广东省六校联考2019届高三第一次联考理科数学试题 Word版含解析
2019广东高考理科数学试卷及详细解答【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443sin 42cos (0,),2f A A A fx x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得sin 33()sin())444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅=====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =.(1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<-<-∴---<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-----<<-+-+-+--+<+->∴><+<-++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x xk x x k kk g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题
，
，
所以，
，
由椭圆定义知点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且
进而
，故轨迹 方程为：
．
（2）当直线 斜率不存在时，
，
或
，
，
此时弦长
．
当直线 斜率存在时，设 的方程为：
，
由 由△
消去 得：
，
恒成立，
设
、
，可得：
，
，
，
令8
，则 ，
，
，
．
综上，弦长 的最大值为 ． 【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置 关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.
补贴（万元/辆）
3
4
4.5
概率
0.2
0.5
0.3
纯电动汽车 2017 年地方财政补贴的平均数为
(万元)．
（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
辆数
6000
7000
8000
9000
概率
0.2
0.3
0.4
0.1
若采用方案一，100 台直流充电桩和 900 台交流充电桩每天可充电车辆数为 (辆）；
，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切于点 ，则
【答案】
16.已知函数 【答案】(-1,3)
满足
，则 的单调递减区间是______________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
22.在平面直角坐标系中，将曲线 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，
2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题(word版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】2514.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】24015.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)三、解答题：共70分。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(精编含解析)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M 的纵坐标，弦的长度为，即， 整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在; （2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断; （4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题. 11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)(精华版)
2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题 .给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合 ， B ={ x | x ﹣ 1≥0} ，则 A ∩ B 为（ ）A ． [ 1， 3]B ． [ 1， 3）C ． [ ﹣3，∞）D ．（﹣ 3，3]2．已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 55．已知 ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合 A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取 一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为 （ ）A ． 6B ．32C ． 33D ． 347．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0D．f （a）﹣f（b）≥08．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.59．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，则函数f（x）=a x2﹣10．已知2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（）A．B．C．D．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．20 B．21 C．22 D．23f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个12．设函数整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为1 的正三角形ABC中，设，，则．=14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为．15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：．=二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角A，B，C，且A，B，C 都为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无合计与教育有关关男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80“师范类毕业生 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 ”？从事与教育有关的工作与性别有关 参考公式： （n=a +b +c +d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．ABC ﹣ A 1B 1C 1 底边长为 2，E ，F 分别为 BB 1，AB 的中点． 19．正三棱柱 （ I ）已知 M 为线段 B 1A 1 上的点，且 B 1A 1=4B 1M ，求证：EM ∥面 A 1F C ； （ II ）若二面角 E ﹣ A 1C ﹣F 所成角的余弦值为 AA 1 的值．，求C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 ，且过点+ e= 20．已知椭圆 2 2 ，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， O 作 l 1 求 λ的最小值．21．已知函数发 f （x ） =（ x+1）lnx ﹣ ax+2．（ 1）当 a=1 时，求在 x=1 处的切线方程；（ 2）若函数 f （x ）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围； ，n ∈ N * ．（ 3）求证： 四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值． 23．已知函数 f （ x ）=| x +a |+| x ﹣2|（ 1）当 a=﹣3 时，求不等式 f （ x ）≥ 3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={ x| x﹣1≥0} ，则A∩B为（）A．[ 1，3] B．[ 1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]【考点】交集及其运算．A 和B，由此能求出A∩B．【分析】分别求出集合【解答】解：∵集合={ x| ﹣3≤x＜3} ，B={ x| x﹣1≥0} ={ x| x≥1} ，∴A∩B={ x| 1≤x＜3} =[ 1，3）．故选：B．2．已知复数，则z在复平面内对应的点在）（A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数= +i= ，则z 在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】 解：由 p ：对? x ∈R ，都有 f （ x ）≥M ，推不出 M 是最小值， 比如 x 2≥﹣ 1，故充分性不成立；由 q ： M 是函数 f （x ）的最小值，推出 p ：对 ? x ∈R ，都有 f （ x ）≥ M ；必要性成立，故选： B ．a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5【考点】 等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除 C ；然后可令 a n =n 一个具体的 数列进而可验证 D 、 A 不对，得到答案．