【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习真题演练：2-3函数的奇偶性与周期性(含答案解析)
2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 ＝（ ）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得 的值，即可得到答案．
∴1＝2－ ，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－ ，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－ ＝－x＋ ＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令 ，则 ．
在 中，将 换为 ，得 ，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数 的对称性和周期性，可得出该函数的周期为 ，于是得出
可得出答案．
【详解】 函数 是 上的奇函数，则 ，
对于D选项，令 ，则 ， ， 且 ，
所以，函数 为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)
A 组基础达标(时间： 30 分钟满分：50分)若时间有限，建议选讲2， 4，7一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)(2012 ·津高考天 )以下函数中，既是偶函数，又在区间 (1， 2)内是增函数的为(B)A. y ＝ cos2x， x∈ RB. y＝ log2|x|， x∈ R 且 x≠ 0C. y＝e x－e－ x2， x∈ RD. y ＝ x3＋ 1， x∈ R利用逐项清除法求解．选项 A 中函数 y＝ cosπ 上单一递减，不2x 在区间 0，2知足题意；选项 C 中的函数为奇函数；选项 D 中的函数为非奇非偶函数，应选 B.函数 f(x) 的定义域为 R，若 f(x ＋ 1)与 f(x －1) 都是奇函数，则 (D)A. f(x) 是偶函数B. f(x) 是奇函数C. f(x) ＝ f(x ＋ 2)D. f(x ＋ 3)是奇函数由已知条件对 x∈ R 都有 f( － x＋ 1)＝－ f(x ＋ 1),f( － x－ 1)＝－ f(x －1)，所以 f( － x＋3)＝ f[ －(x － 2) ＋1] ＝－ f[(x － 2)＋1] ＝－ f(x － 1)＝ f( － x－1) ＝f( － x－2＋ 1)＝ f[ － (x＋ 2)＋ 1]＝－ f[(x ＋2)＋ 1]＝－ f(x ＋ 3)，所以函数f(x ＋ 3)是奇函数．1已知 f(x) 是定义在R 上的偶函数，并知足 f(x ＋2)＝－f（x），当 1≤ x≤ 2 时， f(x)＝x－ 2，则 f(6.5) 等于 (D)A. 4.5B. － 4.5C. 0.5D. － 0.511＝ f(x) ，∴ f(x) 是周期∵ f(x ＋ 2)＝－f（x），∴ f(x ＋ 4)＝ f[(x ＋ 2)＋ 2]＝－f（x＋2）为 4 的周期函数，∴f(6.5) ＝f(6.5－8)＝ f( － 1.5)＝ f(1.5) ＝1.5－ 2＝－ 0.5.(2012 山·东高考 )定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋6)＝ f(x) ．当－ 3≤ x＜－ 1 时， f(x) 2A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012由 f(x ＋ 6)＝ f(x) 可知函数是周期为 6 的周期函数，又当－ 3≤ x＜－ 1 时， f(x) ＝－(x＋ 2)2，当－ 1≤ x＜ 3 时， f(x) ＝ x 可知， f(1) ＝ 1, f(2) ＝ 2, f(3) ＝ f( － 3)＝－ (－ 3＋2) 2＝－ 1, f(4) ＝ f( － 2)＝－ (－ 2＋ 2) 2＝0, f(5) ＝ f( － 1)＝－ 1, f(6) ＝ f(0) ＝ 0，∴ f(1)＋ f(2) ＋ f(3) ＋ f(4) ＋f(5)＋f(6) ＝ 1，∴ f(1) ＋f(2) ＋ f(3) ＋＋ f(2 012) ＝ 335× 1＋ f(1)＋ f(2) ＝338.二、填空题 (每题 5 分，共 15 分)若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且知足 f(1) ＝1, f(2) ＝2，则 f(3) － f(4) ＝ __－ 1__．∵f(x ＋ 5)＝ f(x) 且 f( － x)＝－ f(x) ，∴ f(3)＝ f(3－ 5)＝ f( － 2)＝－ f(2) ＝－ 2, f(4) ＝ f( － 1)＝－ f(1) ＝－ 1，故 f(3) － f(4) ＝ (－ 2)－(－ 1)＝－ 1.(2012 ·庆高考重 )若 f(x) ＝ (x＋ a)(x－ 4)为偶函数，则实数 a＝ __4__．利用二次函数的奇偶性化简求解．由f(x) ＝ (x＋a)(x －4) 得 f(x) ＝ x2＋ (a－ 4)x －4a，若 f(x) 为偶函数 ，则 a － 4＝ 0，即 a ＝ 4.设奇函数 f(x) 的定义域为 [－ 5， 5]，当 x ∈ [0， 5]时，函数 y ＝ f(x) 的图像以下图 ，则使函数值 y ＜ 0 的 x 的取值会合为 __(－2， 0)∪ (2， 5)__．由原函数是奇函数 ， ∴ y ＝ f(x) 在 [ － 5， 5]上的图像对于坐标原点对称 ，由 y ＝ f(x)在 [0，5] 上的图像 ，得它在 [－ 5，0]上的图像 ，以下图．由图像知 ，使函数值 y ＜ 0 的 x 的取值会合为 (－ 2， 0)∪ (2，5)．三、 解答题 (共 15 分)(7 分 )f(x) 是定义在 R 上的奇函数且知足xf(x ＋ 2)＝f(x) ，当 x ∈ (0， 1)时， f(x) ＝ 2－ 1，求 f(log 16)的值．2∵ log 16＝－ log 2 6＜0，且 f(x) 为奇函数 ，2∴ f(log 16)＝－ f(log 2 6)． (3 分)23又 f(x ＋ 2)＝ f(x) ， ∴ f(log 2 6)＝ f(log 2 6－ 2)＝ f log 2 2 ，而 log 2 3∈ (0， 1)．∴ f log 2 3 ＝ 2log 23－ 1＝3－ 1＝ 1.222221∴ f(log 16)＝－ .(7 分 )22(8 分 )(2013 曲·阜质检 )定义域为 [－ 1，1] 的奇函数 f(x) 知足 f(x) ＝ f(x － 2)，且当 x ∈ (0，1)时， f(x) ＝ 2x ＋ x.