第五章刚体转动解析
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第5章-刚体的转动
2 l 2 d 2
（3）对过B点的轴
z
平行轴定理： J J md 2 C
在一系列的平行轴中，对质心 的转动惯量最小。 此定理可用于任何形状的刚体， 但必须是平行轴。 证明：
C
ri
mi
ri
m
O
C
i
J mi ri
i
2
d
mi ri mi d 2 mi ri d d i i i mi ri i 2 J C m d 2m 0 rC d m 2 J md
2 2
C
[例2] 求质量均匀分布的薄圆环的转动惯量，转轴与
圆环平面垂直且通过圆心。设圆环半径为R，质量为m。
O
R
[例3] 求质量均匀分布的圆盘的转动惯量，转轴与圆 盘平面垂直且通过圆心。设圆盘半径为R，质量为m。
O
R
§5-4 转动定律的应用
Applications of the Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
应用举例：
[例1] 一不可伸长的轻质细绳，跨 过一质量为m半径为 r、轴承光滑的定滑 轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的 物体（m1 < m2），如图所示。滑轮视为 匀质圆盘。试求物体的加速度和绳中的 拉力。 解：m1和m2是质点，m是定轴刚体。
因绳不可伸长，有 a1 a2 列方程：
m
a1
Fr sin d Md
A Md
0
ห้องสมุดไป่ตู้
P r F dr O d
力矩的功本质也是力对位移的累积。
（3）对过B点的轴
z
平行轴定理： J J md 2 C
在一系列的平行轴中，对质心 的转动惯量最小。 此定理可用于任何形状的刚体， 但必须是平行轴。 证明：
C
ri
mi
ri
m
O
C
i
J mi ri
i
2
d
mi ri mi d 2 mi ri d d i i i mi ri i 2 J C m d 2m 0 rC d m 2 J md
2 2
C
[例2] 求质量均匀分布的薄圆环的转动惯量，转轴与
圆环平面垂直且通过圆心。设圆环半径为R，质量为m。
O
R
[例3] 求质量均匀分布的圆盘的转动惯量，转轴与圆 盘平面垂直且通过圆心。设圆盘半径为R，质量为m。
O
R
§5-4 转动定律的应用
Applications of the Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis
应用举例：
[例1] 一不可伸长的轻质细绳，跨 过一质量为m半径为 r、轴承光滑的定滑 轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的 物体（m1 < m2），如图所示。滑轮视为 匀质圆盘。试求物体的加速度和绳中的 拉力。 解：m1和m2是质点，m是定轴刚体。
因绳不可伸长，有 a1 a2 列方程：
m
a1
Fr sin d Md
A Md
0
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P r F dr O d
力矩的功本质也是力对位移的累积。
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
53刚体定轴转动定律解析课件
k
Fz
F
O r
F
M z rF sin θ
2）合力 矩等 于各 分力 矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
M = rF sinθ = Fd M ij M ji
ml 2
O
绕杆的一端转动惯量为：
O´
l
J
1
ml
2
m
l
2
1 ml 2
12
2 3
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
17
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
J L1
1 3
mL L2，
JO
1 2
mO R2
mO
mL O’•
3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。
27
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动） 求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，物体的
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2
l
l
m
·c
r
m
ol
= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
Fz
F
O r
F
M z rF sin θ
2）合力 矩等 于各 分力 矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
M = rF sinθ = Fd M ij M ji
ml 2
O
绕杆的一端转动惯量为：
O´
l
J
1
ml
2
m
l
2
1 ml 2
12
2 3
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
17
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
J L1
1 3
mL L2，
JO
1 2
mO R2
mO
mL O’•
3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。
27
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动） 求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为μ时，物体的
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2
l
l
m
·c
r
m
ol
= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
大学物理第05章-刚体的转动
轴承光滑，在不太长的 时间内，空气与轴摩擦 阻力的冲量矩和回转仪 的角动量相比是很小的!
