第22章22..3二次函数y=ax2+c的图像与性质
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第二十二章 第2课 二次函数y=ax2的图象与性质
使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半．
2．二次函数 y＝ 3x 的图象如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B，C 在二次函数 y＝ 3x2 的图象上，四边 形 OBAC 为菱形，且∠OBA＝ 120° ，求菱形 OBAC 的面积．
2
解：连结 BC 交 OA 于 D，如图，
2
的一半？ 若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线 y＝ax 经过点 A(2,1)，∴4a＝1； 1 1 2 解得 a＝4，∴这个函数的解析式为 y＝4x ； (2)∵点 A(2,1)，∴点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标为(－2,1)； (3)∵点 A(2,1)，B(－2,1)，∴AB＝2－(－2)＝2＋2＝4， 1 S△OAB＝2×4×1＝2；
2
1 (4)假设存在点 C，且点 C 到 AB 的距离为 h.则 S△ABC＝2· AB· h 1 ＝2×4h， 1 1 ∵△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，∴2×4h＝2×2，解 1 得 h＝2，
1 1 ①当点 C 在 AB 下面时，点 C 的纵坐标为 1－2＝2，
1 1 2 1 此时，4x ＝2，解得 x1＝ 2，x2＝－ 2，点 C 的坐标为 2，2 或－
图1
当 PB＝OB 时， △AOP 是以 OP 为底的等腰三角形， 而 A(2,4)， 所以 P 点坐标为(4,0)． ②当 OA＝OP 时， ∵A(2,4)， ∴OA＝ 22＋42＝2 5， 则 P(± 2 5， 0)．
③当 AP＝OP 时，如图 2，过点 P 作 PQ⊥AO 于点 Q. 1 1 设 P(t,0)，则 Q(1,2)，故2OA· PQ＝2OP×4 即 1 1 2 2 × 2 5 × 1 － t ＋ 2 ＝ t × 4 ，解得 t ＝ 5 ，即 (5,0) ． 2 2 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是(4,0)或(2 5，0)或(－2 5， 0)或(5,0)．
人教版九年级数学上22.二次函数y=ax2的图象和性质课件
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 2x2 y
10
y x2
9
8
7
6
5
4
3 2
y 1 x2 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y= x2,21y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
归纳
二次函数 y ax2的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
巩固
1、说出下列函数图象的性质：
(1) y3x2 (2) y3x2 (3) y 1 x2
3
巩固
2、已知二次函数 y ax2的图形经
y=－2x2 … -８ -4. 5
-１ -0.25 ０ -0.25 -０.５ -０.１２５ ０ -０.１２５
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
-１ -2.25 -４ …
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
人教版九年级上册数学22.二次函数y=ax2的图象和性质课件
可对称取值 （负数、零、正数）
体验画图
（2）填表： x ┄ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┄
y┄ 9 4
2.描点与连线：
（1）视察这些点的摆放特 点，能用一条直线将它们连 接起来吗？如果不能，你准 备用一条什么样的线将它们 连接起来呢？
┄
1 0 1 49
y
y=x2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4-3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
体验画图
x ┄ -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ┄
y┄
9 6. 0 0.25 1 2.25 4 6.25
┄
9
(2)为了初步验证以上画图 的合理性，我们将上表中 x取值细化(取每两整数点 的中点)，尝试连接这所 有13个点：
LOGO
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
最值
最小值是0
最大值是0
总结性质
3. |a|越大，开口越___小__；|a|越小，开口越__大___.
4. 比较函数 y = x2 和y = - x2 的图象，有何区分和联系？
y 1 x2，y 1 x2 的图象呢？
2
画图 步骤是：列表、描点、连线.
情境引入 3.你认为最简单的二次函数情势是什么？
y ax2，a 0
4.请你画出二次函数 y x2的图象.
体验画图
1.列表：
（1）二次函数 y x2 的自变量取值范围是什么？
一切实数
你能取完自变量x的所有值吗？如果不能，你 认为在列出的表格中自变量x取哪些值合适？
体验画图
（2）填表： x ┄ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┄
y┄ 9 4
2.描点与连线：
（1）视察这些点的摆放特 点，能用一条直线将它们连 接起来吗？如果不能，你准 备用一条什么样的线将它们 连接起来呢？
┄
1 0 1 49
y
y=x2
10
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8
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5
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3
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-5 -4-3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
体验画图
x ┄ -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ┄
y┄
9 6. 0 0.25 1 2.25 4 6.25
┄
9
(2)为了初步验证以上画图 的合理性，我们将上表中 x取值细化(取每两整数点 的中点)，尝试连接这所 有13个点：
LOGO
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
最值
最小值是0
最大值是0
总结性质
3. |a|越大，开口越___小__；|a|越小，开口越__大___.
4. 比较函数 y = x2 和y = - x2 的图象，有何区分和联系？
y 1 x2，y 1 x2 的图象呢？
2
画图 步骤是：列表、描点、连线.
情境引入 3.你认为最简单的二次函数情势是什么？
y ax2，a 0
4.请你画出二次函数 y x2的图象.
