第5章 透射电镜的图像衬度及其应用
第五章 高分辨(相位)衬度的起源与理论
面电子波。在菲涅尔近似下，有
ψ ( x, y ) =
− 2πik [( x − X ) 2 + ( y − Y ) 2 ] i exp(−2πikZ ) q X Y ( , ) exp dXdY ∫∫ Zλ 2R
= q ( x, y ) * PR ( x, y )
(4-8)
其中，q(x,y) 为物函数，Ψ(x,y)为传播 R 距离后的电子波函数， PR(x,y)为菲涅尔传播因子：
高分辨研究简史
关于高分辨透射电子显微镜的基本成像理论，Boersch 早在 1946 年在研究电子与 原子的相互作用时就提出，固体中的原子会对在其中传播的电子束进行调制，改变电 子波的相位。他认为，利用电子波的相位变化，有可能观察到单个原子，可以用来分 析固体中原子的排列方式。 这一理论实际上成为现代实验高分辨电子显微分析方法的理 论依据； 1947 年， 德国科学家 Scherzer 提出， 磁透镜的离焦 （defocus， 即所谓的 Scherzer 最佳欠焦量，而非通常的高斯正焦）能够补偿因透镜缺陷（球差）引起的相位差，从而 可显著提高电子显微镜的空间分辨率。 高分辨试验方面的最初结果首先是由 Menter 在 1956 年做出的。 在 20 世纪 50 年代， 由于透射电镜的线分辨率只有 1.2 纳米，点分辨率更差，大大限制了这一时期高分辨 电子显微技术的应用。直到 1970 年代，透射电镜点分辨率已达到几个埃的水平，对高 分辨电子显微学的应用创造了良好的物质基础。 1957 年，美国 Arizona 洲立大学物理系的 Cowley 教授等利用物理光学方法来研究 电子束与固体的相互作用，并用所谓“多层法”计算相位衬度随样品厚度、离焦量的变 化，从而定量地解释所观察到的相位衬度像，即所谓高分辨像，从而建立和完善了高分 辨电子显微学的物理基础。1971 年，Cowley、Iijima 等人首次获得了可直接解释的氧化 物晶体的高分辨电镜像，证实了他们所看到的高分辨像与晶体结构之间具有对应关系， 实际上是晶体结构沿着特定方向上的二维投影。 这一时期高分辨电子显微像的分辨率已 优于 4 埃。 Cowley、Iijima 的工作开创了一个应用高分辨电子显微学的新时代，从此 高分辨电子显微术开始被广泛地利用与多种领域，成为现代物理、化学、材料科学、矿 物学、生物学等多种学科研究的常用技术。 在这一章节中， 先介绍要一下有关高分辨电子显微学的一些基本理论和概念。 之后，讨论一下高分辨电子显微术的图像模拟方法，以及主要应用对象，并简单 介绍一下近年来高分辨电子显微学的一些新进展，如球差矫正（Cs corrector） ， 以及出射波重构（exit wave reconstruction）等新技术。
透射电镜基本成像操作及像衬度
质厚衬度
质厚衬度
定义：非晶体样品透射电子显微图像衬度是由于样品不同微区间存在原子序数或 厚度的差异而形成的，即质量厚度衬度，简称质厚衬度。 原理：质厚衬度是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜 小孔径角成像基础上的成像原理。对于非晶体样品来说，入射电子透过样品时碰 到的原子数目越多（或样品越厚），样品的到物镜光阑外的电子就越多，而通过物镜光阑参与 成像的电子强度也就越低。
质厚衬度质厚衬度透射电镜总是采用小孔径角成像在图918所示的明场成像即在垂直入射并使光栏孔置于光轴位置的成像条件下偏离光轴一定程度的散射电子将被物镜光栏挡掉使落在像平面上相应区域的电子数目减少强度较小原子序数较高或样品较厚的区域在荧光屏上显示为较暗区域
透射电镜基本成像操作及像衬度
目录
成像操作
像衬度
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I A I0
IB I Ihkl 0 0
如以A晶粒亮度IA为背景强度，则B晶粒的像衬度为
I IA-IB Ihkl IA I0 I B
于是我们在荧光屏上将会看到，B晶粒较暗而A晶粒较亮。 这种让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉得到的图像衬度，叫明场成像。
衍射衬度
习惯上常以另一种方式产生暗场像，即把入射电子束方向倾斜2θ角度，使B晶 粒的 ( h k l ) 晶面组处于强烈衍射的位向，而物镜光阑仍在光轴位置。此时只有 B晶粒的 ( h k l ) 衍射束正好通过光阑孔，而透射束被挡掉，这叫做中心暗场成像 方法。 B晶粒的像亮度为 IB IHKL ，而A晶粒由于在该 方向的散射度极小，像亮度几乎近于零，图像的 衬度特征恰好与明场像相反，B晶粒较亮而A晶 粒很暗。 在衍衬成像方法中，某一最符合布拉格条件的 ( hkl ) 晶面组强衍射束起着十分关键的作用， 因为它直接决定了图像的衬度。
透射电镜 衬度原理及应用 pdf.
