高一数学向量知识点归纳练习题.doc

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高一向量知识点总结及例题

高一向量知识点总结及例题引言：向量是高中数学中的一个重要概念，也是数学研究和实际应用中的重要工具。

在高一阶段，学生开始接触和学习关于向量的基本概念、运算规则以及一些重要的定理和例题。

本文将对高一阶段的向量知识点进行总结，并通过一些例题进行实际运用，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、向量的基本概念1. 向量的表示方法：向量通常用一个有方向和大小的线段表示，可以用一个点表示，也可以用有箭头的线段表示。

在坐标系中，向量也可以表示为一个有序数对。

2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，通常用||AB||表示。

在坐标系中，向量的模可以通过坐标计算公式求得。

3. 向量的方向角：向量的方向角表示与坐标轴正方向的夹角，在0°到360°之间，通常用α表示。

4. 向量的共线与平行：若两个向量的方向相同或相反，且模相等，则它们共线；若两个向量的方向相同或相反，则它们平行。

二、向量的运算规则1. 向量的加法与减法：向量的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。

即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)，a*(B + C) = a*B + a*C。

2. 向量的数量积：向量的数量积又称内积或点乘，可用来判断向量的夹角和共线性。

数量积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

三、向量的重要定理1. 向量的长度平方定理：向量的长度平方等于向量的数量积与自身的数量积的乘积。

即||A||^2 = A·A。

2. 向量的垂直定理：若两个非零向量数量积为0，则它们垂直。

四、例题1. 已知向量AB = (3, 4)，向量AC = (5, -2)，求向量BC的模。

解：向量BC = 向量AC - 向量AB = (5, -2) - (3, 4) = (2, -6)。

向量BC的模为√(2^2 + (-6)^2) = √40 = 2√10。

2. 在直角坐标系中，已知向量OA = (2, 3)，则向量OA的模为多少？解：向量OA的模为√(2^2 + 3^2) = √13。

适合高一以及高考复习的向量题型总结

EFDCBA向量的基本概念例1.（向量平移）已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是变式：1.将二次函数2y x =的图象按向量a 平移后,得到的图象与一次函数25y x =-的图象只有一个公共点(3,1),则向量=a ( )A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)2.若函数()cos21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是( )A.(,1)4π-B.(,1)2π-C.(,1)4πD.(0,1)例2.（共线向量）下列命题中,正确的是( )A.若b a //,则a 与b 的方向相同或相反B.若b a //,b c //,则c a //C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a =b ,b =c ,则a =c .向量的基本运算例1.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=变式：已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+ ,则|AB|:|BC |= ( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2例2.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心变式：如图， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=ABCD E FD ．0BD BE FC --=例3.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,F 是EC 的中点,若AB = a ,AC = b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 变式：已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =平面向量的坐标表示，及数量积例1．已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()b a +∥c ，则_________=m . 变式：已知a =(3,1)-,b =(1,2)-,(2)-+a b (+a k )b ,则实数k 的值是 ( )A.53B.2511 C.12- D.17- 例2.已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b = ，则a 与b 的夹角为 .变式：已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b + 与向量ka b -垂直,则k = .例3.设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是( )(A)a b = (B)22a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直变式： a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于( )（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-例4.已知向量a ，b 满足2b = ，a 与b 的夹角为60°，则b 在a上的投影是．变式：若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的投影为。

高一向量知识点加例题(含答案)

