初三数学期末试题,江苏省苏州市张家港市九年级上册数学期末考试测试卷及答案解析
2019-2020学年江苏省苏州市张家港市九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果3a=2b(ab≠0)，那么比例式中正确的是()A. ab =32B. ba=23C. a2=b3D. a3=b22.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标为()A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,−1)D. (−2,1)3.用配方法解方程x2−2x−8=0时，配方后得到的方程为()A. (x+1)2=7B. (x−1)2=7C. (x+1)2=9D. (x−1)2=94.在△ABC中，∠C=90°.若sinA=13，则tan B的值为()A. √24B. 2√2 C. 2√23D. 35.化简：(1+1x )÷x2−1x的结果为()A. 1x−1B. 1x+1C. xx−1D. xx+16.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为()A. 6B. 7C. 8D. 97.如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC⏜上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为A. 35°B. 38°C. 40°D. 42°8.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()A. B. C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2√3，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A. 5√34−π2B. 5√34+π2C. 2√3−πD. 4√3−π210.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大，④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=−13，x2=12；⑤若m，n(m<n)为方程a(x+3)(x−2)+3=0的两个根，则m>−3且n<2，其中正确的结论有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.计算：4÷(−23)=______ ．12.比较大小：2sin60°+tan45°______ 4cos60°(用“>”或“=”或“<”连接)．13.圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，其侧面积为______ cm2．14.已知二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=x的图象如图所示，则不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为______ ．15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=______°.16.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE//AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：9，则S△DBE与S△OCE的比是______ ．17.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为(4,8)，则△AOC的外接圆半径为______ ．18.如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，AB=4，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP的中点为E，若AP=x，DE−DP=y，则y的最大值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共76.0分）19.已知：二次函数y=x2+bx−3的图象经过点A(2,5)．(1)求二次函数的解析式，(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标．20.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．(1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；(2)求A^C的长(结果保留π)．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4√3，解这个直角三角形．22.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE.求证：△ABC∽△CED．23.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：√3(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)．(1)求点D离地面高度(即点D到直线BC的距离)；(2)求楼房AB高度.(结果保留根式)24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，连接AC．(1)求证：AC平分∠DAE；(2)若cos∠DAE=2，BE=2，求⊙O的半径．325.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线x=−3，AB=4．①点A的坐标为(______ ，______ )，点B的坐标为(______ ，______ )；②求抛物线的函数表达式；(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．26.如图，线段AB经过⊙O的圆心，交⊙O于A，C两点，BC=1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD=∠ABD=30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求切线BD的长；(3)求线段BM的长．27.如图，抛物线y=a(x−1)(x−3)(a>0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，(3)在(2)的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF//AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+ PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．28.如图1，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t(s)(0<<4)，连结PQ，MQ，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ//MN？(2)当t为何值时，∠CPQ=45°？(3)当t为何值时，PQ⊥MQ？答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵3a=2b，∴a：b=2：3，b：a=3：2，即a：2=b：3，故A，B均错误，C正确，D错误．故选：C．先逆用比例的基本性质，把3a=2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解．本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积．本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断．2.【答案】A【解析】解：抛物线y=(x−2)2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：(2,1)．故选：A．抛物线的顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，其顶点坐标是(ℎ,k)，可以确定抛物线的顶点坐标．本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．3.【答案】D【解析】解：∵x2−2x−8=0，∴x2−2x=8，则x2−2x+1=8+1，即(x−1)2=9，故选：D．根据配方法解一元二次方程的步骤求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.【答案】B【解析】：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13，∴假设BC=x，AB=3x，∴AC=√9x2−x2=2√2x.∴tanB=ACBC =2√2xx=2√2．故选：B．根据sinA=13，假设BC=x，AB=3x，得出AC=√10x，再利用锐角三角函数的定义得出tan B的值．此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：原式=x+1x⋅x(x+1)(x−1)=1x−1．故选A．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．6.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴ADDB =AEEC，即93=AE2，∴AE=6，∴AC=AE+EC=6+2=8．利用平行线分线段成比例定理得到ADDB =AEEC，利用比例性质求出AE，然后计算AE+EC即可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°−∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【解答】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∵∠A=70°，∴∠ACD=90°−∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选：C．8.【答案】B【解析】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，四个选项的三角形中，有135°角的三角形只有B选项的三角形，且夹135°角的两边的比相等：√2=√22，因此满足了两边对应成比例且夹角相等．根据相似三角形的判定方法一一判断即可．本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：连接OD，BD，作DE⊥AB于E．∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2√3，BC=2，∴tanA=BCAB =2√3=√33，∴∠A=30°，∵OD=OA，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠DOB=∠ADO+∠A=60°，∵OD=12AB=√3，∴DE=ODsin∠DOE=32，∴阴影部分的面积是：2√3×22−√3×322−60×π×(√3)2360=5√34−π2，故选A．10.【答案】A【解析】解：由函数图象可得，a<0，b<0，c>0，则abc>0，故①正确；−b 2a =−12，得a =b ， ∵x =−3时，y =9a −3b +c =0，∴6a +c =0，∴c =−6a ，∴3a +c =3a −6a =−3a >0，故②正确；由图象可知，当x <−12时，y 随x 的增大而增大，当−12<x <0时，y 随x 的增大而减小，故③错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与X 轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x =−12， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)，∴ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=−3，x 2=2，∴a +b ⋅1x +c(1x)2=0的两个根为x 1=−3，x 2=2， ∴一元二次方程cx 2+bx +a =0的两根分别为x 1=−13，x 2=12，故④正确； ∵该函数与x 轴的两个交点为(−3,0)，(2,0)，∴该函数的解析式可以为y =a(x +3)(x −2)，当y =−3时，−3=a(x +3)(x −2)∴当y =−3对应的x 的值一个小于−3，一个大于2，∴若m ，n(m <n)为方程a(x +3)(x −2)+3=0的两个根，则m <−3且n >2，故⑤错误；故选：A ．根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11.【答案】−6【解析】解：原式=4×(−32)=−6，故答案为：−6．根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可．此题主要考查了有理数的除法，注意结果符号的判断．12.【答案】>+1=√3+1，【解析】解：2sin60°+tan45°=2×√32=2，4cos60°=4×12∵√3>1，∴√3+1>2，∴2sin60°+tan45°>4cos60°，故答案为：>．首先代入特殊角的三角函数值计算出2sin60°+tan45°和4cos60°的值，再比较大小即可．此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．13.【答案】60π【解析】解：圆锥的侧面积=2π×5×12÷2=60π．故答案为：60π．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．14.【答案】1<x<3【解析】解：∵当1<x<3时，二次函数值小于一次函数值，∴ax2+bx+c<x，∴ax2+(b−1)x+c<0．∴不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为1<x<3，故答案为1<x<3．根据当1<x<3时，二次函数值小于一次函数值，可得ax2+bx+c<x，继而可求得答案．主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15.【答案】130【解析】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°−50°=130°．故答案为：130．先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．16.【答案】2：3【解析】解：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又∵S△DOE：S△COA=1：9，∴DEAC =DOCO=13，即S△OCE=34S△DEC，∵DE//AC，∴△ABE∽△BCA，∴BEBC =DEAC=13，即S△DEC=2S△BED，∴S△DBE与S△OCE的比是12S△DEC：34S△DEC=2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到DEAC=BE BC =13，从而可得到BE：EC=1：2，求出S△BDE：S△CDE=BE：EC，即可得出答案．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定和三角形的面积，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．【解析】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC交AB于点D，根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，作AO的垂直平分线交AB于点O′，则点O′即为△AOC的外心，设OB=CB=x，∵点C(4,8)∴CE=4，OE=8，则OC=√CE2+OE2=√42+82=4√5∴CD=OD=2√5，EB=8−x，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得x2=(8−x)2+42，解得x=5，即OB=BC=5，∴BD=√OB2−OD2=√25−20=√5∵OD2=BD⋅AD∴AD=4√5设OO′=AO′=r，则DO′=4√5−r，∴(4√5−r)2+(2√5)2=r2．解得r=5√52．所以△AOC的外接圆半径为：5√52先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化−对称、翻折变换，解决本题的关键是综合运用以上知识．18.【答案】14【解析】解：连接BP．∵AB为直径，∴∠APB=90°，∠PAB+∠B=90°，∵CA⊥AB，∴∠PAB+∠PAD=90°，∴∠B=∠PAD．∵PD⊥AC，∴∠PDA=90°．在△PDA与△APB中，{∠ PDA=∠APB=90∘∠PAD=∠B，∴△PDA∽△APB，∴DPPA =PAAB，∵AP=x，AB=4，∴DP=14x2，∵PD⊥AC，AP的中点为E，∴DE=12AP=12x，∵DE−DP=y，∴y=12x−14x2=−14(x−1)2+14，∴y的最大值为14．故答案为：14．连接BP，易证△PDA∽△APB，得到DPPA =PAAB，那么DP=14x2，由PD⊥AC，AP的中点为E，可得DE=12AP=12x，结合条件得到y=12x−14x2，配方即可得到y的最大值．本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆的性质的综合，连接BP，构造相似三角形是解题的关键．19.【答案】解：(1)将A(2,5)代入y=x2+bx−3得5=4+2b−3解得：b=2∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3．(2)令y=x2+2x−3=0则：(x−1)(x+3)=0解得：x1=−3，x2=1∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(−3,0)、(1,0)．【解析】(1)将A(2,5)代入y=x2+bx−3，求得b值，则二次函数的解析式可得；(2)令y=0，解得x值，则二次函数的图象与x轴的交点坐标可得．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标，属于基础知识的考查，难度不大．20.