2 2 2
图4.17 原子对入射电子散射示意图
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卢瑟福（Rutherford)模型
同样，当一个电子与一个孤立的核外电子作用时，也发生类似 的偏转，散射角为：
e e reU
相应的一个核外电子的散射截面为：
2d hkl sin n
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10 /28 10/
在TEM中，常用的电子枪加速电压为80~100kV，λ 2d，
sin 2d 1。这表明，电子衍射的衍射角非常小，这与x射线衍射
的情况不同。
图4.22 普通电子衍射装置示意图
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e πre
单个原子的散射截面为：
0 n Z e
2
2e 2
e U 2
πe 2 Z
2
2
πe 2 Z 2
n U
2
2
e U 2
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透射电镜小孔径角成像
为了确保透射电镜的分辨本领，物 镜的孔径半角必须很小，即采用小 孔径角成像。一般是在物镜的背焦 平面上放一称为物镜光阑的小孔径 光阑来达到这个目的。由于物镜放 大倍数较大，其物平面接近焦点， 若物镜光阑的直径为D，则物镜孔 径半角
D 2f
图4.18 小孔径角成像
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质厚衬度原理
N A 0 dn dt n M
积分得
N A 0 t N N 0 exp M
式中N0为入射电子总数，N为最后参与成像的电子数。 当其它条件相同时，像的质量决定于衬度，即像中各部分的亮度 差异。
第5章透射电镜的图像衬度及其应用
第5章透射电镜的图像衬度及其应⽤第5章透射电镜的图像衬度及其应⽤透射电镜的图像衬度是指荧光屏或照相底板上图像的明暗程度. ⼜叫⿊⽩反差, 或叫对⽐度。
由于图像上不同区域衬度的差别，才使得材料微观组织分析成为可能。
只有了解图像衬度的形成机制，才能对各种图像给予正确解释。
透射电⼦显微像有三种衬度类型，分别为质厚衬度，衍射衬度和相位衬度。
5.1 质厚衬度原理试样各部分质量与厚度不同造成的显微像上的明暗差别叫质厚衬度。
复型和⾮晶态物质试样的衬度是质厚衬度.质厚衬度的基础:1.试样原⼦对⼊射电⼦的散射2.⼩孔径⾓成象。
把散射⾓⼤于α的电⼦挡掉，只允许散射⾓⼩于α的电⼦通过物镜光阑参与成象。
相位衬度衍射衬度是⼀种振幅衬度，它是电⼦波在样品下表⾯强度（振幅）差异的反映，衬度来源主要有以下⼏种：1.两个晶粒的取向差异使它们偏离布拉格衍射的程度不同⽽形成的衬度；2.缺陷或应变场的存在，使晶体的局部产⽣畸变，从⽽使其布拉格条件改变⽽形成的衬度；3.微区元素的富集或第⼆相粒⼦的存在，有可能使其晶⾯间距发⽣变化，导致布拉格条件的改变从⽽形成衬度，还包括第⼆相由于结构因⼦的变化⽽显⽰衬度；4.等厚条纹，完整晶体中随厚度的变化⽽显⽰出来的衬度；5.等倾条纹，在完整晶体中，由于弯曲程度不同（偏离⽮量不同）⽽引起的衬度.1.3 衍射衬度成像的特点1.衍衬成像是单束、⽆⼲涉成像，得到的并不是样品的真实像，但是，衍射衬度像上衬度分布反映了样品出射⾯各点处成像束的强度分布，它是⼊射电⼦波与样品的物质波交互作⽤后的结果，携带了晶体散射体内部的结构信息，特别是缺陷引起的衬度；2.衍衬成像对晶体的不完整性⾮常敏感；3.衍衬成像所显⽰的材料结构的细节，对取向也是敏感的；4.衍衬成像反映的是晶体内部的组织结构特征，⽽质量厚度衬度反映的基本上是样品的形貌特征。
