中考数学一轮复习：6.2与圆有关的位置关系讲解本课件含答案
中考数学一轮复习课件第24节 与圆有关的位置关系
知识点一
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点到圆心的距离为d)
点在圆外⇔d > r;
点在圆上⇔d
=
r;
点在圆内⇔d
<
r.
知识点二
直线与圆的位置关系
1.几种位置关系的区别
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
0
1
2
图形
公共点个数
圆心到直线的距离d与
半径r的大小关系
d >
r
d =
r
d <
(2)若 CE=OA,sin∠BAC= ,求 tan∠CEO 的值.
思路导引:(2)过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,由 sin∠BAC=
= ,可以假设 BC=4k,AB=5k,则 AO=OC=CE= k,
用 k 表示出 OH,EH,可得结论.
(2)解:如图所示,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H.
r=3 时,☉B 与 AC 的位置关系是(
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
B
)
2.(2022 自贡)P 为☉O 外一点,PT 与☉O 相切于点 T,OP=10,∠OPT=30°,则 PT 长为(
和计算与圆切线有关问题的常用方法.
[变式2] (2022连云港)如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,连结BC,与☉O交于点D,
连结OD.若∠AOD=82°,则∠C= 49 °.
考点三
切线的判定
[典例3] (2022南充)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连
人教版中考数学一轮复习课件第6章 第23讲 与圆有关的位置关系
4.切线长定理 如图，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角.
4.如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A， B，如果CD＝7，AC＝4，那么DB等于( C ) A.5 B.4 C.3 D.2
5.三角形的内心与外心 (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，内 心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交 点，外心到三角形三个顶点的距离相等.
8.(2022玉林)如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A， B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母 的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来： __△__A_B_D__，__△__A_C_D__，__△__B_C__D_____．
1.(2022自贡)如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，
2.直线与圆的位置关系(⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
(1)直线l和⊙O相交⇔d＜r；
(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；
(3)直线l和⊙O相离⇔d＞r.
2.圆的半径是7 cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，那么
该直线和圆的位置关系是( C )
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
核心素养：几何直观、推理能力、模型观念
4.(2022武汉)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别
平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
解：(1)△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
中考数学第1轮复习第6章 第24讲 与圆有关的位置关系课件
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5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交 点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的 交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
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5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
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∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
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4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
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证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
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3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
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证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
35
在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
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解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.
2024年九年级数学中考一轮复习课件 第6章 第2节 与圆有关的位置关系
(2)如图 2，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 是⊙O 的直径，点 B 是C︵E的 中点，过点 B 的切线与 AC 的延长线交于点 D.
①求证：BD⊥AD； ②若 AC＝6，tan ∠ABC＝34，求⊙O 的半径．
(1)解：如图 1，⊙O 即为△ABC 的外接圆． (2)①证明：如图 2，连接 OB，∵BD 是⊙O 的切线，∴OB⊥BD.∵ 点 B 是C︵E的中点，∴B︵C＝B︵E，∴∠CAB＝∠EAB.∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB，∴∠CAB＝∠OBA， ∴OB∥AD，∴BD⊥AD.
OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是 A．25°
( C)
B．35°
C．40° D．50°
10．已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切
线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为
(B )
A．1∶3
B．1∶2
C． 2∶2
D．( 2－1)∶1
11．如图，点 P 是⊙O 上一点，AB 是一条弦，点 C 是A︵PB上一点， 与点 D 关于 AB 对称，AD 交⊙O 于点 E，CE 与 AB 交于点 F，且 BD∥CE. 给出下面四个结论：
∴直线 CE 为⊙O 的切线．
课后巩固练习
考点 点与圆的位置关系
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝3
cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为
A．相离
B．相交
(D )
C．相切
D．相交或相切
2．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙B的半径为1，
⊙A与⊙B内切，则点C，D与⊙A的位置关系是
(3)解：设 CE＝x，则 DE＝CD＋CE＝6＋x，∴OA＝OE＝6＋2 x，∴OC
中考数学-第1部分教材同步复习第六章圆6.2与圆有关的位置关系课件
方法．
【正解】 当点 D 在优弧 BC 上时，如图， 连接 OB，∵直线 AB 与⊙O 相切于 B 点， ∴OB⊥BA，∴∠OBA＝90°， ∵∠A＝40°，∴∠AOB＝50°， ∴∠BDC＝12∠AOB＝25°. 当点 D 在劣弧 BC 上时，即在 D′点处，如图，连接 D′C， ∵∠BDC＋∠BD′C＝180°， ∴∠BD′C＝180°－25°＝155°， ∴∠BDC 的度数为 25°或 155°.