【答案】解：(1)根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,0)．(2)弧AC的半径是√22+12=√5．圆心角是90°，则弧AC长是90π⋅√5180=√5π2．【解析】(1)根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；(2)利用弧长公式即可求解．本题考查了弧长的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键．21.【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°−∠A=30°，∵sinB=ACAB，∴AC=4√3sin30°=2√3，∵sinA=BCAB，∴BC=4√3sin60°=6．【解析】先利用直角三角形中两锐角互余，计算出∠B的度数，根据正弦的定义分别计算AC、BC的长．本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．22.【答案】证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC=√22+42=2√5，∵CE=AC，∴CE=2√5，∵CD=5，∵ABCE =2√5=2√55，ACCD=2√55，∴ABCE =ACCD，∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°．∴∠BAC=∠DCE．∴△ABC∽△CED．【解析】先利用勾股定理计算出AC=2√5，则CE=2√5，所以ABCE =ACCD，再证明∠BAC=∠DCE.然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．23.【答案】解：(1)过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i=1：√3，∴DF：FC=1：√3，CD=10，∴DF=5，即点D离地面的高度为5米．(2)由(1)得，CF=5√3，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB=x，则AG=x−5，在Rt△ABE中，BE=ABtan60∘=√33x，在Rt△ADG中，DG=AGtan30∘=√3(x−5)，由DG=FC+CE+BE得，√3(x−5)=5√3+10+√33x，解得，x=15+5√3，答：AB的高度为(15+5√3)米．【解析】(1)根据坡比度i=1：√3及CD的长，可求出点D离地面的高度；(2)在两个直角三角形中，分别用AB表示BE、DG，建立方程求解即可．考查直角三角形的边角关系，坡比的意义，掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC，∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC//AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ，∴∠DAC =∠OAC ，∴AC 平分∠DAE ；(2)解：设⊙O 的半径为r ，∵OC//AD ，∴∠DAE =∠COE ，∴cos∠DAE =cos∠COE =23，BE =2， ∴r r+2=23， 解得：r =4，即⊙O 的半径为4．【解析】(1)连接OC ，根据切线的性质得出OC ⊥DE ，求出OC//AD ，根据平行线的性质和等腰三角形的判定求出∠OAC =∠DAC ，根据角平分线的定义得出即可；(2)求出∠DAE =∠COE ，解直角三角形求出即可．本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25.【答案】−5 0 −1 0【解析】解：(1)①∵抛物线的对称轴为直线x =−3，AB =4，∴点A 的坐标为(−5,0)，点B 的坐标为(−1,0)，故答案为：−5；0−1；0；②∵抛物线经过(−5,0)，(−1,0)，∴{−25−5m +n =0−1−m +n =0， 解得，{m =−6n =−5， 则抛物线的解析式为y =−x 2−6x −5；(2)如图2，作PD ⊥OC 于D ，∵△OCP 是等腰直角三角形，∴PD=12OC=OD，设点P的坐标为(a,a)，设抛物线的解析式为y=−(x−a)2+a，∵抛物线经过原点，∴−(0−a)2+a=0，解得，a1=0(不合题意)，a2=1，∴△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为(1,1)．(1)①根据抛物线的对称性分别求出点A的坐标、点B的坐标；②利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；(2)作PD⊥OC于D，根据等腰直角三角形的性质得到PD=OD，设出抛物线的顶点式，根据抛物线经过原点计算，得到答案．本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、等腰直角三角形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．26.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠ABD=30°，∴∠DOB=2∠BAD=60°，∴∠ODB=180°−30°−60°=90°，即OD⊥BD，∵OD过O，∴直线BD是⊙O的切线；(2)解：设OD=OC=r，在Rt△BDO中，sin30°=ODOB =rr+1，解得：r=1，即OD=1，OB=1+1=2，由勾股定理得：BD=√22−12=√3；(3)解：连接DM，∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DME =90°，即∠DMB =∠BDE =90°，∵∠DBM =∠DBE ，∴△BMD∽△BDE ，∴BM BD =BD BE ， ∴√3=√3√7， 解得：BM =3√77．【解析】(1)求出∠BDO =90°，再根据切线的判定得出即可；(2)解直角三角形求出OD 、根据勾股定理求出BD 即可；(3)连接DM ，根据相似三角形的判定得出△BMD∽△BDE ，得出比例式，再代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．27.【答案】解：(1)a(x −1)(x −3)=0，x 1=1，x 2=3，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(3,0)，∴OA =1，OB =3，∵△OCA∽△OBC ，∴OA OC =OC OB ，即1OC =OC 3，解得，OC =√3；(2)在Rt △BOD 中，点C 是BD 的中点，∴BD =2OC =2√3，由勾股定理得，OD =√BD 2−OB 2=√(2√3)2−32=√3，∴点D 的坐标为(0,−√3)设直线BD 的解析式为：y =kx +b ，则{b =−√33k +b =0，解得，{k =√33b =−√3， 则直线BD 的解析式为：y =√33x −√3， ∵点B 的坐标为(3,0)，点D 的坐标为(0,−√3)，点C 是BD 的中点， ∴点C 的坐标为(32,−√32)， ∴−√32=a(32−1)(32−3)， 解得，a =23√3，∴抛物线的解析式：y =23√3(x −1)(x −3)，即y =23√3x 2−83√3x +2√3； (3)作PG ⊥OB 交BD 于G ，tan∠OBD =ODOB =√33， ∴∠OBD =30°，∵PF//AB ，∴∠PFG =∠OBD =30°，∴PF =√3PG ，∵PE ⊥BC ，PF ⊥PG ，∴∠EPG =∠PFG =30°，∴PE =√32PG ， ∴PE +PF =√3PG +√32PG =3√32PG ， 设点P 的坐标为(m,23√3m 2−83√3m +2√3)，点G 的坐标为(m,√33m −√3)， ∴PG =√33m −√3−(23√3m 2−83√3m +2√3) =−23√3m 2+3√3m −3√3 ∴PE +PF =3√32PG =−3m 2+272m −272 =−3(m −94)2+2716，则PE +PF 的最大值为2716．【解析】(1)解方程求出点A的坐标、点B的坐标，得到OA=1，OB=3，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OC；(2)根据直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出OD，利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据中点的概念求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(3)作PG⊥OB交BD于G，根据正切的定义得到∠OBD=30°，用PG分别表示出PE、PF，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、相似三角形的性质，掌握二次函数的性质、相似三角形的性质是解题的关键．28.【答案】解：(1)∵AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，∴AC=√BC2−AB2=4cm，∵MN//AB，PQ//MN，∴PQ//AB，∴CPCA =CQCB，∴4−t4=t5，∴t=209s(2)如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE//AB，∴CQCB =CECA=QEAB，∴t5=CE4=QE3，∴CE=45t，QE=35t，∵∠CPQ=45°，∴PE=QE=35t，∴t+35t+45t=4，∴t=53s(3)如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，∴四边形PMHF是矩形，∴PM=FH=5，∵∠A=∠PFC=90°，∠ACB=∠PCF，∴△ABC∽△FPC，∴PFAB =CFAC=PCBC，∴PF3=CF4=4−t5∴PF=12−3t5，CF=16−4t5，∴QH=5−FQ=5−(CF−CQ)=9+9t5，∵PQ⊥MQ，∴∠PQF+∠MQH=90°，且∠PQF+∠FPQ=90°，∴∠FPQ=∠MQH，且∠PFQ=∠H=90°，∴△PFQ∽△QHM，∴PFFQ =QHHM，∴12−3t516−4t5−t=9+9t512−3t5∴t=32s.【解析】(1)根据勾股定理求出AC，根据PQ//AB，得出CPCA =CQCB，可求t的值；(2)如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE//AB，可得CQCB =CECA=QEAB，可求CE=45t，QE=35t，由等腰直角三角形的性质可得PE=QE=35t，即可求t的值；(3)如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，可证四边形PMHF是矩形，可得PM=FH=5，通过证明△ABC∽△FPC，可得PFAB =CFAC=PCBC，可求PF=12−3t5，CF=16−4t5，通过证明△PFQ∽△QHM，可得PF FQ =QHHM，即可求解．本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．。
江苏省苏州市张家港市九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为（）A. (3,0)B. (0,3)C. (0,3)D. (3,0)2.已知ab=2，则a+ba的值是（）A. 32B. 23C. 12D. −123.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tan A=12，则BC的长是（）A. 2B. 8C. 25D. 455.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度6.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=8，AE=2，则CE的长为（）A. 3B. 72C. 4D. 927.如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是（）A. 2B. 4C. 6D. 88.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为（）A. 43kmB. (3+1)kmC. 2(3+1)kmD. (3+2)km9.如图，已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD=45，CE=8，则⊙O的半径是（）A. 92B. 5C. 6D. 15210.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E 到达点B时，P停止运动，设PD=x，图中阴影部分面积S1+S2=y，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是（）A. 一直减小B. 一直增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.抛物线y=-（x-4）2+2的最大值为______．12.已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，则扇形的弧长为______cm．13.如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE=1，S四边形DBCE=8，则AD：AB=______．14.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=3，DE=5，BD=4，则DC的长等于______．15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在格点上，则cos∠BAC=______．16.如图，双曲线y=kx与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜kx＜ax2+bx+c的解集为______．17.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点AC，若∠P=60°，PA=3，则图中阴影部分的面积为______．18.2有以下几个结论：①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；③方程ax2+bx+c=0的根为0和2；④当y＞8时，x的取值范围是x＜-2或x＞4．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）19.计算：2sin30°+cos45°-3tan60°．四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）20.已知二次函数的表达式为：y=x2-6x+5，（1）利用配方法将表达式化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=4，a=23，解这个直角三角形．22.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AB=10，求BD的长．23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．24.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：2．（1）求通道斜面AB的长；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，5≈2.24，6≈2.45）25.小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？（3）如果增种的桃树x（棵）满足：20≤x≤50，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克，最多又是多少千克？26.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．27.如图，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x 轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．28.如图1，直线l：y=-34x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜165）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当x=0时，y=x2+3=3，所以抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．故选：B．通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2.【答案】A【解析】解：∵=2，∴a=2b，∴==，故选：A．依据=2，即可得到a=2b，进而得出的值．本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．3.【答案】D【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】A【解析】解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．5.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，故选：C．根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．7.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE=AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△DBA，∴=，∴△ABC的周长=2×2=4．故选：B．先根据三角形中位线的性质得到DE=AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．8.【答案】C【解析】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2，OD=OA=2，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2，∴OB=OD+BD=2+2，即该船与观测站之间的距离（即OB的长）为（2+2）km．故选：C．过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD，OD，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，于是得到结论．