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 j i ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy) （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ，若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b ab a b +⋅-=-=-； ()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y xx 平面向量数量积的性质11≤±≤- 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是（） A ．()8,1- B ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 2．下列向量中，与向量(1,1)a =-平行的向量是（）A ．(0,2)b =B ．(2,0)c =C ．(2,2)d =D ．(2,2)f =-3．a (2,1)=，b ()3,4=，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为（） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则=⋅CA BC（）A ．102B ．202C ．210-D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,(-==λ的夹角为钝角，则λ的范围是（）A ．215>λ B ．215<λ C ．56<λ D ．56>λ 6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为（） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b ==，C 为AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为CB 上据C 较近的一个三等分点，用a,b 表示OD 的表达式为（） A.4a 5b 9+ B.9a 7b 16+ C.2a b 3+ D.3a b4+ 9．已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且→→→→=++AB PC PB PA ，则点P 与ABC ∆ 的位置关系是（）A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC = ；②||||AB BC =；③||||AB CD AD BC -=+；④22||||4||AC BD AB += 2其中正确的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b 不共线，若（x+y-1）a +（x-y ）b =0，则x= ,y= 15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x =16．在ABC ∆中，有命题：①AB AC BC -=；②AB BC CA ++=0；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1)如果2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=→→→→→→→→e e e e b e e a 其中；求（1）→→→→+⋅b a b a ;的值；（2）→a 与→b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC ∆设,,AB a BC b AC c ===， 060,3,4=∠==ABC BC AB ，求：（1）2a b -; （2）()()2a b a b -⋅+ ; （3）cos >+<b a a ,; 20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=.（1）若=c c //a ，求c 的坐标；（2）若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角θ.21．（本小题满分12分）已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP ===设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB ⋅的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,23π). （I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.BDBCA BDA DC CD 4．C=⋅CABC =⨯⨯>=<⋅0135cos 45,cos CA BC 210-5．A><b a ,为钝角,0<⋅⇔b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 0==⋅3380=. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答 17. 证明：（1）AD =AB +BC +CD =（1e +2e ）+（128e +2e ）+（133e -2e ） =6（1e +2e ）=6AB （2分）∴ //AD AB 且AD 与AB 有共同起点（3分）∴ A 、B 、D 三点共线（4分）（2）假设存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直，则（m 1e 2e +）⋅（1e -2e ）=0∴221122(1)0me m e e e +-⋅-= （6分）||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60∴ 22114e e ==，22229e e ==，1212cos 23cos603e e e e θ⋅==⨯⨯= ∴ 43(1)90m m +--= ∴ 6m =故存在实数6m =，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直．18．解：显然→a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），→b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①→→⋅b a =3×4+（—2）×1=10；→→+b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），→→+b a =22)1(7-+=25。

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平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如：2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是 AB ) ；uuur| AB |4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； r③平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；uuur uuur④三点 A 、 B 、 C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－ a 。

如rr r r（ 3）若例 1：（ 1）若 ab ，则 a b 。

（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

uuur uuuruuur uuur r r r r AB r DC ，则 ABCD 是平行四边形。

（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

（ 5）若 a b,b c ，则r r r r r r ra c 。

（ 6）若 a // b,b //c ，则 a // c 。

其中正确的是 _______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，r r rx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j坐标表示。

高一向量知识点+例题

向量知识点知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

高一向量整合试题带答案

1. 已知向量),2(x a =→，)2,1(-=→b ，且→→⊥b a ，则x 的值是（ A ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． 41 Ｄ．21 2．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ D ） A ．030 B ．060 C ．075 D ．0453. 若向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈，则a b -=( C )A. 2-或0B. 25C. 2或25D. 2或104.已知向量12(,)a =，23(,)b =-．若向量c 满足()c a b +∥，()c a b ⊥+，则c =（A ）77(,)93 （B ）77(,)39-- （C ）77(,)39 （D ）77(,)93--5．若)7,4(),3,2(-==b a ，则a 在b 方向上的正射影的数量为（ B ）A ．13B ．565C ．513D ．656．设),3,4(),,3(=-=b m a 若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是（ B ）A ．494-≠≠m m 且 B ．494-≠<m m 且 C ．4>m D ．4<m 12．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP，则向量21P P 长度的最大值是（ C ）A ．2B ．3C ．23D ．3211．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==. 令a ⊙.b mq np =-下面说法错误的是（ B ）A ．若a 与b 共线，则a ⊙0b =B ．a ⊙b b =⊙aC ．对任意的,()R a λλ∈有⊙(b a λ=⊙)bD ．(a ⊙222)()||||b a b a b 2+⋅=12．已知||2sin15,||4cos15a b ︒︒==， ,30a b ︒<>=，则b a ⋅的值为（ A ）A ．B ．C ．3D ．113．已知b a 、是两个非零向量，且||||||b a b a -==，则b a a +与的夹角为（ A ）A ．︒30B ．︒60C ．︒90D ．︒15014.定义： |a ×b |=|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |=2, |b | =3, a ·b = - 4,则|a ×b |=2根号515．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 120 度．三、坐标几何综合（向量的平方等于模的平方）16．平面向量a 与b 的夹角为060，20(,)a =，1b = 则2a b +=（A (B)四、线性运算（中线，重心，外心，内心，垂心）17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（A ）（A ）0PC PA += （B ）0PA PB += （C ）0PB PC += （D ）0PA PB PC ++= 118.在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DE ( B ) A ．b 21+a 41 B ．b 21+a 43 C ．b 21-a 41 D ．b 21-a 43 192 .若等边ABC ∆的边长为32,平面内一点M 满足→→→+=CA CB CM 3261,则=•→→MB MA （ 18 ）A.－１B.－２C.１D. ２ 20. 已知非零向量.21||||0||||(==+AC AC AB AB BC AC AC AB AB AC AB 满足与则△ABC 为（ A ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形21. O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,[)0,λ∈+∞,则P 的轨迹一定通过ABC 的（ C ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心22．若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ B ）A ．1B ．1-C ． 12D ．12- 23．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++= PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次是ABC ∆的（ C ）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、，内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心）24．在△ABC 中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上,且满足PM PA 2-=，则()PA PB PC ⋅+=（ D ）A. 49B. 43-C. 43D. 49-五、三点共线25.直角坐标系xoy 中，A （3，1），B 13(,)-，若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为直线；26. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是 2 。

