二次函数经典例题及答案
二次函数-定值问题典型例题
二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3，∴AB=4，CD=6，∴；当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6，∴AB=8，CD=12，∴；当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9，∴AB=12，CD=18，∴；∴填表为m 1 2 3对任意m（m＞0）均有=．理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），∴AB=4m．将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），∴CD=6m．∴，∴对任意m（m＞0）均有=；探究与运用：（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP．∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°．∴△AOB与△CQD的高相等．∵=，∴AB=CD．∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴=，（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，∴PO=PB=m2，AB=2OP∴m2=m4，∴4m2=m4，∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．∵m＞0，∴m=2，∴OP=4，AB=8，∴PD=6，CD=12．∴S△AOB==16∴S△CQD==24，∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP∴m2=m4，∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．∵m＞0，∴m=3，∴OP=6，AB=12，∴PQ=9，CD=18．∴S△AOB==54∴S△CQD==81，∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2，∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=m2•3m=m3．∴=．故答案为：；；．点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化1的顶点式形式y=a（x﹣1）为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．3718684专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB=35，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，35AB =5sin OAB ∠=5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得2222(35)36AD AB BD =-=-=．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．y F P 3BEC D A P 2P 1O∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
初中二次函数大题经典例题
初中二次函数大题经典例题二次函数是高中数学中一个重要的部分，它是可以表示曲线的函数的一种，其具有易于处理的几何特性，以及可应用于实际问题的算术特性。
它具有特殊的几何性质，被用于描述运动轨迹，描述一些经济问题，测量飞机和船只在水平面上的轨迹，以及求解微积分问题等，因此在初中数学中学习二次函数已经成为必修课程之一。
二、二次函数的例题（一）将二次函数y=2x2+4x+3的图像上的点（0，3）和（-1，6）代入函数，看是否形成组合。
解：将（0，3）和（-1，6）代入函数得到：$y=2cdot 0^2+4cdot 0+3=3$$y=2cdot (-1)^2+4cdot (-1)+3=6$可以看出，确实形成组合，即（0，3）和（-1，6）都符合函数式。
（二）如果x=-2是函数y=2x2+4x+3的一个解，则有什么性质？解：当x=-2时，该函数的解是y=4。
因此，对于y=2x2+4x+3，可以得出：当x=-2时，该函数可以被写成y-4=0，故该函数具有有理根，即x=-2。
由此可知，该函数具有有理根，同时也是一个多项式函数。
（三）求函数y=x2-4x+3的极小值。
解：由山谷准则可知，当函数的导数为0时，函数取得极值，即求函数y=x2-4x+3的导数：$frac{dy}{dx}=2x-4$当$2x-4=0$时，即$x=2$，极小值为$y=x^2-4x+3=3$。
（四）求函数y=2x2+4x+3的极大值。
解：由山谷准则可知，当函数的导数为0时，函数取得极大值，即求函数y=2x2+4x+3的导数：$frac{dy}{dx}=4x+4$当$4x+4=0$时，即$x=-1$，极大值为$y=2x^2+4x+3=6$。
三、二次函数的实际应用上面我们讨论了二次函数的几何特性以及例题的求解，接下来我们再来看看它在实际中的应用。
（一）运动轨迹：在物理上，二次函数可以用来描述运动物体在水平面上的轨迹，例如双曲线、抛物线等就可以用二次函数来描述。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
专题12 二次函数(解析版)
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=- （2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾y x O已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
二次函数应用题专题(带答案)
二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。
4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。
三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。
2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。
3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。
XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。
2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。
3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。
评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。
练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。
在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。
二次函数经典例题及答案