(1) 求 f(x) 在[ －1， 1]上的分析式；(2) 求函数 f(x) 的值域．(1) 当 x ＝ 0 时， f(0) ＝－ f(0) ，故 f(0) ＝ 0.当 x ∈(－ 1， 0)时， －x ∈ (0， 1)，f(x) ＝－ f( －x)＝－ (－ 2x ＋ － x)＝ 2x － －x. 当 x ＝－ 1 时， f( － 1)＝－ f(1) ．又 f(1) ＝ f(1－ 2)＝ f( －1)，故 f(1) ＝－ f(1) ， ∴ f(1) ＝0，进而 f( － 1)＝－ f(1) ＝ 0.2x － － x ， x ∈（－ 1， 0），综上 ， f(x) ＝ 0，x ＝ 0或 ±1，(4 分 )2x ＋ x ， x ∈（ 0，1） .(2)∵ x ∈ (0， 1)时， f(x) ＝ 2x ＋ x ，∴ f ′ (x) ＝ 2＋ 1＞ 0，故 f(x) 在 (0， 1)上单一递加． 2 x∴ f(x) ∈ (0， 3)．∵ f(x) 是定义域为 [ － 1， 1]上的奇函数 ，∴当 x ∈ [－ 1， 1]时， f(x) ∈ (－ 3， 3)． ∴ f(x) 的值域为 (－ 3， 3)． (8 分 )B 组 提优操练(时间： 30 分钟 满分： 50 分)若时间有限 ，建议选讲 2， 5，8一、 选择题 (每题 5分，共 20 分)若函数 f(x) ＝ x 为奇函数 ，则 a 的值为 (A)（ 2x ＋1）（ x －a ）1 2 3A. 2B. 3C. 4D. 1由函数 f(x) 为奇函数知 f( － x)＝－ f(x) ，－ x －x∴ （－ 2x ＋ 1）（－ x － a ）＝ （ 2x ＋1）（ x －a ） ， ∴ a ＝1.2(2013 曲·阜质检 )若偶函数 y ＝ f(x) 对随意实数 x 都有 f(x ＋ 1)＝－ f(x) ，且在 [0 ， 1] 上单一递减 ，则 (B)A. f 7 ＜ f 7 ＜ f 72 3 5 B. f 7 ＜ f 7 ＜ f 75 2 3 C. f 7 ＜ f 7 ＜ f 7 3 2 5 D. f 7 ＜ f 7 ＜ f 75 3 27 1由 f(x ＋ 1)＝－ f(x) ，知 f(x) 是周期函数 ，且最小正周期为 2. 故 f 2 ＝ f 4－ 2 ＝11 7 1 1 7 7 33 3 1 1f －2 ＝ f 2 ， f 3 ＝ f 2＋ 3 ＝ f 3 ， f 5 ＝ f － 2＋ 5 ＝ f － 5 ＝ f 5 . 又 1＞ 5＞2＞ 3＞ 0， ∴ f 7 ＜ f 7 ＜ f752 3 .设定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x) f(x ·＋ 2)＝ 13，若 f(1) ＝2，则 f(2 015) 等于 (B)13 13 39A. 3B. 2C.13D. 2 由 f(x) f(x ·＋ 2)＝ 13，得 f(x ＋ 2) ·f(x ＋ 4)＝ 13，即 f(x ＋ 4)＝ f(x) ，∴ f(x) 是以 4 为周13 13期的周期函数 ，故 f(2 015) ＝ f(503 × 4＋ 3)＝ f(3) ＝ f （ 1） ＝ 2 .应选 B.1已知偶函数 f(x) 在区间 [0，＋∞ )上单一递加 ，则知足 f(2x － 1)＜ f 3 的 x 的取值范围是 (A)A.1， 2 B. 1， 23 33 3 C. 1， 2D.1， 22 323f(x) 是偶函数 ，其图像对于 y 轴对称 ，又 f(x) 在 [0，＋∞ )上递加 ，∴ f(2x －1)＜ f13? |2x － 1|＜ 1? 1＜ x ＜2.应选 A.3 3 3二、 填空题 (每题 5 分，共 10 分)已知函数 f(x) 知足： f(1) ＝ 1， 4f(x)f(y) ＝ f(x ＋ y)＋ f(x － y)(x ， y ∈ R)，则 f(2 013) ＝41__－ 2__．11解法一：当 x ＝ 1，y ＝ 0 时， f(0) ＝2；当 x ＝1， y ＝ 1时， f(2) ＝－ 4；当 x ＝ 2，y ＝ 11；当 x ＝ 2，y ＝ 2 时， f(4) ＝－ 1；当 x ＝ 3，y ＝2 时， f(5) ＝1；当 x ＝ 3，时， f(3) ＝－ 244111y ＝ 3 时， f(6)＝ 2；当 x ＝ 4， y ＝ 3 时， f(7)＝ 4；当 x ＝ 4，y ＝ 4 时， f(8) ＝－ 4； . ∴ f(x) 是以 6 为周期的函数 ， ∴ f(2 013) ＝ f(3＋ 335× 6)＝ f(3) ＝－ 1.2解法二：∵ f(1) ＝1f(y)· ＝f(x ＋ y)＋f(x － y), ∴结构切合题意的函数1 π4， 4f(x)f(x) ＝ 2cos 31 π ＝－ 1 .x, ∴ f(2 013) ＝ cos 3 ×2 013 22对于函数 f(x) ＝ lg|x － 2|＋ 1，有以下三个命题：① f(x ＋ 2)是偶函数；② f(x) 在区间 (－∞ ， 2)上是减函数 ，在区间 (2，＋∞ )上是增函数； ③ f(x ＋ 2)－ f(x) 在区间 (2，＋∞ )上是增函数．此中正确命题的序号是 __①② __．(将你以为正确的命题序号都填上 )x＝由 图 像 可 知 ①② 正 确 ； 函 数 f(x ＋ 2) － f(x) ＝ lg|x| － lg|x － 2| ＝ lg x － 2 lg 1＋ 2f(x ＋ 2)－ f(x) 在区间 (2，＋∞ )上是减函，由复合函数的单一性法例 ，可知函数x － 2 数．∴③错．三、 解答题 (共 20 分)(10 分 )(2013 舟·山调研 ) 已知函数 f(x) ＝ x 2＋ a(x ≠ 0，常数 a ∈R)．x(1)议论函数 f(x) 的奇偶性 ，并说明原因； (2)若函数 f(x) 在 x ∈ [2，＋∞ )上为增函数 ，求 a 的取值范围．(1) 当 a ＝0 时， f(x) ＝ x 2，对随意的 x ∈ (－∞ ， 0)∪(0 ，＋∞ ), f(－ x)＝ (－ x)2＝ x 2＝f(x) ，∴f(x) 为偶函数．当 a≠0 时， f(x) ＝ x2＋ax(a≠ 0，x≠ 0)，取 x＝±1，得 f( － 1)＋ f(1)＝ 2≠ 0，f(－ 1)－ f(1) ＝－ 2a≠ 0，∴f(－ 1)≠－ f(1), f( －1)≠ f(1) ．∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．