2.1 明场像让透射束通过物镜光阑所成的像就是明场像。
成明场像时，我们可以只让透射束通过物镜光阑，⽽使其它衍射束都被物镜光阑挡住，这样的明场像⼀般⽐较暗，但往往会有⽐较好的衍射衬度；也可以使在成明场像时，除了使透射束通过以外，也可以让部分靠近中间的衍射束也通过光阑，这样得到的明场像背景⽐较明亮衍射衬度样品微区晶体取向或者晶体结构不同，满⾜布拉格衍射条件的程度不同，使得在样品下表⾯形成⼀个随位置不同⽽变化的衍射振幅分布，所以像的强度随衍射条件的不同发⽣相应的变化，称为衍射衬度。
透射电镜基本成像操作及像衬度
（d） 准晶
衍射衬度
定义：对晶体样品，电子将发生相干散射即衍射。所以，在晶体样品的成像 过程中，起决定作用的是晶体对电子的衍射。由样品各处衍射束强度的差异 形成的衬度称为衍射衬度。
衍射强度影响因素：晶体取向和结构振幅。对没有成分差异的单相材料，衍 射衬度是由样品各处满足布拉格条件程度的差异造成的。
1
明场成像
成像操作
2
暗场成像
3
中心暗场成像
5
1.明场成像和暗场成像
利用投射到荧光屏上的选区衍射谱可以进行透射电镜的两种最基本的成像操作。
晶体样品或非晶体样品，其选区衍射谱上必存在一个由直射电子束形成的 中心亮斑以及一些散射电子。
我们可以选直射电子也可以选部分散射电子来成像。这种成像电子的选择 是通过在物镜背焦面上插入物镜光栏来实现的。
图1 透射电镜像衬度分类
8
2.像衬度
图1 透射电镜像衬度分类
1.相位衬度 当透射束和至少一束衍射束同时通过物镜光栏参与成像时，由于透射束与衍 射束的相互干涉，形成一种反映晶体点阵周期性的条纹像和结构像，这种 像衬的形成是透射束和衍射束相位相干的结果，故称相位衬度。
2. 振幅衬度 振幅衬度是由于入射电子通过试样时，与试样内原子发生相互作用而发 生振幅的变化，引起反差。振幅衬度主要有质厚衬度和衍射衬度两种。
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11透射电镜总是采用小孔径角成像在图918所示的明场成像即在垂直入射并使光栏孔置于光轴位置的成像条件下偏离光轴一定程度的散射电子将被物镜光栏挡掉使落在像平面上相应区域的电子数目减少强度较小原子序数较高或样品较厚的区域在荧光屏上显示为较暗区域
透射电镜基本成像操作及像衬度
目录
成像操作
透射电镜基本成像操作及像衬度
第四节 电子衍射运动学理论
• 运动学理论是建立在运动学近似[即忽略各级衍射束 (透射束为零级衍射束)之间的相互作用]基础之上的 用于讨论衍射波强度的一种简化理论。 • 电子衍射运动学理论的主要特点是不考虑电子衍射 的动力学效应。 一、基本假设 ①入射电子在样品内只可能受到不多于一次的散射。 ②入射电子波在样品内的传播过程中，强度的衰减可 以忽略。即衍射波强度始终远小于入射波强度。否 则衍射波会发生较为显著的再次衍射，即动力学衍 射。