二次函数经典例题及答案1.已知抛物线的顶点为P（－4，－），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）。
（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=x2+4x - ；存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）2-，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C 的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-），∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2-∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-=0，解得a=，所以，抛物线解析式为y=（x+4）2-，即 y=x2+4x-；（2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-），∴点D的坐标为（-4，0），令x=0，则y=-，令y=0，则x2+4x-=0，整理得，x2+8x-9=0，解得x1=1，x2=-9，∴点A（-9，0），C（0，-），∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=∴sin∠OAC=cos∠OAC=，①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×，Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4，AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8，所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，所以，点Q1的坐标为（-1，-4）；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，AE2=AQ2•cos∠OAC=5×=2，所以，OE2=OA-AE2=9-2，所以，点Q2的坐标为（2-9，-）；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，则AE3=AD=×5=，所以，OE3=9-=，∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，∴△AQ3E3∽△ACO，∴，即，解得Q3E3=，所以，点Q3的坐标为（-，-），综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2 -9，-），Q3（-，-），使得△ADQ为等腰三角形．2.如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C 点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C∴当x=0时y=3当y=0时x=3∴B（3，0）C（0，3）（2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C∴．∴b=2，c=3．∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0）设P（x，y）∵S△PAB=S△CAB∴×4×|y|=×4×3∴y=3或y=﹣3①当y=3时，3=﹣x2+2x+3∴x1=0，x2=2P（0，3）或（2，3）②当y=﹣3时，﹣3=﹣x2+2x+3∴x1=1+，x2=1﹣∴P（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．3.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．（3）P（3，0）或P（，）或P（，）．试题分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．（3）分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．试题解析：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线BC的函数表达式是y=kx+b．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，∴PQ=y Q﹣y P=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，∴P（3，0）当∠QOA=90°时，点P与点C重合，∴x=0（不合题意）当∠OQA=90°时，设PQ与x轴交于点D．∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD．又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA．∴，即DQ2=OD•DA．∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×（）2﹣+2=；y2=×（）2﹣+2=；∴P（，）或P（，）．∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．4.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（，），△PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围.（1），D（1，4）；（2）（）．试题分析：（1）本题需先根据抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线即可求出它的解析式．（2）本题首先设出BD解析式，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．试题解析：（1）∵抛物线（）经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点∴把（﹣1，0）B（3，0）代入抛物线得：，，∴抛物线解析式为：，∵=，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线BD解析式为：（），把B、D两点坐标代入，得：，解得5.如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P（，）（a是任意实数）在抛物线上，直线经过A，B两点．（1）求直线AB的解析式；（2）平行于y轴的直线交直线AB于点D，交抛物线于点E．①直线（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；②将抛物线向上平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．1)；（2）①1或3；②．试题分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．试题解析：（1）∵P（，）（a是实数）在抛物线上，∴抛物线的解析式为=﹣，当时，即，解得，，当x=0时，y=2．∴A（0，2），B（4，0），C（，0），将点A、B的坐标代入，得：∴，解得：，故直线AB的解析式为；（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），∴DE=4，FG==，∵FG：DE=3：4，∴，解得，．