三角形的等积变形0
三角形等积变形
三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。
以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。
例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。
2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。
可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。
3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。
4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。
这些是一些常见的三角形等积变形的示例。
以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。
2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。
保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。
3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。
保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。
第十讲 等积变换
◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。
⑵等底等高的两个三角形面积相等。
⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。
⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。
⑴等底等高的三角形面积相等。
⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。
典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。
求三角形ABC 的面积。
ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。
若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。
例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。
图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。
三角形等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等。
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
1. 校园里有两块三角形空地，计划分别种上玫瑰和牡丹，玫瑰园和牡丹园一共占地多少平方米？2. 如下图，已知阴影部分的面积为28平方厘米，求平行四边形的面积。
3. 下图由两个正方形组成，其边长6cm和4cm，求阴影部分的面积。
4. 已知平行四边形的底边为10cm，高为5cm，求两个阴影面积之和是多少？5. 在△ABC中，已知CD=2BD，如果△ABD的面积为15平方厘米，求△ACD的面积。
6. 在△ABC 中，AD=BD ，DE=BD ，△BEC 的面积为7.5平方厘米，求△ABC 的面积。
7. △ABC 的面积为28平方厘米，CD=3BD ，求△ABD 和△ACD 的面积。
8. 平行四边形ABCD 的面积为135平方厘米，CE=2AE,求△ABE 的面积。
9. 已知E 是BC 的中点，△ABC 的面积是60平方厘米，DE=3BD ，求△ABD 的面积。
D B CE AB C DA10. 已知△AOD的面积是15平方厘米，△BOC的面积是30平方厘米，CO=2AO，求阴影部分的面积及梯形ABCD的面积。
11. 如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，求△ABC的面积。
12.在△ABC中，已知D是AB的中点，DE=2CE，△ADE的面积为28平方厘米，求△ABC的面积。
13.已知△ABC的面积是56平方厘米，△ADC的面积是20平方厘米，BE=3AE，求△BDE 的面积。
1. 如下图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求△ABC的面积。
2. 如下图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求阴影部分的面积。
第0讲三角形的等积变形
第六讲 三角形的等积变形三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．例如图1，BD=DE=EC=13BC ，△ABD 和△AEC 的底边相等，它们所对的顶点同为A 点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD 或△AEC 面积的3倍．例如在图2中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是BC ），它所对的两个顶点A 、D 在与底BC 平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如图3中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是BC ），△ABC 的高是△DBC 高的2倍（D 是AB 中点，AB=2BD ，有AH=2DE ），则△ABC 的面积是△DBC 面积的2倍。
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据。
【典型例题】【例1】 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法1：把底边四等分图1 图2 图3方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积。
三角形中的重要模型-等积模型(解析版)
三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB ⎳CD ，则S △ACD =S △BCD ；反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB ⎳CD 。
图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC =BE ∶CF 。
1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 边AC 的中线，点E 在BC 上，BE =12EC ，△ABD 的面积是3，则△BED 的面积是()A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S △BDC 、S △BED ．【详解】解：∵BD 是△ABC 边AC 的中线，△ABD 的面积是3，∴S △BDC =S △ABD =3，∵BE =12EC ，∴S △BED =13S △DBC =1，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是△ABD 的边BD 上的中线，BF 是△ABE 的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的边AC 上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的边BD 上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵BF 是△ABE 的边AE 上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．3(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：∵CG :GF =2:1，△AFG 的面积为2，∴△ACG 的面积为4，∴△ACF 的面积为2+4=6，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积=△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．【答案】14.4【分析】连接BF , 设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,根据CD 为AB 边上中线，可得S △ADF =S △BDF =a ,S △BDC=12S △ABC ；根据BE =2CE ，可得S △CEF =12S △BEF =126-a , S △ABE =23S △ABC .进而，S △ABC 的面积可表示为2S △BDC 和32S △ABE ,由此建立方程18-a =32a +9,解出a 的值即可得到△ABC 的面积.【详解】解：连接BF ，如图所示：设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF =S △BDF =a , S △BDC =12S △ABC.∵BE =2CE ，∴S △CEF =12S △BEF =126-a ，S △ABE =23S △ABC .∴S △ABC =2S △BDC =2a +6-a a +126-a =18-a ，S △ABC =32S △ABE =322a +6-a =32a +9，即18-a =32a +9.解得:a =3.6. ∴S △ABC =18-a =18-3.6=14.4，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=(用含a 的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=(用含a 的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF (如图4)．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=(用含a 的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为(用含a 的代数式表示)，并写出理由．【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a ，见解析【分析】(1)直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；(2)连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出S ΔECD =2S ΔABC ，即可得解；(3)由(2)结论即可得出S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD ，从而得解；(4)点E 是线段AD 的中点，可得S △ABE =S △BDE ，S △ACE =S △DCE ．S △BCE =12S △ABC．点F 是线段CE 的中点，可得S △BEF =S △BCF =12S △BCE．从而可得答案．【详解】(1)解：如图2，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，∴AC 为△ABD 的中线，∴S △ACD =S △ABC 即S 1=a ；(2)如图3，连接AD ，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，∴S ΔACD =S ΔAED =12S ΔECD ，S ΔACD =S ΔABC ，∴S ΔECD =2S ΔABC =2a ，即S 2=2a ；(3)由(2)得S ΔECD =2S ΔABC =2a ，同理：SΔEFA =2S ΔABC =2a ，S ΔECD =S ΔBFD =2a ，∴S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD =6a ；(4)S△BEF=2a，理由如下：理由：∵点E是线段AD的中点，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△DCE．∴S△BCE=12S△ABC．∵点F是线段CE的中点，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE．∴S△BEF=14S△ABC=2a．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．【答案】(1)△ABP(2)①15；②221(3)图见解析，理由见解析【分析】(1)根据m⎳n，可得△ABC和△ABP同底等高，即可求解；(2)①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF，从而得到SΔACF =SΔABC，即可求解；(3)过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=SΔAEC，从而得到S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，即可求解．【详解】(1)解：∵m⎳n，∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；(2)解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔABC=12×6×5=15，∵CE∥AB，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔBAE=SΔABC=15；②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21，∴SΔABC=12×4×21=221，∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔACF=SΔABC=221；(3)解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF 即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔABC=SΔAEC，∴S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，∴S四边形ABCF =SΔADF=12SΔAED=12S四边形ABCD，∵SΔACD>SΔABC，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
等积变形(附解答)
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。
三角形等积变形
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
三角形的等积变换
三角形的等积变换
一个平面上的三角形是由三条边及其所对的三个角所确定的一个图形。
对于一个给定的三角形，我们可以进行一系列的等积变换，将其变形成为另外一个三角形。
等积变换是指变换前后保持三角形面积不变的变换。
下面我们将介绍常见的三角形等积变换及其性质。
1. 平移变换
平移变换是指将一个图形沿着某个方向平移一段距离后得到的新图形。
对于一个三角形，平移变换可以以任意一条边或其延长线作为平移的方向，并将它平移一个向量。
平移变换不改变三角形的面积及其内角大小。
2. 旋转变换
3. 翻折变换
4. 相似变换
5. 仿射变换
综上所述，三角形的等积变换包括平移变换、旋转变换、翻折变换、相似变换和仿射变换，它们可以将一个三角形变形为其他形态的三角形，但不改变其面积及其内角大小。
在三角形的等积变换中，相似变换是最为常见和重要的变换。
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第十三讲三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC 的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC
的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，
BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF 平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S △FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．。