2014年高考数学一轮复习8.5椭圆课件理

8．5 椭 圆
考纲点击 1.了解椭圆的实际背景. 2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.
说基础
课前预习读教材
考点梳理
一、椭圆的定义和方程
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于①______(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的②______. 定义中特别要注意条件 2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a＝2c 时，动点的轨迹是③______；当 2a＜2c 时，动点的轨 迹④__________.
e＝ac＝
2 2.∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c， cosθ＝r12＋2rr221－r2 4c2＝r1＋r222－r12rr21r2－4c2 ＝ra1r22－1≥r1＋a2r22－1＝0，
2
当且仅当 r1＝r2 时，cosθ＝0，∴θ∈0，2π.
∴a＝3，c＝2，b＝ a2－c2＝ 5. ∴所求圆心的轨迹方程为x92＋y52＝1.
题型二 求椭圆的标准方程 例 2 求下列椭圆的标准方程： (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并 且过点 P(3,0)； (2)过点 M(－2， 3)和 N(1,2 3)．
解析：(1)若焦点在 x 轴上，设方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∵椭圆过 P(3,0)，∴3a22＋0b22＝1.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可 设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0)，可避免讨论和繁杂的计算，也可 设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0 且 A≠B)，这种形式在解题中较 为方便．
【注意】求动点的轨迹方程时，应首先挖掘图形的几何性
质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以免陷
点评：求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分 析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系， 建立基本量之间的联系．
变式探究 3 已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个 端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最 短距离是 3，求此椭圆方程，并写出其中焦点在 y 轴上的椭圆 的焦点坐标、离心率．
解析：将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时， 已知圆的圆心坐标为 B(－2,0)，半径为 6，如图：
设动圆圆心为 M 的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内 切，设切点为 C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的 距离，
即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， ∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6＞|AB|＝4. 根据椭圆的定义知点 M 的轨迹是以点 B(－2,0)和点 A(2,0) 为焦点、线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆．
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6， ∴|PF1|＝2×5－6＝4. 答案：A
4．设 F1，F2 分别为椭圆x32＋y2＝1 的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若F→1A＝5F→2B，则点 A 的坐标是________．
解析：根据题意设 A 点坐标为(m，n)，B 点坐标为(c，d)．F1、
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：因为椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的长轴在 y 轴上，所以
m10－－2m＞＞00 m－2＞10－m
⇔6＜m＜10，又焦距为 4，所以 m－2－10＋
m＝4⇔m＝8，选择 D. 答案：D
3．设 F1、F2 分别是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点，P 为 椭圆上的一点，M 是 F1P 的中点，|OM|＝3，则 P 点到椭圆左 焦点距离为( )
解析：由题设及椭圆定义知 2a＝4c；且 a－c＝ 3.
∴c＝ 3，a＝2 3， b2＝a2－c2＝9.
当焦点在 x 轴上时， 所求的方程为1x22 ＋y92＝1； 当焦点在 y 轴上时，所求的方程为x92＋1y22 ＝1.
对后一个方程，离心率 e＝ac＝12，焦点坐标为(0，± 3).
题型四 直线与椭圆的位置关系 例 4 若 F1、F2 分别是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦 点，P 是该椭圆上的一个动点，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2 3. (1)求出这个椭圆的方程； (2)是否存在过定点 N(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，使O→A⊥O→B(其中 O 为坐标原点)？若存在，求出直线 l 的斜率 k；若不存在，说明理由．
2．椭圆的方程 (1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． (2)焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程：ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)．
(3)一般表示：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0 且 A≠B)．
二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2) 标准方程 ax22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
F2 分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－ 2，0)、( 2， 0)，可得F→1A＝(m＋ 2，n)，F→2B＝(c－ 2，d)．
∵F→1A＝5F→2B，∴c＝m＋56 2，d＝n5.
∵点 A、B 都在椭圆上，
m＋6
∴m32＋n2＝1，
5 3
22＋(n5)2＝1.
解得 m＝0，n＝±1，故点 A 坐标为(0，±1)．
考点自测
1.椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
)
1
1
3
2
A.3
B.2
C. 3
D. 2
解析：由1x62 ＋y82＝1 可得 a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8，
∴e2＝ac22＝12，∴e＝
2 2.
答案：D
2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，则 m 等于( )
变式探究 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一 个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近 的端点距离为 4 2－4，求此椭圆的方程及离心率．
解析：设椭圆的方程为ax22＋by22＝1 或bx22＋ay22＝1(a＞b＞0)，
b＝c，
a＝4 2，
则a－c＝4 2－1， 解之得：b＝4，
点评：由椭圆的定义可知，在平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，可以将 椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，从而解决有关线段长
度的问题．一般地，遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考
虑用定义来解题．
变式探究 1 求过点 A(2,0)且与圆 x2＋4x＋y2－32＝0 内切 的圆的圆心的轨迹方程．
a2＝b2＋c2，
c＝4.
则所求椭圆的方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或1x62 ＋3y22 ＝1，
离心率
e＝
2 2.
题型三 椭圆的几何性质 例 3 已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的长、短轴端点分别为 A、 B，从此椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好通过椭
(2)由题设，可设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，
m≠n)．
∵M(－2， 3)和 N(1,2 3)在椭圆上，
∴4mm＋＋132nn＝＝11，.
解得 m＝15，n＝115.
∴所求椭圆方程为x52＋1y52 ＝1.
点评：运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于
a、b 的方程组，先定型、再定理，若位置不确定时，考虑是否 两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为 mx2＋ny2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出 m、n 即可．
解析：(1)依题意，得 2a＝4,2c＝2 3，所以 a＝2，c＝ 3，
∴b＝ a2－c2＝1. ∴椭圆的方程为x42＋y2＝1.
(2)显然当直线的斜率不存在，即 x＝0 时，不满足条件． 设 l 的方程为 y＝kx＋2， 由 A、B 是直线 l 与椭圆的两个不同的交点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由x42＋y2＝1， 消去 y 并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12
y＝kx＋2，
＝0.
∴Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)＞0，得 k2＞34.①
x1＋x2＝－1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2，
∵O→A⊥O→B，∴O→A·O→B＝0， ∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
入繁琐的化简运算中．
2．椭圆中有“两条线”(对称轴)，“六个点”(焦点，顶
点)，要注意它们之间的位置关系和距离，焦点到相应顶点的 距离为 a－c.
3．设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点 P(x，y)，则当 x ＝0 时，|OP|有最小值 b，这时 P 在短轴端点处；当 x＝a 时， |OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处．
a，b，c 的关系
长轴 A1A2 的长为⑮______ 短轴 B1B2 的长为⑯______
|F1F2|＝⑰______ e＝ac∈⑱______
⑲__________
答案：①常数 ②焦距 ③线段 ④不存在 ⑤x 轴，y 轴 ⑥坐标原点 ⑦(－a,0) ⑧(a,0) ⑨(0，－b) ⑩(0，b) ⑪(0，－a) ⑫(0，a) ⑬(－b,0) ⑭(b,0) ⑮2a ⑯2b ⑰2c ⑱(0,1) ⑲c2＝a2－b2
又 2a＝3×2b， ∴a＝3，b＝1，方程为x92＋y2＝1. 若焦点在 y 轴上，设方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)．
∵椭圆过点 P(3,0)，∴0a22＋3b22＝1.