②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，∴=，即AE=，∵EO平分∠AED，∴∠AEO=∠DEO，∵AO∥ED，∴∠DEO=∠AOE，∴∠AEO=∠AOE，∴AO=AE，即，解得m=．6.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（–1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当P，Q运动t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由．（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（1）y=x2﹣x﹣4．C（0，﹣4）；（2）四边形APDQ为菱形；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．（2）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴y=x2﹣x﹣4．∴C（0，﹣4）．（2）四边形APDQ为菱形．理由如下：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形（3）存在．如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，∴AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．③当AE=AQ=4时，1.当E在A点左边时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．2.当E在A点右边时，∵OA+AE=3+4=7，∴E（7，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．7.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S．（1）；（2）M的坐标为，，；（3）．试题分析：（1）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），把A、B、C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；（3）分别求出直线BC、BD的解析式，分两段计算重叠的面积：①，②．试题解析：（1）由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），则，，解得，故抛物线的解析式为：；（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M 或M；所以，点M的坐标为，，；（3）记平移后的三角形为△EFG．设直线BC的解析式为y=kx+b，则：，解得：，则直线BC的解析式为，△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG，易得直线FG的解析式为．设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则：，解得，则直线BD的解析式为，连结CG，直线CG交BD于H，则H（，-3）．在△OBC沿x轴向右平移的过程中，①当时，如图1所示．设EG交BC于点P，GF交BD于点Q，则CG=BF=m，BE=PE=3﹣m，联立，解得，即点Q（3﹣m，-2m），==②当时，如图2所示．设EG交BC于点P，交BD于点N，则OE=m，BE=PE=3﹣m，又因为直线BD的解析式为，所以当x=m时，得y=2m﹣6，所以点N（m，2m-6）．===，综上所述，．8.如图①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（－6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时，求出Q点的坐标．（4）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．（1）y=-x2-2x+6；（2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）最大值为；E坐标为（-3，）．试题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC| 最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．试题解析：（1）由题知：，解得：，故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6；（2）∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，∴对称轴为x=，设P点坐标为（-2，t），∵当x=0时，y=6，∴C（0，6），M（-2，0），∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40．①当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，∴P点坐标为：P1（-2，）；②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，∴P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，∴P点坐标为：P4（-2，12）．综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）∵点A（2，0）和点B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，∴QB=QA，∴|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，∵A（2，0），C（0，6），∴，解得，∴y=-3x+6，当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0），则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=（n+6）•（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）•（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（-3，）．9.如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．试题分析：（1）设抛物线的解析式为，根据已知得到C（0，﹣3），A（﹣1，0），代入得到方程组，求出方程组的解即可；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，﹣3），设直线AG为，代入得到，求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，），则F（x，﹣x﹣1），PF，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ 时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，由，令x=2，则y=－3，∴点G为（2，－3），设直线AG为，∴，解得：，即直线AG为，设P（x，），则F（x，－x－1），PF．