体验画图
1.列表：
（1）二次函数 y x2 的自变量取值范围是什么？
一切实数
你能取完自变量x的所有值吗？如果不能，你 认为在列出的表格中自变量x取哪些值合适？
人教版九年级上册第22章二次函数图像与性质知识点题型总结
二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量，为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是全体实数.【二次函数的图象】1.二次函数图象与系数的关系（1）“决左抛物线的开口方向当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.（2）〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：S2a当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；当方同号时，对称轴在轴的左侧；当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・（3）“的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：当c>o时，交点在轴的正半轴：当c<0时，交点在y轴的负半轴.2•二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）・画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.3•点的坐标设法（1）一次函数y = ax + h图像上的任意点可设为（“与+“）•其中再=0时.该点为直线与y轴交点.（2）二次函数y = ax2+bx + c（心0）图像上的任意一点可设为（石，妙？+站+可.再=0时，该点为抛物线与y轴交点，当x=-A时，该点为抛物线顶点.2a⑶ 点（召，yj关于（兀2，x2）的对称点为（2兀-若，2比-）・4•二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性.（2）根据抛物线的对称轴判断-仝的大小.2a（3）根据抛物线与y轴的交点，判断。
九年级数学上册22二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4．函数y＝ax2与y＝－ax＋b图象可能是(
)
B
第8页
5．下列函数中，当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大的是( D )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x2
D．y＝x2
*6.已知 m 为实数，下列各点中：A(m，－am2)，B(m，－m)，C(m2，
－m)，D(－m，am2)，抛物线 y＝－ax2 一定不经过的点是____D_______．
22.1 二次函数图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2图象和性质
第1页
1．二次函数y＝ax2图象 二次函数y＝ax2图象是一条抛物线，它含有以下特点： (1)顶点在__原__点___、对称轴为__y_轴____； (2)当a＞0时，抛物线开口____向__上_，a越大，抛物线开口越______小； 当a＜0时，抛物线开口____向__下_，a越小，抛物线开口越_______小_． 2．二次函数y＝ax2性质 (1)假如a＞0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＞0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＝0时，y取最___小___值0，即y最小＝__0____． (2)假如a＜0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＞0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＝0时，y取最___大___值0，即y最大＝__0__．
*7.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 y＝13x2 与 y＝－13x2 的图象，则阴影部分的面积是
__8____．
*8.已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y
＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_y_1_1＞__y_2_＞__y__3__.
人教版九年级数学上册第22章：二次函数y=ax2的图象和性质
RJ九(上) 教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
人教版九年级数学上课件：22.1.3二次函数y=ax2 c的图像及性质
(1,0)
6/2/2019
抛物线与y抛 物 1线 x有什12么y关 系1？ x 12
2
2
y 1 x2 2
可单以位发，现就，得把到抛抛y 物物线线1向．xy2左平 移12 x12个单位，就得到抛物线；把y抛物 1线向x y右1平2移12 1x个12
－4
y=－﹙21x+1﹚2
－2 －2 －4
24
y=－﹙21x-1﹚2
－6
可以看出，抛物线的开y 口向1下 x，1对2称轴是经过点（－1，0
2
）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－
1，0）；抛物线的开口向_________，y对 称1轴 x是12
2 ___________下_____，顶点是______x_=_1_________．
思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？ 向下平移3.4个单位呢？ y=2x2+5y=2x2-3.4
6/2/2019
当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时 ，抛物线将发生怎样的变化？ 解析：二次项系数小于零时抛物线的开口向下；二次 项系数的绝对值越大开口越小，反之越大.
6/2/2019
y 1 x2, y 1 x2 2, y 1 x2 2
2
2
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴及顶点.你能说出抛物线的y开 1口x方2 向k 、对称轴 及顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 2 y 1 x2
2
6/2/2019
画出二次函数的图y 象，1 并 x 考1虑2 ,它y 们 的1开 x口1方2向、对称轴和
抛物线y=ax2与y=ax2±c之间的关系是： 形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律：
人教版九年级数学(上)第22章 二次函数y=ax2的图象和性质(21张PPT)
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
a>0 y x2 y 2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点,a越大,
10y
89
y 1 x2 2
7
6
5
抛物线的开口越小
4 3
2
1
当a<0时,抛物线的开口向 -5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
上,顶点是抛物线的最高点,a越 a<0 1 y
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
y
a>0
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;
o
x
|a|越大,抛物线的开口越小;
a<0
1、函数y=2x2的图象的开口向上,对称轴y轴,顶点是(0,0); 2、函数y=－3x2的图象的开口向下,对称轴y轴,顶点是(0,0);
最值
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
在同一坐标系中作二次函数y= x2和 y=2x2的图象，会是什么样?
例2.画出函数y=x2、y=2x2、y=
1 2
x2的图象：
顶点坐标
y=2x2 y=x2
y= 12 x2 u t ( ( x x ) ) × × x x × x = = x 2
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课后巩固作业：
题型一：习题22.1第 题型二：习题22.1第
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-1 0
-5
O
5x
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(0 ,c) y轴 (x=0)
(0 ,c) y轴 (x=0)
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
y=ax2+c(a≠0)
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向 顶点坐标
y
Ox 向上
y
O
x
向下
对称轴 增
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
减
在对称轴的左侧，
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而减小。
y随着x的增大而增大。
性
在对称轴的右侧，
在对称轴的右侧，
最值
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
当C〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
• 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴及顶点坐标
(1) y=5x2 向上，y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6) (4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
相同
-10
-5
-1 0 10
-1 -2
y
8
1 2 …… 14
-1 2 ……
6
函数y=x2-2的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y=x2-2的图象
2
与y=x2的图象的
形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图
பைடு நூலகம்象可由y=-x2的图
象沿y轴向上平移
3个单位长度得到.
-1 0
-5
4
y y=-x2+3
2
O
5x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
-4
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
-6
图象向上移还是向下移,移多少个-8
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c(a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当C>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到，
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
21 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
6
函数y=x2+1的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
函数y=x2+1的图
象与y=x2的图象
2
y=x2
的形状相同吗?
O
5
x 10
-2
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2-2 …… 2
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
1
-2 y=-x2
-10
-5
y=x -2 2 O
5x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ；