Chapter 1 随机事件

Ω
.ω
只含一个样本点的事件 称为基本事件。 称为基本事件。
如果试验是将一枚硬币抛掷两次， 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样 本空间由如下四个样本点组成： 本空间由如下四个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
其中
(H,H):
第1 次
H H T T
第2 次
H T H T
随机试验： 随机试验： 如果试验可以在相同条件下重复进行； 如果试验可以在相同条件下重复进行； 试验所有发生的结果是不止一个且是已知的； 试验所有发生的结果是不止一个且是已知的； 但每次试验的结果事前是不能确定的， 但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的 试验称为随机试验。 试验称为随机试验。 随机试验 我们把随机试验的每个基本结果称为样本 点，记作 e 或ω. 全体样本点的集合称为样本 . 空间。样本空间用S或 表示。 空间。样本空间用 或 表示。
A + B − B = ( A + B ) − B = A − B.
A − B + B = ( A − B ) + B = A + B.
Ω
AS
B
所以， A + B − B ⊂ A ⊂ A − B + B .
第二节 事件的关系与运算
为了研究事件的需要， 为了研究事件的需要，下面介绍事件间的 几种主要关系以及事件的运算。 几种主要关系以及事件的运算。 1、事件之间的关系
设Ω为样本空间，A, B , C , Ai为事件，
(1)包含关系 (1)包含关系
Ω
若A发生 ⇒ B发生，
则称A为 的子事件 的子事件。 则称 为B的子事件。
补充说明： 补充说明： 由于事件是用集合表示的， 由于事件是用集合表示的，所以事件的关系与运算 与集合的运算完全相同。进而得到事件的运算定律. 与集合的运算完全相同。进而得到事件的运算定律. 事件的运算定律： 事件的运算定律： 1、交换律 2、结合律
A + B = B + A, AB = BA
( A + B ) + C = A + ( B + C ); ( AB )C = A( BC )
发生而C不发生”可表示为： (2) “A与B发生而 不发生”可表示为： 与 发生而
ABC ,
或AB − C , 或AB − ABC .
三个事件至少发生两个” (3) “A，B，C三个事件至少发生两个”可表示为： ， ， 三个事件至少发生两个 可表示为：
ABC + ABC + ABC + ABC , 或 AB + AC + BC .
3、分配律 4、对偶律
A( B + C ) = AB + AC , A ∪ B = AB , AB = A ∪ B
例1
设A，B，C是三个事件，则 ， 是三个事件， 是三个事件
发生而B， 都不发生 可表示为： 都不发生” (1) “A发生而 ，C都不发生”可表示为： 发生而
ABC ,
或 A − B − C.
(3)
A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ,
或 (4)
A1 A2 + A2 A3 + A3 A1 ;
或 A1 + A2 + A3 .
A1 A2 A3 ,
补充说明
1.事件的运算类似与代数式的运算， 1.事件的运算类似与代数式的运算，因为有相同 事件的运算类似与代数式的运算 的运算定律； 的运算定律； 2.事件的运算的结果又不同于代数式的运算， 2.事件的运算的结果又不同于代数式的运算，因为 事件的运算的结果又不同于代数式的运算 它们运算的意义不同。 事件是用集合表示的〕 它们运算的意义不同。〔事件是用集合表示的〕 见下面的例子
关于随机现象的说明
随机现象有其偶然性的一面，也有其必 随机现象有其偶然性的一面，也有其必 偶然性的一面 然性的一面， 然性的一面，这种必然性表现在大量重复试 的一面 验或观察中呈现出的固有规律性， 验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机 现象的统计规律性。 现象的统计规律性。 统计规律性 概率论正是研究随机现象统计规律性的 一门学科。 一门学科。
例2. 向一目标射击3枪,分别用A1 , A2 , A3表示第1,2,3 枪命中目标,试用A1 , A2 , A3表示下列各事件.
(1) 只有第1枪命中； (3) 至少有 2枪命中;
(2) 至少有1枪命中； (4) 3枪都没有命中.
（1） A1 A2 A3 或 A1 − A2 − A3 ;
(2) A1 + A2 + A3 ;
例3 计算 ( A + B )( A + B )( A + B )
= ( AA + AB + B A + BB )( A + B )
= ( Φ + AB + B A + B )( A + B )
= B( A + B )
= BA + BB
= AB .
