2020高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第
2讲几何概型分层演练文
一、选择题
1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影
部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A ．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次
为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
2．设a ∈[0，10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为( )
．A 1
5．B
．C
1
8．D
解析：选B ．因为函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a －2＜0，解得
a ＜2，所以函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为＝．
3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心
角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
－2．A
63
π－4．B
．－C
2
3．D
解析：选B ．设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)
的概率为＝4－，故选B ．
4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何
体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为( )
．A
2
3．B
．C
1
2．D
解析：选D ．由题图可知VF­AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF­BCE＝a3，所以它飞
入几何体F­AMCD 内的概率为＝．
5．
如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一
条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )
．A
3
2．B
．C
1
4．D
解析：选C ．当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A 点左右都可
取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝＝，故选C ．
6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，
则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
．A 1
3．B
．C
2
3．D
解析：选C ．如图所示，
设点M 是BC 边的中点，因为＋＋2＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落
在△PBC 内的概率P ＝＝，故选C ．
二、填空题
7．
某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界
及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．
解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，
则正三角形的面积为a2．
由正弦定理得2R ＝，即R ＝a ， 所以圆的面积S ＝πR2＝πa2．
由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝．
33
答案：
4π8．如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△
AOB的面积小于的概率为________．解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于，则×1×1×sin∠AOB<，所以sin∠AOB<，
所以0<∠AOB<或<∠AOB<π，所以△AOB的面积小于的概率为．
1
答案：
3 9．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶
点的距离小于2的概率为________．
解析：如图，△ABC为直角三角形，且BC＝5，
AC＝12．图中阴影部分是三个分别以A，B，C为圆心，2为半径的扇形，所以S 阴＝π×22＝2π．所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P＝＝＝．
π
答案：
15 10．在区间上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，]的概率是________．
解析：因为x∈，
所以x＋∈，
由sin x＋cos x＝sin∈[1，]，
得≤sin≤1，
所以x∈，
故要求的概率为＝．
3
答案：
4
三、解答题
11．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M．
(1)求四棱锥M­ABCD的体积小于的概率；
(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率．
解：(1)正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝．
因为S四边形ABCD＝1，所以h＝．
若体积小于，则h<，
即点M在正方体的下半部分，
所以P＝＝．
(2)因为V三棱柱ABC­A1B1C1＝×12×1＝，
所以所求概率P1＝＝．12．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合
M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8．
因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝．(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，
故所求概率为P2＝＝．1．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号
为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为
2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次
取出的小球标号为b．
①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
解：(1)依题意＝，得n＝2．(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则
取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”
的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝．②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所
以所求的概率为P(B)＝1－．
2．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1．(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，
4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概
率；
(2)若a，b∈[1，6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．
解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，
共36个．用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋
1＝2b．则A包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P(A)＝＝．
即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为．
(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b．
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，
如图所示：
所以所求的概率为P(B)＝＝．
即事件“y＝f(x)有零点”的概率为．。