25.7 第2课时 位似图形
位似图形及其性质
圆上任取一点P与定点O连线，在OP线段上取点Q,使OQ=a×OP(a是一个常数）,当P点取遍圆周，得到无数个符合条件的点Q，所有这些点形成的图形是什么呢?
这样的任意对应的三角形都相似，从而任意的曲线形都相似，如果下面的是圆，那么上面的图形也是圆。
该原理为祖暅原理提供了充分的证据！
上下平行的图形或几何体
平行投影
仿射几何学（affine geometry）是几何学的一个分支。属于高等数学的一种。主要应用于测量，建筑，摄影等等。
若一个图形具有某种性质或者某个量，在平行射影下，如果不变，称这个性质为仿射不变性质，这个量称为仿射不变量。经过仿射对应它们也是不变的。同素性、结合性都是仿射不变性质（也就是说，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点）。平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形。
位似图形（中心投影）
把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
同侧的位似（两者在位似中心的同一侧）
异侧的位似（位似中心在两图像之间）
性质
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位似图形的对应角都相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
在平面上由O点出发，作射线OK,交平面上的正方形ABCD与点K，取点K1使OK1=1.7OK,如此任意、无限操作，在新作射线上所取的点形成一个新图形，这个图形将与原图形——正方形ABCD相似。
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根据定义判定
1 2
平行
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应线 段互相平行或共线。
比例
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应角 相等，并且对应线段成比例。
3
合同
如果两个图形是位似图形，那么它们具有相同 的形状和大小，只是位置不同。
利用坐标判定
设两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，它们之间的坐标距离为$d(P,Q)$，如果存在一个实数$k$，使得$d(P,Q)=k\cdot d(P',Q')$，则称这两个点之间的距离为位似距离。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多理论支撑和实践指导。
THANKS
旋转变换
要点一
平面直角坐标系下
将一个图形绕原点旋转一定的角度。
要点二
矩阵表示
旋转变换矩阵为$[\begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ \end{matrix}\begin{matrix} sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix}]$，其中$\theta$为旋转 的角度。
位似中心
在位似图形中，对应线段的交点称为位似中心。
位似图形的分类
简单位似
位似中心与任意两对应点连线的交点重合。
复杂位似
位似中心与任意两对应点连线的交点不重合。
位似图形的几何意义
相似图形的对应线 段长度成比例。
位似图形之间的距 离可以表示相似比 。
位似图形的对应角 相等或互补。
02
位似图形的应用
在相似三角形中的应用
判定相似三角形
利用位似图形，可以将两个三角形的对应角相等，对应边成 比例，判定为相似三角形。
25.7相似多边形及图形的位似(1)
符合国家标准的两面共青团团旗的形状 相同吗？大小呢？
新课导入
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？
知识要点
完全相同 两个图形的形状 ________ ，但图形的大小 不一定相同，这样的图形叫做相似图形。 __________
相似图形的关系：
两个图形相似，其中一个图形可以看作由 另一个图形放大或缩小得到。
4.在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地 构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图 所示．飞机从台湾直飞上海的距离 上海 约为1286千米，那么飞机从台湾 绕道香港再到上海的飞行距离 约为 3858 _______千米． 3cm 5.4cm
香港
3.6cm
台湾
5.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么它们 的相似比是 1:3 ,周长比是 1:3 ,面积比 是 1:9 .
10.如图，矩形ABCD中，E，F分别 在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF， 且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF。 试求S矩形ABCD。
A2
B2
D2 C2
C1 B1 想一想：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是
多少？面积比是多少？
类比与探索:
连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与 △A2B2C2相似吗？△A1C1D1与A2C2D2呢？如果相似， 它们的相似比各是多少？为什么？ A1 D1 A2 B2 D2
8.两个相似多边形最长的的边分别为10cm和25cm， 它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分 A 40cm、100cm 别为______________. 9.如图，在△ABC中，DE∥BC，且 S△ADE：S四边形BCED＝1：2，BC＝ 2 6 求DE的长。
图形的位似
图形的位似知识点一：位似的定义与位似作图图中的多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？总结：位似图形：1.定义:如果两个相似图形的每组对应点所在的直线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做中心，这两个图形的相似比又叫它们的2.性质：（1）位似变换是相似变换的特例，所有位似图形一定是但相似图形不一定是（2）位似图形的对应点和位似中心在，它们到位似中心的距离之比等于，（3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）对应边平行或在一条直线上知识点二：位似与坐标变换如图,在平面直角坐标系中,有两点O(0，0),A（3,0），B(2，3)以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△OAB扩大，观察对应点之间的坐标变化，你有什么发现总结：1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数K（），所对应图形与原图形，位似中心是它们的相似比是2.在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标的比是练习1:如图，△ABC在方格中（1）请在方格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为A（2,3），C（5,2）并求出B点的坐标（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形练习2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为；②△ABC与△A′B′C′的相似比；(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)练习3:如图，平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别为（3,0），（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1,0）.（1）画出△AB′O′；（2）点B′的坐标为．练习4:如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．提高练习:1.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和F的坐标分别是（3,2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是2.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是3.如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是4.如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点A（0,1）为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△AB’C’，△ABC与△AB’C’的位似比为1:2，若设点C的纵坐标是m，则其对应点C’的纵坐标是。
位似图形的性质
２７．４
位似图形
这两个图形有哪些特征呢？ 放幻灯片
1．两图形相似． 在幻灯机放映图 2．每组对应点所在直线都 幻灯机在 片的过程中，这 经过同一点． 哪儿呢？ 些图片有什么关 3. 对应边互相平行， 系呢？
D/
B/ C/
观察下图中的五个图，回答下列问题： 在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ D C D/ O C/
A D A B A/
B/
O
B C
A/
D
C
O
D/
A A/
C/
B/ B
位置不一样，位似 中心就不一样.
