(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
材料力学 轴向拉伸
轴向拉伸和压缩
斜截面----是指任意方位的截面。 ①全应力：
F
F
p =
F cos = 0 cos A
②正应力：
p
F
N
= p cos = cos2
③切应力：
p
= p sin =
0
2
sin 2
（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。
例一 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN
150kN
II
100kN
I 50kN I II FN2 100kN II FN2= -100kN FN1 FN1=50kN
I
50kN FN
II
+
100kN
| FN |max=100kN
第三节横截面及斜截面上的应力
切应力τ
1MPa=106Pa
二、拉压杆横截面上的应力
1
F
1 1
轴向拉伸和压缩
F
2
2
2
1 F
假设： ① 平面假设
② 横截面上各 点处仅存在正应 力并沿截面均匀 分布。
2
FN
FN
F
F F = = N A A
FN：横截面上的轴力 拉应力为正， 压应力为负。 A ：横截面面积
对于等直杆
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
轴向拉伸和压缩
第四节 拉（压）杆的变形 ·胡克定律
杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。
材料力学1-第一章
3850mm2
3）计算最大应力 σmax= FN /Amin
=(-800)×1000/3850
=-208MPa
§1-4 轴向拉伸和压缩时的变形
一、纵向变形（沿轴线方向） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
（1）杆的纵向总变形量
l l' -l （反映绝对变形量）
工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比
泊松比，可由试验测定：
泊松比
- -
E
弹性模量E和泊松比μ是材料的两个弹性常数， 可由实验测定。
表1-1 弹性模量和横向变形系数的约值
材料名称 碳钢
弹性模量E （ Gpa ）
196~216
横向变形系数μ 0.24~0.28
合金钢
190~220
0.24~0.33
位置，为强度计算提供依据。 FN
+ x
试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
A 600
B
C
300
500
DE 400
20KN
等直杆的受力示意图
解：
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
先需求出A点的约束力。 FR=10 kN
FR
A
1 FN1
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1-l0 10% 0 断面收缩率 A0-A110% 0
l0
A0
5%为塑性材料 5%为脆性材料
低碳钢的 2— 03% 060% 为塑性材料
第1章拉伸及压缩 材料力学
微元面积上的平均应力 点的应力
F sm A
A P
n
F dF s lim A 0 A dA
2018/10/24
应力s 的方向就是内力F 的方向
6
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2. 应力的分量
• 应力沿截面法线方向的分量，称为法向应力 （normal stress）或正应力，用 表 示 • 应力平行于截面的分量，称为切向应力、切 应力（shear stress）或 剪应力，用 表 示
F4
F4
F5
F5
也可取右半段平衡
F
x
0:
N F3 F4 F5 0
相等？
相等
F1 F2 F3 F4 F5 0 F1 F2 F3 F5 F4
解得 说明
N F3 F5 F4
轴力 = 截面以右外力之和（右指为正） 轴力 = 截面以左外力之和（左指为正）
例1.4 图示结构，计算各杆应力。
已知：杆1直径20mm，杆2边长100 mm。
解：
先求内力（节点A平衡） Fx 0 : N1 N2 cos45 0yB1来自45A2
25 kN
N1 N2
A
45
F
0 : N2 sin 45 25 0 N1 25kN, N 2 35.36kN
13
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例1.3 作边长1.2 m的正方形受压柱的轴 力图（容重 =25 kN/m3） 解：（1）先写内力函数
N(x) = - 40 - 251.2 1.2 x = -40 - 36x （2）作图
40 kN
40kN
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
2019工程力学北京科技大学版材料力学部分(一)
§1-5 材料在拉压时的力学性能
Mechanical properties of materials in tension and compression
材料的力学性能只能通过实验求得. 通常是在常温 isothermal、准静 载荷 quasi-static loading 的条件下测定的.
两类典型材料: 塑性材料 plastic materials ，以低碳钢为代表. 脆性材料 brittle materials ，以铸铁为代表.
2)变形谐调条件 condition of compatibility A
= 常数.
3)物理关系 constitutive relation : Hooke's law
= E = 常数.
联解得
(4)实验证明
N dA A, A
N.
A
(1-1)
圣维难原理 St. Venant's Principle ：在远离(一个特性常数)加力处的应 力分布, 只与加力的合力有关, 而与加力方式无关.
工程力学 材料力学部分（一）
10
3、材料压缩时的力学性能
Mechanical properties of materials in compression
试件：
金属：圆柱体 l / d = 1.5 ~ 3.
混凝土及石料：大致相
同. 试件被压成圆饼.
工程力学 材料力学部分（一）
2
§1-2 轴向拉压时的内力 Internal force
1. 内力: 由于外力的作用引起的构件各部分之间的附加内力.
2. 截面法 Method of Sections：
以特殊的例题说明求内力的一般方法.
