+C T T .引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项.解:由题意3:56)4(:)16(24=n n C C ,可得10=n ,展开式共11项,故展开式的中间项为第6项,即21568064-=x T .2.求1032)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中含2x 项的系数. 解:二项式2)1(x +,3)1(x +,…10)1(x +展开式中2x 项的系数分别为： 2222310,,,.C C C其和为：2222310C C C +++ ＝3C ∴1032)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中含2x 项的系数为3C3. 若n 是3的倍数，求证：13-n是13的倍数 解：令n ＝3k ，k 是整数，则()1262626112612713111-+⋅++⋅+=-+=-=---k k k k k k k kk n C C C ()1111262626---++⋅+=k k k k k C C .()12112626---++⋅+k k k k k C C 是整数， 13-∴n 是13的倍数.六、板书设计（略）七、课后记：。
高三数学第一轮复习教案讲义排列、组合、二项式定理复习资料
高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
普通高考数学一轮复习 第39讲 排列、组合、二项式定理精品学案
第39讲排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
排列、组合、二项式定理、概率高三数学复习教学案
高三数学复习教学案第六章排列、组合与概率第1课时分类计数原理、分步计数原理考纲要求：掌握分类计数原理与分步计数原理，并能运用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
一、要点知识归纳：1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m 1中不同的方法，在第二类办法中有m2中不同的方法，……在第n类办法中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。
2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1中不同的方法，做第二步有m2中不同的方法，……做第n步有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N=_____________________________中不同的方法。
二、基本技能训练1、将（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4）展开后的项数有__________项。
2、书架的上层放有4本不同的数学书，中层放有6本不同的外语书，下层放有5本不同的语文书，从中任取一本书的不同取法的种数是__________；从书架上任取两本不同学科的书，共有____________种不同的取法。
3、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为__________。
4、3封信投入4个不同的信箱，共有________种不同的投法；4封信投入3个不同的信箱，共有__________种不同的投法。
设集合A中有5个不同的元素，集合B中有2个不同的元素，建立5、6、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为0），则该城市可增加_____________部电话。
三、例题分析例1、某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成。
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同选择？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选择？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选择？例2、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（1）各位上的数字允许重复？（2）各位上的数字不允许重复？例3、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方法有多少种？四、作业1、从1到200的自然数中，各个数位上都不含8的自然数有多少个？2、设x,y∈N*，直角坐标平面内的点P的坐标为（x,y）1）若x+y≤6，这样的P点有多少个？2）若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有多少个？第2课时排列、组合的基本问题考纲要求：1、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；2、能解决一些简单的问题。
数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理
数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理一、引言本教案主要介绍数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。
通过学习，学生能够了解到排列、组合和二项式定理的概念、性质和应用，提高数学思维和解决实际问题的能力。
二、排列与组合2.1 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方法数。
排列的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。
2.2 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方法数。
组合的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。
2.3 示例例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行排列，使用排列公式计算有：即有6种排列方法。