【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ a 1+a 8=a 4+a 5∴排除 C ；若令 a n =n ，则 a 1a 8=1?8＜20=4?5=a 4a 5∴排除 D ，A ．故选 B5．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得）的值，再利sin（α+用两角和差的三角公式求得cosα=cos[ （α+ ）﹣] 以及sinα=s[i（nα+ ）﹣] 的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin （α+）= = ，而）﹣）cos ）sin cosα=c o[（sα+] =c o（sα++sin（α+，=∴sinα=s[i（nα+ ）﹣] =sin（α+ ）cos ﹣co s（α+ ）sin ，==sin αcos +cosαsin +sinα=sinα+cosα=﹣则，故选：A．6．已知集合A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．6B．32 C．33 D．34【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了 3 个重复的情况，进而计算可得答案．113【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C3A3 =36，C2但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33 个，故选C．7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f （a）﹣f（b）≥0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，=﹣f（x），=∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R 上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】线性回归方程．【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得 a 的值．【解答】解：由题意可知：产量x 的平均值为= =4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7 +0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由=3.5，解得：a=4.5，=表中 a 的值为 4.5，故选：D．9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 f （ x ），则函数 f （x ）的单调递增区间（ ）A ．B ．C ．D ．y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【考点】 函数 【分析】 由周期公式可求函数 的周期 =π，利用三 T= 角函数的图象变换规律可求函数 f （ x ）解析式，令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤ 2k π+ ， k ∈Z ，可得函数 f （x ）的单调递增区间．=π，T= 【解答】 解：∵函数 的周期 ∴将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的 函数为 f （x ） =2sin[ 2（ x ﹣ ）+ ] =2sin （2x ﹣ ），∴令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤2k π+ ，k ∈Z ，可得： k π﹣ ≤x ≤k π+ k ∈ Z ，[ k π﹣ ，k π+ ∴函数 f （x ）的单调递增区间为： ] ，k ∈Z ． 故选： A ．10．已知 a ∈{ 0，1， 2} ， b ∈{ ﹣1， 1， 3，5} ，则函数 f （x ）=a x 2﹣ 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．n=3× 4=12，再求出函数 f （x ）=a x 2﹣ 【分析】 先求出基本事件总数 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率．【解答】解：∵a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，∴基本事件总数n=3×4=12，函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数，①当a=0时，f（x）=﹣2b x，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1；②当a≠0 时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，∴函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p= ．故选：A．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的n 等于（《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的）A．20 B．21 C．22 D．23【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被 3 除余2，②被 5 除余2，最小两位数，故输出的n 为22，故选：C．12．设函数f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，对【分析】设g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下﹣1方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a≥0，求得 a 的取值范围．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，【解答】解：设则g′（x）=e x（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴x=﹣，取最小值﹣3e﹣，∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直线h（x）=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a，﹣1∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a＞0，∴a＞，a＜1，∴a 的取值范围（，1）．故选：C．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为 1 的正三角形ABC 中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D 为BC的中点，∴，∵，∴，∴）== =﹣，故答案为：﹣．14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象知，当直线y=2x﹣z经过A 时，直线的截距最大，此时z 最小，经过点 B 时，直线的截距最小，此时z 最大，由得A（3，4），此时z 最小值为z=6﹣4=2，故答案为：215．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为边长为 1 的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，∴球的表面积为=3π．3π．故答案为：16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果设函数计算：．= 76【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x 的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2﹣x）=8，由此能够求出所给的式子的值．【解答】解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2﹣x）+g（x）=8，故设=m，则g（）+g（）+g（）+ +g（）=m，两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，76．故答案为：二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A，B，C，且A，B，C 都17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解bc=4，又得b+c=5，联立即可解得b，c 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2 ﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14 分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8 ﹣8cosA，∴，∴，所以．，当时取到∴△ABC面积的最大值是18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无 合计与教育有 关 关男 30 10 4035 5 40女 合计 65 15 80（ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 “师范类毕业生 从事与教育有关的工作与性别有关 ”？参考公式： （n=a +b +c+d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．【考点】 离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型 随机变量及其分布列．