(5 分 ) (2)解法一：要使函数f(x) 在 x∈[2，＋∞ )上为增函数，等价于 f ′(x)≥ 0 在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立，a即 f ′(x)＝ 2x－x2≥ 0 在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立．故 a≤2x3在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立．∴ a≤ (2x 3)min＝ 16.∴ a 的取值范围是 (－∞， 16] ．(10 分 )解法二：设2≤x1＜ x2，则 f(x 1)－ f(x 2)＝ x12＋a－ x22－a＝x1－x2· [x 1x2(x1＋ x2)－ a]．x1x2x1x2要使函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞ )上为增函数，一定 f(x 1)－ f(x 2)＜ 0 恒建立．∵x1－ x2＜0， x1x2＞ 0，即 a＜ x1x2(x1＋ x2)恒建立，又 x1＋ x2＞4， x1x2＞ 4，∴x1x2(x1＋ x2)＞ 16.∴a 的取值范围是 (－∞， 16] ．(10 分 )(10 分 )(2013 沈·阳质检 )设 f(x) 是 (－∞，＋∞ ) 上的奇函数，f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，当0≤ x≤ 1 时， f(x) ＝x.(1)求 f( π)的值；(2)当－ 4≤x≤ 4 时，求 f(x) 的图像与x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (－∞，＋∞ )内函数 f(x) 的单一递加 (或递减 )区间．(1)∵f(x ＋ 2)＝－ f(x) ，∴f(x ＋ 4)＝ f[(x ＋ 2)＋ 2]＝－ f(x ＋ 2)＝ f(x) ，∴f(x) 是以 4 为周期的周期函数．∴f(π)＝ f( π－ 4)＝－ f(4 －π)＝－ (4－π)＝π－4. (4 分 )(2)由 f(x) 是奇函数与f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，得f[(x － 1)＋ 2]＝－ f(x － 1)＝ f[ － (x－ 1)] ，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)．故知函数 y＝f(x) 的图像对于直线x＝ 1 对称．又 0≤x≤ 1 时， f(x) ＝ x，且 f(x) 的图像对于原点成中心对称，则f(x) 的图像以下图．当－ 4≤ x≤ 4 时， f(x) 的图像与 x 轴围成的图形面积为S，则 S＝ 4S OAB＝ 4×（12× 2× 1）△＝4.(8 分)(3) 函数f(x) 的单一递加区间为[4k － 1， 4k＋ 1](k ∈Z) ，单一递减区间为[4k ＋ 1， 4k ＋3](k ∈Z) ． (10 分 )。
2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测课件：函数的奇偶性与周期性
题型3：函数的周期性
【例 3】(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，
当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f123＝
()
A．－94
B．－14
C.14
2(1－x)，0≤x≤1，D．94
(2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝x－1，1<x≤2， 如果对任意的 n∈N*，定义 fn(x)＝
[例 2] (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则当 x<0 时，
f(x)＝
()
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)已知函数 f(x)＝a－ex＋2 1(a∈R)是奇函数，则 a＝________．
(3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，
高三 数学 一轮总复习
【新高考·新课标】
第7讲
函数的奇偶性与周期性
一轮总复习
目录
题型1 函数奇偶性的判定 题型2 函数奇偶性的应用 题型3 函数的周期性 题型4 函数性质的综合应用
一轮总复习
题型1：函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝(x＋1)
11＋－xx；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋2x－2x＋1，1，x<x0>；0， (4)f(x)＝ 4x－2 x2．
一轮总复习
解：(1)由
1－x2≥0， x2－1≥0
【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：2-2函数的单调性与最值(含答案解析)
课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2016·云南昆明、玉溪统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f(x)＝x 2B ．f(x)＝2|x|C ．f(x)＝log 21|x|D ．f(x)＝sinx解析：函数f(x)＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log 21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sinx 是奇函数，不合题意．故选C.答案：C2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增D ．先增后减解析：对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在(3,4)上为增函数． 答案：C3．函数f(x)＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减． 答案：A4．若f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－3 B ．a≤－3 C ．a>－3D ．a≥－3解析：对称轴x ＝1－a≥4，∴a≤－3. 答案：B5．