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，连接OD，BD，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∵AB是直径，∴∠ADB=90，且AB=BC，∴AD=CD=4，且AO=OB，∴DO∥BC，且DE⊥OD，∴DE⊥EC，∴DE===4，∵tanC=，∴BD=2，∴AB==10，∴OA=5故选：B．由题意可得DE⊥EC，由勾股定理可得DE=4，根据锐角三角函数可求DB的长，再根据勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB==2，设PD=x，AB边上的高为h，h==，∵PD∥BC，∴△ADP∽△ACB∴，∴AD=2x，AP=x，∴S1+S2=•2x•x+（2-1-x）•=x2-2x+4-=（x-1）2+3-，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】2【解析】解：∵a=-1＜0，∴函数y=-（x-4）2+2在x=4时取得最大值2，故答案为：2．根据二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．12.【答案】83π【解析】【分析】本题考查了弧长的计算有关知识，根据弧长公式求出扇形的弧长.【解答】==π，解：l扇形则扇形的弧长=π cm．故答案为π．13.【答案】1：3【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△AEC，∴∵S△ADE=1，S=8，四边形DBCE∴S△ABC=9，∴，∴，故答案为：1：3．根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．14.【答案】154【解析】解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴=，∵AD=3，DE=5，BD=4，∴=，∴CD=，故答案为．判断出△ADC∽△BDE，得出比例式即可求出CD．此题是相似三角形性质和判定，主要考查了线段的比，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出△ADC∽△BDE．15.【答案】55【解析】解：如图，取格点E，连接EC．易知AE=，AC=，EC=2，∴AC2=AE2+EC2，∴∠AEC=90°，∴cos∠BAC===．如图，取格点E，连接EC．利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°即可解决问题．本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】x2＜x＜x3【解析】解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便．17.【答案】π6+34【解析】解：连接OP、OC，OP交AC于Q，如图，∵PA，PC分别与⊙O相切于点AC，∴OA⊥AP，OP平分∠APC，PA=PC，∴∠OAP=∠OCP=90°，∠APO=∠APC=×60°=30°，易得△PAC为等边三角形，∴AC=PA=，PQ⊥AC，在Rt△OPA中，OA=PA=1，在Rt△AOQ中，OQ=OA=，∴图中阴影部分的面积=S+S△OAC=+××=+．扇形BOC故答案为+．连接OP、OC，OP交AC于Q，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠OAP=∠OCP=90°，∠APO=30°，易得△PAC为等边三角形，所以AC=PA=，PQ⊥AC，接着计算出OA、OQ，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分+S△OAC进行计算．的面积=S扇形BOC本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积公式．18.【答案】③④【解析】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x==1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，-1），有最小值，故抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y=0时，x=0或x=2，故方程ax2+bx+c的根为0和2，故③正确，当y＞8时，x的取值范围是x＜-2或x＞4，故④正确，故答案为：③④．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19.【答案】解：原式=2×12+22-3×3=1+22-3=-2+22．【解析】先将特殊锐角三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及熟记特殊锐角的三角函数值．20.【答案】解：（1）y=x2-6x+9-9+5=（x-3）2-4，即y=（x-3）2-4；（2）由（1）知，抛物线解析式为y=（x-3）2-4，所以抛物线的对称轴为：x=3，顶点坐标为（3，-4）．【解析】（1）首先把x2-6x+5化为（x-3）2-4，然后根据把二次函数的表达式y=x2-6x+5化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）利用（1）中抛物线解析式直接写出答案．此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．21.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=4，a=23，∴b=c2−a2=2，∴b=12c，∴∠B=30°，∠A=60°．【解析】利用勾股定理可求出b=2，结合c=4可得出b=c，进而可得出∠B=30°，∠A=60°．本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b=c 是解题的关键．22.【答案】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD，∴AD=BD，∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD=BD=22AB=22×10=52，即BD=52．【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DCA=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可．本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是得出△ABD是等腰直角三角形．23.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴BEAD=BCAE，即BE1=32，∴BE=32，∴AB=AE+BE=72．【解析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB=AE+BE即可求出AB的长度．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．24.【答案】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=22CD=32，∴AN=DM=32，∵通道斜面AB的坡度i=1：2，∴tan∠ABN=ANBN=12，∴BN=2AN=6，∴AB=AN2+BN2=36≈7.4．即通道斜面AB的长约为7.4米；（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=32，∴EM=3DM=36，∴EC=EM-CM=36-32，∴BE=BC-EC=8-（36-32）=8+32-36≈4.9．即此时BE的长约为4.9米．【解析】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM=CM=CD=3，则AN=DM=3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：，得出BN=AN=6，然后根据勾股定理求出AB；（2）先解Rt△MED，求出EM=DM=3，那么EC=EM-CM=3-3，再根据BE=BC-EC即可求解．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.【答案】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得12k+b=7428k+b=66，解得k=−0.5b=80，∴该函数的表达式为y=-0.5x+80；（2）根据题意，得，（-0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克；（3）根据题意，得w=（-0.5x+80）（80+x）=-0.5 x2+40 x+6400=-0.5（x-40）2+7200∵a=-0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值，∵20≤x≤50，∴当x=20时，w最小值=5400kg；当x=40时，w最大值为7200千克．∴桃园的总产量最少是5400千克，最多又是7200千克．【解析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．26.【答案】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8-r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E=OBEB=CDDE，∴34=CD8，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+62=62．【解析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8-r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．27.【答案】解：（1）将点A的坐标代入直线y=x+c得：0=-4+c，解得：c=4，将点A坐标代入抛物线表达式得：0=-16-4b+4，解得：b=-3，故抛物线的表达式为：y=-x2-3x+4，故点A、C的坐标分别为（-4，0）、（0，4），将A、C点坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：0=−4k+b4=b，解得k=1b=4，则直线AC的表达式为：y=x+4；（2）①∵四边形DEOF为矩形，故：EF=OD，当OD垂直于AC时，OD最小（即EF最小），∵OA=OC，∴点D为AC的中点，其坐标为（-2，2），故点P坐标为（-2，6），把点D纵坐标代入二次函数表达式得：-x2-3x+4=2，解得：x=−3±172，故点M、N的坐标分别为（−3−172，2）、（−3+172，2）；②当△ADE∽△CDP时，则∠CPD=90°，PC=PD，则PC∥x轴，则点P的纵坐标为4，则点P坐标为（-3，4），点D在直线AC：y=x+4上，则点D坐标为（-3，1），则PD=4-1=3=PC，则S△CPD=12×PC•PD=92；当△ADE∽△PDC时，同理可得：S△CPD=12×PD•CH=4，故：△CPD的面积为92或4．【解析】（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；（2）①四边形DEOF为矩形，故：EF=OD，当OD垂直于AC时，OD最小，点D 为AC的中点，其坐标为（-2，2），即可求解；②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点，其中（2）①，利用矩形性质OD=EF，确定EF最小值，是本题的难点．28.【答案】解：∵直线l：y=-34x+b与x轴交于点A（4，0），∴-34×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=-34x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA=34；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=34，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4-4m，AE=5m，∴E（4-4m，3m），AC=5m，∴OC=4-5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE=OEOA，∴OE2=OA•OC=4（4-5m）=16-20m，∵E（4-4m，3m），∴（4-4m）2+9m2=25m2-32m+16，∴25m2-32m+16=16-20m，∴m=0（舍）或m=1225，∴4-4m=5225，3m=3625，∴E（5225，3625），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴12AB×OG=12OA×OB，∴OG=125，∴AG=OGtan∠OAB=125×43=165，∴EG=AG-AE=165-r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OEHE=EGEF，∴OE•EF=HE•EG=2r（165-r）=-2（r-85）2+12825，∴r=85时，OE•EF最大值为12825．【解析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
江苏省苏州市张家港市九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题
某某省某某市X家港市2016届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内.）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A等于（）A．30° B．45° C．60° D．不能确定2．数据﹣1，0，1，1，2，2，3，2，3的众数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x=0 D．x1=2，x2=14．一只不透明的袋子中装有1个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A．2 B．C．D．6．将二次函数y=的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（）A．y=﹣2 B．y=﹣2 C．y=+2 D．y=+2 7．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°9．如图，在△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，并且满足EF∥BC，．△CEF的面积为2，则△EBC的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横线上）11．已知，则=．12．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为30m．那么这根旗杆的高度为m．13．抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为．14．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为m（结果保留根号）．15．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为9cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是°．16．如图，⊙O的半径为2，过点A（4，0）的直线与⊙O相切于点B，则点B的坐标为．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=5，则AC的长为．18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．计算：．20．解不等式组：．21．已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A、B的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）设一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过B、D两点，请直接写出满足y1≤y2的x的取值X围．22．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圆，点P是上的一个动点．（1）求∠AOC的度数；（2）若⊙O的半径为2，设点P到直线AC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．23．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；（2）求弧AC的长（结果保留π）；（3）连接AC、BC，则sinC=．24．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）求船P到海岸线MN的距离；（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为40m的篱笆围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．（1）求AE：EB的值；（2）设BC的长为xm，矩形区域的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值X围；（3）在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？26．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP 的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径及线段PB的长．27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从原点O出发，沿对角线OB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，同时另一动点Q从点A出发，沿线段AO以每秒个单位长的速度向点O匀速运动，过P作PH⊥OA于点H，连接PQ、QB．