再例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行组合，使用组合公式计算有：即有3种组合方法。
三、二项式定理3.1 基本概念二项式定理是指任意一个二项式的幂展开后各项系数的规律。
二项式定理的公式表达为：其中，a、b为任意实数，n为非负整数，C为组合的计算公式。
3.2 使用方法二项式定理可以应用于多个方面，如多项式展开、概率计算等。
在多项式展开中，可以通过二项式定理将一个多项式化简为一系列项的和。
3.3 示例例如，将二项式展开为更多项的和：即：通过二项式定理，我们可以快速求解幂次较高的多项式。
四、总结本教案主要介绍了数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。
排列和组合是数学中常见的计数方法，可以用于解决实际问题中的选择和排列情况；二项式定理则是多项式展开中的重要工具，可以化简复杂的多项式表达式。
通过对这些概念和公式的学习和应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
希望通过本教案的学习，学生能够掌握排列、组合和二项式定理的基本原理，并能够应用于实际问题中，提升自己的数学能力。
排列、组合、二项式定理的精品教案_高三数学教案_模板
排列、组合、二项式定理的精品教案_高三数学教案_模板排列、组合、二项式定理的精品教案一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，怎样使二项式定理的教学生动有趣？使得在这节课上学生获得主动？我采用启发探究式教学方式，遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”，在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.具体为：一是从名人、问题引入课题。
采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。
二是从特殊到一般。
观察发现二项式定理的基本内容．遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．三是采用小组合作、探究的方式。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．四是教师的启发与学生的探究恰当结合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列，组合，二项式定理 2011-12-03一．排列，组合方法和技巧：（一）．分析问题的思路：（1） 位置分析法（填空法）：即把面临的排列问题看作是把元素一个个填到空格中的问题。
（2） 元素分析法：当面临的是填空问题时，不妨将其转化成元素之间的排列问题。
（3） 会将问题进行合理的转化我们熟悉的模型。
二．解题时常用到的方法：（1） 特殊元素，特殊位置优先安排原则。
例1：某班某天有七节课，上午四节，下午三节。
安排语，数，外，理，化，生，体育，数学在上午，体育在上午第四节或安排在下午。
有多少种不同的排课方法？解：第一类：数学排在第四节，则体育有3种排法；其余5门课有55A 种排法。
第二类：数学没有排在第四节有3种排法，则体育有4种排法；其余5门课有55A种排法。
所以共有180015123555555==+A A A （种）（特殊元素优先）例2：从5名男生，3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表，有多少种安排方法？解：（特殊元素优先）先从其余的7个人中任选4人做课代表有47C 种选法；再安排男生乙任课代表有14C 种排法；最后把余下的4个人安排好任课代表有44A 种排法。
共有47C 14C 44A =3360种排法。
（特殊位置优先）先从其余的7个人中任选4人做课代表有47C 种选法；再安排英语课代表有14C 种排法；最后把余下的4个人安排好任课代表有44A 种排法。
共有47C 14C 44A =3360种排法。
例3：从5名男生，3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，3名男课代表，2名女课代表，男生乙不任英语课代表。
有多少种安排方法？解：（特殊元素优先）第一类：男生乙没有任课代表，有552334A C C 种安排方法；第二类：男生乙担任课代表，有44142324A C C C 种安排方法；所以共有552334A C C +44142324A C C C =3168种安排方法。
（特殊位置优先）第一类：男生任英语课代表，44232414A C C C 种安排方法；第二类：女生任英语课代表，44351213A C C C 种安排方法；所以共有44232414A C C C +44351213A C C C =3168种安排方法。
例4：9名同学排成一排照相，甲同学不在排头，乙同学不排尾，有多少种不同排法？解：（方法一：特殊元素优先）第一类：甲在排尾有88A 种不同排法；第二类：甲不在排尾有771717A A A 种不同排法所以共有88A +771717A A A =287280种不同排法。
（方法二：间接法）9名同学排成一排照相有99A 种不同排法；其中甲在排头有88A 种，乙在排尾有88A 种，甲在排头且乙在排尾有77A 种，所以共有99A —288A +77A 种不同排法。
例5：从班委会5名成员中选出3名，分别担任学习委员，文娱委员，体育委员，其中甲，乙二人不担任文娱委员，有多少种不同选法？解：分析：本题有2个特殊元素（甲，乙二人），一个特殊位置（文娱委员）故特殊位置优先：先选文娱委员有种方法3种方法；再选学习委员，体育委员有2224A C 种方法，由分步计数原理得：32224A C =36种不同选法。
（2） 捆绑法（解决元素相邻问题）具体做法：第一步：将相邻元素看作是一个“元素”和其他的元素进行全排列；第二步：相邻元素之间进行排列；第三步：由乘法原理计算结果。
例6：9名同学排成一排照相，其中甲，乙必须相邻，有多少种不同排法？解：第一步：将甲，乙看做一个人和其余7个人排列有88A 种排法； 第二步：将甲，乙二人内部排列有22A 种排法。
共有88A 22A =80640种不同排法。
例7：9名同学排成一排照相，其中甲，乙必须相邻，丙，丁必须相邻，有多少种不同排法？解：第一步：将甲，乙看做一个人，丙，丁看做一个人和其余5个人排列有77A 种排法；第二步：将甲，乙二人内部排列有22A 种排法，将丙，丁内部排列有22A 种排法。
共有77A 22A 22A 种不同排法。