二、完整晶体的衍射强度
• 衍式，其影响 因素有s，偏离参量；t，样品厚度；ξg，消光 距离
• ξ g是对应于操作反射g的消光距离。消光距 离是一个动力学概念，具有长度的量纲，说 明电子束在晶体内传播过程中完成一次能量 由入射束向散射束转换所对应的传播距离。 • 其影响因素样品的成分，晶体结构，操作反 射及电子束加速电压。 • 对于偏离参量s的讨论
为进一步简化计算，采用两个近似处理方 法：
• ①双束条件，即除直射束外只激发产生一个衍射束 的成像条件。由上述讨论可知，对薄晶体样品双束 条件实际上是达不到的。实践上只能获得近似的双 束条件。因此，用于成像的衍射束应具有较大的偏 离参量，使其强度远小于直射束强度，以近似满足 运动学要求；另一方面该衍射束的强度应明显高于 其它衍射束的强度，以近似满足双束条件； • ②柱体近似，即在计算样品下表面衍射波强度时， 假设将样品分割为贯穿上下表面的一个个小柱体(直 径约2nm)，而且相邻柱体中的电子波互不干扰。
• 透射电镜衍射衬度是由样品底表面不同部位的衍射 束强度存在差异而造成的。要深入理解和正确解释 透射电镜衍衬像的衬度特征，就需要对衍射束的强 度进行计算。 • 那么，我们在学X射线衍射强度的时候，我们曾提 过，对于衍射强度理论，包括运动学理论与动力学 理论，前者考虑入射X射线的一次衍射，而后者刚 考虑了入射X射线的多次衍射。 • 我们说，对于入射X射线来说，与原子的相互作用 不大，也就可以认为只单纯的发生了一次散射，这 样，我们在讨论X射线衍射强度的时候，我们就可 以以运动学的理论去进行计算与分析。
透射电镜基本成像操作及像衬度
衍射衬度
同时，设想与B晶粒位向不同的A晶粒内所有晶面组，均与布拉格条件存在 较大的偏差，即在A晶粒的选区衍射花样中将不出现任何衍射斑点而只有中 心透射斑点，或者说其所有衍射束的强度均可视为零。于是，A晶粒区域的 透射束强度仍近似等于入射束 强度 I 0 。 由于在电子显微镜中样品的第一幅衍射花样出现在物镜的背焦面上，所以若 在这个平面上加进一个尺寸足够小的物镜光阑，把B晶粒的 hkl衍射束挡掉， 只让透射束通过光阑孔并到达像平面，则构成样品的第一幅放大像。此时， 两颗晶粒的像亮度将有不同。 因为
sin
2 10 rad ＜ 1
2 d
2 10
这表明，电子衍射的衍射角总是非常小，这是它的花样特征之所以区别X射线衍 射的主要原因。
电子衍射原理
（a）单晶体---排列十分整齐的许多斑点 （b）多晶体---一系列不同半径的同心圆环 （c）非晶------一个漫散的中心斑点 （d）准晶
这是因为电子穿过样品时，通过与原子核 的弹性作用被散射而偏离光轴，弹性散射 截面是原子序数的函数。此外，随样品厚 度增加，将发生更多的弹性散射。所以， 样品上原子序数较高或样品较厚的区域 （较黑）比原子序数较低或样品较薄的区 域（较亮）将使更多的电子散射而偏离光 轴，如图9-18所示。
质厚衬度
透射电镜总是采用小孔径角成像，在图9-18所示的明场成像即在垂直入射并使光 栏孔置于光轴位置的成像条件下，偏离光轴一定程度的散射电子将被物镜光栏挡 掉，使落在像平面上相应区域的电子数目减少（强度较小），原子序数较高或样 品较厚的区域在荧光屏上显示为较暗区域。
图1 透射电镜像衬度分类
