椭圆的简单几何性质(第一课时)教学设计
椭圆的简单几何性质第一课时教学设计(第16组 )
椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用《椭圆的简单几何性质》是北师大版选修2-1的内容。
本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
先引导学生观察椭圆（几何直观），了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。
这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。
对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，为后续研究其它曲线性质作铺垫。
2．教学重、难点重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
难点：用曲线方程研究曲线几何性质3．学情分析学生已学习了圆的相关性质，并掌握了椭圆的基本定义及其标准方程，亲历体验、发现和探究的意识，具备一定的图形分析能力和逻辑推理能力。
二．教学目标1．知识与技能：（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2．过程与方法：（1）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；（2）运用数形结合思想解决实际问题的能力。
3．培养学科核心素养通过学生对椭圆几何性质的探究过程，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养。
三．教法与学法分析1. 教学方法：（1）类比分析法；（2）辨析与研讨法；（3）启发式引导法；（4）反馈式评价法.2. 学法指导自主探究法、观察发现法、归纳总结法。
四．教学过程分析创设情景第一“环节”：导入新课，明确研究方向：（类比与辨析）设置问题1：根据所学的知识，如何画椭圆的大致图形？（描点，体验关键点；对称性）设置问题2：请同学们回忆圆C ：x 2+y 2=a 2(a >0)的几何性质。
借鉴圆的几何性质，想一想椭圆12222=+by a x （a >b>0）会有哪些几何性质？ 利用多媒体打出一个焦点在轴x 轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆哪些方面的性质，如何研究？引导学生回顾圆借助方程研究几何性质的方法类比研究椭圆的几何性质。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质第四课时（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题． （二）教学过程 【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）． 2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值． 【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例 1 求证：椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上任一点()00y x P ，与焦点所连两条线段的长分别为0ex a ±．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为()01，c F -．()02，c F ，则 ()()2222202201a x a b c x y c x PF -⋅++=++= 2020222a cx x ac ++= 0x ac a += ∵a x a ≤≤-0， ∴00>-≥+c a x aca ． ∴01ex a PF +=． 又a PF PF 221=+，∴()0022ex a ex a a PF -=+-= 故得证．证法二：设P 到左右准线的距离分别为1d ，2d ，由椭圆的第二定义有e d PF =11，又c a x c a x d 20201+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，∴02011ex a c a x a c ed PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==． 又a PF PF 221=+，∴022ex a PF -=． 故得证．说明：1PF 、2PF 叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵01ex a PF +=，a x a ≤≤-0， ∴c a a a c a PF +=⋅+≤1，()c a a aca PF -=-+≥1． ∴c a PF c a +≤≤-1．即椭圆上焦点的距离最大值为c a +，最小值为c a -，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它们近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一条直线上，地球半径约6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为12222=+by a x ()0>>b a则6810439637122=+==-=-A F OF OA c a87552384637122=+==-=+B F OF OB c a解得5.7782=a 5.972=c ∴()()77228755681022≈⨯=-+=-=c a ca c ab ．因此，卫星的轨道方程是1772277832222=+y x ． 点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点P 在圆()1422=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆1422=+y x 上移动，求PQ 的最大值．分析：要求PQ 的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点()y x Q ，，又()40，C ，于是 ()()()222224144-+-=-+=y y y x QC20832++-=y y3763432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y ．而11≤≤-y∴当1-=y 时，QC 有最大值5． 故PQ 的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a 与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点．若椭圆上存在一点M ，使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围．分析：依题意M 点的横坐标a x <<0，找到x 与a 、b 的关系式．教师讲解为好．解：设M 的坐标为()y x ，，由OM AM ⊥，有22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x于是下面方程组的解为M 的坐标⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-.022222222b a y a x b y ax x 消去y 整理得()0223222=+-+b a x a x b a．解得a x = 或 22c ab x =．a x =即为椭圆的右顶点∴ a cab <<220 即22c b <．即22>e ，而1<e ， 故122<<e ． （三）随堂练习1．如图在AFB ∆中，150=∠AFB ，32-=∆AFB S ，则以F 为焦点，A 、B 分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆12922=+y x 上动点()y x P ，到定点()0，a A ()30<<a 的距离AP 最小值为1，求a 的值．答案：1．12822=+y x 2．2=a （四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是23，则长半轴长的取值范围是___________． 2．若椭圆两焦点为()041，-F ，()042，F ，P 在椭圆上，且21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知F 是椭圆222222ba y a xb =+()0>>b a 的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF ∆面积的最大值是（ ）A ．ab 21B ．abC ．acD ．bc 4．已知()00y x M ，是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，以过M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．内含C ．相交D ．相离5．设P 是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上的任一点，求P 点到椭圆两焦点1F 、2F 距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时P 点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．答案：1．(]21，2．192522=+y x 3．D 4．A 5．设()00y x P ，则01ex a PF +=，02ex a PF -=()()20220021x e a ex a ex a PF PF -=-+=⋅ ∵a x a ≤≤-0 ∴2200a x ≤≤当00=x 即()b P ，0或()b -，0时，21PF PF ⋅最大，最大值为2a ．当220a x =即()0，a P 或()0，a -时，21PF PF ⋅最小，最小值为222b c a =-．6．设所求椭圆方程是12222=+by a x ()0>>b a依题意可得342132322222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b y y x d ，其中b y b ≤≤-如果210<<b ，则当b y -=时，2d 有最大值，即()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ．由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d 有最大值，即()34722+=b．由此得1=b ，2=a ，故所求椭圆方程为1422=+y x ． 由21-=y 代入椭圆方程得点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点P 的距离都是7．注：本题也可设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，πθ20<≤，利用三角函数求解．。