当动点P到达终点B时，动点Q也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）点P的坐标是（，）；（2）在动点P、Q运动的过程中，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△BAQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．28．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．在第四象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，AF，若∠ACB=∠FAB，求点F的坐标；（3）在直线DE上作点H，使点H与点D关于点F对称，以H为圆心，HD为半径作⊙H，当⊙H与其中一条坐标轴相切时，求m的值．某某省某某市X家港市2016届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内.）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A等于（）A．30° B．45° C．60° D．不能确定【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，sin30°=，可以得到∠A的度数，本题得以解决．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，sin30°=，∴∠A=30°，故选A．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．2．数据﹣1，0，1，1，2，2，3，2，3的众数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】众数．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，由此即可确定这组数据的众数．【解答】解：∵数据﹣1，0，1，1，2，2，3，2，3中，2出现了三次，次数最多，∴这组数据的众数为2．故选C．【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力，属于基础题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．3．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x=0 D．x1=2，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．4．一只不透明的袋子中装有1个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由一只不透明的袋子中装有1个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有1个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为：=．故选D．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A．2 B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．6．将二次函数y=的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（）A．y=﹣2 B．y=﹣2 C．y=+2 D．y=+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y=x2向左移1个单位，再向下移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y=（x+1）2﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．7．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；∴==，故选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．【专题】几何图形问题．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．9．如图，在△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，并且满足EF∥BC，．△CEF的面积为2，则△EBC的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据．△CEF的面积为2，求得S△AEF=1，通过△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到=（）2=，求得S△ABC=9，即可得到结论．【解答】解：∵．△CEF的面积为2，∴S△AEF=1，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=，∴S△ABC=9，∴△EBC的面积=S△ABC﹣S△AEF﹣S△CEF=6，故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】应用题；压轴题．【分析】分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断．【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），当F在AD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（2＜x≤4），图象为：故选A【点评】此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应y与x的函数解析式．二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卷相应的横线上）11．已知，则=．【考点】比例的性质．【分析】设a=2k，则b=3k，然后把它们代入原式化简即可．【解答】解：设a=2k，则b=3k，所以===．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质，利用k分别表示出a、b是解题的关键．12．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为30m．那么这根旗杆的高度为15 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆的高度为xm，由题意得，=，解得：x=15，即旗杆的高度为15m．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．13．抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．【解答】解：顶点坐标是（1，3）．【点评】主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．14．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．15．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为9cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是80 °．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，由题意得=2×π×2，解得n=80．故答案为80．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．如图，⊙O的半径为2，过点A（4，0）的直线与⊙O相切于点B，则点B的坐标为（1，）．【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】连接OB，根据切线的性质得出OB⊥AB，作BD⊥OA于D，易证得△BOD∽△AOB，得到=，求得OD的长，根据勾股定理即可求出BD的长，从而求得B点的坐标．【解答】解：如图，连接OB；∵直线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵⊙O的半径为2，点A（4，0），∴OB=2，OA=4，作BD⊥OA于D，∵∠BDO=∠ABO=90°，∠BOD=∠AOB，∴△BOD∽△AOB，∴=，∴OD==1，∴BD===，∴B（1，）．故答案为（1，）．【点评】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=5，则AC的长为．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=5，即可求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=5，∴tan∠B=，∴=，∴AC=．故答案为：．【点评】此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴=，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1﹣+2×=1﹣2+1=0．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地2016届中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．20．解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x≥2；由②得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A、B的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；（2）设一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过B、D两点，请直接写出满足y1≤y2的x的取值X围．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）先求出A、B、C、D的坐标，画出函数图象即可；（2）在同一坐标系内画出一次函数y2=kx+b的图象，利用数形结合即可得出结论．【解答】解：（1）∵令x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．∵令x=0，则y=﹣3，∴C（0，﹣3）．∵y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）．函数图象如图所示；（2）由函数图象可知，当1≤x≤3时，y1≤y2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．22．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圆，点P是上的一个动点．（1）求∠AOC的度数；（2）若⊙O的半径为2，设点P到直线AC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．【考点】扇形面积的计算；函数关系式．【分析】（1）先根据圆内接四边形的性质求出∠P的度数，再由圆周角定理即可得出结论；（2）过点O作OH⊥AC于H，根据锐角三角函数的定义得出AH及OH的长，进而得出AC的长，用x 表示出△APC的面积，再根据y=S扇形AOC﹣S△AOC+S△APC即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ABC=120°，四边形ABCP是圆内接四边形，∴∠P=180°﹣120°=60°，∴∠AOC=2∠APC=120°；（2）过点O作OH⊥AC于H，∵∠AOC=120°，OC=OA=2，∴∠OAC=30°，∴AH=OA•cos30°=2×=，OH=OA=1，∴AC=2AH=2，∴S△APC=AC•x=x，∴y=S扇形AOC﹣S△AOC+S△APC=﹣×2×1+x=﹣+x（0≤x≤3）．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到圆内接四边形的性质、锐角三角函数的定义及扇形的面积公式等知识，难度适中．23．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标；（2）求弧AC的长（结果保留π）；（3）连接AC、BC，则sinC=．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，写出圆心坐标即可；（2）根据正方形的性质和勾股定理以及弧长公式计算即可；（3）根据正弦的定义计算即可．【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心．如图1所示，则圆心D的坐标是（2，0）；（2）由图1可知，∠ADC=90°，AD=，∴弧AC的长为：=π；（3）如图2，由勾股定理得AE=，AC=，由正方形的性质和格点的性质可知，∠AEC=90°，则sinC===，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、弧长的计算，掌握弦的垂直平分线经过圆心、弧长的计算公式是解题的关键．24．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）求船P到海岸线MN的距离；（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）如图，过点P作PE⊥AB于点E．解Rt△APE求出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断【解答】解：（1）如图所示：过点P作PE⊥AB于点E．由题意得，∠PAE=30°，AP=30海里，在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin30°=15海里；（3）在Rt△PBE中，PE=15海里，∠PBE=53°，则BP==海里，A船需要的时间为：=1.5小时，B船需要的时间为：=1.25小时，∵＞1.25，∴B船先到达．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．25．为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为40m的篱笆围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．（1）求AE：EB的值；（2）设BC的长为xm，矩形区域的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值X围；（3）在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，于是得到结论；（2）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的X围即可；（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，∴AE：EB=2：1；（2）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，设BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=40，∴a=﹣x+5，3a=﹣x+15，∴y=（﹣x+15）x=﹣x2+15x，∵a=﹣x+5＞0，∴x＜20，则y=﹣x2+15x（0＜x＜20）；（3）∵y=﹣x2+15x=﹣（x﹣10）2+75（0＜x＜20），且二次项系数为﹣＜0，∴当x=10时，y有最大值，最大值为75平方米．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．26．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP 的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径及线段PB的长．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．【解答】证明：（1）如图1，连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从原点O出发，沿对角线OB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，同时另一动点Q从点A 出发，沿线段AO以每秒个单位长的速度向点O匀速运动，过P作PH⊥OA于点H，连接PQ、QB．当动点P到达终点B时，动点Q也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）点P的坐标是（t ，t ）；（2）在动点P、Q运动的过程中，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△BAQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3），可求得OA与AB的长，易证得△OPH∽△OBA，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得点P的坐标；（2）分别从点H在点Q的左侧与右侧去分析，再由△PHQ∽△BAQ或△PHQ∽△BQA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：OP=t，AQ=t，∵矩形OABC的三个顶点分别是A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA=4，AB=3，BA⊥OA，∴OB==5，∵PH⊥OA，∴PH∥AB，∴△OPH∽△OBA，∴，∴，∴OH=t，PH=t，∴点P的坐标为：（t，t）；故答案为：t，t；（2）存在．如图（1），点H在Q的左边时；∵OH=t，AQ=t，∴QH=OA﹣OH﹣AQ=4﹣t，①当△PHQ∽△BAQ时，，即，解得：t=5﹣5；②当△PHQ∽△BQA时，，即，解得：t=；如图（2），当点H在点Q右侧时；∵OH=t，AQ=t，∴QH=OH+AQ﹣OA=t﹣4，③当△PHQ∽△BAQ时，，即，解得：t=5；④当△PHQ∽△BQA时，，即，解得：t=；综上所述：当t=5﹣5或t=或t=5或t=时，以P、H、Q为顶点的三角形与△BAQ相似．【点评】此题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及点与坐标的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键，注意掌握分类讨论思想的应用．28．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．在第四象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，AF，若∠ACB=∠FAB，求点F的坐标；（3）在直线DE上作点H，使点H与点D关于点F对称，以H为圆心，HD为半径作⊙H，当⊙H与其中一条坐标轴相切时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3），可以求得抛物线的函数表达式；（2）由∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，可得△ABC∽△FBA，从而可以得到BF的长度，根据B、C两点可以求得直线BC的解析式，由点F在直线BC上，从而可以求得点F的坐标；（3）由题意可得分两种情况，一种是与x轴相切，一种是与y轴相切，从而本题得以解决．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3），∴解得，b=﹣2，c=﹣3，即抛物线的函数表达式是：y=x2﹣2x﹣3；（2）由x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），∵点C的坐标是（0，﹣3），∴过点B、C的解析式为y=kx+m，则解得，k=1，m=﹣3，即直线BC的解析式为y=x﹣3，设点F的坐标为（m，m﹣3），∵∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，∴△ABC∽△FBA，∴∵点B的坐标为（3，0），点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3），∴BA=3﹣（﹣1）=4，BC=，∴BF=，∵直线BC的解析式为y=x﹣3，点F的坐标为（m，m﹣3），∴∠EBF=45°，BE=3﹣m，∴sin45°=解得，m=，即点F的坐标是（）；（3）设点D的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，m﹣3），则点H的坐标为（m，﹣m2+4m﹣3），∴DH=﹣2m2+6m，当⊙H与x轴相切时，﹣2m2+6m=﹣（﹣m2+4m﹣3）解得，（舍去）；当⊙H与y轴相切时，﹣2m2+6m=m，解得，（舍去），由上可得，点m的值为或．【点评】本题考查二次函数综合题、求抛物线的解析式、求点的坐标、分类讨论的数学思想，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，能根据已知抛物线上的点求抛物线的解析式，利用三角形相似解相关问题、会用分类讨论的数学思想解答问题．。
2020-2021学年江苏省苏州市张家港市、常熟市等四市联考九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年江苏省苏州市张家港市、常熟市等四市联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）一元二次方程2x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，02．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 3．（3分）抽样调查了某年级30名女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）码号3334353637人数791211那么这30名女生所穿鞋子的尺码的中位数、众数分别是（）A．34，35B．34.5，35C．35，35D．35，374．（3分）⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（）A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．6．（3分）下列选项是对二次函数y＝2（x﹣3）2+1的描述，其中正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的对称轴为直线x＝﹣3C．函数的最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大7．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°8．（3分）如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0）．且1＜x1＜2，与y轴的负半轴相交．则下列关于a、b的大小关系正确的是（）A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＜a＜0 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）A．B．2C．D．3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知x＝1是方程x2+2mx＝0的根，则m＝．12．（3分）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加市运会射击项目比赛，对这两名运动员进行了10次射击测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为8（环），甲的方差为12（环2），乙的方差为1（环2），则这10次测试成绩比较稳定的运动员是．（填“甲”、“乙”）13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为．14．（3分）如图，正方形ABCD是一飞镖游戏板，其中点E，F，G，H分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是．15．（3分）已知一圆锥的母线为10cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积为cm2．（保留π）16．（3分）如图，已知点M在y轴正半轴上，⊙M与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是（2，1），则⊙M的半径为．17．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为．18．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．三、解答题（本大题共10小题．共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19．（5分）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．20．（5分）解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．21．（6分）某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，这名顾客买了多少双鞋？22．（7分）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀．（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为（直接写出答案）；（2）若先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．24．（7分）已知二次函数y＝x2+2x﹣m．（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，如果该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值．25．（8分）如图所示，建筑物AB坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物AB在坡顶平地上的一部分影子BC＝15米，在斜坡CE上的另一部分影子CD＝5米，且斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，求建筑物AB的高度．（结果保留根号）26．（10分）如图，已知△ABC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连接CE交AB于点F，且AF＝AC．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sin A＝，求CE的长．27．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°．动点P从点A出发，在AB 边上以每秒1cm的速度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以每秒cm 的速度向终点C匀速运动，连接PQ．设运动时间为t（秒）．＝cm2；（直接写出答案）（1）当t＝2秒时，则△BPQ的面积S△BPQ（2）以PQ为直径作⊙O，在点P，Q的运动过程中．当⊙O与△ABC的一边所在直线相切时，求t的值．28．（12分）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接AC，点P为AC上方的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BP，交线段AC于点D，若PD：BD＝5：16，求此时点P的坐标；（3）如图②，连接PC，过点P作PE∥y轴，交线段AC于点E，若△PCE与△ABC相似，求出点P的横坐标及线段PE长．2020-2021学年江苏省苏州市张家港市、常熟市等四市联考九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
2022-2023学年江苏省苏州市九年级上学期数学期末试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年江苏省苏州市九年级上学期数学期末试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 有一组数据：11，11，12，15，16，则这组数据的中位数是（ ） A. 11 B. 12C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据中位数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得：把这一组数据从大到小排列后，位于正中间的数为12， ∴这组数据的中位数是12． 故选：B【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把这一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键． 2. 方程的根是（ ） 24x =B. 2或D. 2或2-【答案】D 【解析】【分析】直接两边开平方即可得到答案． 【详解】解：两边开平方得，，2x =±故选D ．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程．3. 若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系（ ） A. 点A 在圆内 B. 点A 在圆上C. 点A 在圆外D. 不能确定 【答案】A 【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d ，则d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．【详解】解：∵点A 到圆心O 的距离为3cm ，小于⊙O 的半径4cm ， ∴点A 在⊙O 内．故选：A ．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内． 4. 若抛物线的对称轴是y 轴，则a 的值是（ ） 22y x ax =++A. B.C. 0D. 22-1-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a 的方程即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y 轴， 22y x ax =++∴， =02a-解得：， 0a =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，记住二次函数的对称2y ax bx c =++2bx a=-轴公式是解题的关键．5. 如图，点A ，B ，C 在上，若，则的度数为（ ）O 100AOB ∠=︒ACB ∠A. B.C. D.40︒50︒80︒100︒【答案】B 【解析】【分析】利用圆周角定理计算即可．【详解】∵， 100AOB ∠=︒∴，111005022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．6. 我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径正对“30”刻度线，DE 已知长为，，则玻璃管内径的长度等于（ ）AB 5mm DE AB ∥DEA. B. C. D.2.5mm 3mm3.5mm 4mm 【答案】B 【解析】【分析】根据，即可求解．CDE CAB △△∽【详解】解：根据题意得：， 30mm,50mm CD AC ==∵， DE AB ∥∴， CDE CAB △△∽∴，即， CD DEAC AB =30505DE =解得：． 3mm DE =故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7. 如图，C 为⊙O 上一点，是⊙O 的直径，，，现将绕点AB 4AB =30ABC ∠=︒ABC ∆B 按顺时针方向旋转30°后得到，交⊙O 于点D ，则图中阴影部分的面积为A BC ''∆BC '（ ）A.B.C.D.3π3π23π23π+【答案】C 【解析】【分析】连接，，根据及旋转，得到，OC OD 30ABC ∠=︒30ABC CBC '∠=∠=︒，从而得到是等边三角形，结合是⊙O 的直径，即可得到60DOB ∠=︒BOD ∆AB，，从而得到是等边三角形，即可得到，90ACB ∠=︒60BAC ∠=︒AOC ∆OD BC ⊥根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．120BOC ∠=︒【详解】解：连接，，过O 作， OC OD OE BD ⊥∵是⊙O 的直径， ， AB 30ABC ∠=︒∴，， 90ACB ∠=︒60BAC ∠=︒∴是等边三角形， AOC ∆∵， 4AB =∴，， 122AC AO AB ===BC ==∵绕点B 按顺时针方向旋转30°后得到， ABC ∆A BC ''∆∴， 30ABC CBC '∠=∠=︒∴， 60DOB ∠=︒是等边三角形，BOD ∆∴，， 120BOC ∠=︒OD BC ⊥∵， 30ABC ∠=︒∴，， 112OF OB ==2sin 60OE =︒=∴阴影部分的面积为：，2212021602121(2360236023πππ︒⨯⨯︒⨯⨯-⨯--⨯=︒︒故选C．【点睛】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．8. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关2y ax c =+y kx m =+()13,A y -()21,B y 于x 的不等式的解集是（ ）2ax kx c m ++≥A. 或B. 或 3x ≤-1x ≥1x ≤-3x ≥C.D.31x -≤≤13x -≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线与直线交于，两点，可得2y ax c =+y kx m =+()13,A y -()21,B y 直线与抛物线交于点，两点，根据图像即可y kx m =-+2y ax c =+()113,A y ()121,B y -得到答案．【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 2y ax c =+y kx m =+()13,A y -()21,B y ∴与抛物线交于点，两点， y kx m =-+2y ax c =+()113,A y ()121,B y -图像如图所示，由图像可知，当时，， 13x -≤≤2ax c kx m +≥-+∴的解集是， 2ax kx c m ++≥13x -≤≤故选D ．【点睛】本题考查利用函数图像解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到与抛物线交于点．y kx m =-+2y ax c =+二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是_________．尺码/ cm2424.52525.526销售量/双 131042【答案】 25【解析】【分析】直接根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数即可得出结论． 【详解】由表格可知：尺码的运动鞋销售量最多为双，即众数为． 251025故答案为：25.【点睛】本题考查了众数，解题的关键是熟练掌握众数的定义．10. 如图，在中，，，，则的值为______．Rt ABC ∆90ACB ∠=︒2AB =BC =sin B【答案】## 120.5【解析】【分析】根据勾股定理求出，根据正弦定义直接求解即可得到答案． AC 【详解】解：由题意可得，∵，，，90ACB ∠=︒2AB =BC =∴，1AC ==∴， 1sin 2AC B AB ==故答案为．12【点睛】本题考查勾股定理与解直角三角形求线段，解题的关键是求出及熟练掌握直AC 角三角形中锐角的正弦等于对边比斜边．11. 一只蚂蚁在一块黑白两色的正六边形地砖上任意爬行，并随机停留在地砖上某处，则蚂蚁停留在黑色区域的概率是______．【答案】13【解析】【分析】设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2，再由概率公式计算，即可求解．【详解】解：设该正六边形地砖的面积为6，则黑色区域的面积为2， ∴蚂蚁停留在黑色区域的概率是． 2163=故答案为：13【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率事件A 可能出现的结()P A =果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）；P （不可能事件）是解题的关1=0=键．12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______． 