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2.像衬度
图1 透射电镜像衬度分类
1.相位衬度 当透射束和至少一束衍射束同时通过物镜光栏参与成像时，由于透射束与衍 射束的相互干涉，形成一种反映晶体点阵周期性的条纹像和结构像，这种 像衬的形成是透射束和衍射束相位相干的结果，故称相位衬度。
透射电镜衬度概要
(2n－1)／2
原子序数衬度
Z衬度基于扫描透射电子显微术 （STEM）: 电子束扫描，环形暗场 探测器 STEM的像来源于当精细聚焦电子束 (<2 Å)扫描样品时，逐一照射每个 原子柱，在环形探测器上产生强度 的变化图，从而提供原子分辨水平 的图像。
衍射衬度
这种衬度对晶体结构和取向十分敏感， 当试样中某处含有晶体缺陷时，意味着该 处相对于周围完整晶体发生了微小的取向 变化，导致了缺陷处和周围完整晶体具有 了不同的衍射条件，因此，凭借衍射衬度 就可将缺陷显示出来。可见，这种衬度对 缺陷是敏感的。基于这一点，衍衬技术被 广泛应用于研究晶体缺陷。
衍射衬度
1.什么叫衬度？
衬度是指在荧光屏或照相底片上，眼睛能 观察到的光强度或感光度的差别。
2.透射电镜的像衬度？
透射电镜的像衬度来源于样品对入射电子
束的散射.其是图象上不同区域间明暗程度的 差别。由于图像上不同区域间存在明暗程度 的差别即衬度的存在，才使得我们能观察到 各种具体的图像。可分为四种基本类型：质 厚衬度、衍射衬度、相位衬度和原子序数衬 度。
--以位错为例
位错是一种线缺陷，表征位错晶体学特性的 基本物理量是它的柏氏b矢量。 根据柏氏矢量与位错线的关系，位错可分为刃型 （ b ⊥u位错线）、螺型（ b // u位错线）和混 合型（ b即不平行也不垂直位错线）。
由于位错的存在，在位错线附近的某个范围内点阵 将发生畸变，其应力和应变场的性质均与b直接有 关。不管何种类型的位错，都会引起在它附近的某 些晶面发生一定程度的局部转动，且离位错线愈远， 转动量愈小，如果采用这些畸变的晶面作为反射面， 则衍射强度必将受到影响，从而产生衬度。
电子束
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第5章透射电镜的图像衬度及其应用透射电镜的图像衬度是指荧光屏或照相底板上图像的明暗程度. 又叫黑白反差, 或叫对比度。
由于图像上不同区域衬度的差别，才使得材料微观组织分析成为可能。
只有了解图像衬度的形成机制，才能对各种图像给予正确解释。
透射电子显微像有三种衬度类型，分别为质厚衬度，衍射衬度和相位衬度。
5.1 质厚衬度原理试样各部分质量与厚度不同造成的显微像上的明暗差别叫质厚衬度。
复型和非晶态物质试样的衬度是质厚衬度.质厚衬度的基础:1.试样原子对入射电子的散射2.小孔径角成象。
把散射角大于α的电子挡掉，只允许散射角小于α的电子通过物镜光阑参与成象。