可近似认为:
角动量守恒，矢量方向 不变表现为转轴方向不 变，大小不变表现为回 转仪的恒定角速率转动
军舰的稳定性
例8. 质量为M0，半径为R的转盘,可绕铅直轴无摩擦转 动,初角速度为零,一质量为m的人,在转盘上从静止开 始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示.求当 人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘相对地 面转过的角度。
mi Ri vi
sin
z
v i
mi
ri
Ri
Li
O
y
x
Liz
mi ri vi
mi ri 2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J z miri2
i
kg m2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
解 dM dF r dmg r
dm
m
R2
2
r
dr
2mrdr R2
dr r o R
dM
2mgr 2dr
R2
M
dM
R 0
2 mgr 2dr
R2
2 3
mgR
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt 3R d 4 g
dt
2 mr2d 0
(mr 2
1 2
M
0
R2
)
可近似认为:
角动量守恒，矢量方向 不变表现为转轴方向不 变，大小不变表现为回 转仪的恒定角速率转动
军舰的稳定性
例8. 质量为M0，半径为R的转盘,可绕铅直轴无摩擦转 动,初角速度为零,一质量为m的人,在转盘上从静止开 始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示.求当 人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘相对地 面转过的角度。
mi Ri vi
sin
z
v i
mi
ri
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O
y
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mi ri vi
mi ri 2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
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令 J z miri2
i
kg m2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
解 dM dF r dmg r
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m
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2
r
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2mrdr R2
dr r o R
dM
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R2
M
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R2
2 3
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M J d
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3
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2 mr2d 0
(mr 2
1 2
M
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R2
)
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2
§5.1 刚体的运动
一. 刚体（rigid body）的概念
由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：
F
t ABC
t +t 才 感受到力
固体中弹性波的速度 v k （k—劲度）
若 v ，则 k ，此时物体有无限的刚性， 它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。
我们把这种不能变形的物体称为刚体。 3
第五章 刚体定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
1
本章目录
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体的定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用举例 §5.5 定轴转动中的功能关系 §5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.7 旋进
O
v0= 0
滑动，下落时间 t =3s。
绳m
求：轮对 O 轴 J =？
（不可伸长）t h
解： 动力学关系：
对轮： T R J (1)
N
α
T =′–T
对m： mg T ma
(2)
· R
a
m
运动学 a R
关系： h 1 at 2
(3) (4)
GT
mg
2
18
(1)~(4)联立解得： J ( gt2 1)mR 2
R m
薄球壳
R
J 2 mR2 球体
m
3
J 1 mL2 3
J mR2 J 1 mR2
2
J
2
15
mR
2
5
4. 计算转动惯量的几条规律 ①对同一轴J具有可叠加性
J Ji
②平行轴定理 J JC md2
（证明见书P260—P262） JC Jmin
JC
J
m
C× d
平行
16
例：
L
c
m L
8
刚体定轴转动的描述
(1). 定轴转动的角量描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
角加速度：
dt
d
dt
d 2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢 量，定轴转动中方向沿转轴 的方向。角速度方向并满足 右手螺旋定则。
(2). 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
4.刚体定点转动 刚体运动时，始终绕一固定点转动.
5. 刚体的一般运动
O
刚体的一般运动可视为随刚体上
某一基点A的平动和绕该点的定点
转动的合成.
O
O
7
例如：
或
· O
O
· ·O
·O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。 动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题） 1.定点转动（rotation abtion about a fixed axis）
m
Jc
1 mL2 12
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
12
23
3.对薄平板刚体的正交轴定理
如图 Jz miri2
z
mi xi2 mi yi2
O xi
ri
yi
y
即
Jz Jx Jy
x
Δmi
17
§5.4 转动定律应用举例
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
i
（rotational inertia）11
则
Lz J z
M外z
d Lz dt
Jz
d
dt
z ω,α ri vi•ΔmFθi ii
即
M外z J z
—转动定律
刚体
O×
ri
其中 M外z Firi sin i
i
定轴
定轴情况下，可不写下标 z ，记作：
M J
与牛顿第二定律相比，有：
M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有 实际的意义。
通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动 过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。
刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对 位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体， 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一 般的质点系有所简化。
4
二、 刚体运动的几种形式
刚体获得角加速度的原因？
10
§5.2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的质点系。
z ω,
vi
Fi
M外
dL dt
(对 O 点)
ri •Δmi
M外z
d Lz dt
(对 z 轴)
刚体
O×
ri
定轴
Lz Liz miv iri
i
i
( mi ri2 )
