宜川中学学第一学期高二数学期中考试试卷及参考答案

宜川中学2006学年第一学期期中试卷
高二数学2006.10
命题：王 怡 审核：马超群 校对：______________
考生注意：
1．答题前，考生务必用钢笔或圆珠笔清楚填写班级、姓名和学号。

2．本试卷共有22道试题，答案直接写在试卷上。

3．作图题请用铅笔答题。

不正确的是----------------------------------------------------------（ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,
()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,
()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离
为 ------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）
23 （B ）2
2 （C ）21
(D) 33
3．分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是---------------------------------------------( ) （A ）不平行 （B ）不相交 （C ）相交或平行 （D ）既不相交又不平行
4．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1
的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 ---------------------------------------------( )
(A) 5
15arccos (B)4π (C)510
arccos (D)2π
5．平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π
6，过A 、B 分别作
两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则A B ∶A ′B ′＝ --------------------------------------( ) （A ）2∶1（B ）3∶1（C ）3∶2（D ）4∶3
6．下面有四个命题:
①“直线b a ,为异面直线”的充分非必要条件是“直线b a ,不相交”；
②“直线l ⊥面α内所有直线”的充要条件是“α⊥l ”；
③“直线b a ⊥”的充分非必要条件是“b a ⊥在α内的射影”；
④“直线//a 面β”的必要非充分条件是“直线a 平行于平面β内的一条直线”； 其中正确命题的序号是--------------------------------------------（ ）
(B)②③(C)②④ (D)②③④ 二、填空题（本题共12小题，满分36分）
7．三条直线两两相交，每两条确定一个平面，则最多可以确定平面的个数是；
8．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是；
9．若长方体从一顶点出发的三条棱长之比为1：2：3，则它的体积为 ；
10．已知点M 是棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则过A,B,M 三点的
截面积是；
11．空间四边形ABCD 中，对角线BD=AC=,连接各边中点所成的四边形PQRS
的面积为AC 与BD 所成角的大小为；
12．正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1,AA 1=3.则BD 1与平面BCC 1B 1所成角的大小为 （用反三角表示）；
13．正方体12条面对角线中，组成异面直线的对数是；
14．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，两直角边分别与平面α成30︒和45︒角，则
这个直角三角形所在平面与平面α所成锐二面角的大小是；
15．若直角三角形ABC 所在平面外一点P 到点A ，B ，C 等距离，P 到面ABC 的距离为b ，
且一直角边长为2a ，则P 到另一直角边的距离为；
16．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块，再将这
两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________；
17．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的。

如
图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α
的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．）
A
B
C
D A 1 B 1
C 1
D 1
α
18． 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，
∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1
P 是BC 1上 一动点，则CP ＋PA 1的最小值是____
4大题，满分40分）
19．（满分6分）按下列叙述画出图形（不必写作法）：直线a ，b 相交于点M, 点N 不在直
线a,b 上，点N 分别与直线a,b 确定平面,αβ； 20．（满分10分）设平面α⊥平面β，直线a ⊄α,a β⊄,则直线a//α是直线a β⊥ 的-----------------------------------------------------------------------------（ ）条件； A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要
注意：若选(A)则需证明充分性，若选(B)则需证明必要性，若选(C)则需证明充分性及必
要性，若选(D)请说明理由。

21．（满分10分）已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，
底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
C 11
22.（满分14分）在空间四边形SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面
ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
2006学年第一学期高二数学期中考试试卷答案
一． 选择题（本题共6小题，满分24分）
1．C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. C
二．填空题（本题共12小题，满分36分）
7. 3 8. (0,)2π 9. 34
10. 2 11.600 12.
10
arctg
13. 30 14.600
16.2(4a +. 17. (1).(3).(4).(5) 18.
三．解答题（本题共4大题，满分40分） 19．（满分6分）
20．（满分10分） 解：（B ）
已知：平面α⊥平面β，,.a a αβ⊄⊄直线a β⊥. 求证：直线//a α
证明：设l αβ⋂=.在α内作直线b l ⊥
////a b l b a a b l a b b αβαββααβαα⊥⎫⎫
⎪⋂=⊥⎫⎪
⎪⇒⇒⊄⇒⎬⎬⎬⊥⊥⎭⎪⎪
⊂⎭⎪⊂⎭
21．（满分10分）
解：由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角（或其补角）. 连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ， 又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.
在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB 又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，
在.17
17
3arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中
∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17
17
3arccos
22．（满分14分） 解：（1）取AC 中点D ，连结SD 、DB.
∵SA=SC ，AB=BC ，∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，∴AC ⊥SB.
（2）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，
∴平面SDB ⊥平面ABC.
过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥CM 于F ， 连结NF ，则NF ⊥CM. ∴∠NFE 为二面角N-CM-B 的平面角. ∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ， ∴SD ⊥平面ABC.
又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD. ∵SN=NB ，∴NE=
21SD=2
122AD SA -=
2
1
412-=2，
且ED=EB. 在正△ABC 中，由平几知识可求得EF=
41MB=2
1， 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=EF
EN
=22， ∴二面角N-CM-B 的大小是arctan22.。