【分析】（1）利用 k 2 计算公式即可得出．（ 2）由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率． （ 3）由题意知 X 服从 ，即可得出 E （X ）．k 2= 【解答】 解：（1）由题意得 ＜3.841．=故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”（2）由图表知这80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．（3）由题意知X 服从，则．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1 底边长为2，E，F 分别为BB1，AB 的中点．（I）已知M 为线段BB1A1=4B1M，求证：EM∥面A1F C；1A1 上的点，且II）若二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为（AA1 的值．，求【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取B1A1 中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM ∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1F C．（I I）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（I）取B1A1 中点为N，连结BN，则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，则EM∥B N，所以EM∥A1F，因为EM?面A1F C，A1F?面A1F C，故EM∥面A1FC．解：（II）如图，以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA=a．1则，，设平面A1CF法向量，为设平面A1CE法向量．为则，取z=1，得，，取x=a，得；设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，∴，整理，得，∴a= ，a2=故当二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为时，AA1 的值为．C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 e= ，且过点+ 20．已知椭圆 2 2，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， 求 λ的最小值．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】（ Ⅰ）由题意列关于 a ，b ，c 的方程组，求解方程组得 a ，b ， c 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线 l 1 的方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求得AB 的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合| AB| =λ| CD| 利用换元法求解λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=4，b=2，故；（Ⅱ）联立，化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△＞0 恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，∴，把l2：y=kx代入，得，∴，∴= = ，，λ取最小当．值21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．（1）当a=1 时，求在x=1 处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围；，n∈N* ．（3）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f （′1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a 的范围即可；（3）令a=2，得：lnx＞在（1，+∞）上总成立，令，得x= ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，对x 取值，累加ln即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），f ′（x）=ln x+ ，f′（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1 处的切线方程为：y=x．（2）f ′（x）=ln x++1﹣a，（x＞0）．（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，当x＞e a时，g′（x）＞0，不成立；（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ；令g（x）=lnx+ ，则g′（x）= ，x＞0；则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥2，故a≤2．（3）由（ii）得当a=2 时f（x）在（1，+∞）上单调递增，由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，即lnx＞在（1，+∞）上总成立，令x= 得ln ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，所以ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，，ln（n+1）﹣lnn＞，累加得ln（n+1）﹣ln1＞，即ln（n+1），n∈N*命题得证．四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方 α，把曲线 程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去 C 的参数方程化为直角坐标方程．（ 2 ） 设 点 P （ 2cos α， sin α）， 求 得 点 P 到 直 线 l 的 距 离 ，tan β=，由此求得 d 的最大值．d= ρc o （s θ+ ρ 【解答】 解：（1）∵直线 的极坐标方程为 l ）=2 ，即 cos θ﹣ s in θ）=2 （ ，即 x ﹣ y ﹣ 4 =0．曲线 C 的参数方程为 （ α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 α，可得 =1．+ （ 2）设点 P （ 2cos α， sin α）为曲线 C 上任意一点，则 点 到 直 线 的 距 离 P l d===，其中，cos β=，s inβ=，即tan β=，故当co s（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．23．已知函数f（x）=| x+a|+| x﹣2|（1）当a=﹣3 时，求不等式f（x）≥3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立，由此求得求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即| x﹣3|+| x﹣2| ≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{ x| x≤1或x≥4} ．（2）原命题即f（x）≤| x﹣4| 在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a|+ 2﹣x≤4﹣x在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a| ≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a 的取值范围为[ ﹣3，0] ．第31 页（共31 页）精品资料精品学习资料第 31 页，共 31 页。
2019届广东省深圳实验,珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题
广东省六校2019届高三第一次联考理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B = A ．[1,0)- B ．(1,0)- C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞-2．若复数z 满足i 12i z =+，则z 的共轭复数的虚部为A ．2iB ．iC ．1D ．23．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若542S S =，248a a +=，则5a =A ．6B ．7C ．8D ．104．在区间[π,π]-上随机取两个实数,a b ，记向量(,4)OA a b =，(4,)OB a b =，则24πOA OB ≥的 概率为A ．π18-B ．π14-C ．π12-D ．3π14-5．已知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左、右两支分别交于M 、N 两点，且1MF 、2NF 都垂直于x 轴（其中1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为 A ．3B ．5C ．51-D ．512+ 6．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足4EB EC =，则ED =A ．5463AB AC - B ．4536AB AC -C ．5463AB AC +D ．4536AB AC +7．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是 A ．3273cm 2 B ．39cm 2C ．393cm 2D ．327cm 28．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =， 则1(2019)2f =A ．94 B ．14 C ．94-D ．14-10．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为A ．118B ．54C ．32D ．111．已知三棱锥P ABC -中，A B B C ⊥，22AB =，3BC =，32PA PB ==，且二面角P A B C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π12．已知数列}{n a 满足12323(21)3n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n ∈N ，则λ的最小值是A ．32B ．94C ．3112 D ．3118二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省六校届高三第一次联考试题目数学理共10页