若函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1，2)C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：当a>1且x 2－ax ＋12有最小值时，f(x)才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>1，Δ<0⇒1<a< 2.答案：C6．(2016·河南示范高中模拟)若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：由题意知，存在正数x ，使a>x －12x 成立，所以a>⎝⎛⎭⎫x －12x min ，而函数f(x)＝x －12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，故选D.答案：D7．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a>1， 由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x<－1，解之得x<－3.答案：A8．(2016·黑龙江哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c>a>bB ．c>b>aC ．a>c>bD ．b>a>c解析：由函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1<2<52<e ，∴f(2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f(e)． ∴b>a>c ，故选D. 答案：D9．下列函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)解析：满足f x 2 －f x 1x 2－x 1<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.答案：A10．(2016·江西八校联考)定义在R 上的函数f(x)对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<0，且函数y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s ，t 满足不等式f(s 2－2s)≤－f(2t －t 2)．则当1≤s≤4时，t －2s s ＋t的取值范围是( )A ．[－3，－12)B ．[－3，－12]C ．[－5，－12)D ．[－5，－12]解析：∵函数f(x －1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)，∴f(s 2－2s)≤－f(2t －t 2)⇒f(s 2－2s)≤f(t 2－2t)，又由题意知f(x)为R 上的减函数，∴s 2－2s≥t 2－2t ，∴(s －t)(s ＋t －2)≥0，∴s≥t 且s ＋t≥2，或s≤t 且s ＋t≤2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s≤4，s≤t ，s ＋t≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t ＝－12.t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s≤4，s≥t ，s ＋t≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知t s ∈[－12，1]，从而t －2s s ＋t ＝1－31＋t s∈[－5，－12]，∴t －2s s ＋t∈[－5，－12]．选D.答案：D 二、填空题11．若函数y ＝－|x|在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：y ＝－|x|在[0，＋∞)上单调递减，∴a≥0. 答案：a≥012．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为________．解析：当x ＝0时，y ＝0. 当x≠0时，f(x)＝1x ＋1x，∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f(x)≤12，∴0≤f(x)≤12.答案：1213．(2016·广州模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x≤2，－x ＋3，x>2.当0<x≤2时，h(x)＝log 2x 是增函数； 当x>2时，h(x)＝－x ＋3是减函数．∴h(x)＝min{f(x)，g(x)}在x ＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案：114．(2016·云南适应性考试)若函数f(x)＝2x ＋sinx 对任意的m ∈[－2,2]，有f(mx －3)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析：易知f(x)是R 上的奇函数，由f′(x)＝2＋cosx>0，知f(x)为增函数． ∵f(mx －3)＋f(x)<0可变形为f(mx －3)<f(－x)，∴mx －3<－x ，∴mx －3＋x<0.设g(m)＝x·m －3＋x ，由题意知当m ∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立，则当x≥0时，g(2)<0，即2x －3＋x<0，则0≤x<1；当x<0时，g(－2)<0，即－2x －3＋x<0，则－3<x<0.∴所求的x 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)三、解答题15．(2016·天津汉沽一模)已知函数f(x)＝x 2＋ax (x≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 当a ＝0时，f(x)＝x 2(x≠0)，显然为偶函数； 当a≠0时，f(1)＝1＋a ，f(－1)＝1－a. 因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)．所以当a≠0时，函数f(x)＝x 2＋ax(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，当a≤0时，对任意x ∈[2，＋∞)，f′(x)>0恒成立，易知满足题意；当a>0时，令f′(x)＝2x 3－ax 2>0，解得x>3a 2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a 2≤2，解得0<a≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．