(1)切 假想切开(一刀两断);
轴向拉伸与压缩的名词解释
轴向拉伸与压缩的名词解释引言：轴向拉伸与压缩是物理学领域中常见的概念，用于描述物体在力的作用下的变形情况。
本文将对轴向拉伸与压缩进行详细的解释与探讨。
一、轴向拉伸轴向拉伸是指物体在受到拉力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝外拉伸时，物体会在轴向上发生拉伸。
拉伸的大小可以通过物体的伸长率来衡量，伸长率定义为单位长度的伸长与初始长度之比。
轴向拉伸现象广泛应用于工程领域，例如建筑中的钢筋，拉伸试验中的拉力传感器等。
钢筋在混凝土中起到增强材料的作用，能够抵抗建筑物的拉力。
而拉力传感器则是一种能够测量外力大小的传感器，利用了材料的拉伸特性。
二、轴向压缩轴向压缩是指物体在受到压力作用下沿着其长度方向发生的变形现象。
当外力作用于物体的两端，并朝内压缩时，物体会在轴向上发生压缩。
压缩的大小可以通过物体的压缩率来衡量，压缩率定义为单位长度的压缩与初始长度之比。
轴向压缩现象同样广泛应用于工程领域。
例如，桥梁中的墩柱、压缩试验中的压力传感器等。
墩柱是承受桥梁重力和交通荷载的重要结构部件，压缩试验中的压力传感器则是能够测量外力大小的传感器，利用了材料的压缩特性。
三、轴向拉伸与压缩的应用轴向拉伸与压缩的应用十分丰富，不仅在工程领域中有广泛应用，在其他领域中也有其独特的应用价值。
1. 材料科学：轴向拉伸与压缩是材料性能研究的重要手段。
通过对材料在拉伸和压缩条件下的变形进行测试，可以获得材料的各种力学性能参数，例如抗拉强度、抗压强度等。
这对材料的设计和应用具有重要的指导意义。
2. 生物医学：轴向拉伸与压缩在生物医学研究中具有重要的作用。
例如，在骨骼生物力学研究中，可以通过对骨骼的拉伸和压缩测试，了解骨骼力学特性并分析疾病的发生机制。
3. 电子工程：轴向拉伸与压缩的特性也可以应用于电子工程领域。
例如，电子产品中常使用弹性材料来保护内部电路。
这些材料可以在外力作用下发生轴向拉伸或压缩，起到减缓冲击力的作用。
工程力学材料力学第四版[北京科技大学及东北大学]习题答案解析
![工程力学材料力学第四版[北京科技大学及东北大学]习题答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/387fa6e510661ed9ac51f320.png)
工程力学材料力学（北京科技大学与东北大学）第一章轴向拉伸和压缩1-1：用截面法求下列各杆指定截面的内力解：(a):N1=0,N2=N3=P(b):N1=N2=2kN(c):N1=P,N2=2P,N3= -P(d):N1=-2P,N2=P(e):N1= -50N,N2= -90N(f):N1=0.896P,N2=-0.732P注（轴向拉伸为正，压缩为负）1-2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示，拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示；拉杆上端螺纹的内径d=175mm。
以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN，试计算大钟拉杆的最大静应力。
解：σ1=2118504P kNS dπ==35.3Mpaσ2=2228504P kNS dπ==30.4MPa∴σmax=35.3Mpa1-3：试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。
以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。
解：下端螺孔截面：σ1=19020.065*0.045P S=15.4Mpa上端单螺孔截面：σ2=2P S =8.72MPa上端双螺孔截面：σ3= 3P S =9.15Mpa∴σmax =15.4Mpa1-4：一桅杆起重机如图所示，起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm,内径d=18mm;钢绳CB 的横截面面积为0.1cm2。
已知起重量P=2000N，试计算起重机杆和钢丝绳的应力。
解：受力分析得：F1*sin15=F2*sin45F1*cos15=P+F2*sin45∴σAB=11FS=-47.7MPaσBC=22FS=103.5 MPa1-5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接,链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N.钢链又两层钢板构成,如c所示.每个链板厚t=4.5mm,宽h=40mm,H=65mm,钉孔直径d=30mm.试求链板的最大应力.解:F=6PS 1=h*t=40*4.5=180mm 2S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm 2∴σmax=2F S =38.1MPa1-6:一长为30cm 的钢杆,其受力情况如图所示.已知杆截面面积A=10cm2,材料的弹性模量E=200Gpa,试求;(1) AC. CD DB 各段的应力和变形.(2) AB 杆的总变形.解: (1)σAC =-20MPa,σCD =0,σDB =-20MPa;△ l AC =NL EA =AC LEA σ=-0.01mm△ l CD =CD LEA σ=0△ L DB =DB LEA σ=-0.01mm(2) ∴ABl∆=-0.02mm1-7:一圆截面阶梯杆受力如图所示,已知材料的弹性模量E=200Gpa,试求各段的应力和应变.解:31.8127ACACCBCBPMPaSPMPaSσσ====ACACACLNLEA EAσε===1.59*104,CBCBCBLNLEA EAσε===6.36*1041-8:为测定轧钢机的轧制力,在压下螺旋与上轧辊轴承之间装置一测压用的压头.压头是一个钢制的圆筒,其外径D=50mm,内径d=40mm,在压头的外表面上沿纵向贴有测变形的电阻丝片.若测得轧辊两端两个压头的纵向应变均为ε=0.9*10-2,试求轧机的总轧制压力.压头材料的弹性模量E=200Gpa.解:NllEAllε∆=∆=∴NEAε=62.54*10N EA Nε∴==1-9：用一板状试样进行拉伸试验，在试样表面贴上纵向和横向的电阻丝来测定试样的改变。
高职材料力学1—轴向拉伸与压缩
1.1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
力学模型如图
F
F
轴向拉伸, 对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩, 对应的力称为压力。
1.2 轴向拉伸或压缩时的内力
1.2.1 内力及轴力 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间 分布内力系的合成（附加内力）。