∵，∴当时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为，（3）存在．∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x=1对称，设点M为（，）且，∴，当∠QMN=90°，且MN=MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN 即MQ⊥x轴，∴，即或，解得，（舍）或，（舍），∴点M为（，）或（，），∴点Q为（，0）或（，0），当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，同理可求点Q为（－，0）或（，0），当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，，∵方程有解，∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．0，AD = 2，BC = 6，10.在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 45以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．将（0，3）代入得a=﹣1，所以．（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即yOM=x，∴M（1，1）．连MC得MC=，即半径为．（3）如图2，由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y 轴交点，∵∠B=45°，∠AOB=90°，∴AO=BO=3，故B点坐标为：（﹣3，0），再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：，解得：，故BD直线解析式为：，当x=0，y=，根据对称轴为直线x=1，则y=2，故F（0，）、E（1，2），EF===．（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．如图3，当∠QCP=45°时，OR=OC=3，则R点坐标为（0，﹣3），将C，R代入y=ax+b得出：，解得：，这时直线CP的解析式为y=x﹣3，同理可得另一解析式为：y=﹣x+3．当直线CP的解析式为y=x﹣3时，则，解得：，可求得P（﹣2，﹣5），故PC==．设CQ=x，则，解得：x=或x=15．∴Q （，0）或（﹣12，0）．当y=﹣x+3即P与A重合时，CQ=y，则=，即=，或=，解得CQ=2或9，故Q （1，0）或（﹣6，0）．如图4，当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，∴DE=，EC=，易证：△CDE∽△CHQ，所以=，∴HO=．可求HC的解析式为．联解，得P，PC=．设CQ=x，知，∴x=或x=，∴Q或．同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为．∴P’，∴PC=∴，∴CQ=或。
二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
二次函数经典例题及解答
定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函 数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线， 开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒 成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和 求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开 区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取 值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导 函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临 界点的位置，判断新函数在参数范围内的单
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二次函数经典例题及答案1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。
(1) 求这条抛物线的函数关系式；(2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ1 2 9 . 135y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) •析一2 25试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；(2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标.试题解析：(1 )•••抛物线顶点坐标为(25 -4 , - 2),•••设抛物线解析式为2 25 y=a (x+4) - 2为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点(2) 存在点 Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-) , Q( - ] , - 4 ) 25理由如下：•••抛物线顶点坐标为( -4 , - 2 ),•••点D 的坐标为(-4 , 0),9令 x=0，则 y=-],£9令 y=0，则-x 2+4x- _ =0, 2整理得，x +8x-9=0 , 解得 x i =1, X 2=-9 ,9•••点 A (-9 , 0), C ( 0,-.),9• OA=9 OC=. , AD=-4- (-9 ) =-4+9=5 ,Jdf + OC‘ =. ^9; + (-)1 =—在Rt △ AOC 中 ,根据勾股定理， AC=\--9OC 7 逛 __ — ■ — * AC 座5• sin / OAC=-OA _ 9 _ 2來 JC ~9^--rcos / OAC=■① AD=QD 时，过Q 作QE 丄x 轴于点E ,•••抛物线过点 B (1, 0)，二 a (1+4)2-25=0，解得 a=2 ,所以，抛物线解析式为y=】(x+4) 2孚即 y= _ x 2+4x-J'AE3EJ：DE Tcp:根据等腰三角形三线合一的性质，AQ=2?ADcos/ OAC=X 5X QE i=AQ?sin / OAC=衣AE=AQ?cos / OA C A/5=8,所以，OE=OA-A E=9-8=1 , 所以，点Q的坐标为(-1 , -4 );②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E2,QE2=AQ?sin / OAC=X :'=上,AE=AQ?cos / OAC=X所以，OE=OA-AE=9-2 上, 所以，点Q的坐标为(2J- -9 , - * );③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点巳,所以，OE=9-】=-,•/ QE3丄x 轴，OCL OA •••△ AQE s s^ ACOQE OC:--95 9即］,解得 Q 3E 3=-,135所以，点Q 的坐标为(-_ ，- ■),135综上所述，在线段 AC 上存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-) , Q(-】,-4 ), 使得△ ADQ 为等腰三角形.2. 