思考： 思考： A + B − B = A = A − B + B 吗？
记作：AB 或 A ∩ B
(3)事件的差 (3)事件的差
B
AB A
A发生，但B不发生，
Ω
称为A, B的差事件. 记作：A − B 注意：A − B = A − AB = A ∩ B
AS
B
(4)对立事件(互逆事件) (4)对立事件(互逆事件) 对立事件 若事件A与事件 满足条件 若事件 与事件B满足条件 与事件 A
Ω
A B
2、事件的运算
(1)和事件(事件的并) (1)和事件(事件的并) 和事件
A发生或B发生，即A, B至少有一个发生，
称为A, B的和事件（并）.
记 作 ：A + B 或 A ∪ B .
Ω
B
A
(2)积事件(事件的交) (2)积事件(事件的交) 积事件
A , B同 时 发 生 ， 同
Ω
称为 A, B的积事件(交)
B
A
记作：A ⊂ B .
(2)相等关系 (2)相等关系 相等 A = B ⇔ A ⊂ B且B ⊂ A
(3)互斥关系(互不相容) (3)互斥关系(互不相容) 互斥关系 事件A与事件 不能同时发生， 事件 与事件B不能同时发生， 与事件 不能同时发生 则称A与 为互斥事件或互不 则称 与B为互斥事件或互不 相容事件。 相容事件。 即 A∩B＝Φ ＝
对自然现象的观察或进行一次试验， 对自然现象的观察或进行一次试验， 统称为一个试验 试验。 表示。 统称为一个试验。用大写英文字母E表示。 例如： 例如： 寿命试验 掷骰子试验 例如, 掷硬币试验 例如, 测试在同一工艺条件下生 掷一颗骰子， 掷一颗骰子， 掷一枚硬币， 观察出现的点数 掷一枚硬币，观察出正还是 产出的灯泡的寿命。 产出的灯泡的寿命。 H T 反. 面这些例子,尽管内容各异, 上面这些例子,尽管内容各异,但它 们有着共同的特点。我们有以下的定义。 们有着共同的特点。我们有以下的定义。
AB = Φ , 且A ∪ B = Ω
则称事件A与事件 为对立事件 则称事件 与事件B为对立事件。 与事件 为对立事件。
B
记作：= A
注意： 对立” 互斥” 注意：“对立”与“互斥”是不同的概念
对立事件一定互斥 互斥事件不一定对立 互斥， ① 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立 在一次试验中，互斥的两事件有可能都不发生 事件有可能都不发生， ② 在一次试验中，互斥的两事件有可能都不发生， 但对立事件必有一个发生
第一章
随机事件
第一节 样本空间和随机事件
一、随机试验和样本空间
人们在生产实践和科学实验中, 人们在生产实践和科学实验中,发现对 自然界和社会所观察到的现象大体分为类： 自然界和社会所观察到的现象大体分为类： 一类是事前可以预料的, 一类是事前可以预料的,即在一定条件下 必然发生或必然不发生的现象,称之为必然现 必然发生或必然不发生的现象,称之为必然现 确定性现象； 象或确定性现象； 另一类是事前不可预料的, 另一类是事前不可预料的,即在相同条件 下重复进行观察或试验时, 下重复进行观察或试验时,有时出现有时不出 现的现象,称之为偶然现象 随机现象。 偶然现象或 现的现象,称之为偶然现象或随机现象。
(H,T)： ： (T,H): : (T,T)： ：
样本空间在如下 意义上提供了一个理 想试验的模型： 想试验的模型： 在每次试验中 必有一个样本点出 现且仅有一个样本 点出现 .
二 、随机事件
在一次试验中可能发生也可能不发生的 事件称为随机事件，简称事件。 事件称为随机事件，简称事件。[A,B,C……] 随机事件 事件 ] 不可能事件——在一次试验中不可能发生的 不可能事件——在一次试验中不可能发生的 —— 事件， 事件，常用Φ表示 。 必然事件——在试验中必定发生的事件， 必然事件——在试验中必定发生的事件， ——在试验中必定发生的事件 常用S或 表示; 常用 或 表示; 例如， 掷出点数小于7 是必然事件; 例如，“掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件。 掷出点数8 则是不可能事件。