3．切线判定的常用方法 (1)当直线与圆未说明有公共点时，采用判定(2)证明直线 与圆相切，需要过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距 离等于圆的半径，简记为“作垂直，证相等”． (2)当题中明确指明了已知直线和圆有公共点时，采用判定 (1)证明相切，先连接圆心和已知的公共点，再证明这条半径和 直线垂直，简记为“连半径，证垂直”． (3)要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公 共点的半径，此时可直接根据“经过直径的一端，并且垂直于 这条直径的直线是圆的切线”来证明，口诀是“见半径，证垂 直”．
4．切线长定理 (1)定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线 段的长，叫做这点到圆的切线长． (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点四 三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个 圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
【解答】 过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝ 6，∴DC＝3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系 是相切．
切线的性质及相关计算 【例 2】 (2014·曲靖)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC，PB 的延长线相交于点 D.
鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)
第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。
中考数学第一轮复习 第6章第22讲 与圆有关的位置关系(共25张PPT)
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/72021/9/7Tuesday, September 07, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 6:19:26 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/72021/9/72021/9/7Sep-217-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/72021/9/72021/9/7Tuesday, September 07, 2021
d<r
交点 割线
相切 ②__1__
d＝r
切点 切线
相离 0
③__d>r__
无 无
考点4 切线的性质与判定
性质定理 判定定理
切线长
圆的切线垂直于经过切点的①__半径__
过半径的外端并且②__垂直于__半径的直线是 圆的切线 经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其 中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 切线长；过圆外一点所画的圆的两条切线长③ __相等__，圆心和这一点的连线平分这两条切 线的夹角
中点，则下列结论不成立的是( D )
A．OC∥AE
B．EC＝BC
C．∠DAE＝∠ABE D．AC⊥OE
D 由C为 的中点，利用垂径定理的逆定理得出
OC⊥BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角
为直角得到AE⊥BE，即可确定出OC∥AE，选项A正
确；由C为
利用等弧对等弦，得到
中考数学专题复习《与圆有关的位置关系》课件
∴∠DOE=∠OED,∴OD=DE. ∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形, ∴∠DOE=60°,∴∠CGE=30°. ∵☉O的半径为5,∴GE=10. ∵GE是☉O的直径,∴∠GCE=90°, ∴在Rt△GCE中,GC=GE•cos∠CGE=10×cos 30°=
(2)DE=2EF. 证法一:如图1. 由(1)知∠COE=∠DOE=60°,
( B) A.50° B.55° C.60° D.65°
考点5 三角形与圆
名称 三角形的外接圆 图形
三角形的内切圆
相关 经过三角形各顶点的 与三角形各边都相切的
概念 圆;外心是三角形三边 圆;内心是三角形三条角
中垂线的交点
平分线的交点
名称 三角形的外接圆
圆心 三角形的外心 名称
(续表)
三角形的内切圆 三角形的内心
考点1 点与圆的位置关系
设r为圆的半径,d为点P到圆心的距离,则:P在圆 外⇔d>r在圆上⇔d=r在圆内⇔d<r.
[典例1]如图,在△ACB中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,若AB=5,BC=3. (1)以A为圆心,作半径为2的圆,则点 C与☉A的位置关系是 C在圆外 ; (2)以C为圆心,作半径为2.4的圆,则点D 与☉C的位置关系是 D在圆上 .
∴CE=DE. ∵OC=OE,∴△OCE为等边三角形, ∴∠OCE=60°.∵∠OCB=90°,∴∠ECF=30°. 在Rt△CEF中,
即DE=2EF.
证法二:如图1.过点O作OH⊥DF,垂足为H.∴∠OHF=90°. ∵∠OCB=∠DFC=90°, ∴四边形OCFH是矩形,∴CF=OH. ∵△ODE是等边三角形,∴DE=OE. ∵OH⊥DF,∴DH=EH. ∵∠COE=∠DOE, ∴CE=DE,∴CE=OE. ∵CF=OH,∴Rt△CFE≌Rt△OHE, ∴EF=EH,∴EH=DH=EF,∴DE=2EF.