一元二次方程教案
一元二次方程单元备课教案

一元二次方程单元备课教案教学目标:1.理解一元二次方程的概念与性质。
2.掌握解一元二次方程的方法与技巧。
3.能够运用一元二次方程解决实际问题。
教学重点:1.一元二次方程的定义与特点。
2.解一元二次方程的常用方法。
3.实际问题应用。
教学难点:1.解一元二次方程的复杂题目。
2.通过实际问题应用解一元二次方程。
一、导入(5分钟)1.引导学生回顾一元一次方程的解法。
2.提问:一元二次方程与一元一次方程有何不同?二、讲授一元二次方程的定义与性质(10分钟)1.通过投影片介绍一元二次方程的定义和一般形式。
2.引导学生分析一元二次方程的性质,如二次项系数不为零时方程为二次方程等。
三、解一元二次方程的常用方法(20分钟)1.提供几个简单的一元二次方程示例,引导学生运用因式分解法解题。
2.通过引导解释公式法求解一元二次方程。
3.制作一个表格总结三种方法的比较,让学生明确各种方法的使用场景。
四、解一元二次方程的练习(15分钟)1.给学生发放一些练习题,旨在巩固所学知识和技巧。
2.指导学生用适当的方式解决每个问题。
五、一元二次方程在实际问题中的应用(20分钟)1.通过一些实际问题引导学生提取一元二次方程。
2.引导学生利用所学方法解决实际问题。
3.鼓励学生在解决问题后反思解题思路和方法。
六、总结与拓展(10分钟)1.提问:通过今天的学习,你对一元二次方程有了哪些新的认识?2.总结一元二次方程的定义、性质和解法。
3.拓展:介绍更高阶次方程的解法。
七、课堂小结(5分钟)1.回顾今天的学习内容,对学生的学习情况进行简要总结。
2.出一个小小测验,以检查学生对一元二次方程的理解。
教学反思:本节课通过引导学生分析和解决实际问题,帮助学生理解一元二次方程的定义与性质,并掌握解一元二次方程的方法与技巧。
在教学过程中,要注意引导学生灵活运用不同的解法,同时将数学与实际问题结合起来,提高学生的学习兴趣和应用能力。
同时,也可以适当增加一些拓展内容,让学生对数学方程的解法有更深入的了解。
《一元二次方程》数学教案8篇

《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师,通常需要准备好一份教案,编写教案有利于我们弄通教材内容,进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢?这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案,希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析:1、教材所处的地位:此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题,只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求:(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理;(3)经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述;(4)通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点:重点:列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点:发现问题中的等量关系。
二.教法、学法分析:1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外,其余时间都坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中,教师只注重点、引、激、评,注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生,让学生去亲身体验知识的产生过程,拓展学生的创造性思维。
同时,注意加强对学生的启发和引导,鼓励培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在,是如何寻求、抓准问题中的数量关系,从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题,找到等量关系,列方程等一系列活动都由生生交流,兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的,发掘学生的创新精神。
三.教学流程分析:本节课是新授课,根据学生的知识结构,整个课堂教学流程大致可分为:活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
一元二次方程的应用(优秀5篇)

一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:重点:1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点:一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例:剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析:1.要解决这个问题,就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x(x十5)=壹五0 )深入引导:方程x(x十5)=壹五0有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗?二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉:在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题,但有些方程我们解不了,但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够,从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢?现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程,就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程,但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?(1)3x十2=5x—3:(2)x2=4(2)(x十3)(3x·4)=(x十2)2;(4)(x—1)(x—2)=x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)

《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法,直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单,在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能,教学中进行了一定量的训练,但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中,要加强思想方法的渗透,发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中,均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式,公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程,所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上,体会数学思想方法在其中的作用,充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能:1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点,灵活选用解方程的方法,体会解决问题策略的多样性。
过程与方法:1.参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系,并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观:在解一元二次方程的实践中,交流、总结经验和规律,体验数学活动乐趣。
教学重难点重点:掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤,并熟练运用上述方法解题。
难点:根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现,讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题,进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题,进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点:会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】