20-21版：3.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质（创新设计）
3.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质新知探究“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？问题 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？提示 椭圆的长轴长2a ＝4，短轴长2b ＝2，离心率e ＝c a ＝32.1.椭圆的几何性质明确a ，b ，c 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，c 是半焦距，且有关系式a 2＝b 2＋c 2x 2y 2y 2x 22.离心率的作用椭圆离心率e 与a ，b 的关系：e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2因为a >c >0，所以0<e <1.e 越接近1，c 越接近a ，b ＝a 2－c 2就越小，因此椭圆越扁平；反之，e 越接近0，c 越接近0，b 越接近a ，这时椭圆就越接近于圆.拓展深化[微判断]1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .(×)提示 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是2a . 2.椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.(×) 提示 椭圆的离心率e 越大，椭圆就越扁.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.4.设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距).(√) [微训练]1.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5，3，45B.10，6，45C.5，3，35 D.10，6，35解析将椭圆方程化为标准方程为x29＋y225＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝a2－b2＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝4 5.答案B2.已知椭圆的长轴长为8，离心率为14，则椭圆的标准方程为________.解析由题意知，2a＝8，e＝ca＝14，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15.∴椭圆的标准方程为x216＋y215＝1或y216＋x215＝1.答案x216＋y215＝1或y216＋x215＝1[微思考]1.在画椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)时，怎样才能画的更准确些？提示在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).2.椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义是什么？提示在方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了以对称中心、一个焦点、一个短轴端点为顶点的直角三角形.题型一椭圆的简单几何性质【例1】求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为y225＋x2＝1，则a＝5，b＝1.所以c＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，两个焦点分别是F1(0，－26)，F2(0，26)，椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).规律方法解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.【训练1】已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.解(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1，可知a＝10，b＝8，c＝a2－b2＝6，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝3 5.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1.性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝3 5.题型二由椭圆的几何性质求方程【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝23，短轴长为8 5.解(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是y264＋x248＝1.(2)由e＝ca＝23得c＝23a，又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或x280＋y2144＝1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A.(±13，0) B.(0，±10) C.(0，±13)D.(0，±69)(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝4，a 2＝16， ∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案 (1)D (2)x 216＋y 24＝1 题型三 求椭圆的离心率 角度1 求离心率【例3－1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解 由题意知A (a ，0)，B (0，b )，从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，又|F 1F 2|＝2c ， ∴ab a 2＋b 2＝63c .(*)∵b 2＝a 2－c 2，∴(*)式可化简为3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 角度2 求离心率的取值范围【例3－2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围. 解 依题意得F 1(－c ，0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )， 则C (0，kc ).因为点B 为CF 1的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，kc 2.因为点B 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kc 22b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24（a 2－c 2）＝1.所以e 24＋k 2e 24（1－e 2）＝1.所以k 2＝（4－e 2）（1－e 2）e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即（4－e 2）（1－e 2）e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0＜e ＜1，所以22≤e ＜1.故离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.规律方法 求椭圆离心率的方法：①直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a 2求解.②若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.【训练3】 已知椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，求它的离心率e 的最大值.解 ∵椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，∴5a >4a 2＋1， ∴14<a <1，∴椭圆的离心率e ＝5a －4a 2－15a＝1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1a ≤1－15×24a ·1a＝55⎝ ⎛当且仅当4a ＝1a ，⎭⎪⎫即a ＝12时取等号，∴椭圆的离心率的最大值为55.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.2.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准方程，应先化成标准方程.3.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.4.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用. 二、素养训练1.椭圆x 24＋y 29＝1的长轴长为( ) A.2 B.4 C.3D.6解析 由椭圆方程知焦点在y 轴上，故长轴长为2a ＝6.故选D. 答案 D2.如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析 ∵x －2y ＋2＝0，∴y ＝12x ＋1，从而b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，e ＝c a ＝255.答案 D3.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1. 答案 C4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去). 答案 B5.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________. 解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2，∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12， ∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 答案 32。
椭圆的简单几何性质(第一课时)教案
椭圆的简单几何性质（第一课时）教案（科目:数学 时间：2011年12月6日第二节 地点：昌宁二中高98班教室）【授课教师】李光俊【授课班级】昌宁二中高二年级98班 【教学目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。
⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想。
【教学重点】椭圆的简单几何性质。
【教学难点】椭圆的简单几何性质的应用。
【教学方法】尝试教学法【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、思考并回答下列问题： 1．椭圆的定义在平面内，到两定点F 1、F 2的距离之和为常数（大于|F 1F 2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2．椭圆的标准方程当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时3．椭圆中a,b,c 的关系： 22c b a +=4．平面解析几何研究的两个主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y二、椭圆的简单几何性质（以 )0(12222>>=+b a by a x 为例）1．椭圆的范围：由12222=+b y a x-a ≤x ≤a, -b ≤y ≤b 知椭圆落在x=±a, y= ± b 组成的矩形巩固练习题1．椭圆14922=+y x 的范围是22,33≤≤-≤≤-y x 巩固练习题2． 椭圆)0,0(12222>>=+n m y n x m 的范围是ny n m x m 11,11≤≤-≤≤-2．椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
椭圆的简单几何性质优秀教学设计
椭圆的简单几何性质第三课时（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量、、、熟练地求椭圆的标准方程．a b c e 2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中、和a b 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定c e a b c e 它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P 043=-x 分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可x 让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．()0222222>>=+b a b a y a x b ∵点在椭圆上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P ∴ 即 ①222243b a a b =+()143222-=a a b 又∵一条准线方程是043=-x ∴ ②342=c a 243a c =将①、②代入，得222c b a += 整理得()4222163143a a a a +-=02819324=+-a a 解得或．42=a 372=a 分别代入①得或．12=b 16212=b故所求椭圆方程为或．1422=+y x 121167322=+y x 解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定()0，c F Pd 义得，即a c d PF=． ①()a c c =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-13423122又由准线方程为342==c a x ． ②c a c 4322=将②代入①，整理得021319122=+-c c 解得或．3=c 347=c 代入②及得222c b a += 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==16213722b a 故所求椭圆的方程为 或 ．1422=+y x 121167322=+y x 例2 如图，以原点心圆心，分别以、a b为半径作两个圆，点是大圆半径与()0>>b a B OA 小圆的交点，过点作，垂足为，过点A Ox AN ⊥N 作，垂足为，求当半径绕点B AN BM ⊥M OA O旋转时点的轨迹的参数方程．M 解：设点的坐标为，是以为始M ()y x ，ϕOx 边，为终边的正角．OA取为参数，那么ϕ⎪⎩⎪⎨⎧====ϕϕsin cos OB NM y OA ON x 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 这就是所求点的轨迹的参数方程．M 消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．ϕ12222=+by a x M 点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆ϕ都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 0>a 0>b ϕ()y x P ，（1）、的取值范围；x y （2）的取值范围．y x 43+解：（1）∵，，1cos 1≤≤-ϕ1sin 1≤≤-ϕ∴，．a a a ≤≤-ϕcosb b b ≤≤-ϕsin ∴，为所求范围．a x a ≤≤-b x b ≤≤-（2）∴ϕϕsin 4cos 343b a y x +=+ ．()θϕ++sin 16922b x （其中为第一象限角，且）．θb a 43tan =θ而．()1sin 1≤+≤-θϕ∴，()[]222222169169sin 169b a b a b a ++-∈++，θϕ即这所求．222216943169b a y x b a +≤+≤+-例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 3y x ϕ解：由参数方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.sin 4cos 3ϕϕy x 平方相加得为所求普通方程．116922=+y x ∵，，4=a 3=b ∴．791622=-=+=b a c ∴椭圆的离心率．47=e （三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别x P 为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x θ3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．⎩⎨⎧==θθcos 3cos 2y x θ答案：1． 2．， 3．18014422=+y x ()07，-()07，35（四）总结提炼若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ϕ0>>b a a 2b 2圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参x ϕ数方程求的最值较方便．()y x f ，（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与()031，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，P P 相应准线的距离为（ ）1FA ．B ．C ．D ．5133373253232．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如12222=+by a x ()0>>b a F ()0，a A -()b B ，0果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（ ）F AB 77b A ． B ． C ． D ．777-777+32364．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．⎩⎨⎧==θθsin 4sin 5y x θ5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．325-=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．12222=+by a x ()0>>b a 答案：1．A 2．C 3．D 4． 5．3501162522=+y x 7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）()y x P ，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ内接矩形面积θθθθcos sin 4sin 2cos 2ab b a S =⋅=∴ ．θθ>=2sin 2ab ab S 2≤ab S 2max =（六）板书设计椭圆的简单几何性质（三）一、复习引入二、例题分析例1例2例3例4练习总结。
椭圆的简单几何性质教案 (1)
椭圆的简单几何性质【教学目标】1． 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。
2． 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。
【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？ 生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x ，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x 都有唯一的函数值y 与之对应，而方程中x 、y 的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．合作探究、精讲点拨。
探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。
（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22b y ____ 1；即____≤≤y___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线___________和__________围成的矩形里。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
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椭圆的简单几何性质（第一课时）教学设计教学目标：（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a,b,c 几何意义以及a,b,c 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节” 探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。
根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：使用实物投影及多媒体辅助教学。
借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