相位衬度衍射衬度是一种振幅衬度，它是电子波在样品下表面强度（振幅）差异的反映，衬度来源主要有以下几种：1.两个晶粒的取向差异使它们偏离布拉格衍射的程度不同而形成的衬度；2.缺陷或应变场的存在，使晶体的局部产生畸变，从而使其布拉格条件改变而形成的衬度；3.微区元素的富集或第二相粒子的存在，有可能使其晶面间距发生变化，导致布拉格条件的改变从而形成衬度，还包括第二相由于结构因子的变化而显示衬度；4.等厚条纹，完整晶体中随厚度的变化而显示出来的衬度；5.等倾条纹，在完整晶体中，由于弯曲程度不同（偏离矢量不同）而引起的衬度.1.3 衍射衬度成像的特点1.衍衬成像是单束、无干涉成像，得到的并不是样品的真实像，但是，衍射衬度像上衬度分布反映了样品出射面各点处成像束的强度分布，它是入射电子波与样品的物质波交互作用后的结果，携带了晶体散射体内部的结构信息，特别是缺陷引起的衬度；2.衍衬成像对晶体的不完整性非常敏感；3.衍衬成像所显示的材料结构的细节，对取向也是敏感的；4.衍衬成像反映的是晶体内部的组织结构特征，而质量厚度衬度反映的基本上是样品的形貌特征。
2.1 明场像让透射束通过物镜光阑所成的像就是明场像。
成明场像时，我们可以只让透射束通过物镜光阑，而使其它衍射束都被物镜光阑挡住，这样的明场像一般比较暗，但往往会有比较好的衍射衬度；也可以使在成明场像时，除了使透射束通过以外，也可以让部分靠近中间的衍射束也通过光阑，这样得到的明场像背景比较明亮衍射衬度样品微区晶体取向或者晶体结构不同，满足布拉格衍射条件的程度不同，使得在样品下表面形成一个随位置不同而变化的衍射振幅分布，所以像的强度随衍射条件的不同发生相应的变化，称为衍射衬度。
⏹衍射衬度对晶体结构和取向十分敏感，当样品中存在有晶体缺陷时，该处相对于周围完整晶体发生了微小的取向变化，导致缺陷处和周围完整晶体有不同的衍射条件，形成不同的衬度，将缺陷显示出来。
这个特点在研究晶体内部缺陷时很有用.所以广泛地用于晶体结构研究。
⏹晶体样品，薄膜样品（金属，陶瓷）的衬度来源于衍射衬度。
⏹衍射衬度通常是单束成像衬度.成像时用透射束或者用衍射束⏹相位衬度除透射束外，还同时让一束或多束的衍射束参与成象。
由于各束的相位相干作用而得到晶格（条纹）像或晶体结构（原子）像。
用来成象的衍射束（透射束可视为零级衍射束）愈多，得到的晶体结构细节愈丰富。
相位衬度原理1. 电子束通过试样，相位受到晶体势场的调制，在试样下表面处得到带有晶体结构信息的物面波φ0(r).2. 物面波φ0(r)经过物镜的作用，在后焦面上得到衍射束，用衍射波函数Q(g)表示。
物镜好象起了频谱分析器的作用，把物面波中的透射波和各级衍射波分开了。
从数学上讲，物镜对φ0(r)进行了一次富氏变换。
记作Q(g)=F φ0(r)3. 透射束与衍射束相互干涉后，在像面上成像得到与所选衍射束相对应的晶格条纹象。
这个过程，可理解为Q(g)乘上相位因子exp(-iX(g))后的富氏逆变换, 其结果是衍射波还原成放大了的物面波，即像面波Φ(r)。
相位衬度像成象全过程包含了两次富氏变换. 第一次，物镜将物面波分解成各级衍射波，在物镜后焦面上得到衍射谱。
第二次各级衍射波相互干涉，重新组合，得到保留原有相位关系的像面波，在像平面处得到晶格条纹像。
()()r g Q r F F φφ−→−−→−-1)(0 相位衬度像的种类原子像：像点与原子柱的投影对应，可以用原子分布进行解释。
结构像：像点与原子团或原子围成的通道对应，可以用结构进行直接解释。
点阵像：像点与晶面间距对应，与原子排列无关。
高分辨像：分辨率很高的像，但不能用原子分布及晶体结构进行解释。
3.1 运动学理论假设当晶体中存在缺陷或者第二相时，衍射衬度像中会出现和它们对应的衬度，即使是在完整晶体中，也会出现等厚条纹和等倾条纹；晶体中缺陷和衍射衬度之间在尺度和位置上具有怎样的对应性，完整晶体中的衬度又是怎样来的？要回答这些问题，必须从理论上来予以解释。