《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次方程优秀教案

一元二次方程优秀教案一元二次方程是初中数学的主要内容,在初中代数中占重要地位。
学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。
在教学中渗透类比化归等数学思想,让学生充分观察、体验,同时营造轻松愉快的学习氛围,以此激发学生的学习兴趣并渗透环保内容。
以下是小编整理的关于一元二次方程教案,欢迎查阅!一元二次方程教案1教学目标1、知识与能力目标:要求学生会根据实际问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,培养学生归纳、分析的能力。
2、过程与方法目标:引导学生分析实际问题中的数量关系,回顾一元一次方程的概念,组织学生讨论,让学生自己抽象出一元二次方程的概念。
3.、情感、态度与价值观:通过数学建模的分析、思考过程,激发学生学数学的兴趣,体会做数学的快乐,培养用数学的意识并与校园绿化相结合。
教学重点、难点教学重点:通过实际问题模型建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程一般形式.2。
难点:通过实际问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学过程:(一)创设情景,导入新课问题一:学校有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽为多少分析:设长方形绿地的宽为x米,则列方程,整理可得。
问题二:有一块矩形绿化带,长100cm,宽50cm,在它的四角各栽种一个同样的正方形花坛,如果去掉四周矩形的底面积为3600cm2,那么四周花坛面积是多大的正方形分析:设长方形绿地的宽为x米,则列方程,整理可得。
问题三:要组织一次环保竞赛,参加的每两个班之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个班参赛【设计意图】因为数学来源与生活,所以以学生的实际生活背景为素材创设情景,易于被学生接受、感知。
同时帮助学生从实际问题中提炼出数学问题,初步培养学生的空间概念和抽象能力。
情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题,但所列的方程不是以前学过的,从而激发学生的求知欲望,顺利地进入新课,并激发学生环保意识。
一元二次方程的相关教案【优秀3篇】

一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数,研究的几何图形中有二次曲线。
因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。
一元二次方程有根与系数关系,求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系,而根与系数还有更进一步的发现,这一发现在数学学科中具有极强的实用价值,本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化,又蕴含有丰富的数学思想方法,也为学生们将来的学习打下了必要的基础。
[学生分析]进入了初二下半学期,随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进,学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后,自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
再加上我所执教的学生,他们有着较强的认知力与求知欲,基于以上思考,我在设计中扩大了学生的智力参与度,也相对放大了知识探索的空间。
[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中,经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程,得出一元二次方程根与系数的关系。
能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。
理解数学思想,体会代数论证的方法,感受辩证唯物主义认识论的基本观点。
[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系,包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程,完成解法的交流以及求根公式的复习,求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系,那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问,导入新课。
(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排,让我们想到了从两根运算上的最简组合:和差积商展开进一步研究。
初探新知中,我将学生们分成两组,分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算,之后将结果汇总展示,共同观察与系数的联系。
我在这些方程中安排了两个无理根方程。
一元二次方程的教案(必备3篇)

一元二次方程的教案(必备3篇)1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能(1)理解一元二次方程的意义。
(2)能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数,一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程,使学生积极参与数学学习活动,增进对方程的认识,发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析:教学重点难点重点:经历建立一元二次方程模型的过程,掌握一元二次方程的一般形式。
难点:准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案(1)预学检测3x-5=0是什么方程?一元一次方程的定义是怎样的?其一般形式是怎样的?五、教学过程(一)创设情境、导入新(1)自学本P2—P3并完成书本(2)请学生分别回答书本内容再(二)主体探究、合作交流(1)观察下列方程:(35-2x)2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点?它们分别含有几个未知数?它们的左边分别是未知数的几次几项式?(2)一元二次方程的概念与一般形式?如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数a≠0),其中,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项,如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1:根据一元二次方程定义,判断下列方程是否为一元二次方程?为什么?x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解:去括号得3x2-3x=5x+10移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.学生练习:书本P4练习(四)总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的?2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
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第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教学目标:1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解. 重点通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax 2+bx +c =0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别. 教学设计:活动1 复习旧知1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗?2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式.(1)2x -1 (2)mx +n =0 (3)1x+1=0 (4)x 2=13.下列哪个实数是方程2x -1=3的解?并给出方程的解的概念. A .0 B .1 C .2 D .3 活动2 探究新知 根据题意列方程.1.教材第2页 问题1. 提出问题:(1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数?(2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程? (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程. 2.