16．(2016·湖北模拟)若非零函数f(x)对任意函数x ，y 均有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，且当x<0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)>0；(2)求证：f(x)为R 上的减函数；(3)当f(4)＝116时，对a ∈[－1,1]时恒有f(x 2－2ax ＋2)≤14，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：证法1：令y ＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.当x<0时，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则f(－x)＝1f x ∈(0,1)．故对于x ∈R 恒有f(x)>0.证法2：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 22≥0， ∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0. (2)证明：令x 1>x 2且x 1，x 2∈R ，有f(x 1)·f(x 2－x 1)＝f(x 2)，又x 2－x 1<0，则f(x 2－x 1)>1，故f x 2 f x 1 ＝f(x 2－x 1)>1，又f(x)>0.∴f(x 2)>f(x 1)．故f(x)为R 上的减函数． (3)f(4)＝116＝f(2＋2)＝f 2(2)⇒f(2)＝14，则原不等式可变形为f(x 2－2ax ＋2)≤f(2)， 依题意有x 2－2ax≥0对a ∈[－1,1]恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≥0，x 2＋2x≥0，∴x≥2或x≤－2或x ＝0.故实数x的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定 在R上的偶函数， 并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
新高考数学理一轮总复习知能演练2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)
一、选择题1． (2012 ·考陕西卷高 ) 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为()A ． y ＝ x ＋ 13B ． y ＝－ x1C ． y ＝ xD ．y ＝ x|x|分析： 选 D. 由函数的奇偶性清除 A ，由函数的单一性清除 B 、 C ，由 y ＝ x|x|的图象可知当 x ＞ 0 时此函数为增函数，又该函数为奇函数，应选D.2．已知 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，则函数 y ＝ f( x)的图象的对称轴是 ( )A ． x ＝ 1B ． x ＝－ 11 1C ． x ＝ 2D ．x ＝－ 2分析： 选 A. ∵y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，∴ f(1＋ x)＝ f(1－ x)，故 f(x)对于直线 x ＝ 1 对称． 3．函数 f( x)＝ x 3＋ sinx ＋ 1(x ∈ R )，若 f(a)＝ 2，则 f(－ a)的值为 ( )A ． 3B ． 0C ．－ 1D ．－2分析： 选 B.f(a)＝ a 3＋ sina ＋ 1，①33f(－ a)＝ (－ a) ＋ sin(－ a)＋ 1＝－ a － sina ＋ 1，②∴f(－ a)＝ 2－ f(a)＝ 2－ 2＝ 0.24．函数 f( x)＝ 1－ 1＋ 2x (x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数分析： 选 D. ∵f(x)＝ 1－2 ＝ 2x－ 1，1＋ 2x 2x ＋ 12－x－11－ 2x 2x － 1 ∴f(－ x)＝ x＝ 1＋ 2 x ＝－ x＝－ f(x)． 2－＋ 12 ＋ 1又其定义域为 R ，∴f(x)是奇函数．5．定义在 R 上的偶函数 y ＝f(x)知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且当 x ∈ (0,1] 时单一递加，则 ()15 A ． f 3 ＜ f(－5)＜ f 2 1 5B ． f 3 ＜ f 2 ＜ f(－5) 5 1C ． f 2 ＜ f 3 ＜ f(－5)D ． f(－5) ＜f 1＜ f 53 2分析： 选 B.∵f(x ＋ 2)＝ f(x)，∴f(x) 是以 2 为周期的函数，51＋ 21，又 f(x)是偶函数，∴ f 2 ＝ f2＝ f 2 f(－ 5)＝ f(5)＝ f(4＋ 1)＝ f(1) ，∵函数 f(x)在 (0,1] 上单一递加，1 1 1 5∴f 3 ＜ f 2 ＜ f(1)，即 f 3 ＜ f 2 ＜ f(－ 5)．二、填空题6．设函数 f(x) ＝x(e x ＋ ae －x )(x ∈ R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．分析： 由于 f(x)是偶函数，因此恒有f(－ x)＝ f(x)，即－ x(e－x＋ae x )＝ x(e x＋ ae －x )，化简得 x(e －x ＋e x )( a ＋ 1)＝ 0.由于上式对随意实数x 都建立，因此 a ＝－ 1.答案： －17．函数 f(x)在 R 上为奇函数， 且 x ＞ 0 时， f(x)＝ x ＋ 1，则当 x ＜ 0 时，f(x)＝ ________. 分析： ∵f(x)为奇函数， x ＞0 时， f(x)＝ x ＋ 1， ∴当x ＜ 0 时，－ x ＞ 0， f(x)＝－ f(－ x)＝－ ( － x ＋ 1)，即 x ＜0 时， f(x)＝－ ( － x ＋ 1)＝－－ x － 1.答案： － － x － 18． (2013 大·连质检 )设 f(x)是定义在 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )上的奇函数，且f(x ＋ 3) ·f(x)＝－ 1， f(－ 4)＝ 2，则 f(2014) ＝________.