1x 2x 2560x x +-=1211+x x 【答案】56【解析】【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵，是一元二次方程的两个根， 1x 2x 2560x x +-=∴，， 12551x x +=-=-12661x x -==-∴ 121212115566x x x x x x +-+===-故答案为：． 56【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握，．12b x x a+=-12cx x a =13. 如图，与⊙O 相切于点A ，是⊙O 的弦，且，，则⊙O 的MN AB 1AB =30BAN ∠=︒半径长为______．【答案】1 【解析】【分析】连接，，根据与⊙O 相切于点A ，得到，结合OA OB MN 90OAN ∠=︒，得到，根据，即30BAN ∠=︒903060OAB OAN BAN ∠=∠-∠=︒-︒=︒OA OB =可得到是等边三角形即可得到答案． OAB 【详解】解：连接，， OA OB ∵与⊙O 相切于点A ， MN ∴， 90OAN ∠=︒∵，30BAN ∠=︒∴， 903060OAB OAN BAN ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵，OA OB =∴是等边三角形， OAB ∵， 1AB =∴， 1r =故答案为：1，．【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是根据切线得到．90OAN ∠=︒14. 如图，四边形中，点E 在上，且，，已知的ABCD AD EC AB ∥EB DC ∥ABE 面积为3，的面积为1，则的面积为______．ECD BCE【解析】【分析】连接，分别过点C 作于G ，过点E 作于F ，根据平行可AC CG BE ⊥EFCD ⊥证∶ 和同底等高， ， ，，从而ABC ABE BAE CED ∠=∠,AEB EDC CG EF ∠=∠=证出，，根据相似三角形的性质可得∶3E ABC AB S S == AEB EDC ∽ ，从而得出∶ ，然后计算的面积即可．EBDC===EB =BCE 【详解】解∶连接，分别过点C 作于G ，过点E 作于F ，如图：AC CG BE ⊥EF CD ⊥∵，EC AB ∥∴和同底等高，， ABC ABE BAE CED ∠=∠∵的面积为3， ABE ∴， 3E ABC AB S S == ∵，EB DC ∥∴， ,AEB EDC CG EF ∠=∠=∴， AEB EDC ∽ ∴，EB DC===∴，EB =∴1122BCE ECD S BE CG EF =⋅=⋅== 故答案为∶【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．15. 在中，，度数的最大值为______． ABC ∆2AB =BC =A ∠︒【答案】##45度45【解析】【分析】画出线段，以B 为圆心为半径画圆即可得到，当C 从与圆交点处开AB BC AB 始运动时逐渐增大，当与圆相切时最大，随后逐渐减小，根据三角函数即可得到A ∠AC 答案．【详解】解：由题意可得，画出线段，以B 为圆心为半径画圆即可得到，当C 从AB BC 与圆交点处开始运动时逐渐增大，当与圆相切时最大，随后逐渐减小， AB A ∠AC ∴当时，度数的最大，AC BC ⊥A ∠此时 sin BC A AB ∠∠==∴度数的最大值为，A ∠45︒故答案为．45【点睛】本题考查三角函数求角度，解题的的关键是画出圆利用动点问题得到最值点．16. 已知抛物线过，两点．若，则下列四个结2y x bx c =++()1,0A -(),0B m 23m <<论中正确的是______．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①；②；0b >0c <③点，在抛物线上，若，，则；④关于x ()11,M x y ()22,N x y 12x x <121x x =+12y y >的一元二次方程必有两个不相等的实数根．220x bx c +++=【答案】②③④【解析】【分析】根据抛物线过，两点，可得抛物线的对称轴为直2y x bx c =++()1,0A -(),0B m 线，再由，可得，故①错误；把点代入抛物线122b m x -+=-=23m <<0b <()1,0A -解析式可得，从而得到，故②正确；再由，可得抛物线的对10b c =+<0c <23m <<称轴位于直线和之间，分两种情况分析，进而得到，故③正确；然后12x =1x =12y y >根据，，可得，再利用一元二次方程根的判别122b m -+-=1bc =+1,b m c m =-=-式，可得关于x 的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．220x bx c +++=【详解】解∶∵抛物线过，两点，2y x bx c =++()1,0A -(),0B m ∴抛物线的对称轴为直线， 122b m x -+=-=∵，23m <<∴，11m -+>∴，故①错误；0b <∵抛物线过，2y x bx c =++()1,0A -∴，10b c -+=∴，10b c =+<∴，故②正确；0c <∵，23m <<∴，112m <-+<∴， 11122m -+<<即抛物线的对称轴位于直线和之间， 12x =1x =若点，都在对称轴左侧，()11,M x y ()22,N x y ∵开口向上，∴在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小，∵，12x x <∴，12y y >若点在对称轴左侧，在对称轴右侧，()11,M x y ()22,N x y ∵，，12x x <121x x =+∴点距离对称轴更远，()11,M x y ∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，∴，故③正确；12y y >∵，， 122b m -+-=1bc =+∴，1,b m c m =-=-∵，220x bx c +++=∴()()()()2224214218b c m m m ∆=-+=---+=+-∵，23m <<∴，()29116m <+<∴，()21188m <+-<即，0∆>关于x 的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 220x bx c +++=故答案为：②③④【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：；2cos30tan 60sin 45︒-︒+︒【解析】【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可得到答案．【详解】解：原式 2=． =【点睛】本题考查特殊三角函数求值，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数．18. 解方程：．2450x x --=【答案】125,1x x ==-【解析】【分析】直接利用因式分解求解一元二次方程即可．【详解】解：2450x x --=(5)(1)0x x -+=或50x ∴-=10x +=解得：．125,1x x ==-【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程常规的求解方法，因式分解法，直接开方法，配方法，公式法．19. 为落实“双减”政策，某中学在课后服务时间开设了四个兴趣小组，分别为A ：机器人，B ：交响乐，C ：油画，D ：古典舞．为了解学生的报名情况（每名学生只报一个兴趣小组），现随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上图文信息回答下列问题：（1）此次调查共抽取______名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，项目A 所对应的扇形圆心角的度数为______．︒【答案】（1）100（2）图见详解 （3）144【解析】【分析】（1）根据扇形统计图与条形统计图中B 的数据即可得到答案；（2）利用（1）中求出的总数减去A ，B ，D ，的即可得到C 的数据补充即可得到答案；（3）利用乘以A 所占比例即可得到答案．360︒【小问1详解】解：由题意可得，此次调查抽取人数为（人），3030%100÷=∴此次调查共抽取名学生；100【小问2详解】解：由（1）得，C 的人数为：（人），10030401020---=∴条形统计图如图所示，【小问3详解】解：由题意可得，A 所对应的扇形圆心角的度数为：， 40360144100︒⨯=︒故答案为．144【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合题，解题的关键是找到两个都有的量求出总数，熟练掌握所占圆心角等于乘以所占比例．360︒20. 为深入学习贯彻党的二十大精神，我市某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有二男二女共4名学生报名参加演讲比赛．（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是______；（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是男生的概率．【答案】（1）12（2） 16【解析】【分析】（1）利用树状图列出所有情况，找出所选的这名学生是女生的情况，代入m P n =即可得到答案；（2）利用树状图列出所有情况，找出2名学生都是男生的情况，代入即可得到答m P n=案；【小问1详解】解：由题意可得，由上图可得总共有4种情况，是女生的情况有2种，∴， 2142P ==∴选的这名学生是女生的概率是；12【小问2详解】解：由题意可得，由上图可得总共有种情况，是女生的情况有2种，12∴， 21126P ==∴这2名学生都是男生的概率为． 16【点睛】本题考查利用树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图．21. 如图，测绘飞机在同一高度沿直线由B 向C 飞行，且飞行路线经过观测目标A 的BC 正上方．在第一观测点B 处测得目标A 的俯角为，航行米后在第二观测点C 处测60︒1000得目标A 的俯角为，求第二观测点C 与目标A 之间的距离．75︒【答案】【解析】【分析】过C 作，可得，，CD AB ⊥9030DBC B ∠=︒-∠=︒15002BD BC ==，根据三角形内角和定理得到CD ==，根据的正弦即可得到答案．18045A ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒A ∠【详解】解：过C 作，CD AB ⊥∵，CD AB ⊥∴，，90CDB ∠=︒9030DBC B ∠=︒-∠=︒∴，， 15002BD BC ==CD ==∵，，75ACB ∠=︒=60B ∠︒∴，18045A ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒在中，Rt ACD ∆， sin CD A AC ∠=∴， AC ==答：第二观测点C 与目标A 之间的距离为．【点睛】本题考查利用三角函数解决仰俯角问题及三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线．22. 把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由． 418【答案】（1）剪成的一段为4米，则另一段就为4米；（2）不可能，理由见解析．【解析】【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．【小问1详解】解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，x ()8x -由题意得， 228244x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：．124x x ==答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；【小问2详解】解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，y ()8y -由题意得， 22841448y y -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形为：，2890y y --=解得：，舍去，，舍去，110y =-<298y =>即：这两个正方形面积的和不可能等于． 418【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．23. 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）．60︒（1）求这个扇形的半径；（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】（1）3 （2）12【解析】【分析】(1)连接，，过点O 作，垂足为D ，得到BC ,OB OC OD BC ⊥120BOC ∠=︒，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，30OBC OCB ∠=∠=︒=2BC BD ABC 计算即可．(2)设圆锥底面圆的半径为r ，根据题意，得，计算即可． 6032180r ππ︒⨯⨯=︒【小问1详解】如图，连接，，过点O 作，垂足为D ， BC ,OB OC OD BC ⊥∵，，60BAC ∠=︒OB OC ==AB AC =∴，，是等边三角形，120BOC ∠=︒30OBC OCB ∠=∠=︒ABC∴，， =2=23BC BD =AB BC AC ==∴这个扇形的半径为3．【小问2详解】设圆锥底面圆的半径为r ，根据题意，得， 6032180r ππ︒⨯⨯=︒解得． 12r =故圆锥底面圆的半径为．12【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．24. 已知二次函数的图像与x 轴有唯一公共点．244y ax ax =-+（1）求a 的值；（2）当时（），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m 的取值范围0x m ≤≤0m >是______．【答案】（1）1a =（2）24m ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次函数的图像与x 轴有唯一公共点即一元二次方程244y ax ax =-+的判别式等于0即可得到答案；2440ax ax -+=（2）配方找到对称轴，确定最小值，代入最大值即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得，∵二次函数的图像与x 轴有唯一公共点，244y ax ax =-+∴一元二次方程的判别式等于0，2440ax ax -+=∴，，0a ≠2(4)440a a --⨯=解得：；1a =【小问2详解】解：由（1）得，，2244(2)y x x x =-+=-∴当时，，2x =min 0y =∵当时，，0x =4y =∴抛物线上点的对称点为(0,4)(4,4)∵时（），函数的最大值为4，且最小值为0，0x m ≤≤0m >∴．24m ≤≤【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题问题及最值问题，解题的关键是根据有唯一公共点得到判别式等于0解出a 及配方找到对称轴．25. 如图，矩形中，，，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的ABCD 3AD =4CD =速度在射线上向右运动，运动时间为t 秒，连接交于点Q ．AB DP AC（1）求证：；DCQ PAQ △△∽（2）若是以为腰的等腰三角形，求运动时间t 的值．ADQ △AD 【答案】（1）见解析；（2）或 6t =727t =【解析】【分析】（1）由题意可知，从而可知，由，可AB CD DCQ PAQ ∠=∠DQC PQA ∠=∠证；△∽△DCQ PAQ（2）由矩形性质可得及勾股定理可知，，，分两种情况：①当5AC =DP =时，②当时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得的值． AD AQ =AD DQ =t 【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，ABCD ∴，AB CD ∴，DCQ PAQ ∠=∠又∵，DQC PQA ∠=∠∴；△∽△DCQ PAQ 【小问2详解】解：∵四边形是矩形，，，ABCD 3AD =4CD =∴，5AC =由题意知，，，AP t =DP ==①当时，即：，AD AQ =3AQ =2CQ =∵，△∽△DCQ PAQ ∴，即：，解得：； CQ DC AQ AP =243t=6t =②当时，即：，AD DQ =3DQ =3PQ DP DQ =-=∵，△∽△DCQ PAQ∴，整理得：， DQ DC PQ AP =4t=334t +=两边同时平方得：，整理得： 229999162t t t ++=+27207t t -=解得：； 727t =综上：是以为腰的等腰三角形时，或． ADQ △AD 6t =727t =【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键．26. 如图，以为直径的经过的顶点C ，分别平分和AB O ABC ,AE BE BAC ∠，的延长线交于点F ，交于点D ，连接．ABC ∠AE BC O BD（1）求证：；CBD BAD ∠=∠（2）求证：；BD DE =（3）若，求的长． AB =BE =BC 【答案】（1）见解析 （2）为等腰直角三角形，证明见解析BDE △（3 【解析】【分析】（1）根据平分，可得，再由圆周角定理可得AE BAC ∠BAD CAD ∠=∠，即可；CBD CAD ∠=∠（2）由直径所对圆周角为直角可知．根据角平分线的性质可知90ADB ∠=︒，．根据同弧所对圆周角相等得出，BAE CAE ∠=∠ABE CBE ∠=∠CAE CBD ∠=∠最后由三角形外角性质结合题意即可证明，得出，即说明BED EBD ∠=∠BD ED =为等腰直角三角形；BDE △（3）连接，交于点F ．由，说明，即可由垂径定理OD BC BAD CAD ∠=∠ BDCD =得出．由（2）得为等腰直角三角形，，得出OD BC ⊥BDE △BE =，再由两次勾股定理建立方程得出2BD DE ==OF =解．【小问1详解】证明：∵平分，AE BAC ∠∴，BAD CAD ∠=∠∵，CBD CAD ∠=∠∴；CBD BAD ∠=∠【小问2详解】解：为等腰直角三角形，证明如下：BDE △∵为的直径，AB O ∴．90ADB ∠=︒∵分别平分和，AE BE ，BAC ∠ABC ∠∴，． BAE CAE ∠=∠ABE CBE ∠=∠∵， CDCD =∴．