2019年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 解析版

2019年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．±162．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×1053．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a74．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a元，则下列结论中正确的是（）A．200≤a≤220B．220≤a≤240C．240≤a≤260D．260≤a≤280 6．A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（）A．5B．4C．3D．2二、填空题7．﹣3的绝对值是．8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算﹣的结果是．10．方程＝的解是．11．正五边形每个外角的大小是度．12．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是2，则另一根是，m＝．13．如图，AB∥EG∥CD，EF平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝°．14．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝°．16．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为．三、解答题17．解不等式组．18．计算19．（1）解方程x2﹣x﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x2﹣x﹣1的结果为．20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．23．已知点A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：（1）当售价为每件60元时，当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元．①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：．②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，水面BC宽16米，表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P 的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y＝的图象．特别地，因为y＝图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝1的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y＝（c为常数）的大致图象．2019年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．±16【分析】依据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a7【分析】依据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：（﹣a）2•（a2）3＝a2•a6＝a8，故选：A．【点评】本题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法法则的应用，幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．4．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】根据三角形中位线的性质得到EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，可得四边形EFGH为平行四边形，要得到四边形EFGH为菱形，则EH＝EF，而EF＝BD，所以当AC＝BD时可得到四边形EFGH为菱形．【解答】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，∴四边形EFGH为平行四边形，当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，又∵EF＝BD，若EH＝EF，则AC＝BD．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a元，则下列结论中正确的是（）A．200≤a≤220B．220≤a≤240C．240≤a≤260D．260≤a≤280【分析】首先根据条形统计图得出每个月交通费的取值范围，再根据平均数的定义求出a 的范围即可．【解答】解：设i月份的交通费为x i（1≤i≤12，且i为整数）．由图可知，240＜x1≤250，260＜x2＜270，280＜x3＜300，280＜x4＜290，260＜x5＜280，240＜x6＜250，240＜x7＜260，230＜x8＜240，180＜x9＜190，200＜x10＜210，240＜x11＜250，270＜x12＜280，则（240+260+280+280+260+240+240+230+180+200+240+270）＜a＜（250+270+300+290+280+250+260+240+190+210+250+280），解得243＜a＜255，综观各选项，只有C符合．故选：C．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了算术平均数．6．A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】相距200km要从相遇前和相遇后；追及前和追及后考虑，共计4种情况，经计算检验数据是否符合题意．【解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得：①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，相距200km时，则有：200t+75t+200＝900，解得：t＝；②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，相距200km时，200t+75t﹣200＝900，解得：t＝4；③快车从A地到B地全程需要4.5小时，此时慢车从B地到A地行驶4.5×75＝337.5km，∵337.5＞200∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有：75t＝200+200（t﹣4.5），解得：t＝；④快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了9×75＝675km，距终点还需行驶25km，则有：75t＝900﹣200解得：t＝．综合所述两车恰好相距200km的次数为4次．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程行程方面的应用题，主要是相遇和追及问题，同时需分类要做到不重不漏．二、填空题7．﹣3的绝对值是3．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：﹣3的绝对值是3．【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．计算﹣的结果是2．【分析】先二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣＝2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．方程＝的解是x＝﹣4．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x＝2x+4，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解，故答案为：x＝﹣4【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．正五边形每个外角的大小是72度．【分析】根据n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°，求出正五边形每个外角的大小是多少度即可．【解答】解：∵360÷5＝72（度），∴正五边形每个外角的大小是72度．故答案为：72．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．12．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是2，则另一根是x＝﹣1，m＝﹣1．【分析】直接把x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0求出m的值，利用根与系数的关系求得方程的另一根．【解答】解：把x＝2代入，得22+2m﹣2＝0．解得m＝﹣1．设方程的另一根为x，则2x＝﹣2．所以x＝﹣1．故答案是：x＝﹣1；﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．如图，AB∥EG∥CD，EF平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝27°．【分析】根据平行线的性质求出∠GED＝∠D，∠B＝∠BEG，根据角平分线的定义求出∠BEF＝∠DEF，即可求出答案．【解答】解：∵AB∥EG∥CD，∠D＝69°，∴∠GED＝∠D＝69°，∵∠GEF＝21°，∴∠DEF＝∠GED﹣∠GEF＝48°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF＝48°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝48°﹣21°＝27°，∵ABB∥EG，∴∠B＝∠BEG＝27°，故答案为：27．【点评】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，能根据平行线的性质求出∠GED ＝∠D和∠B＝∠BEG是解此题的关键．14．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝2．【分析】先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．【解答】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP＝＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝64°．【分析】连接BD、BC，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝∠ADC，根据切线的性质得出∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出84°+∠ADC+∠ADC＝180°，解得即可．