分析： 由已知 f(x ＋ 3)＝－ 1，f x∴f(x ＋ 6)＝－ 1＝ f(x)，f x ＋ 3 ∴f(x)的周期为 6.∴f(2014) ＝ f(335× 6＋ 4)＝ f(4) ＝－ f(－ 4)＝－ 2. 答案： －2 三、解答题9．判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 2－ 1＋ 1－ x 2；x 2－ 2x ＋ 3x>0 ，(2)f(x)＝ 0 x ＝ 0 ，－ x 2－ 2x －3x<0 .解： (1)f(x) 的定义域为 { － 1,1} ，对于原点对称．又 f(－ 1)＝ f(1) ＝0.∴f(－ 1)＝ f(1) 且 f(－ 1)＝－ f(1)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)①当 x ＝ 0 时，－ x ＝0，f(x)＝f(0)＝ 0， f(－ x)＝ f(0) ＝ 0， ∴f(－ x)＝－ f(x)． ②当 x>0 时，－ x<0，∴f(－ x)＝－ (－ x)2－ 2(－ x)－ 3＝－ (x 2－ 2x ＋ 3)＝－ f( x)．③当 x<0 时，－ x>0，∴f(－ x)＝ (－ x)2－2(－ x)＋3＝－ (－ x2－2x－ 3)＝－ f(x) ．由①②③可知，当x∈R时，都有f(－ x)＝－ f(x) ，∴f(x)为奇函数．10．已知奇函数f(x)的定义域为 [ － 2,2] ，且在区间 [ －2,0] 内递减，求知足：f(1－ m)＋ f(1－m2)<0 的实数 m 的取值范围．解：∵f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，－ 2≤ 1－ m≤ 2∴有，－ 2≤ 1－ m2≤ 2解得－ 1≤ m≤ 3.①又 f(x)为奇函数，且在[－ 2,0] 上递减，∴在[ － 2,2]上递减，22－ 1)?2∴f(1－ m)< －f(1－m )＝ f(m1－ m>m －1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－1≤ m<1.一、选择题1． (2012 ·考天津卷高) 以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 () A． y＝ cos 2x， x∈R B ． y＝ log2|x|，x∈R且 x≠ 0C． y＝e x－e－ x， x∈R D ．y＝ x3＋ 1， x∈R 2分析：选 B. 由函数是偶函数能够清除 C 和 D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝ log 2|x|＝log 2x 为增函数，因此选择 B.2．(2011 ·考山东卷高)已知 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝ x3－ x，则函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 () A． 6 B ． 7C． 8 D ．9分析：选 B.令 f(x)＝ x3－ x＝0，即 x(x＋ 1)(x－ 1)＝ 0，因此 x＝ 0,1，－ 1，由于 0≤ x＜ 2，因此此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为 2.由于 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，因此 2≤ x＜ 4,4≤ x＜ 6 上也分别有两个零点，由 f(6) ＝ f(4) ＝ f(2)＝ f(0)＝ 0，知 x＝6 也是函数的零点，因此函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.二、填空题13．若 f(x)＝2x－1＋ a 是奇函数，则a＝ ________.分析： ∵f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，即1 － 11 ＋a ＝ － a ，得： 2a ＝ 1，a ＝2－x － 1 2x －12. 答案：124．(2013 长·春质检 )设 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数，且 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，下边对于 f(x)的判断：此中正确命题的序号为________．① f(4)＝ 0； ② f(x)是以 4 为周期的函数； ③ f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称； ④ f(x)的图象对于 x ＝ 2 对称．分析： ∵f(x ＋2) ＝－ f(x)，∴f(x)＝－ f( x ＋ 2)＝－ (－ f(x ＋ 2＋ 2)) ＝ f(x ＋ 4)，即 f(x)的周期为 4，②正确．∵f(x)为奇函数，∴ f(4)＝ f(0) ＝ 0，即①正确．又∵f(x ＋ 2)＝－ f(x)＝ f(－ x)，∴f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称，∴③正确，又∵f(1)＝－ f(3) ，当 f(1) ≠0 时，明显 f(x)的图象不对于 x ＝2 对称，∴④错误． 答案： ①②③ 三、解答题5．已知函数 f(x)＝ x 2＋ |x － a|＋ 1， a ∈ R .(1)试判断 f(x)的奇偶性；1 1(2)若－ 2≤a ≤ 2，求 f(x)的最小值． 解： (1)当 a ＝ 0 时，函数 f(－ x)＝ (－ x)2＋ |－ x|＋ 1＝ f(x)， 此时， f(x)为偶函数．当 a ≠0 时， f(a)＝ a 2＋ 1， f(－ a)＝ a 2＋ 2|a|＋ 1， f(a)≠f(－ a)， f(a)≠ － f(－a)，此时， f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．2 － x ＋ a ＋ 1＝ x －1 23 (2)当 x ≤ a 时， f( x)＝ x 2＋ a ＋ ，4∵a ≤12，故函数f(x)在 (－ ∞ ，a]上单一递减，进而函数 f(x)在 (－ ∞， a]上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.当 x ≥a 时，函数 f(x)＝ x 2＋ x － a ＋ 1＝ x ＋1 2－ a ＋ 3，241∵a ≥－ 2，故函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上单一递加，进而函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.1 12综上得，当－2≤ a ≤ 2时，函数 f(x)的最小值为a ＋ 1.。