CAE CBD ∠=∠∵，，BED BAE ABE ∠=∠+∠EBD CBD CBE ∠=∠+∠∴，BED EBD ∠=∠∴，BD ED =∴为等腰直角三角形；BDE △【小问3详解】如图，连接，交于点F ．OD BC∵，BAD CAD ∠=∠∴， BDCD =∴，．OD BC ⊥BF CF =∵AB =∴， 12OB OD AB ===由（2）得为等腰直角三角形，， BDE △BE =∴222BD DE BE +=，解得：，2BD DE ==在中，Rt OBF △，222BF OB OF =-在中，Rt BDF △， )222BF BD OF =--∴ )2222OB OF BD OF -=--解得： OF =∴， BF ==∴． 2BC BF ==【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．27. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点3y x =-+C ．二次函数的图像过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段2y ax 2x c =++OB 上的一个动点（不与端点O ，B 重合）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图①，过点M 作y 轴的平行线l 交于点F ，交二次函数的图BC 2y ax 2x c =++像于点E ，记的面积为，的面积为，当时，求点E 的坐标； CEF 1S BMF 2S 1212S S =（3）如图②，连接，过点M 作的垂线，过点B 作的垂线，与交于点CM CM 1l BC 2l 1l 2l G ，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． CG CM CG CM【答案】（1）；223y x x =-++（2）；(1,4)E （3）是，定值为；【解析】【分析】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B ，C 两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；（2）连接，设点M 坐标为，根据题意写出点F ，E 的坐标，表示出，，OF (,0)M m 1S 2S 根据列等式求出m 即可得到答案； 1212S S =（3）过G 作，根据垂直易得，根据对应成GN x ⊥轴COB BNG ∽COM MNG ∆∆∽比例即可得到答案；【小问1详解】解：在一次函数中，当时，，0y =3x =当时，，0x =3y =∴，，(3,0)B (0,3)C 将，代入抛物线得，(3,0)B (0,3)C， 3960c a c =⎧⎨++=⎩解得：，，1a =-3c =∴；223y x x =-++【小问2详解】解：连接，设点M 坐标为，OF (,0)Mm∵，EM y 轴∴点E 的坐标为：，点F 的坐标为，2(,23)E m m m -++(,3)F m m -+由题意可得，1OME OCE COF OMF S S S S S =+-- 211113(23)3(3)2222m m m m m m m =⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯-⨯⨯-+ 21(3)2m m m =-+， 21(3)2m m =-， ()()21332MBF S S m m ==⨯-⨯- ∵， 1212S S =∴， 221(3)1212(3)2m m m -=-解得： ，（不符合题意舍去）， 11m =232m =-∴E 的坐标为：；(1,4)E 【小问3详解】解：过G 作，由题意可得，GN x ⊥轴∵，， ，，GM CM ⊥GB CB ⊥GN x ⊥轴90COB ∠=︒∴，，，， =OMC NGM ∠∠=OCM NMG ∠∠=OCB NBG ∠∠=OBC NGB ∠∠∴，，COB BNG ∽COM MNG ∽∴，， ==OC OB CB BN GN GB ==OC OM CM MN GN MG∵，，(3,0)B (0,3)C ∴，，BN CN =OB OC =∵，222CG CM GM =+∴， 22221CG GM CM CM=+∴设点G 坐标为，点M 坐标为， (3,)G t t +(,0)M m 可得， 33m t m t=+-解得：，t m =∴， 222222313MG m CM m+==+∴， 222212CG GM CM CM=+=∴ CG CM=【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，解题的关键是设出动点坐标写出相关联的坐标，根据等量列式求解．。
2022-2023学年第一学期苏州市昆山、常熟、太仓、张家港初三数学期末阳光测评及答案
2022-2023学年第一学期苏州市初三数学阶段性学业水平阳光测评（满分130分，时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．） 1.一元二次方程x (x +1)＝0的根为A. x 1＝0或x 2＝1B. x 1＝0或x 2＝-1C. x 1＝1或x 2＝-1D. x ＝-1 2.抛物线y ＝(x -3)2+1的顶点坐标为A.（-3，1）B.（-3，-1）C.（3，-1）D.（3，1）3.在对某样本进行方差计算时，所用公式为:])10(...)10()10[(712722212-++-+-=x x x s ，则该样本容量为A.7B.14C.10D.17 4.在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝4,AC ＝3,则cos A 等于A.53B.54C.47D.435.若关于x 的一元二次方程x 2-4x -k +4＝0没有实数根，则k 的取值范围为 A. k>0 B. k>4 C. k ＜0 D. k<46.如图，AB 是⊙O 的切线，切点为B ，连接AO 与⊙O 交于点C ，点D 为BmC 上一点，连接BD ，CD .若∠A ＝36°，则∠BDC 的度数为A.32°B.18°C.27°D.36°7.如图，正五边形ABCDE 的半径为4，则这个正五边形的边长为A.8sin36°B.4sin36°C.8sin54°D.4sin54°8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-B-C 匀速运动，同时点Q 从点C 出发；以每秒1个单位长度的速度向点D 匀速运动.当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，△APQ 的面积为S ，则 S 随t 变化的函数关系图像大致是二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．）9.计算:2sin45°＝10.已知一组数据:1，3，3，4，6，则这组数据的众数是.11.若关于x的一元二次方程x2-2x+k-1＝0有一根为x＝-1，则k的值为.12.（一个圆锥形零件，底面半径为6cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为cm2。
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市、张家港等四市九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市、张家港等四市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，是一元二次方程的是( )A. y=2x−1B. x2=6C. 5xy−1=1D. 2(x+1)=22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB等于( )A. 34B. 45C. √74D. 353.已知⊙O的半径r为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为( )A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. 10cm4.九(1)班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是( )人数(人)519156时间(小时)67910A. 7，7B. 19，8C. 10，7D. 7，85.如图，已知点A(3,6)、B(1,4)、C(1,0)，则△ABC外接圆的圆心坐标是( )A. (0,0)B. (2,3)C. (5,2)D. (1,4)6.已知二次函数y=ax2−2ax+1(a<0)图象上三点A(−1,y1)，B(2,y2)C(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系为( )A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y1<y3<y2D. y3<y1<y27.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )A. 289(1−x)2=256B. 256(1−x)2=289C. 289(1−2x)=256D. 256(1−2x)=2898.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°和∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上.已知桥BC=30米，则无人机的飞行高度AD=( )A. 15米B. 15√3米C. (15√3−15)米D. (15√3+15)米9.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E.连接OD，OE，若∠DOE=130°，则∠A的度数为( )A. 45°B. 40°C. 35°D. 25°10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB⊥x轴，A(−2,0)，C(−4,1)，二次函数y=x2−2x−3的图象经过点B.将△ABC沿x轴向右平移m(m>0)个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A′顺时针旋转90°，若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为( )A. √5+1B. √2+3C. √6+2D. 2√2+1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.抛物线y=x2+1的顶点坐标是______ ．12.一只不透明的袋子中有若干个黑球和若干个白球，共15个，这些球除颜色外都相同，搅匀，则白球的个数为______个．后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为2513.若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为______.(用含π的结果表示)14.已知关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．15.将抛物线y=−(x+1)2+2先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为______．16.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=5，∠A=α，易知tanα=3，聪明的小强想求tan2α的5值，于是他在AB上取点D，使得CD=AD，则tan2α的值为______．17.如图，抛物线y1=a(x−2)2+c分别与x轴、y轴交于A、C两点，点B在抛物线上，且BC平行于x轴，直线y2=x−1经过A、B两点，则关于x的不等式a(x−2)2+c+1>x的解集是______．18.如图，半径为4的扇形OAB中，∠O=60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E落在AB⏜上时，CD=______．三、解答题（本大题共10小题，共76.0分。
张家港市九年级上册期末测试数学试题(含答案)
张家港市九年级上册期末测试数学试题(含答案)一、选择题1．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则:CD BD =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．1:4D ．1:32．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－33．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变4．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.5．若x=2y ，则xy的值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．136．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16B ．3︰4C ．9︰4D ．3︰167．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）A ．BM ＞DNB ．BM ＜DNC ．BM=DND ．无法确定9．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS －SD －DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动．已知点F 运动到点B 时，点E 也恰好运动到点C ，此时动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，△EBF 的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数图像如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC ＝6cm ，CD ＝4cm ； ③sin ∠ABS ＝32； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④10．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2311．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位13．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．1：2B ．1：2C ．1：3D ．1：415．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣2二、填空题16．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______. 17．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF 的长为_____．18．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球_____只． 19．方程22x x =的根是________．20．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________． 21．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.22．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.23．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.24．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．25．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.26．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．27．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ． 28．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．29．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是⊙O 上一个动点．且不与A ，B 重合．若∠PAC ＝α，∠ABC ＝β，则α与β的关系是_______．30．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，三、解答题31．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x的函数图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？32．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？33．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝034．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）小华8小亮83（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）35．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，1AF =，连结CE .CP ，求证：EF 为四边形AECF 的相似对角线．（2）在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，3AB =，6AC =，AC 平分BAD ∠，且AC 是四边形ABCD 的相似对角线，求BD 的长．（3）如图2，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，点E 是线段AB （不取端点A ．B ）上的一个动点，点F 是射线AD 上的一个动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，求BE 的长．（直接写出答案） 四、压轴题36．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为 ；②若AD+BD ＝14，求2AD BD CD ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O 的半径．