要解释清楚TEM下观察到的电子显微像，最理想、也是最直接的方法就是直接算出样品下表面处的电子波分布函数，得出每一点的强度，则无论是衍射衬度还是相位衬度都不再成为问题。
但是我们知道对于求电子束与样品相互作用后的电子波函数的表达式这样一个实践的问题，根本就不可能解出来。
因此，我们必须对问题进行简化。
衍射衬度的运动学和动力学理论就是基于这样思想提出的用以解释衍射衬度的两种理论。
其中衍射衬度的运动学理论是在以下近似的基础上提出来的：双束近似倾转晶体选择合适的晶体位向，使得只有一组晶面(hkl)接近布拉格衍射位置，所有其它晶面都远离各自的衍射位置；运动学近似又称为一级Born近似或单散射近似，认为衍射波的振幅远小于入射波的振幅，因而在试样内各处入射电子波振幅和强度都保持不变（常设为单位１），只需计算衍射波的振幅和强度变化；柱体近似假设晶体在理论上可以分割成平行于电子波传播方向的一个个小柱体，这些小柱体在衍射过程中相互独立，电子波在小柱体内传播时，不受周围晶柱的影响，即入射到小晶柱内的电子波不会被散射到相邻的晶柱上去，相邻晶柱内的电子波也不会散射到所考虑的晶柱上来，柱体出射面处衍射强度只与所考虑的柱体内的结构内容和衍射强度有关，一个像点对应一个小晶柱下表面；除了以上近似外，运动学和动力学还涉及到一些近似处理，如：向前散射近似和高压近似等。
3.2 运动学公式的推导在以上假设的基础上，如果我们能够求出每个小柱体下表面的电子波振幅，则整个像的衬度应该就能表示出来。
由于衍射衬度主要用来解释大于1nm的显微组织结构，而我们选取的小晶柱的尺度大约是纳米级，因此我们在求下表面的电子波振幅时可以将整个下表面当成一个点来处理。
经过详细地推导后可以得出，如果将每个小晶柱分成无数个小的薄层，则每一个小薄层对下表面的衍射波函数的总的贡献可以表示成：Ψ0是入射波函数的振幅，在运动学理论中，它总为单位1;λ：衍射波的波长；Fg：晶体单胞的结构因子；Vc：晶体单胞的体积；θ：衍射波波矢与水平小薄层之间的夹角。
3.3 消光距离的导出：引入消光距离这一物理参量实际上已经属于动力学衍射理论范畴了。
它是指由于透射束与衍射束之间不可避免地存在动力学交互作用，透射振幅及透射束强度并不是不变的。
衍射束和透射束的强度是互相影响的，当衍射束的强度达到最大时，透射束的强度最小。
而且动力学理论认为，当电子束达到晶体的某个深度位置时，衍射束的强度会达到最大，此时它透射束的强度为0，衍射束的强度为1.所谓消光距离，是指衍射束的强度从0逐渐增加到最大，接着又变为0时在晶体中经过的距离。
这个距离可以从理论上推导出来。
上式中，Ψ0是入射束的振幅，取单位1，所以衍射束每穿过一个晶柱的小薄层dz，对P点衍射贡献的振幅就可以写为：那么每穿过一个单胞的厚度振幅可以写成：可以将上面的振幅值设为常数q。
由上面的结果可以知道，衍射波函数对小晶柱下表面的贡献，每穿过一个单胞的厚度，都可以用dΨg表达出来，每两个单胞厚度之间，振幅是相同的，但相位存在一个很小的差别，那个经过n个单胞厚度以后，电子波函数对下表面总的衍射波振幅的贡献我们可以用振幅相位图表示出来，如下图所示。
上图中，L是经过n个单胞后总的振幅，由前面的动力学讨论，衍射束的强度最大只能等于入射束的强度（1），而上图中衍射束的总的结构振幅最大时是圆的直径，假设衍射波函数经过m个单胞厚度后它对晶柱下表面的贡献值达到最大，也就是说它的总的振幅达到最大，那么此时它应该等于上面圆的直径，由前面的讨论可知，直径的大小应该等于1.由于q的值非常小，每个q值接近等于上图中对应的圆弧，因此有：mq=π*1/2（半径）。
代入q的值马上可以得到m的值，所以消光距离就等于2m个单胞的长度，所以消光距离可以表示成：3.4 衍射衬度运动学理论推导过程中存在的问题：上式中，其相位因子(Kg-K0).r一般表示两束波的程差，很容易让人误以为衍衬成像是一个干涉成像过程，但事实并非如此，衍衬成像是一个非相干的单束成像过程；在衍衬运动学的推导过程中，f和Fg都是表示单位体积的散射因子（结构因子），实际上暗示着薄层中每一处的散射因子都是相同的，这与事实是不相符的，实际上晶体中只有有原子的地方才有散射；在衍衬运动学的推导过程当中，实际上是假设右图中小晶柱中的小薄层的面积是无穷大的，因为只有这样，这一薄层对P点的总的散射振幅贡献才能等于第一半波带的一半，这一假设显然是不合理的；在衍衬运动学理论的推导过程中，实际上是把小晶柱的下表面当成一个点P来处理的，看起来很不合理，但考虑到衍衬成像的分辨率极限是1.5nm，而小晶柱的尺度在1nm以内，因而这样处理还是可以的.第四节完整晶体的衍衬运动学分析4.1 完整晶体的衍衬运动学公式推导由电子衍射的几何关系有：Kg-K0=g+s,因此小晶柱里每个薄层对下表面的散射贡献又可以表示成：对于完整晶体而言，每个薄层的厚度可以取成一个单胞的厚度，而位置矢r的位置可以取在单胞的平移矢处，这时有g.r=整数，这时上式等于：为了积分出整个晶柱对下表面的散射贡献，先将s和r写成标量的形式，由图可知，s 总是平行小晶柱，并指向下，所以一般取正值（为了积分方便，一般取向下为正）；对于r来讲，由于它是由P点指向小薄层的位矢，方向向上，所以一般取负值，又因为r 与厚度方向基本平行，可以将其写成-z；这时的散射波函数公式可写为：对整个小晶柱积分，最柱体下表面处总的散射波函数为：积分后得到：因此理想晶体中，电子波与小晶柱相互作用后，对下表面总的散射强度可以表示为：4.2 等厚条纹产生的原理将上式稍微变形可以得到：由上式可知，在理想晶体中，当偏离矢量为常数时，电子衍射衬度的强度随厚度t而变化，这就是等厚条件产生的理论依据。
由上式我们可以得到等厚条纹应该具有如下特点：等厚条纹是当偏离矢量为恒定值时，衍射强度随传播深度的变化而按余弦函数周期的变化，在衬度像上观察到的明暗相间的条纹，同一条纹对应的厚度是相同的，条纹的深度周期为1/s ；衍衬像中的等厚条纹与可见光中的等厚干涉条纹的形成原理是完全不同的；可见光中的等厚干涉条纹是由楔形样品的上下表面的反射波互相干涉而形成的，其衬度来自于两束波的相位差角，而电子衍衬像中的等厚条纹则是单束、无干涉成像，其衬度来自于衍射波的振幅；等厚条件形成的示意图及实例等厚条件形成的示意图等厚条纹明场像等厚条纹暗场像4.3 等倾条纹产生的原理当衍衬成像时，如果试样的厚度基本不变，而晶体的取向由于变形等原因而有微小的变化时，相当于偏离矢量s有微小的变化，这时衍射波对小晶柱下表面的强度贡献公式可写为：这时电子衍射衬度的表达式是偏离矢量的函数，随着偏离矢量的改变，衬度改变，这是等倾条纹产生的原因。