D/
B/ C/
如图位似图形中，我们可以看到， A △OAB∽△O A′B′,则 OA OB AB ＝ ＝ . OA′ OB′ A′B′ B 从下图中同样可以看到 AF AP AE EP FP ＝ ＝ ＝ ＝ AD AC AB BC DC
D
B E
0 F C
2.练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形， 哪些不是.
（1）正方形ABCD与正 方形A′B′C′D′.
（2）等边三角形ABC O 与等边三角形 A′B′C′
（3）扇形ABC与扇形 A′B′C′，（B、A 、B′在 一条直线上，C、A 、C′在 一条直线上）
（4）△ABC与△ADE（①DE∥BC ②∠AED＝∠B）
2.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直 线上,它们到位似中心的距离之比等于相 似比.（位似比）
（５）△ABC与△A′B′C′
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针对位似图形的算法设计和优化，研究更加高效的算 法，提高位似图形的处理速度和精度。
结合人工智能和机器学习的技术，研究更加智能的位 似图形处理方法，以满足更加复杂的应用需求。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多可能性。
求解多边形的面积
通过位似变换，可以将一个多边形映射到另一个多边形上， 利用已知面积求解未知面积。
在测量学中的应用
地图比例尺
利用位似图形可以模拟地图的缩小和放大，从而得到地图比例尺。
距离测量
通过位似图形可以建立实际距离和地图距离之间的比例关系，从而进行距离定义判定
在动画制作中的应用
角色动画制作
位似图形可以用于制作角色动画，通过对角色模型的控制点进行调整，达到 调整角色姿势和表情等效果。
图形动画制作
利用位似图形还可以实现图形的动画效果，如将一张图片通过位似变换实现 动画效果，或者将一组图片通过位似变换实现无缝衔接的动画效果。
06
位似图形的学习总结与展望
位似图形的学习总结
图形识别
利用位似图形的方法可以识别特定的图形或标志，这种方法可以在计算机视觉和 模式识别领域中应用。
在三维建模中的应用
三维模型构建
位似图形可以用于构建复杂的三维模型，如通过将已有的二 维图形通过拉伸、旋转和放缩等操作生成三维模型。
三维模型处理
在三维模型处理中，可以利用位似图形进行模型的优化和简 化，改变模型的表现形式，以及进行模型的修复和检测等操 作。
THANKS
在几何、建筑、设计等领域中，平移变换被广泛用于图形的排列和组合。
旋转变换
定义
旋转变换是指将图形绕着某个 点旋转一定的角度。
冀教版九年级数学上册相似多边形和图形的位似课件(1)
做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.
1.请按如下步骤画出△A'B'C'.
(1)画射线OA，OB，OC.
(2)分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使
A
OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.
(3)连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.
似比为2:1.还有其他作图方法吗？
B'
A
C'
O
B
A'
C
探究新知
思考：上述作出的类似图形，在位置上有何特殊之处呢？
归纳总结
定义：上述图形不仅类似，而且经过每对对应顶点的直线相
交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），我们把
这样的类似图形称为位似图形。对应顶点所在直线的交点叫
位似中心。
这时的类似比也叫位似比。
B．点N
C．点O
D．点P
拓展应用
3.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，
点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．
拓展应用
解：(1)AC∥A′C′.
理由如下：
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
C．旋转
D．位似
当堂训练
2.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF.若
AD＝OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为(
25.7 相似多边形和图形的位似 - 第2课时课件(共25张PPT)
位似图形有哪些性质？
可以发现
对应顶点的直线都相交于位似中心.对应边互相平行或在同一条直线上.
例题示范
例1 如图，以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△ ,以下说法错误的是( )A.△ABC∽△ B.点C,O, 三点在同一直线上C.D.AB∥
创设情境
如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
探索新知
知识点1 位似图形的概念
一起探究
如图，已知△ABC及△ABC外的一点O.1.请你按如下步骤画出△A'B'C'.（1）画射线OA，OB，OC.（2）分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.（3）连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.2.请你判断AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'的位置关系，并说明理由.3.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？
例3 把四边形ABCD缩小到原来的1/2.
解：(1) 在四边形外任选一点 O (如图);(2) 分别在线段 OA,OB,OC,OD 上取点 A' ,B' , C' ,D' ,使得 ；(3) 顺次连接点 A' ,B' ,C' ,D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
C
归纳