【解答】解：连接BD、BC，∵B是的中点，∴＝，∴，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠EBC＝∠ADC，∵EC是⊙O的切线，切点为C，∴∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，∴84°+∠ADC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝64°．故答案为64．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角的定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为．【分析】分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，利用线段垂直平分线的性质，结合PC≤PA≤PB的条件，判断点P在△DEF内部（含边界），再利直角三角形的性质求解；【解答】解：分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，∵若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，∴点P在△DEF内部（含边界），∵DE⊥AC，EF⊥AB，∴△DEF是直角三角形，△AEF是直角三角形，∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AD＝2，AE＝2.5，DE＝1.5，∵AE2＝AD•AF，∴AF＝，∴DF＝，∴△DEF的面积为××＝；【点评】本题考查动点轨迹，直角三角形性质，线段垂直平分线性质；能够结合条件判断点的运动轨迹是直角三角形是解题的关键．三、解答题17．解不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤1，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤1．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．计算【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（1）解方程x2﹣x﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x2﹣x﹣1的结果为＝（x﹣）（x﹣）．【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）根据（1）中方程的解分解即可．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，x＝，x1＝，x2＝；（2）∵方程x2﹣x﹣1＝0的解x1＝，x2＝；∴x2﹣x﹣1＝（x﹣）（x﹣），故答案为：（x﹣）（x﹣）．【点评】本题考查了分解因式和解一元二次方程，能求出方程的解是解此题的关键．20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．【分析】（1）用“SSS”证明即可；（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB＝∠EAC，再利用三角形内角和定理求出∠DEB＝∠DAB，即可说明∠EAC＝∠DEB．【解答】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SSS）；（2）由△ABC≌△ADE，则∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC．∴∠DAE﹣∠ABE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．设AB和DE交于点O，∵∠DOA＝BOE，∠D＝∠B，∴∠DEB＝∠DAB．∴∠EAC＝∠DEB．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为．【分析】（1）根据概率公式即可得出结果；（2）根据概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）摸出两个球都是红球的概率＝＝；答：摸出两个球都是红球的概率为；（2）他俩都任教七（1）班的概率＝×＝，答：他俩都任教七（1）班的概率为．故答案为：．【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．【分析】（1）根据题意和统计图中的信息可以计算出到第二周结束时是赚还是赔，本题得以解决；（2）根据统计图中的信息可以帮助妈妈此次投资金融产品提出合理性建议．【解答】解：（1）这种说法不对，理由：设开始投资x元，则两周结束时的总资产为：x（1+2%）（1﹣2%）＝0.9996x≠x，故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；（2）选择A产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但A产品波动较小，方差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故选择A产品．【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．已知点A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）【分析】方法一：设AB两点所在直线的解析式为y＝kx+b，将A（1，1），B（2，3）代入可得函数解析式，进而得出点C也在直线AB上即可；方法二：依据两点间距离公式即可得到AB+BC＝AC，进而得出A、B、C三点在一条直线上．【解答】解：A、B、C三点在一条直线上．方法一：设AB两点所在直线的解析式为y＝kx+b，将A（1，1），B（2，3）代入可得，，解得，∴y＝2x﹣1，当x＝4时，y＝7，∴点C也在直线AB上，即A、B、C三点在一条直线上．方法二：∵A（1，1），B（2，3），C（4，7），∴AB＝＝，AC＝＝3，BC＝＝2，∴AB+BC＝AC，∴A、B、C三点在一条直线上．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出∠GDE＝∠FBH，根据直角三角形斜边上中线性质求出EG＝FH，求出EG∥FH，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质得出∠EHF＝∠BFC＝90°，证△EFH∽△CBF，根据相似得出＝，求出BE，证△ABE≌△CDF，求出BE＝DF，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：（1）当售价为每件60元时，当天售出300件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元．①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：y＝10x2﹣500x+6000．②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？【分析】（1）销售件数＝当天销售利润÷每件利润的单价；（2）①先通过已知数据，找出每增加1元，减少的销售件数，然后销售利润＝每件利润×销售件数；②根据①中的关系，列出不等式即可．【解答】解：（1）6000÷（60﹣40）＝300件；故答案为：300（2）①当每件收件61元，销售件数：6090÷（61﹣40）＝290件；当每件收件62元，销售件数：6160÷（62﹣40）＝280件；当每件收件63元，销售件数：62100÷（63﹣40）＝270件；可以看出，售价每增加1元，销售减少10件，y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝10x2﹣500x+6000．故答案为：y＝10x2﹣500x+6000．②10x2﹣500x+6000≠6200，x无整数解，故无论如何定价，都能使天的销售利润不等于6200元【点评】本题考查了二次函数的实际应用，将实际问题转化成函数关系式解答此题的关键．26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，水面BC宽16米，表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P 的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．【分析】（1）在上取一点D，作线段BD，BC的垂直平分线交于点O，作点O关于BC的对称点O′，以O′为圆心，O′B为半径画弧即可解决问题．（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．构建方程求出x即可解决问题．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．【解答】解：（1）如图所示：（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．∵tan37°＝＝，∴AC＝x，∵tan45°＝＝1，∴BC＝PC＝x，∴AB＝AC﹣BC＝x﹣x＝0.2×4，解得x＝2.4，∴PE＝2.4+1.6＝4（米）．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．由①可知：OB＝10，∠BOC＝106°，＝﹣×16×＝﹣48，∴S弓形∴S ＝2S 弓形＝﹣96．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y ＝x 的图象经过倒数变换后可得到y ＝的图象．特别地，因为y ＝图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y ＝1的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y ＝﹣x +1的图象和它经过倒数变换后的图象． （2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可． ②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y ＝（c 为常数）的大致图象．【分析】（1）画出y ＝的图象；（2）猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；（3）分三种情况画图：①c ＝0②c ＞0③c ＜0；【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y ＝﹣x +1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：（2）①猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；②猜想一：因为只有1和﹣1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或﹣1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或﹣1，即两个函数图象的交点．（3）当c＝时，当c＞0时，当c＜0时，【点评】本题考查函数的变换．理解倒数函数的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．。