教学过程：创设问题情景，学生自主探究：方程16x225y2400 表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a,b,c ，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形 4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形； 辨析与研讨： 实物投影展示学生的画图过程， 挖掘学生的原有认知， 体现同学的 思维差异，培养学生的思维习惯。
设计意图：（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考 和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决旧体现了对二元二次方程的研究， 为利用方程研究性质打下基础；（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题 角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特 征：范围、对称性、关键点；（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异 和思维认识层次；（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探 讨，得到统一的认识。
教师点评：（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一 般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质 一、引导评价，引入课题： 设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程1）椭圆方程是关于 x, y 的二元二次方程；2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数 1；3）方程中 x 2和 y 2的系数不相等； 设计意图： 类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特 点，体现了新旧知识的联系与区别， 符合学生的认知规律， 同时为利用方程研究 椭圆曲线的几何性质做好了准备 .【问题 1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点， 利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：学生活动过程：同理，我们也可以得到 y 的范围： b y b2 x 2 a2 b y 2 1（a b 0） 有什么特点？情形 1： x 2 y 2 1 变形为： a 2 b 2 a 2 0，x 2 a 2 xa这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围： a x a情形 2：可以把a 2 1 看成 sin 2 cos 2 利用三角函数的有界性来考b x 2x 2虑 a ,b 的范围；教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将 ，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参 数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容， 所以说我们在研究问题的过程中， 结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：情形 3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1，那么这两个数都不大于 1，2所以 x 21，同理可以得到 y 的范围 a 2设计意图：（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程 进行证明， 没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子， 因此在这里通过 多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点， 使学生在把握椭圆方程结构特征 （1） 和（ 2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得 到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到， 使学生真正感受成功的喜悦；（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。
结论：由椭圆方程中 x, y 的范围得到椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形 里。
【问题 2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的 对称性； 实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：x 代 x 后方程不变，说明椭圆关于 y 轴对称；y 代 y 后方程不变，说明椭圆曲线关于 x 轴对称； x 、 y 代 x ， y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨： x 代 x 后方程不变，就是用 （ x, y ）来代换方程中的 （x,y ） ，方程不变，（ x, y ）和（x,y ）关于 y 轴对称，两点坐标都满足方程，而 （x, y ）是曲线上任意 一点，因此椭圆曲线关于 y 轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。
设计意图：（1） 抓住椭圆标准方程的特点不放松， 引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；（2） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式， 培养学生正确处理问题的 思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；（3） 多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。
【问题 3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与 对称轴的交点坐标实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识： 在椭圆的标准方程中，令 x0，得 y b ， y 0，得 x a 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点 顶点坐标；a,b 乘过去，就得到了 x acos y bsinA1（ a,0）,A2（a,0），B1（0,b）,B2（0, b）相关概念：线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a,b，c 就有了明显的几何意义。
设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2 c2 b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b 表示短半轴长，因此，联结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，OF22 B2F22 OB22，即a2 c2 b2；多媒体展示特征三角形.设计意图：（1）利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2 c2 b2的几何意义，多媒体课件的展示体现a,b，c 的几何意义，从而得到a2 c2 b2的本质。
三、课堂练习：阅读课本例1，你有什么认识？（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的a,b,c 。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性（2）掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性. 设计意图：（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；（2）与开头相呼应，使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程；二、反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：（1）知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；（2）过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；（3）情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
设计意图： 不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知 结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次。
五、课后作业： （1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；y 2 x 2（ 2）研究 y 2 x 21（a b 0） 的范围、对称性、顶点；a 2b 2 （3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征 “方程中 x 2和 y 2的系数不相等”， 因此当 x 2和 y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？ 设计意图： 课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业（ 1）强调研究 方法的重要性，作业（ 2）是对学生学习效果的一种检验，作业（ 3）引导学生利 用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率； 附录：板书设计教学设计说明1、对教材的研究认识：利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是 解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一 次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线， 让学生观 察、猜想椭圆的几何性质， 然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体 现从感性到理性符合学生的认知规律等， 也可以说是用方程研究椭圆 曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的 本质。