(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

高一向量知识点例题

高一向量知识点例题向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理等领域。

在高一数学学习中，向量作为一个重要的知识点，需要我们掌握其相关的概念、性质和运算法则。

下面将通过例题的形式，来进一步了解高一向量知识点。

例题1：设向量a=3i-2j，向量b=5i+4j，求向量a和向量b的和向量c。

解析：向量的加法运算是指将两个向量对应的分量相加，得到一个新的向量。

对于向量a=3i-2j，向量b=5i+4j，它们的和向量c的i、j分量分别为：c的i分量：3+5=8c的j分量：-2+4=2因此，向量a和向量b的和向量c为8i+2j。

例题2：已知向量a和向量b的模分别为|a|=3，|b|=4，且向量a与向量b的夹角为60°，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积是指将两个向量对应分量相乘后相加所得到的一个数值。

根据向量的数量积公式和已知条件，我们可以得到：|a·b|=|a|·|b|·cosθ其中，θ为向量a与向量b夹角的余弦值。

由题意可知，θ=60°，并且|a|=3，|b|=4，代入公式中，我们可以得到：|a·b|=3·4·cos60°=3·4·(1/2)=6因此，向量a与向量b的数量积为6。

例题3：已知有向线段AB的坐标分别为A（1，2）和B（3，4），求线段AB的向量表示。

解析：线段AB的坐标表示为A（1，2）和B（3，4），我们可以根据坐标的差值来表示线段的向量。

线段的向量表示为终点减去起点，即向量AB=B-A。

根据已知条件，我们可以得到：向量AB=(3-1)i+(4-2)j=2i+2j因此，线段AB的向量表示为2i+2j。

通过以上例题的介绍，我们对高一向量的知识点有了更深一步的了解。

向量的加法、数量积以及向量的表示是高一向量知识点的重点内容。

希望同学们能够通过不断的练习和思考，掌握好这些知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

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向量
一、平面向量的加法和乘积
r r r r
1、向量加法的交换律：
a b
b a
r r r r r r
2、向量加法的结合律： ( a b) c a (b c)
( r ( r 3、向量乘积的结合律：
a) )a (
r r r 4、向量乘积的第一分配律：
)a a a 5、向量乘积的第二分配律：二、平面向量的基本定理
r r
r r (a b) a b
ur ur r
如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一
a ，有且只
r ur ur
有一对实数
1、 2 ，使得
a 1 e 1 2 e 2 。

ur ur
（1）我们把不是共线的 e 、 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
1 2
（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；
r ur ur
（3）由定理可以将平面内任一
a 在给出基底 e 1 、 e 2 的条件下进行分解；
r ur ur
（4）基底给定时，分解形式是唯一的， 1 、 2 是被 a 、 e 1 、 e 2 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算
r r r r r r
1、已知 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b ( x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ， a b (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) ， r r a b (x 1x 2 , y 1 y 2 ) 。

uur uur uur
2、已知 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，则 AB OB OA (x 2 , y 2 ) (x 1, y 1 ) ( x 2 x 1, y 2 y 1) 。

r r
3、已知 a
(x 1, y 1 )
和实数
，则
a
( x 1 , y 1) ( x 1, y 1)。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件 1、平行（共线）：
r r
r
r 基本定理： a 、 b 互相平行的充要条件是存在一个实数
，使得 a b 。

定理：已知 2、垂直：
r r r r
a ( x 1 , y 1 ) ，
b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 x 2 y 1 0 。

r r
r r
基本定理： a 、 b 互相垂直的充要条件是 a b
0 。

r r r r
定理：已知 a ( x , y ) ， b ( x , y ) ，则 a ⊥ b 的充要条件是 x 1 x 2 y 1 y 2
0 。

1
1
2
2
五、平面向量的数量积
r r r r r r
定义：非零向量 a 、 b ，它们之间的夹角为，则 a b cos 就称作 a 与 b 的数量积，记作
r r
r r r r 0
a b ，即有 a b a b cos ，。

r r r r
性质：非零向量 a 、 b 的夹角为， e 是与 b 同向的单位向量，那么
r r r r r
（1） a e e a a cos ； r r r r
0 ；
（2） a b
a b
r r r 2 r r r （3） a a
a 或 a a a ；
r r
（4） cos
a b
；
r
r
a b
r r r r （5） a b
a b 。

数乘结合律： ( r
r r r r ( r a) b (a b) a b)
r r r r r r r 分配律： ( a b) c a c b c
六、向量的长度、距离和夹角公式
r (x
r 2
r
x 2 y 2
（1）已知 a , y ) ，则 a
x 2
y 2
，即 a。

（长度公式）
1
1
uur
x 1 )2 ( y 2 y 1 )2 。

（2）已知 A( x 1, y 1) ，B( x 2 , y 2 ) ，则 AB ( x 2 x 1, y 2 y 1) ，AB
( x 2
（距离公式）
r r
（3）已知 a (x 1, y 1 ) ， b (x 2 , y 2 ) ，它们之间的夹角为，则
r r cos a b x 1 x 2 y 1 y 2 ， 0。

（夹角公式）
r r x 12 x 22 y 12 y 22
a b
高一数学《平面向量》单元测试
一、选择题 (共 8 小题 ,每题 5 分)
1. 下列命题正确的是（）
A ．单位向量都相等
B ．任一向量与它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共线向量 D ．模为0的向量与任意向量共线
2．已知向量 a＝（ 3,4）， b＝（ sinα， cosα），且 a∥ b，则 tanα等于（）
3
B．3 4
D．
4
A ．
4 C．
3
4 3
3．在以下关于向量的命题中，不正确的是（）
A ．若向量 a=(x， y)，向量 b=(－ y， x)(x、 y≠ 0)，则 a⊥ b
B ．四边形 ABCD 是菱形的充要条件是AB =DC，且|AB |=|AD |
C．点 G 是△ ABC 的重心，则GA + GB + CG =0
D．△ ABC 中，AB和CA的夹角等于 180°－ A
4．设 P（3， 6）， Q（5， 2）， R 的纵坐标为9，且 P、Q、R 三点共线，则R 点的横坐标为（）
A ． 9 B． 6 C． 9 D． 6
r r r r r r r r r
)
5．若| a | 1,|b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为(
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．在△ ABC 中， A ＞ B 是 sinA＞ sinB 成立的什么条件（）
A ．充分不必要
B ．必要不充分C．充要 D ．既不充分也不必要
7．若将函数y sin 2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y sin(2x
4
)-1的图象, 则向量 a 可以是：（）A．( , 1) B．( ,1) C．( ,1) D．( , 1)
8 8 4 4
8．在△ ABC 中，已知| AB | 4,| AC | 1,S ABC 3, 则 AB AC 的值为（）A．－2 B． 2 C．± 4 D．±2
二、填空题 (共 4 小题 ,每题 5 分)
9．已知向量a、b的模分别为3，4，则｜a - b｜的取值范围为．
10．已知r r r
120O而
r r
2，则e
为一单位向量， a 与e之间的夹角是
a
在 e 方向上的投影为－
r ,
a .
11．设e1、e2是两个单位向量，它们的夹角是60 ，则(2e1e2) ( 3e1 2e2 )
12．在 ABC 中， a =5， b= 3,C= 1200 ,则sin A
三、解答题 (共 40 分)
13．设 e 1 , e 2 是两个垂直的单位向量，且 a (2e 1 e 2 ) ,b e 1e 2
(1)若 a ∥ b ，求的值；
(2)若 a b ，求
的值 .（12 分）
14．设函数 f ( x) a b ，其中向量 a =(2cosx ， 1)， b =(cos x ， 3 sin2x)，x ∈R.
（1）若 f(x)=1－
3 且 x ∈ [－
， ]，求 x ；
（2）若函数 y=2sin2x 的图象按向量
3 3
c =(m ， n) (|m|< )平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数 m 、 n 的值 . （ 14 分）
2
15. 已知△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，向量
m (cos C , sin C ) ， n (cos C , sin C
) ，且 m 与n 的夹角为 .
2 2 2 2 3
7 3 3 a b 的值 . （ 14 分）（1）求角 C 的值；（ 2）已知 c
，△ ABC 的面积 S
，求
2 2。