实用文库汇编之小学奥数之几何蝴蝶定理问题
小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)
五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积3度是DO的长度的倍例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。
例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3三角形BOC的面积之比。
例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？蝴蝶模型习题1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？答案【例1】因为AO : OC =S∆ABD : S∆BDC= 1: 3 ，所以OC = 2⨯3 = 6 ，所以OC : OD = 6: 3 = 2:1．解法二：作AH ⊥BD于H ，CG ⊥BD 于G ．因为S所以S ∆ABD=1S3=1S∆BCD，所以AH =1 CG ，3，∆AOD 3 ∆DOCAO =1CO ，3OC = 2⨯3 = 6 ，OC : OD = 6: 3 = 2:1．C【例2】⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ，⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ，所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ；⑴由于⑴BCO 的面积为8，⑴BOE 的面积为6，所以⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ，根据蝴蝶定理，EG : FG =S∆COE : S∆COF= 2 : 4 = 1: 2所以S∆GCE : S∆GCF=EG : FG = 1: 2 ，S∆GCE =11+ 2S∆CEF=1⨯ 2 =2 ．33【例3】A DFB EC 连接EF ．因为BE = 2EC ，CF =FD ，所以S∆DEF = (1⨯1⨯1)S2 3 2ABCD=1S12ABCD．因为S∆AED =1S2ABCD，由蝴蝶定理，AG : GF =1 : 12 12= 6 :1 ，所以S∆AGD = 6S∆GDF=6S7∆ADF=6⨯1S74ABCD=3S14ABCD．所以S∆AGE =S∆AED-S∆AGD=1S2ABCD-3 S14ABCD=2S7ABCD=2，7【例4】A E DB C设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ，而SBED =1S4ABCD，SBCD=1S2ABCD，所以EO : OC =SBED : SBCD= 1: 2 ，故EO =1EC ．3F 为CE 中点，所以EF =1 EC ，2故EO: EF = 2: 3，FO : EO =1: 2 ．由蝴蝶定理SBFD : SBED=FO : EO = 1: 2 ，所以SBFD =1S2BED=1S8ABCD，SBGD =1S2BFD=1S16ABCD=1⨯10⨯10 = 6.2516AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理B① S 1 : S 3 C= a 2 : b 2② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2【例 5】由梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 : ab = 25 : 35 ， 可得 a : b = 5: 7 ，再根据梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 :b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 ， 所以S DOC = 49梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144【例 6】由蝴蝶定理， S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3得a : b = 2: 3，S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9O∆OCD ∆OCD【例 7】AF BDE C如图，连结 EF ，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形， 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34．【例 8】A DB C连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行，所以 AECD 也是梯形，那么S ∆OCD = S ∆OAE ．据蝴蝶定理， S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ，所以S = 4另解：在平行四边形 ABED 中， S ∆ADE =1 S2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4【例 9】A EBD连接 DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以S ∆EOD = S FOC ， 又根据蝴蝶定理， S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 ， S ∆ECD = 4 + 8 = 12ABCD 面积为12⨯2 = 24S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ，四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米)．【例 10】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 ．183∆ AOD ∆ AOD ∆BOC123作业题答案1.AD FBEC连接 AE ， FE ．因为 BE : EC = 2: 3 ， DF : FC =1: 2 ，所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1S． DEF 5 3 2长方形ABCD10 长方形ABCD 因为S= 1 S ， A G : GF = 1 : 1= 5 :1，所以S = 5S = 10 平方厘米，所AED2 长方形ABCD 2 10AGD GDF 以 S = 12 平方厘米．因为S = 1S ，所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD厘米．2.AFDA D6 长方形ABCDBC根据梯形蝴蝶定理， a : b =1:1.5 = 2: 3 ， S : S = a 2:b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 ， 所以S = 4(cm 2 ) ．3.O 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是36 ⨯44 + 5= 16 ，3 的面积就是 36 ⨯54 + 5= 20 ．4.ADBEC因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ，根据四边形的对角线性质知道：⑴BEO 的面积为：54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ，所以四边形OECD 的面积为： 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).5.BM C由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而 AK : KB =1: 3 ，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的 1 = 1 ，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1．1+ 3 4 4由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM = DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么∆BDK 的面积为48⨯ 1= 12 ．4。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学奥数之蝴蝶定理
小学奥数---蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理.
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。
假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。
而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。
假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。
因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。
我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）在△ABC中，D为BC的中点，连接AD并延长交EF于点G，则有：frac{S_{\triangle AEG}}{S_{\triangleBGC}}=\frac{AD}{BC}$frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle BGC}}=\frac{AB-AD}{BC}$定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积：或 $S_1\times S_3=S_2\times S_4$2）AO∶OC=（S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）上、下部分的面积比等于上、下边的平方比：2）左、右部分的面积相等3）$4）S的对应份数为（a+b）2定理4：相似三角形性质1）$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{h}{H}$ 2）$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{A^2}$定理5：燕尾定理S_{\triangle ABG}:S_{\triangle AGC}=S_{\triangle BGE}:S_{\triangle GEC}=S_{\triangle BGA}:S_{\triangle BGC}=S_{\triangle AGF}:S_{\triangle GFC}=S_{\triangle AGC}:S_{\triangle BCG}=S_{\triangle ADG}:S_{\triangle DGB}=二、例题分析例1、如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，求ABC的面积。
删除明显有问题的例题）例4、如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
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作者： 方升座
作品编号： 58001984419960354 创作日期：2020年12月20日
实用文库汇编之几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b
定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的
20
3
4153=
⨯
定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2
C
F
E
A
D
B
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab
4）S 的对应份数为（a+b ）2
定理4：相似三角形性质
1）
H
h
C c B b A a ===
2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2
定理5：燕尾定理
S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC
S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC
S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB
二、 例题
例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？
C
B
E F
D
A
例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =
，1
3
BE BC =，1
4
CF CA =，求三角形DEF 的面积.
例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=
1
3
AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.
例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
25
9O D
C
B
A
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。
如果三角形
ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的
1
3
，且 2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
D
A
O
C
作者： 方升座
作品编号： 58001984419960354 创作日期：2020年12月20日
例10、左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC
长8cm ，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2
，求CF 的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADG
∆
的面积比EFG
∆的面积大6平方厘米。
?
的面积是多少平方厘米
ABC
∆
A
B C
D E
F
G
三、 练习题
1、如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？
2、如图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4 cm 2
，△CED 的面积6cm 2。
问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=
31BC ，CD=4
1
AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.
D
E
C
B
A
5、如图所示，已知ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF 的面积是16平方厘米，求三角形ABE 的面积是多少平方厘米？
6、 如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单
位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？
8、 已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，ABC ∆的面积是2cm ，P
是BC 上任意一点，P 到AB ,AC 的距离是,x y ，那么
2
16
8D
B
A
x y
+=；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC 至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
作者：方升座
作品编号：58001984419960354
创作日期：2020年12月20日。