2021年高考数学大一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性高效作业 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性高效作业理新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·江西红色六校联考)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f(x)＝lg(21－x＋a)为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg(21－x －1)＝lg1＋x1－x.令f(x)＜0，得0＜1＋x1－x＜1，即x∈(－1,0)．答案：A2．(xx·诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝f yx＋f xy成立，则f(x)( )A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析：令x＝y＝1，则f(1)＝f11＋f11，∴f(1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －1－1＋f －1－1，∴f (－1)＝0.令y ＝－1，则f (－x )＝f －1x ＋f x－1， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A. 答案：A3．(xx·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0，得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0，得x ∈Ø； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0，得x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案：C4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：A5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >4}B ．{x |x <0，或x >4}C ．{x |x <0，或x >6}D ．{x |x <－2，或x >2}解析：当x ≥0时，令f (x )＝2x －4>0，所以x >2.又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )>0的解集为{x |x <－2，或x >2}．将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位即得函数y＝f (x －2)的图象，故f (x －2)>0的解集为{x |x <0，或x >4}．答案：B6．(xx·辽宁大连)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos(πx )|.同理可以得到在区间[－12，0)，(12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有6个．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·金华十校模拟)已知函数f (x －1)为奇函数，函数f (x ＋3)为偶函数，f (0)＝1，则f (8)＝________.解析：由y ＝f (x －1)为奇函数得f (－x －1)＝－f (x －1)，由y ＝f (x ＋3)为偶函数得f (－x ＋3)＝f (x ＋3)，则f (8)＝f (5＋3)＝f (－5＋3)＝f (－2)＝f (－1－1)＝－f (1－1)＝－f (0)＝－1.答案：－18．(xx·山东滨州一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f x；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则f (32)，f (2)，f (3)从小到大的关系是________．解析：由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1fx ＋1＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；根据③可知函数f (x )在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1,2]上，1＜32＜2，所以f (1)＜f (32)＜f (2)，即f (3)＜f (32)＜f (2)．答案：f (3)＜f (32)＜f (2)9．(xx·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有真命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④10．(xx·济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f (32)＝f (－32)，所以f (32)＝0.又当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则f (x )在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f (x )在区间(3,6]上有4个零点，故f (x )在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(能力题)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．12．(xx·广东六校联考)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0⇒k＜－13 .13．(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f (x 1－x 2)＝f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1；②存在正常数a ，使f (a )＝1. 求证：(1)f (x )是奇函数；(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a . 解：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f x 2f x 1＋1f x 1－f x 2＝－f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1＝－f (x 1－x 2)＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． (2)要证f (x ＋4a )＝f (x )， 可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )， ∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f －a f x ＋1f －a －f x＝－f a f x ＋1－f a －f x ＝fx －1fx ＋1，(f (a )＝1)． ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝f x ＋a －1f x ＋a ＋1＝f x －1f x ＋1－1f x －1f x ＋1＋1＝－1f x .∴f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝1－fx ＋2a＝f (x )．故f (x )是以4a 为周期的周期函数．34048 8500 蔀}36196 8D64 赤36811 8FCB 迋 25202 6272 扲v 23863 5D37 崷37173 9135 鄵26011 659B斛,29221 7225 爥28243 6E53 湓39044 9884 预。
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高考真题演练 奇偶性判断
1．(2014·新课标卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f(x)g(x)是偶函数
B ．|f(x)|g(x)是奇函数
C ．f(x)|g(x)|是奇函数
D ．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A ，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D 项错误，选C.
答案：C
2．(2013·广东卷)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sinx 中，奇函数的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：函数y ＝x 3，y ＝2sinx 为奇函数，y ＝2x 为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.
答案：C 奇偶性的应用
3．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x
，则f(－1)＝( ) A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
答案：A
4．(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x 3＋x 2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.
答案：C 奇偶性、周期性的综合应用
5．(2012·山东卷)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A ．335
B ．338
C ．1 678
D ．2 012
解析：由题意知函数为周期函数，且周期T ＝6，
且f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，又2 012＝335×6＋2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝335×1＋1＋2＝338，故选B.
答案：B
6．(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )
A.12
B.32 C ．0 D ．－12
解析：∵f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sinx －sinx ＝f(x)，∴f(x)的周期T ＝2π，
又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，
即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭
⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12
， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝
⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A. 答案：A
7．(2014·湖北卷)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12
(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦
⎤－16，16 B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣
⎡⎦⎤－33，33
解析：当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，0≤x<a 2，－a 2，a 2<x<2a 2，
x －3a 2，x≥2a 2，
又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，
由图象可得，当x≤2a 2时，f(x)max ＝a 2，当x>2a 2时，令x －3a 2＝a 2.得x ＝4a 2. 又∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，可得4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66，选B. 答案：B。