广东省六校2019届高三第一次联考试题数学（理）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ⋂=ðA ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知命题p ：21,04x R x x ∀∈-+≥，则命题p 的否定p ⌝是A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．21,04x R x x ∀∈-+≤ C ．21,04x R x x ∀∈-+<D ．21,04x R x x ∃∈-+≥4．已知3log,2321==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为A ．22B ．2C ．212-D ．212+5．函数21()log f x x x =-A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．()2,36．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AB AD λ=，则实数λ等于ab 1-A ．()2||a b aa b ⋅-- B ．()2||a a ba b ⋅--C ．()||a b aa b ⋅-- D ．()||a a ba b ⋅-- 8．已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，()f i i≠，设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有A ．216个B ．108个C ．48个D ．24个 第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．10．在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
广东省2019届高三六校第一次联考理科数学试题(解析版)
广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案. 方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
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广东省2019届高三六校第一次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案.【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则A. B.C. D.【答案】A【解析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果. 【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键. 10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积. 【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．【答案】25【解析】【分析】先根据约束条件绘制可行域，再根据表示可行域内点到原点的距离的平方，在可行域内确定最长距离，即可求得答案.【详解】可行域如图，表示可行域内点到原点距离的平方的最大值对应点A联立，解得所以的最大值为故答案为.【点睛】本题考查线性规划的距离型问题，线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.若，则的展开式中常数项为______________．【答案】240【解析】【分析】先根据定积分运算法则求出，再根据展开式的通项公式，令的指数为，即可求得答案.【详解】展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为240.【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．【答案】【解析】【分析】根据反射的特征，作点关于轴的对称点，则与圆相切，，利用两点距离公式、圆心到直线的距离等于半径和勾股定理，即可求出结果.【详解】点关于轴的对称点为，由反射的对称性可知，与圆相切，圆的圆心坐标为，半径；，故答案为.【点睛】本题考查直线与圆相切，点关于直线的对称，两点间距离和点到直线距离等，解题的关键是光线反射的特征和点关于直线对称性质的合理运用.16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)【解析】【分析】将与代入已知条件，求出，写出函数解析式，求导函数，令，解不等式即可求出单调递减区间.【详解】函数满足，，整理得，即，解得函数解析式为，令，解得的单调递减区间是故答案为.【点睛】本题考查运用待定系数法求函数的解析式，考查利用导数确定函数的单调区间，属于基本概念和基本方法的考查.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，又，，所以，，所以．（2）由，，得，，所以，由正弦定理，得，所以△的面积为．【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，因为平面，平面，所以平面⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，所以平面与平面所成二面角的平面角，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，，；又由，得，于是，，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得，于是，，在中，作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面, 所成二面角的余弦值为．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．【答案】（1）3.95万元（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出电动汽车地方财政补贴的分布列，根据加权平均数的计算方法，即可求得结果.（2）根据题设条件分别列出两种方案的分布列，估算企业在两种方案下新设备产生的日利润. 【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)．（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）；若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元)【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值.【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为：．（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．当直线斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由△恒成立，设、，可得：，，，令8，则，，，．综上，弦长的最大值为．【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，确定函数在上单调性和最值，即可求出函数在上的值域；（2）通过构造函数，将问题转化为在区间上问题，求导函数，通过分类讨论确定实数的取值范围．【详解】解：（1）易知，在上单调递减，，时，，在上的值域为．（2）令，则，①若，则由（1）可知，，在上单调递增，，与题设矛盾，不符合要求；②若，则由（1）可知，，在上单调递减，，符合要求；③若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减，，，．由题：，即，，即．且由（1）可知在上单调递减，．综上，．【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.【详解】解：（1）由得将代入，整理得曲线的普通方程为，设曲线上的点为，变换后的点为由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为，曲线的参数方程为(为参数).（2）设四边形的周长为，设点，，且，，，．且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；（2）根据化简函数，将恒成立，问题转化为恒成立，解绝对值不等式，令为其子集，即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式即为，①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，无解；综上，不等式的解集为．（2）当时，，即为恒成立，，即，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理。