【大学物理 东南大学】平面简谐波函数

y Acos[2π ( t x ) ]
T
y (3102 m) cos2π (
t
x)
0.5s 10m
u
8m 5m
9m
C
B oA
Dx
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
B A
B π
2π
xB xA
2π
5 10
π
yB (3102 m) cos[(4π s1)t π ]
2.0 2.0 2
y (1.0) cos[π π x]
2
t 1.0s
sin πx (m)
波形方程
y/m
1.0
O
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图
y (1.0) cos[2 π( t x ) π] 2.0 2.0 2
x 0.5m处质点的振动方程
Dx
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差 yA (3102 m) cos(4 π s1)t
B C
2 π xB xC
2 π 8 10
1.6 π
C
D
2 π
xC
xD
2 π 22 10
4.4 π
u
10m
C
8m 5m
9m
B oA
10m
Dx
例3 、已知平面简谐波的某一图形，写出 波函数
y cos[(π s1)t π] (m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
O 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0 * 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
例2 一平面简谐波以速度 u 20m s沿-1
直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t) ; ( y, t单位分别为m，s).
x u
A
cos2π
t T
x
A cos(t kx )
从实质上看：波动是振动（相位）的传播.
(t, x) t kx (x) (0, x) kx (x 0) (t 0, x 0)
y Acos(t kx )
y A cos[(t t0 ) k (x x0 ) (t0 , x0 )]
问题：若已知 （１）任一时刻的波形图 （２）任一点振动图 （３）波形传播图
求波动方程（波函数）
例1 一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播，
已知振幅A 1.0m，T 2.0，s 2.0.m在 t 0时
坐标原点处的质点在平衡位置沿 O轴y正向 运 动. 求： (1)波动方程；(2) t 1.0s波形图； (3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图.
设图示为平面简谐波在 波形图，求该波的波动方程。
播，且 u 4.0m s1
解：由图上直接读出
t0
时刻的
已知波沿 ox 轴正方向传
y(102 m)
A 0.10m
10
0.04m 所以 T 0.01s
u
0.5 o 5
y
A
8m
(3102 m)
5m
9m
cos(41π0sm1
)t
C
B oA
Dx
点 D 的相位落后于点 A
yD
(3102 m) cos[(4 π s1)t
2π
AD ]
(3102 m) cos[(4 π s1)t 9 π]
5
u
y
A
8m
(3102 m)
5m
9m
cos(41π0sm1
)t
10m
C
B oA
2 t一定 x变化 y Acost kx
令 t C（定值）
则 y Acos kx
该方程表示 t时刻波传播方向上各质点 的位移, 即t时刻的波形（y x的关系）
y
o
x
3 x、 t都变
方程表示在不同时刻各质点的位移，即 不同时刻的波形，体现了波的传播.
yu
O
x
从形式上看：波动是波形的传播.
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
y A
u
P
x
O
x
A
位P点移比是OO点点的在振t 动t落时后刻t的 u位x ,移P，点由在此t 得时刻的
yP yO (t Δt) Acosωt Δt φ
若已知的振动点不位于坐标原点ｏ,是距ｏ为x0
的Q，且
y Acos[t ] 那么任一点ｐ的振动
即
yp
A cos [(t
r) u
]
y Acos[(t x x0 ) ]
u
O
Q
P
x0 r x x0
x
波函数 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；
(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
u
8m 5m
9m
C
B oA
Dx
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3102 m T 0.5s 0
uT 10m
y (3102 m) cos[2π ( t x ) π ]
0.5s 10m
u
8m 5m
9m
C
oB A
Dx
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点102 m) cos[(4 π s1)t
2π
AC ]
(3102 m) cos[(4 π s1)t 13 π] 5
u
解 (1) 写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t x ) ] T
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0 π
t
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
O
y
A
(2)求 t 1.0s波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
t
u
a
2 t
y
2
2
A cos[ (t
x) u
]
四、 波函数的物理含义
1 x一定，t变化 y Acost kx
令 (x) kx
y
则 y Acost (x) O
t
表示x点处质点的振动方程（ y t的关系）
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
A cos t
x u
沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数.
沿 x轴方向传播的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
P点振动比O点超前了 Δt x u
故P点的振动方程（波函数）为：
y
yo
t
t
Acos
t
x u
利用 2π 2πν
T
uT 和
k 2
可得波函数的几种不同形式：
y
A cos t