教材第2页 问题2. 提出问题:(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么?(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛,每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场?(3)如果有x 个队参赛,一共比赛多少场呢?3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数. 提出问题:本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列? 4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少? 活动3 归纳概念 提出问题:(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字? (3)归纳一元二次方程的概念.1.一元二次方程:只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的________方程,叫做一元二次方程.次项,b是一次项系数;c是常数项.提出问题:(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么?(2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗?(3)2x2-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).活动4例题与练习例1 在下列方程中,属于一元二次方程的是________.(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)1x2+1x=2;(4)2x2-2x(x+7)=0.总结:判断一个方程是否是一元二次方程的依据:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例2 教材第3页例题.例3 以-2为根的一元二次方程是( )A.x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0总结:判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等.练习:1.若(a-1)x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程,那么a的取值范围是________.2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.3.教材第4页练习第2题.4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根,则k的值为________.答案:1.a≠1;2.略;3.略;4.k=4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?作业布置教材第4页习题21.1第1~7题.21.2解一元二次方程21.2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法教学目标理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重点运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想.难点的方程.教学设计 一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题. 问题1:填空(1)x 2-8x +________=(x -________)2; (2)9x 2+12x +________=(3x +________)2;(3)x 2+px +________=(x +________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(p 2)2 p2.问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x 2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x =±3,如果x 换元为2t +1,即(2t +1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t +1变为上面的x ,那么2t +1=±3 即2t +1=3,2t +1=-3 方程的两根为t 1=1,t 2=-2例1 解方程:(1)x 2+4x +4=1 (2)x 2+6x +9=2分析:(1)x 2+4x +4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x +2)2=1.(2)由已知,得:(x +3)2=2 直接开平方,得:x +3=± 2 即x +3=2,x +3=- 2所以,方程的两根x 1=-3+2,x 2=-3- 2 解:略.例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x ,一年后人均住房面积就应该是10+10x =10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x =10(1+x)2解:设每年人均住房面积增长率为x ,则:10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得1+x =±1.2 即1+x =1.2,1+x =-1.2所以,方程的两根是x 1=0.2=20%,x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x 2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材第6页 练习. 四、课堂小结 本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x 2=p(p≥0)的方程,那么x =±p 转化为应用直接开平方法解形如(mx +n)2=p(p≥0)的方程,那么mx +n =±p ,达到降次转化之目的.若p <0则方程无解.第2课时 配方法的基本形式教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x 2=p(p≥0)或(mx +n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难,如x 2+6x -16=0的一元二次方程的解题步骤. 难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧. 教学设计 一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程:(1)3x 2-1=5 (2)4(x -1)2-9=0 (3)4x 2+16x +16=9 (4)4x 2+16x =-7老师点评:上面的方程都能化成x 2=p 或(mx +n)2=p(p ≥0)的形式,那么可得 x =±p 或mx +n =±p (p≥0).如:4x 2+16x +16=(2x +4)2,你能把4x 2+16x =-7化成(2x +4)2=9吗? 二、探索新知列出下面问题的方程并回答:(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢? (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:x 2+6x -16=0移项→x 2+6x =16两边加(6/2)2使左边配成x 2+2bx +b 2的形式→x 2+6x +32=16+9左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x +3=5或x +3=-5 解一次方程→x 1=2,x 2=-8可以验证:x 1=2,x 2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2 m ,长为8 m . 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例1 用配方法解下列关于x 的方程:(1)x 2-8x +1=0 (2)x 2-2x -12=0分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上. 解:略. 三、巩固练习教材第9页 练习1,2.(1)(2). 四、课堂小结 本节课应掌握:左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.教材第17页复习巩固2,3.(1)(2).第3课时配方法的灵活运用教学目标1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.重点讲清配方法的解题步骤.难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通常把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方;对于二次项系数不为1的一元二次方程,要先化二次项系数为1,再用配方法求解.教学设计一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0老师点评:我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解:略.(2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)先将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±q;如果q<0,方程无实根.例1 解下列方程:(1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.解:略.三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6).四、课堂小结本节课应掌握:1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2.配方法是解一元二次方程的通法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到.五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4).补充:(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,求x+y+z的值.(2)求证:无论x,y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数.教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax 2+bx +c =0(a≠0)的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用. 难点一元二次方程求根公式的推导. 教学设计 一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程(1)x 2=4 (2)(x -2)2=7提问1 这种解法的(理论)依据是什么?提问2 这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程 2x 2+3=7x (老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评). (1)先将已知方程化为一般形式; (2)化二次项系数为1; (3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式; (5)变形为(x +p)2=q 的形式,如果q≥0,方程的根是x =-p±q ;如果q <0,方程无实根. 二、探索新知 用配方法解方程:(1)ax 2-7x +3=0 (2)ax 2+bx +3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax 2+bx +c =0(a≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac2a(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax 2+bx =-c二次项系数化为1,得x 2+b a x =-c a配方,得:x 2+b a x +(b 2a )2=-c a +(b 2a )2即(x +b 2a )2=b 2-4ac4a2∵4a 2>0,当b 2-4ac≥0时,b 2-4ac 4a2≥0∴(x +b 2a )2=(b 2-4ac 2a)2直接开平方,得:x +b 2a =±b 2-4ac 2a即x =-b ±b 2-4ac2a∴x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a由上可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b ±b 2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 例1 用公式法解下列方程:(1)2x 2-x -1=0 (2)x 2+1.5=-3x (3)x 2-2x +12=0 (4)4x 2-3x +2=0分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可. 补:(5)(x -2)(3x -5)=0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6). 四、课堂小结 本节课应掌握:(1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;2)找出系数a ,b ,c ,注意各项的系数包括符号;3)计算b 2-4ac ,若结果为负数,方程无解;4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况. 五、作业布置教材第17页 习题4,5.21.2.3 因式分解法教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.重点用因式分解法解一元二次方程. 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.一、复习引入(学生活动)解下列方程:(1)2x 2+x =0(用配方法) (2)3x 2+6x =0(用公式法)老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x 前面的系数应为12,12的一半应为14,因此,应加上(14)2,同时减去(14)2.(2)直接用公式求解.二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题.(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项? (2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解. 因此,上面两个方程都可以写成: (1)x(2x +1)=0 (2)3x(x +2)=0因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x =0或2x +1=0,所以x 1=0,x 2=-12.(2)3x =0或x +2=0,所以x 1=0,x 2=-2.(以上解法是如何实现降次的?)因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.例1 解方程:(1)10x -4.9x 2=0 (2)x(x -2)+x -2=0 (3)5x 2-2x -14=x 2-2x +34 (4)(x -1)2=(3-2x)2思考:使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?解:略 (方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.) 练习:下面一元二次方程解法中,正确的是( )A .(x -3)(x -5)=10×2,∴x -3=10,x -5=2,∴x 1=13,x 2=7B .(2-5x)+(5x -2)2=0,∴(5x -2)(5x -3)=0,∴x 1=25,x 2=35C .(x +2)2+4x =0,∴x 1=2,x 2=-2D .x 2=x ,两边同除以x ,得x =1三、巩固练习教材第14页 练习1,2. 四、课堂小结 本节课要掌握:(1)用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0. 五、作业布置教材第17页 习题6,8,10,11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用. 2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神. 重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.教学设计 一、复习引入1.已知方程x 2-ax -3a =0的一个根是6,则求a 及另一个根的值.2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系?3.由求根公式可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的两根为x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac 2a .观察两式右边,分母相同,分子是-b +b 2-4ac 与-b -b 2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?二、探索新知解下列方程,并填写表格:(1)关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q 为常数,p 2-4q≥0)的两根x 1,x 2与系数p ,q 之间有什么关系?(2)关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的两根x 1,x 2与系数a ,b ,c 之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?解下列方程,并填写表格:小结:根与系数关系:(1)关于x 的方程x 2+px +q =0(p ,q 为常数,p 2-4q≥0)的两根x 1,x 2与系数p ,q 的关系是:x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)(2)形如ax 2+bx +c =0(a≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.即:对于方程 ax 2+bx +c =0(a≠0)∵a ≠0,∴x 2+b a x +c a =0∴x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:(3)13x 2-2x =0 (4)2x 2+6x = 3 (5)x 2-1=0 (6)x 2-2x +1=0例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确? (1)x 2-22x +1=0 (x 1=2+1,x 2=2-1) (2)2x 2-3x -8=0 (x 1=7+734,x 2=5-734)例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)例4 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值.变式一:已知方程x 2-2kx -9=0的两根互为相反数,求k ;变式二:已知方程2x 2-5x +k =0的两根互为倒数,求k. 三、课堂小结1.根与系数的关系.2.根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零. 四、作业布置1.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积.(1)x 2-5x -3=0 (2)9x +2=x 2 (3)6x 2-3x +2=0(4)3x 2+x +1=02.已知方程x 2-3x +m =0的一个根为1,求另一根及m 的值.3.已知方程x 2+bx +6=0的一个根为-2,求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题教学目标1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程,总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2.通过学生自主探究,会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答,让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题. 难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程,找到传播问题和百分率问题中的数量关系.教学设计 一、引入新课1.列方程解应用题的基本步骤有哪些?应注意什么? 2.科学家在细胞研究过程中发现:(1)一个细胞一次可分裂成2个,经过3次分裂后共有多少个细胞? (2)一个细胞一次可分裂成x 个,经过3次分裂后共有多少个细胞?(3)如是一个细胞一次可分裂成2个,分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂,试问经过3次分裂后共有多少个细胞?二、教学活动活动1:自学教材第19页探究1,思考教师所提问题.(1)如何理解“两轮传染”?如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人,第一轮传染后共有________人患流感.第二轮传染后共有________人患流感.(2)本题中有哪些数量关系?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?解答:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感,第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程:1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10,x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.变式练习:如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?活动2:自学教材第19页~第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率?它们相等吗?(2)若设甲种药品年平均下降率为x,则一年后,甲种药品的成本下降了________元,此时成本为________元;两年后,甲种药品下降了________元,此时成本为________元.(3)增长率(下降率)公式的归纳:设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1±x);二月(或二年)后产量为a(1±x)2;n月(或n年)后产量为a(1±x)n;如果已知n月(n年)后总产量为M,则有下面等式:M=a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为:________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.2.传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基准数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).4.成本下降额较大的药品,它的下降率不一定也较大,成本下降额较小的药品,它的下降率不一定也较小.作业布置教材第21-22页习题21.3第2-7题.第2课时解决几何问题教学目标1.通过探究,学会分析几何问题中蕴含的数量关系,列出一元二次方程解决几何问题.2.通过探究,使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换,使列方程更容易.3.通过实际问题的解答,再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点通过实际图形问题,培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力.难点在探究几何问题的过程中,找出数量关系,正确地建立一元二次方程.教学设计活动1创设情境1.长方形的周长________,面积________,长方体的体积公式________.2.如图所示:(1)一块长方形铁皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为2 cm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________.(2)一块长方形铁皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为x cm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________.活动2自学教材第20页~第21页探究3,思考老师所提问题要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm).(1)要设计书本封面的长与宽的比是________,则正中央矩形的长与宽的比是________.(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7?试与同伴交流一下.(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央矩形的长为________cm,宽为________cm,面积为________cm2.(4)根据等量关系:________,可列方程为:________.(5)你能写出解题过程吗?(注意对结果是否合理进行检验.)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm,你又怎样去求上下、左右边衬的宽?活动3变式练习如图所示,在一个长为50米,宽为30米的矩形空地上,建造一个花园,要求花园的面积占整块面积的75%,等宽且互相垂直的两条路的面积占25%,求路的宽度.答案:路的宽度为5米.活动4课堂小结与作业布置课堂小结1.利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.2.根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程,并能正确解方程,最后对所得结果是否合理要进行检验.作业布置教材第22页习题21.3第8,10题.。