如图，直线y= - x+3与x 轴，y 轴分别交于B , C 两点，抛物线y= - x 2+bx+c 经过B, C 两点，点A是抛物线与x 轴的另一个交点.(1) 求B C 两点坐标； (2) 求此抛物线的函数解析式； (3)在抛物线上是否存在点 P ,使S"A =S A CAB 若存在，求出P 点坐标，若不存在，请 说明理由.1) B ( 3, 0) C ( 0, 3)( 2)此抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . ( 3)存在这样的 P 点，其坐试题分析：(1)已知了过B 、C 两点的直线的解析式，当 x=0时可求岀C 点的坐标，当y=0是可 求岀B 点的坐标. (2)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数， 因此将B 、C 两点的坐标代入抛物线中即可求岀 抛物线的解析式. (3)根据(2)的抛物线的解析式可得岀 A 点的坐标，由此可求岀 AB 的长，由于S MAB =G CAB ,而 AB 边为定值.由此可求岀P 点的纵坐标，然后将P 点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求岀 P 点的坐标.试题解析：(1)丁直线y= - x+3经过B C标为 P (0, 3),( 2, 3)•••当x=0 时y=3当y=0时x=3• B ( 3 , 0) C (0, 3)2(2 )•••抛物线y= - x +bx+c 经过B、Cr-32+3A+r = 0...V0+0+c = 3L…b=2，c=3 .2•此抛物线的解析式为y= - x +2x+3.2(3)当y=0 时，—x +2x+3=0 ; x i= - 1，X2=3.• A (- 1，0)设P (x，y)■/ S^ PAB=S^CAB1 1•—■ X 4X |y|= —X 4 X 3•y=3 或y= —32①当y=3 时，3= —x +2x+3•x i=0，X2=2P ( 0，3)或(2, 3)2②当y= — 3 时，-3= —x +2x+3•x i=i+ 广，X2=i — ,r•P (1+ J -，—3 )或(1 - .；' -，- 3).因此存在这样的 P 点，其坐标为 P ( 0, 3),( 2, 3)( 1+」二，-3)或(1 -〒，-3)23.已知：如图，抛物线 y=ax+bx+2与x 轴的交点是 A ( 3, 0)、B( 6, 0),与y 轴的 交点是C.(1) 求抛物线的函数表达式；(2)设P(x , y ) (0v x v 6)是抛物线上的动点， 过点P 作PQ/ y 轴交直线BC 于点Q① 当x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？② 是否存在这样的点 P ,使厶OAQ 为直角三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由.1(1)所求抛物线的函数表达式是y=「x 2 - x+2 . ( 2)当x=3时，线段PQ 的长度取得最大值.最3 3 12 _6_大值是 1.( 3) P (3, 0)或 P (】，•！)或 P ( 1，二)析试题分析：(1)已知了 A , B 的坐标，可用待定系数法求岀函数的解析式. (2)©QP 其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(1)中已经求岀，而一次函数可根据 B , C 的坐标，用待定系数法求岀. 那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式， 得岀的新的函数就是关于 PQ x 的函数关系式，那么可根据函数的性质求岀 对应的x 的取值.(3 )分三种情况进行讨论：当/ QOA=90时，Q 与C 重合，显然不合题意•因此这种情况不成立; 当/ OAQ=90时，P 与A 重合，因此 P 的坐标就是 A 的坐标；当/ OQA=90时，如果设 QP 与x 轴的交点为 D,那么根据射影定理可得岀DQ=OD?DA 由此可得 岀关于x 的方程即可求出x 的值，然后将x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标.试题解析：(1 )•••抛物线过 A (3, 0), B ( 6, 0),*------- dO_— \pXPQ 的最大值以及相J9fl + 3i+2=0[1a ——t 9解得：.0 = T,•••所求抛物线的函数表达式是丁 X2- x+2 .(2)①••当x=0 时，y=2 ,•••点C的坐标为(0, 2).设直线BC的函数表达式是y=kx+b .则有 - ,Jt = -i:3 解得：0 = 2 .1•直线BC的函数表达式是y= - .- x+2 .•0v x v 6，点P、Q的横坐标相同，1 ]•PQ=y o-y p=(―丄x+2)—( - x2-x+2)1 2=—-X2+ -- x1=—■( x—3) 2+1•••当x=3时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.②解：当/ OAQ=90。
时，点P与点A重合，•P (3, 0)当/ QOA=90。
时，点P与点C重合，•x=0 (不合题意)当/ OQA=90。
时，设PQ与x轴交于点D .•••/ ODQ+ / ADQ=90 °，/ QAD+ / AQD=90 ° ,•••/ OQD= / QAD .又•••/ ODQ= / QDA=90 ° ,•△ ODQ s\ QDA .DO DA••• ：-_；二:，即DQ2=OD?DA .1•••（-_：x+2 ）2=x （3- x）,10x2- 39x+36=0 ,3 125 J…X i= . , X2=-,13 3 3•y i= 7 x（ -）2- - +2= -!；12 12 _6y2= x（ - ）2- ： +2= -「；3 3 12 £•P C ,-）或P（i ,「）.3 3 12 6_•••所求的点P的坐标是P （3, 0）或P （一，•）或P （「，二）肿/O D\p ----- 3■-4.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过A( -1 , 0)、B (3，0)两点，抛物线与y轴交点为C,其顶点为D,连接BD点P是线段BD上一个动点(不与B, D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E,连接BE(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（PBE的面积为一，求 .与’ 的函数关系式，写出自变量［的取值范围（1）? r D（1, 4）；（2）舀—』冷裁（一■'）解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线•…—经过A （- 1, 0）、B （3, 0）两点，分别求岀a、b的值，再代入抛物线.厂七「即可求岀它的解析式.（2）本题首先设岀BD解析式’，再把B、D两点坐标代入求岀k、b的值，得岀BD解析式，再根据面积公式即可求岀最大值.试题解析：（1）丁抛物线•丁（庚带I；）经过A （- 1，0）、B （3，0）两点.••把（-1，0） B （3，0）代入抛物线得：•- - •，--，—抛物线解析式为：•尸上+2丫+3「（“疔 +」，•••顶点D的坐标为（1，4）;>+4=0 （2）设直线BD解析式为：了二m—.