算术平均数与几何均数.

算术平均数与几何均数一、教学目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．二、教学重点：不等式的简单运用；三、教学过程：（一）主要知识：1、算术平均数：如果+∈R b a ,，那么2ba +叫做这两个正数的算术平均数。

2、几何平均数：如果+∈R b a ,，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数。

3、定理：如果+∈R b a ,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号） 4、推论：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 5、基本不等式：若+∈R b a ,，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号（二）例题分析：题型1、利用基本不等式比较大小 例1、若()2lg ,lg lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，试比较P ，Q 。

R 的大小。

解：0lg lg ,1>>∴>>b a b a()b a b a lg lg lg lg 21⋅>+，即Q P > 又()b a ab b a ab b a lg lg 21lg 2lg ,2+=>+∴>+，Q R >∴即P Q R >>题型2、利用基本不等式证明不等式例2、已知R c b a ∈,,，求证()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222证明：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a()b a b a b a +≥+≥+∴222222同理()c b c b +≥+∴2222,()a c a c +≥+∴2222 三式相加得()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222练习证明不等式：若1,1,,≤≤∈b a R b a ，则11122≤-+-a b b a证：1212111222222≤-++-+≤-+-a b b a a b b a 例3、已知a,b,c 为不等正数，且abc=1，求证：cb ac b a 111++<++ 证一： a,b,c 为不等正数，且abc=1cb a b ac a c b ab ac bc c b a 111211*********++<+++++<++≤++∴ 证二： a,b,c 为不等正数，且abc=1cb ac ab bc a abc babc ca ba ca bc ab ac bc c b a ++=++>+++++=++=++∴222222111 所以cb ac b a 111++<++ 小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。

练习：已知+∈R b a ,且a+b=1 求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 证一：914412422111111=++≥+⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b b a a b b b a a b a b a 证二：因为+∈R b a ,且a+b=1，所以ab b a 2≥+，21≥∴ab()()()9814141211111111=+≥+=+≥++=+++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴ab ab ab ab b a ab b a ab ab b a b a 题型3、利用基本不等式求最值 例4、（1）已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值。

（2）已知a,b 为实常数，求函数()()22b x a x y -+-=的最小值。

分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。

解（1）045,45>-∴<x x 13234514554124=+-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-+-=∴x x x x y当且仅当xx 45145-=-，即x=1时”=”成立∴当x=1时1max =y（2）()()()2222222b a x b a x b x a x y +++-=-+-=()()22222,22222min b a b a b a b a b a y b a x -=++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=时 另解： ()()()()()()()222222222b a x b a x x b a x b x a x y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≥-+-=-+-= 当且仅当x-a=b-x ，即2ba x +=时，()22min b a y -=结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。

题型4、基本不等式的综合应用例5、已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v 0v ≤)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？ 分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。

解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k>0)，则21kv y = 当v=12时，y 1=720212720⋅=∴k 得k=5设全程燃料费为y ，依题意有3200016864810008648100081000820021≥⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-=-⋅=v v v v v v v y y 当8648-=-v v ，即v=16时取等号 8<v 0v ≤所以当16≥ v 时，v=16时全程燃料费最省当16< v 时，令8648-+-=v v t 任取0218v v v ≤<< 则80,88021<<<-<v v()()08864121<---∴v v()()()088641212121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-∴v v v v t t即8648-+-=v v t 在(] v ,8上为减函数，当v=v 0时，y 取最小值810002- v v综合得：当16≥ v 时，v=16km/h ，全程燃料费最省，32000为元，当16< v 时，当v=v 0时，全程燃料费最省，为810002- v v 元。

另解：当16< v 时，令8648-+-=v v t ()2'8641--+=v t1680<≤<v v()6480,8802<-<<-<∴v v()086412'<--+=∴v t[]0,88648v v v t 在-+-=∴上为减函数 以下相同小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论 判断函数单调性用导数是很有效的方法（三）巩固练习： 1.设,0>>y x 则下列各式中正确的是( )A y xy y x x >>+>2B x xy y x y >>+>2C xy y y x x >>+>2D x xy y x y >≥+>22.下列不等式的证明过程正确的是( )A 若,,R b a ∈则22=⋅≥+ba ab b a a b B 若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+C 若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D 若,-∈R x 则222222=⋅≥+--x x x x3.设实数b a ,满足,0b a <<且,1=+b a 则下列四数中最大的是 ( )A 22b a +B ab 2C aD 1/2 4.在下列结论中,错用重要不等式作依据的是( )A ,,,+∈R z y x 则6y z z x x yx y z +++++≥ B 21222≥++x x C x R +∈，210log lg ≥+x x D 4)11)(1(,≥++∈+aa R a5.已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1B 1/2C 2D 1/46.设ba ,为实数且,3=+b a 则ba 22+的最小值是( )A 6B 24C 22D 627设+∈R b a ,,则在 2)1(≥+b a a b ； (2) ba b a +≤+211(3)ab b a 222≥+； (4)b a b a a b +≥+22这四个不等式中,不正确的有( )A 0个B 1个C 2个D 3个8. 设,,,+∈R c b a 且,1=++c b a 若)11)(11)(11(---=cb a M ,则必有 ( )A 01/8M ≤<B 1/81M ≤<C 81<≤MD 8≥M9. 设n m d c b a ,,,,,都是正数,n d m b nc ma Q cd ab P ++=+=,,则 ( )A Q P ≤B Q P ≥C Q P <D P 与Q 的大小关系与n m ,有关,不能确定.10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 （ ） A ．甲先到B ．乙先到C ．甲乙同时到D ．不能确定参考答案ADACB BBDAA四、小结：1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式2、多次用基本不等式必须保持取“=”的致性3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等这三个条件。

五、作业：。