i
令 J z
mi
ri
2
—转动惯量（对z轴）
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
5
2.定轴转动 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
13
M J d J
dt
转动惯量：
J r2dm
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
14
3. 常用的几种转动惯量表示式
L
细棒
L
细棒
m
薄圆环 R
或薄圆筒
m J 1 mL2
12
m
圆盘或 圆柱体
为刚体的转动。这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定z不动的转动。
O
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
6
3.平面平行运动
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。
12
§5.3 转动惯量的计算
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。
2. 转动惯量的计算 J miri2
连续体： J r 2dm
dm
mr
在（SI）中，J 的单位：kgm2
转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及 质量相对于给定轴的分布有关。
转轴
注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。
9
3、匀变速转动的公式
在刚体作匀角加 速转动时，=常数， 有以下相应的公式:
在质点作匀加速直 线运动时，a =常数， 有以下相应的公式:
θ
θ0
ω0 t
1 2
βt 2
x
x0
v0t
1 at 2 2
ω ω0 βt v v0 at
ω2 ω0 2 2βθ θ0 vt 2 v02 2a( x x0 )
§5.1 刚体的运动
一. 刚体（rigid body）的概念
由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：
F
t ABC
t +t 才 感受到力
固体中弹性波的速度 v k （k—劲度）
若 v ，则 k ，此时物体有无限的刚性， 它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。
我们把这种不能变形的物体称为刚体。 3
第五章 刚体定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
1
本章目录
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体的定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用举例 §5.5 定轴转动中的功能关系 §5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.7 旋进
O
v0= 0
滑动，下落时间 t =3s。
绳m
求：轮对 O 轴 J =？
（不可伸长）t h
解： 动力学关系：
对轮： T R J (1)
N
α
T =′–T
对m： mg T ma
(2)
· R
a
m
运动学 a R
关系： h 1 at 2
(3) (4)
GT
mg
2
18
(1)~(4)联立解得： J ( gt2 1)mR 2
R m
薄球壳
R
J 2 mR2 球体
m
3
J 1 mL2 3
J mR2 J 1 mR2
2
J
2
15
mR
2
5
4. 计算转动惯量的几条规律 ①对同一轴J具有可叠加性
J Ji
②平行轴定理 J JC md2
（证明见书P260—P262） JC Jmin
JC
J
m
C× d
平行
16
例：
L
c
m L
8
刚体定轴转动的描述
(1). 定轴转动的角量描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
角加速度：
dt
d
dt
d 2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢 量，定轴转动中方向沿转轴 的方向。角速度方向并满足 右手螺旋定则。
(2). 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
4.刚体定点转动 刚体运动时，始终绕一固定点转动.
5. 刚体的一般运动
O
刚体的一般运动可视为随刚体上
某一基点A的平动和绕该点的定点
转动的合成.
O
O
7
例如：
或
· O
O
· ·O
·O
两种分解，基点选取不同， 平动可以不同，转动却相同， 转动与基点的选取无关。 动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题） 1.定点转动（rotation abtion about a fixed axis）
m
Jc
1 mL2 12
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
12
23
3.对薄平板刚体的正交轴定理
如图 Jz miri2
z
mi xi2 mi yi2
O xi
ri
yi
y
即
Jz Jx Jy
x
Δmi
17
§5.4 转动定律应用举例
R· 定轴
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m， 绳轮间无相对
i
（rotational inertia）11
则
Lz J z
M外z
d Lz dt
Jz
d
dt
z ω,α ri vi•ΔmFθi ii
即
M外z J z
—转动定律
刚体
O×
ri
其中 M外z Firi sin i
i
定轴
定轴情况下，可不写下标 z ，记作：
M J
与牛顿第二定律相比，有：
M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有 实际的意义。
通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动 过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。
刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对 位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体， 而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一 般的质点系有所简化。
4
二、 刚体运动的几种形式
刚体获得角加速度的原因？
10
§5.2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的质点系。
z ω,
vi
Fi
M外
dL dt
(对 O 点)
ri •Δmi
M外z
d Lz dt
(对 z 轴)
刚体
O×
ri
定轴
Lz Liz miv iri
i
i
( mi ri2 )
i
令 J z
mi
ri
2
—转动惯量（对z轴）
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
5
2.定轴转动 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
13
M J d J
dt
转动惯量：
J r2dm
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
14
3. 常用的几种转动惯量表示式
L
细棒
L
细棒
m
薄圆环 R
或薄圆筒
m J 1 mL2
12
m
圆盘或 圆柱体
为刚体的转动。这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定z不动的转动。
O
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
6
3.平面平行运动
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。
12
§5.3 转动惯量的计算
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。
2. 转动惯量的计算 J miri2
连续体： J r 2dm
dm
mr
在（SI）中，J 的单位：kgm2
转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及 质量相对于给定轴的分布有关。
转轴
注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。
9
3、匀变速转动的公式
在刚体作匀角加 速转动时，=常数， 有以下相应的公式:
在质点作匀加速直 线运动时，a =常数， 有以下相应的公式:
θ
θ0
ω0 t
1 2
βt 2
x
x0
v0t
1 at 2 2
ω ω0 βt v v0 at
ω2 ω0 2 2βθ θ0 vt 2 v02 2a( x x0 )