：）把B、D两点坐标代入，得：^ -，解得: 亠5.如图，抛物线与x轴相交于B, C两点，与y轴相交于点A,点P（八「，池；.-）（a是任意实数）在抛物线上，直线■- 「经过A，B两点.（1）求直线AB的解析式；（2）平行于y轴的直线-交直线AB于点D,交抛物线于点 E.①直线.（O W t W 4）与直线AB相交F,与抛物线相交于点G.若FG ：DN 3 : 4, 求t的值；②将抛物线向上平移m（ m> 0）个单位，当EO平分/ AED时，求m的值.解析试题分析：（1）根据点P的坐标，可得岀抛物线解析式，然后求岀A、B C 的坐标，利用待定系数法求岀直线AB的解析式;表示岀DE FG,再由FG: DE=3: 4，可得岀t的值；②设点A （0, 2+m）,则点E （2, 5+n），作AH^ DE,垂足为H,在Rt△ AEH中利用勾股定理求岀AE,根据EO平分/ AED及平行线的性质可推岀/ AEO=/ AOE AO=AE继而可得岀m的值.q HI试题解析：（1）丁P , - - ■- ）（a是实数）在抛物线上，亠7 L (1)n Y+—x+2=0 x = —… _• 一时，即］,解得i ,-',当x=0 时，y=2 .••• A (0 ,1 卩“2), B (4 , 0), C ( - , 0)，将点A、B的坐标代入*鼻也二'刃，得：- ,(2［①根据点E ( 2 , 5), D (2, 1),-r+-r+2G( . , - ), FC, 1 ), •••抛物线的解析式为尸如+九+2=*（护皿（?+2（2）①1或3 :②-f ;+-r+2D (2, 1), G(. , ■ ), FC,--F +丄『+2-(-匕+2)2 ,DE=4, FG=.-==丨-良,• FG: DE=3: 4,二「，解②设点A (0, 2+m ),则点 E (2, 5+n )，作 Ab U DE 垂足为 H,•••二-…二三=「□》〜」-曲U 即 AE=0i , • E0平分/ AED, •••/ AEO=Z DEO • AOII ED, •••/ DEO 玄 AOE :丄 AEON AOE •-AO=AE 即- 解得m=46.如图，二次函数 y= ；x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (3 , 0) , B (- 1, 0),与y 轴 交于点C.若点P , Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 AB, AC 边运动， 其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；(2) 当P, Q 运动t 秒时，△ APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定 此时四边形APDQ 勺形状并求说明理由.(3)当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E ,使得以A , E , Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由解得:1-，故直线 AB 的解析式为(2［①，••点 E ( 2, 5),4 £(1)y= ；x2- ；x - 4. C (0,- 4);(2)四边形APDQ为菱形；_1 9(3)存在满足条件的点E,点E的坐标为(-；,0)或(-■,0)或(-1, 0)或(7,0).4y= :x2+bx+c中，求得b、c,进而可求解析式及C坐标.(2)注意到P, Q运动速度相同，则△ APQ运动时都为等腰三角形，又由AQ=D Q易得四边形四边都相等，即菱形.(3)等腰三角形有三种情况，AE=EQ AQ=EQ AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置,设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标.4试题解析：(1).•二次函数y= ；x2+bx+c的图象与x轴交于A (3, 0), B (- 1, 0),0=^*9+3b+cb=解得-448/• y= 3x2- 3x -二 C( 0 ,-4).4.解析试题分析: 1)将A, B点坐标代入函数A、D 对称，贝U AP=DP(2)四边形APDQ为菱形•理由如下:Q作, FQ±AP于F,•/ AP=AQ=t, AP=DR AQ=DQ••• AP=AQ=QD=DP•••四边形AQDP为菱形(3)存在.如图1,过点Q作QD! 0A于D,此时QD// OC••• A (3, 0), B (- 1 , 0), C( 0, - 4), 0(0, 0)•AB=4 , OA=3 OC=4•AC=：广「'一=5 , •••当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4 , •AQ=4.•••QD// OCQD 二AD二AQ.••在H三QD AD . 4•■12•QD= , AD=.①作AQ的垂直平分线，交AO于E ,此时AE=EQ即厶AEQ为等腰三角形, 12设AE=x,贝U EQ=x DE=AD- AE=—x ,121610•在Rt △ EDQ中, (-x) 2+ ( )2=x2, 解得x='101• OA— AE=3—=- 31• E (- ： , 0)②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E ,此时QE=QA=412•••ED=AD=,24••• AE=,24 _9• OA- AE=3- =-',9•- E (- ■, 0).③当AE=AQ=4时，1•当E在A点左边时，•/ OA- AE=3- 4=- 1,•- E (- 1, 0).2 •当E在A点右边时，•/ OA+AE=3+4=7•- E ( 7 , 0).19综上所述，存在满足条件的点E,点E的坐标为(-；，0 )或(-',0)或(-1, 0 )或(7 ,0).7.如图，已知抛物线；- -一与x轴的一个交点为A (-1 , 0),另一个交点为B,与y轴的交点为C (0, -3 )，其顶点为D,对称轴为直线"-1.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)将厶OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0v m<3)得到另一个三角形△ EFG将△ £卩6与厶BCD重叠部分的面积记为S,用含m的代数式表示S."J …，以C 为圆心，AC 为半径作圆与y 轴有两个交点,为M 厂或M 厂，0<m<-(3)分别求岀直线 BC BD 的解析式，分两段计算重叠的面积：①-，②-<wi<3试题解析： (1)由题意可知，抛物线丿J 也： 山 -与x 轴的另一个交点为 B( 3, 0)，9o+35+c 二 0a-b^c =0c=_3，解得(2) M 的坐标为 |OJ)(俪-3).?(0 < W —) < ?M < 3)解析试题分析：(1)抛物线与x 轴的一个交点为 A(-1，0)，对称轴为直线 •— J得到抛物线与x 轴的另一个交点为 B ( 3, 0)，把A 、 B 、C 的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式;(2)①当AC=AM 寸C 、M 关于x 轴对称，得到则,a②当AC=CM 寸，AC= 故抛物线的解析式为:②当AC=CM寸，AC=: -- 710 ，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M厂或M厂；所以，点M的坐标为 '，厂，厂，|3A?+i = O (3) 记平移后的三角形为△ EFG设直线BC的解析式为y=kx+b，^3 ，解<k=i得：0 =，则直线BC的解析式为J二工_、, △ OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0 v m<3)得到△ EFG易得直线FG的解析式为$ = -朋.设直线BD的解析式为y=k' x+b '，则：l&L，解得1於=-6,3则直线BD的解析式为y = 2x-6，连结CG直线CG交BD于H,贝U H ( ] , -3 )在厶OBC沿x轴向右平移的过程中,0 <m<-①当-时，如图1所示.y = 2x-6设EG交BC于点P，GF交BD于点Q,贝U CG=BF=m BE=PE=3- m,联立J三尤一孑—崛，x—3-m解得丿v-加,即点Q( 3 - m, -2m),(2)①当AC=AM寸C、M关于x轴对称，得到-<m<3②当. 时，如图2所示.图2设EG交BC于点P,交BD于点N,贝U OE=m BE=PE=3- m 又因为直线.-- ，所以当x=m时，得y=2m- 6,所以点N (m, 2m-6).1 、， 1 i 1P Q Q -(3-w)(6-2ml--(3-w)一1 =_1—9-m「3坯+ —BD的解析式为综上所述,3…一一m+ JW7S=l 21 2 , 9」」咐—17 7(0 5 訂)(-<m<3)28.如图①，抛物线y=ax+bx+c (0)与x轴交于点A (2, 0)和点 B (-6, 0), 与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与 .轴交于点M，在对称轴上存在点卩，使厶CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.的坐标.(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.(1) y=- ] X2-2X+6 ;(3) 当Q在(-2 , 12)的位置时，|QB-QC|最大;63 15(4) 最大值为 -;E坐标为(-3 ,-).解析试题分析：(1)将点A (2, 0)和点B (-6 , 0)分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求岀a、b的值，进而得到抛物线的解析式；(2) 根据(1)的函数解析式得岀抛物线的对称轴为X=-2，再求岀M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为(0, 6)，根据M C的坐标求岀CM的距离•然后分三种情况进行讨论：①CP=PM②CM=MP③CM=C P(3 )由抛物线的对称性可知QB=QA故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q,利用待定系数法求岀直线AC的解析式，再将X=-2代入，求岀y的值，进而得到Q点的坐标; (4)由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，(3)设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足\QB-QC\最大时，求出Q点(2) P (-2 ,10)或P (-2 , 2J--')或P (-2 , -2 )或P (-2 , 12);图1 图J过E 作EF ±x 轴于F ,四边形BOCE 勺面积=三角形BFE 的面积+直角梯形FOCB 的面积•直角梯形 FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了 OC 的长.在三角形BFE 中，BF=BO-OF 因此可用E 的横坐标表示岀 BF 的长.如果根据抛物线设岀 E 的坐标， 然后代入上面的线段中，即可得岀关于四边形 BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值•即可求岀此时 E 的坐标.试题解析：（1）由题知:J4d + 2A + 6 = O |36应-6^ + 6 = 0，设P 点坐标为(-2 ， t ），•••当 X =0 时，y=6，• C （ 0，6），M （-2，0），2• CM= （-2-0 ） 2 2+ （ 0-6 ） =40.10①当CP=PM 时，（-2 ） 2+ （t-6 ） 2=t 2，解得 t= '■，10• P 点坐标为： P i （-2， ?）； ②当CM=PM 寸，40=t2，解得 t= 士 2 J -「，• P 点坐标为： F 2 （-2，2J- ■）或 P 3 （-2，-2 J -「）；③当CM=CP 寸，由勾股定理得： 40= (-2 ) 2+ (t-6 ) 2,解得t=12， • P 点坐标为：P* (-2，12)数的性质即可求得四边形 解得:b = -2故所求抛物线解析式为:y=- _ X 2-2X +6 ;(2 )•••抛物线解析式为: y=- _ X 2-2X +6，•••对称轴10综上所述，存在符合条件的点P ,其坐标为 P (-2 ,-)或 P (-2 , 2：h )或 P(-2 , -2 丄.)或 P (-2 , 12);(3 )•••点A ( 2 , 0)和点B (-6 , 0)关于抛物线的对称轴 x=-2对称， ..QB=QA•••|QB -QC|=|QA-QC| ,要使|QB-QC|最大，则连结 AC 并延长，与直线x=-2相交于点 Q 即点Q 为直线AC 与直线x=-2 的交点， 设直线AC 的解析式为y=kx+m ，• A ( 2，0)，C ( 0，6)，,2fc-l-m = 0•期=6• • •・ ，解得 ，• y=-3x+6 ，当 x=-2 时，y=-3 X( -2 ) +6=12，故当Q 在(-2，12)的位置时，|QB-QC|最大；1(4) 过点 E 作 EF 丄x 轴于点 F ,设 E (n , - [ n 2-2n+6 )(-6 v n v 0),S 四边形 BOC = — BF? EF+ ■ ( OC+EF ? OF\ 严 0\B X匿J则 EF=- . n 2-2n+6， BF=n+6, OF=-n ，F 汐1 1 1 1=_ ( n+6) ?( ] -n 2-2 n+6 ) + _ (6- ] n 2-2 n+6 )6363所以当n=-3时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为-15此时，点E 坐标为（-3 ,1 ）.9.如图，在平面直角坐标系中， 一抛物线的对称轴为直线-〕，与y 轴负半轴交于C点，与x 轴交于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），且0B= OC （1） 求此抛物线的解析式；（2） 若点G （ 2，y ）是该抛物线上一点，点 P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运 动到什么位置时，△ APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和△ APG 的最大面积.（3） 若平行于x 轴的直线与该抛物线交于 M N 两点（其中点M 在点N 的右侧），在x 轴上 是否存在点0,使厶MNC 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由.(-n )2n -9n+18=-(n+3) .,P _15A 27（i）y = ；（2）P点的坐标为辽‘ 4丿，$丄护&的最大值为8 ；（3）Q （― , , 0）或（，，0）或（、,0）或（ -, 0）或（1, 0）.解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为- ■■■■ --■■■■-- ，根据已知得到a-b+c=0'■ 9a + 36 + c = 0C（0,- 3）, A（- 1, 0），代入得到方程组c= ，求岀方程组的解即可；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F,求岀点G的坐标（2 , - 3），设直线AG为j-t +.7 :肚卜诅代入得到」■，求岀方程组的解得岀直线AG为/ 二 J*设P （x, 「一「一；），贝U F （X,—x —1）, PF二—F F 二，根据三角形的面积公式求岀厶APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在•根据MN/ x轴，且M N在抛物线上，得到M N关于直线x=1对称，设点M 为（m "丁'）且m> 1,得到MN=2（ m— 1）,当/ QMN=90，且MN=MQ^，由△MNQ为等腰直角三角形，得到■' ' 1' I"' " ' '，： ' 'I ,求岀m的值，得岀点M和点Q的坐标；当/ QNM=90，且MN=NQ寸，同理可求点Q的坐标，当/ NQM=90，且MQ=NQ时，过Q作QE! MN于点E,则QE=] MN根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标.试题解析：（1）设抛物线的解析式为.「-汰宀肚-mw由已知得：C ( 0 , —3), A (—1 , 0),a-b + c = 0 a = 1■\9a + 3b + c =0，解得•••抛物线的解析式为一」'；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,由一一■，令x=2，则y= —3，•点G 为（2,—3）,设 P (x ，- 「)，贝U F (x , - x — 1), PF — ..-.]3 r ]— S 丄序 一醪F 二—(—X + ：十 J ? = —— X + T T J1 X =—•••当 [时，△ APG 的面积最大，此时 （3）存在.••• MN// x 轴，且 M N 在抛物线上，• M N 关于直线x=1对称, 设点M 为（•.，_ 一）且过；川，...'宀呎-■ ■-当/QMN=90，且 MN=M 时，△ MNC 为等腰直角三角形，• MQL MN 即MQLx 轴，即 _ ： ] _ •- ■ 「或 i ■- ■-解得 「•汇，〔—'■-（舍）或■<. = ■ \. 一、（舍），-'-<'■）或（；，），•点 Q 为（-，0）或（昭，0），当/QNM=90，且MN=NQ 寸，△ MNC 为等腰直角三角形，同理可求点 Q 为（一，，0）或（ ，，0），当/NQM=90，且MQ=NQ 寸，△ MNC 为等腰直角三角形，L -x2（m-l ）= 过 Q 作 QE ± MN 于点 E ,贝U QE=2 MN2•••方程有解，•由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点 Q 为（1, 0）,综上所述，满足存在满足条件的点Q 分别为（—，，0）或（■ ' , 0）或（ “ ,0）或（-:,0）或（1, 0）.设直线AG 为._-,J-t+n=O+，解得:k--l,n = -1 ,即直线AG 为P 15AP 点的坐标为I 』 4」•••点M 为（10. 在梯形 ABCD 中, AD// BC, BA ! AC, / ABC = 45°, AD = 2 , BC = 6，以 BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在y 轴上.(1) 求过A 、D C 三点的抛物线的解析式；(2) 求厶ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求O M 的半径； (3)E 为抛物线对称轴上一点，F 为y 轴上一点，求当 ED+EC + FD + FC 最小时，EF 的 长；(4) 设Q 为射线CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样 的点P 、Q 使得以P 、Q C 为顶点的三角形与△ ADC 相似？若存在，直接写出点 P 、Q 的坐标，若不存在，则说明理由•设抛物线的解析式为 y=a (x+1)( x - 3). 将(0, 3)代入得 a=- 1，所以■'_■.(1 )由题意知 C (3, 0)、A (0, 3).D ( 2, 3).由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为(-1 , 0)(2 )由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得0M平分/ AOC即yOM=x ••• M (1，1)•••/ B=45 °，/ AOB=90，• A0=B0=3 故B点坐标为：(-3, 0),再利用D (2, 3)，代入y=ax+b，得:2a+b=3故BD直线解析式为:9当x=0，y=：，根据对称轴为直线x=1，则y=2，9故 F (0，1 )、E (1, 2)，连MC得MC=t，即半径为由对称性可知：当ED+EC+FD+Fd小时，E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,(4)可得△ ADC中, AD=2, AC= DC=解得:假设存在，显然/ QCM 90°,则/ QCP=45或/ QCP h CAD当/QCP=45 时，OR=OC=3则R点坐标为(0,- 3),将C, R代入y=ax+b得岀：V-33a+b=0L'a=l解得：1曰7,y= - x+3.这时直线CP的解析式为y=x - 3,同理可得另一解析式为:当直线CP的解析式为y=x - 3时，则 [- - ■,解得：二人逬二.可求得P (- 2,- 5),故PC=.设CQ=x 则'■W解得：x=「或x=15._1•••Q ( / , 0)或(-12, 0).AD QC当y= - x+3即P与A重合时，CQ=y贝U二=-■',2__ y_ _2_ 3^2即 J . : = 'r ],或 J . ' =■,解得CQ=2或9,当/QCP=/ ACD 时，设CP 交y 轴于H ,连接ED,贝U ED± AC, ••• DE=,EC=” 一 , 易证：△ CDE^A CHQHO 3所以 =:,3• HO=1 .1 3v = — x ~ —可求HC 的解析式为'.-13 y=—x _— 22 V=- X 3+2X +3,/10 设CQ=x 知1527• x= 一或 x= 一■<联解得Plf, 4/ PC=.'-故 Q (1, 0)或(-6, 0)* 3 、 —一 JJQ 1 4丿 或1 4•丿••• P'• PC=丽_ 3Q 或価_ 3厲35 21• CQ=_.或•，所以Q L 」3 9]0)； P3根据交点式即可求岀过 A 、D 、C 三点的抛物线的解析式;(2 )由外接圆知识知 M 为对称轴与 AC 中垂线的交点•由等腰直角三角形性质可得 连MC 得MC=】-，即为半径;(3) 由对称性可知：当 ED+EC+FD+F 最小时，E 为对称轴与 AC 交点，F 为BD 与y 轴交点，再根据待定系数法求岀 BD 直试题分析：(1 )过D 作x 轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为 (-1 , 0).再同理当 H 在y 轴正半轴上时，HC 的解析式为综上所述，P1 (- 2,- 5)、Q1 (j , 0)或(-12, 0); P2 (0, 3)、Q2 (1, 0)或(-6,Q4M 点的坐标,。