37．如图，B 是O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F.（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ． （2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长.38．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．39．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值． 40．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据两角对应相等证明△CAD ∽△CBA ，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解. 【详解】解：∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C, ∴△CAD ∽△CBA, ∴12CD CA CA CB ,∴CA=2CD,CB=2CA, ∴CB=4CD, ∴BD=3CD,∴13CD BD. 故选：D. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键.2．D解析：D 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1）x 2=-3x ， x 2+3x=0， x （x+3）=0， 解得：x 1=0，x 2=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：调整前的平均数是：26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280；调整后的平均数是：260528023005525⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确；调整前的方差是：()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003；调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003； 故B 错误；调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，故C正确；调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变，故D正确.故选B.【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键. 4．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．5．A解析：A【解析】【分析】将x=2y代入xy中化简后即可得到答案.【详解】将x=2y代入xy得：22x yy y==，故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可.6．B解析：B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.考点：本题主要考查了相似三角形的性质 点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方7．C解析：C【解析】【分析】先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.【详解】由题意得： 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8），故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.8．C解析：C【解析】分析：连接BD ，根据平行四边形的性质得出BP=DP ，根据圆的性质得出PM=PN ，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM ，从而得出三角形全等，得出答案．详解：连接BD ，因为P 为平行四边形ABCD 的对称中心，则P 是平行四边形两对角线的交点，即BD 必过点P ，且BP=DP ， ∵以P 为圆心作圆， ∴P 又是圆的对称中心， ∵过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ， ∴PN=PM ， ∵∠DPN=∠BPM ，∴△PDN ≌△PBM （SAS ）， ∴BM=DN ．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴53BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，2224(63)(5)x x ∴+-=，解得1x =或134-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，3sin 5AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =，5 2.5k ∴=，2/k cm s ∴=，故④正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．10．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式直接计算即可．【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张， 所以抽到偶数的概率是46＝23， 故选：D ．本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键． 12．D解析：D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意；故选D.13．B解析：B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k 的值，从而得到正确选项．【详解】解：∵一元二次方程x 2-3x+k=0的一个根为x=2，∴22-3×2+k=0，解得，k=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．14．D解析：D【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．15．D解析：D【解析】x 2=4，x =±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.二、填空题16．9【解析】【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.【详解】解：∵a 是方程的一个根，∴2a2=a+3,∴2a2-a=3,∴.故答案为：9解析：9【解析】【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.【详解】解：∵a 是方程223x x =+的一个根，∴2a 2=a+3,∴2a 2-a=3,∴()2263=32339a a a a --=⨯=.故答案为：9.【点睛】本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键. 17．【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x 的 解析：4103【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=2x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．详解：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x ，AN=4﹣x ，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE +=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF ，∴△AME ∽△FNA ，∴AM ME FN AN=， 242xx =-，解得：x=4 3∴3=故答案为3．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主解析：【解析】【分析】直接利用概率公式计算．【详解】解：设袋中共有小球只，根据题意得635x=，解得x＝10，经检验，x=10是原方程的解，所以袋中共有小球10只．故答案为10．【点睛】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用. 19．x1＝0，x2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴x(x-2)=0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点睛】本题考查了一解析：x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵22x x =，∴22=0x x -，∴x(x-2)=0，x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．20．6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：6解析：6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：24120x x --=，解方程得：122,6x x =-=．故答案为：6．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．21．3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．22．（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 23．【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧2【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，AB ===PAB PBC ∠=∠，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =，∴AB ===∴∠CAB=30°，∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°∴OB=2，∠OBC=90°∴OC ===∴2CP OC OP =-=2.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P的位置. 24．120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．25．2＋2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥O解析：32【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×12＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×32＝3km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD＋BD＝32（km），故答案为：32．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．26．．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是＝；故答案为：．【点睛】解析：12．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是36＝12；故答案为：12． 【点睛】 此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．27．m≤且m≠1．【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.解析：m≤54且m≠1． 【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=240b ac -≥即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥34，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥34且m≠1. 28．1，，【解析】【分析】根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP ∥AB 时∴△DCP ∽△BCA∴即，解得DP=1如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC∴△DC解析：1，83，32【解析】【分析】根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP ∥AB 时∴△DCP ∽△BCA∴DC DP BC AB =即263DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC∴△DCP ∽△BCA∴BD DP BC AC =即6264DP -=，解得DP=83 如图，当∠CPD=∠B ，且∠C=∠C 时,∴△DCP ∽△ACB∴PD CD AB AC =即243DP =，解得DP=32故答案为1，83，32． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P 点是解答本题的关键．29．或【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解析：αβ=或180αβ+︒＝【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解：当点C 在优弧AB 上时，如图，连接OA 、OB 、OC ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（α-90°）+2β=180°，∴180αβ+︒＝；当点C 在劣弧AB 上时，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（90°-α）+2β=180°，∴αβ=.综上：α与β的关系是180αβ+︒＝或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝.本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.30．∠ACP=∠B （或）．【解析】【分析】由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解析：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【解析】【分析】由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ； 当AP AC AC AB=时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题31．（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；（2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，70758070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.5110k b =-⎧⎨=⎩， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；（2）设合作社每天获得的利润为w 元，w=x（﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x2+120x﹣2200=﹣0.5（x﹣120）2+5000，∵60≤x≤150，∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．32．（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）W＝﹣2x2+260x﹣6500；（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大为1900元．【解析】【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；（2）根据利润＝单个利润×销售量-500列出W关于x的二次函数解析式即可；（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．【详解】（1）设y＝kx+b，∵x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90，∴45110 5590k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k＝﹣2，b＝200，∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）∵售价为x元/千克，进价为30元/千克，日销量y＝﹣2x+200，每天支付其他费用500元，∴W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500＝﹣2x2+260x﹣6500，（3）∵W＝﹣2x2+260x﹣6500=﹣2（x﹣65）2+1950，∴抛物线的对称轴为x=65，∵-2<0，∴抛物线开口向下，x<65时，y随x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴x＝60时，w有最大值为-2(60-65)2+1950=1900(元)，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大为1900元．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用，考查了待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.33．（1）x1＝4，x2＝﹣6；（2）x1＝，x2＝2【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．。