要求截面上的内力，一般采用截面法，其基本步骤 如下：
的正应力为：
d2
s1
FN1 A1
4 2.0104
0.0202
6.37 107 Pa
63.7
MPa
同理，得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正应力为：
s2
FN2 A2
4 (3.0104 )
0.0302
4.24107 Pa
42.4 MPa
是压应力
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的增大和 横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引 起轴向的缩短和横向的增大。
1.3 横截面上的应力 结论
F
F
(1)各纤维的伸长相同, 所以它们所受的力也相同。
(2)平面假设:变形前为平面的横截面，变形后仍保 持为平面且仍垂直于轴线。
1.3 横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}s
FN
s FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。s的符号与轴
横向增大，所以'和的符号是相反的。'和的关
系可以写成
说明P18:表1-1.
例 图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与
铅垂线均成＝30º的角度，长度均为l＝2 m，直径均为d＝25
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24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1ABCD源自xPAPB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N 1 P A P B P C P D 0
N 1 5 P 8 P 4 P P 0 N1 2P 10
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
15
4. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
maxmaN A x(((xx)))
其中：[]—构件的许用应力， max--危险点的最大工作应力。
关于许用应力-- []
jx
n
极限应力：jxs,0.2,b材料特性，由试验确定；
安全系数：n>1 综合因素，考虑：材料、受力、工
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N N>0
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N
N N<0
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 N
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
x
强度计算提供依据。 9
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
131MP a
④强度校核与结论： m a 1 xM 3 1 P 1 aM 70Pa
此杆满足强度要求，是安全的。
20
[例5] 某冷锻机的曲柄滑块机构如图所示。锻压工作时，连杆接 近水平位置，锻压力P=3780kN。连杆横截面为矩形，高与宽之 比=1.4，材料的许用应力［σ］=90MPa (此处的［σ］已考虑到稳 定效应影响)，试设计截面尺寸h和b。
2
§1–1 轴向拉压的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点： 外力的合力作用线与杆的 轴线重合。
轴向拉压的变形特点： 杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
3
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
A≥ N
[ ]
=
3.78 10 6 90 10 6
=0.042m2
21
[例6]图为一钢木结构。AB为木杆，其截面积AAB=10×103 mm2 ，许用压应力［σ］AB=7MPa；BC为钢杆，其截面积 ABC=600mm2 ，许用应力［σ］=BC=160MPa。试求B处可吊的最 大许可载荷P。
A≥
q N(x)
x
x
N(x)0qdxqx
12
§1–3 截面上的应力及强度条件
一、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
13
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
钢拉杆
8.5m
B
18
解：① 整体平衡求支反力
HAA
RA
q
q
C
钢拉杆
8.5m
X0 HA0 mB0 RA19.5kN
RB
19
q
HAA
RA
② 局部平衡求 轴力：
m C0 N2.3 6kN
HC
C
③应力：
RC
max
N A
4P
d2
N
4 26.3103 3.140.0162
22
5. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、
截面到载荷作用点有一定 的 距离。
6. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。
23
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
N(x) N ( x)
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
max maxN A(((xx)))
14
例3：已知：AD段的直径30 mm，DB段的直径20 mm。作杆 的内力图，求杆的最大应力。
(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
第一章 轴向拉伸和压缩
§1–1 轴向拉压的概念及实例 §1–2 内力、截面法、轴力及轴力图 §1–3 截面上的应力及强度条件 §1-4 拉压杆的变形 弹性定律 §1-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §1-6 拉压杆的弹性应变能 §1-7 拉压超静定问题及其处理方法
4
二、
工 程 实 例
5
6
§1–2 轴力及轴力图
一、轴力 拉压杆外力作用所引起的内力系的合力是沿轴线方向
的一个力，故称为轴力，用N表示。
P
P
7
截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
N
x
A
平衡： X 0 NP0 PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
8
3. 轴力的正负规定: N