（3） 插空法（解决元素不相邻问题）具体做法：第一步：将不相邻元素之外的元素进行排列；第二步：从排好的元素产生的“空”中选出一定数量的“空”，把不相邻的元素排到“空”里面去；第三步：由乘法原理计算结果。
例8：4名男同学，5名女同学排成一排，男生互不相邻，共有多少种不同排法？解：第一步：将5名女同学排好有55A 种排法；第二步：从6个空中选出4个空将4名男生排进去有4446A C 种排法；共有55A 4446A C =43200种不同排法。
例9：4名男同学，5名女同学排成一排，男生互不相邻，女生也互不相邻，共有多少种不同排法？解：第一步：将5名女同学排好有55A 种排法；第二步：将4名男同学排在5名女同学之间的4个空中去有44A 种排法。
共有55A 44A 种排法。
（4） 定序问题（某几个元素排列时顺序是固定的，即这几个元素之间就是一种排列顺序）具体做法：采用的是位置分析法（填空法）方法一：先从“空”中选出一定数量的“空”，将定序的元素排进去，注意：仅一种排法；再将剩下的元素排在剩余的“空”中。
方法二：（公式法）设有n 个元素进行排列，其中有m 个元素排列时顺序固定，则n 个元素的排列数是m mn n A A 。
注意：n 个元素进行排列，其中有m 个元素相同，则n 个元素的排列数是m mn n A A 。
例10：9名同学排成一排照相，其中甲必须在乙的右边，有多少种不同排法？解：（方法一）第一步：从9个空中选取2个将甲，乙二人排好有29C 种排法；第二步：把其余7个人排在余下的7个空中，有77A 种排法；所以共有29C 77A =181440种排法。
（方法二）第一步：将9个人全排列有99A 种排法；第二步：除以22A 。
所以共有2199A =181440种排法。
例11：有2本相同的语文书，3本相同数学书，4本不同的英语书排成一排，有多少种不同排法？解：332299A A A 种不同排法或443729A C C 种不同排法。
(5) 分组问题 第一种情况：分成的各组之间所含元素个数互不相同时，用分步计数原理计算即可。
第二种情况：分成的各组中有所含元素个数相同的组时，先用分步计数原理计算后再除以所含元素个数相同的组的排列数。
例12：（1）9个工人分成3组，一组2人，一组3人，一组4人，有多少种不同分法？解：443729C C C 种不同分法。
（分步计数原理完成） （2）9个工人平均分成3组，有多少种不同分法？解：33333639A C C C 种不同分法。
（3）9个工人分成3组，一组5人，一组2人，一组2人，有多少种不同分法？解：22222459A C C C 种不同分法。
（4）9个工人平均分成3组，再将3组工人分到甲，乙，丙3个车间，每个车间分一组，有多少种不同分法？解：第一步：把9个工人平均分成3组，有33333639A C C C 种不同分法； 第二步：把3个组分到3各车间有33A 种不同分法。
由分步计数原理得： 有33333639A C C C 33A 种不同分法。
（5）有4本不同的书，全部分给3个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 解：先将4本不同的书分成3组有122421C C 种不同分法；再把3组书分给3个人有33A 种分法。
所以共122421C C 33A =36种分法。
（6）将4名医生，4名护士分成4个医疗小组奔赴4个农村，每个小组分别有1名医生1名护士。
不同的分配方案种数有多少？解：第一步：先分成4个医疗小组有44A 种分法；第二步：4个医疗小组奔赴4个农村有44A 种分法。
所以共有44A 44A 种分法。
例13：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，有多少种不同的投资方案？解：第一类：在3个城市投资有243334 A C 种不同的投资方案； 第二类：在2个城市投资：第一步选出2个城市有24C 种选法；第二步将3个项目分成两组有1123C C 种分法；第三步将两组项目分到两个城市有22A 种分法由分步计术原理得：24C 1123C C 22A =36种分法由分类计术原理得：24+36=60种不同投资方案。
例14：从5名同学中选4名同学在星期五，星期六，星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六，星期日各有1人参加，有多少种不同安排方案？解：第一步：选出4人有45C 种选法；第二步：将选出的4个人分成2,1,1三组有622111224=A C C C 种分法；第三步：把三组人分给星期五，星期六，星期日有2种方法，所以共有60种安排方案。
例15：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，有多少种不同的放法？解：先将4个颜色互不相同的球分成两组有2，2和1,3两种分法，然后将两组球放入盒子中。
共有：10113422222224=+⨯C C A A C C 种不同的放法。
(6) 隔板法（相同元素之间进行排列时用此法。
典型问题是“名额分配”）例16：（1）10个三好学生的名额分给三个班，每班至少分到一个名额，有多少种不同分法？解：将10个三好学生的名额排成一排（有一种排法），10个名额之间产生9个“空”在这9个“空”中任取两个（有29C 种取法），每个“空”之中放一个隔板，于是10个名额被分成3组，把这三组按顺序分给对应三个班（只有一种分法）即可。
（2）把10本相同的书分给编号为1,2,3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，有多少种不同的分法种数？解：第一步：先在2,3号阅览室放1本，2本书，（只有1种方法）；第二步：把其余7本书分给3个阅览室有26C 种方法。
所以共有15种方法。
(7) 填图染色问题（这是一类较复杂问题，即：“填空问题”。
对题目进行合理的分析，确定解决步骤，注意 “两个原理”的利用。
“穷举法”是解决此类问题的一个不错的方法）例17：在一个矩形长条中共有6个空格，涂上红，黄，蓝三种颜色，每种颜色限涂2格，且相邻两个格不同色，有多少种不同的涂色方法？解：（穷举法）第一个格有3种涂法（不妨设为红色）；第二个格只有2种涂法（不妨设为涂黄色）；则以下各格的涂法见下面：红黄红蓝黄蓝；红黄蓝红黄蓝；红黄蓝红蓝黄；红黄蓝黄红蓝；红黄蓝黄蓝红。
有30种不同的涂色方法。
例18：将三种作物（甲，乙，丙）种植在一条形试验田中（有5个格），每块种植一种作物，且同一种作物种在相邻的试验田中，有多少种不同的种植方法？解：（方法一：穷举法）第一块有3种种法，第二块有3种种法，但第三块的种法种数受第二块种法影响，所以从第二块开始讨论。