2017不等式证明1.doc
2016_2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.1比较法课件
[探究共研型]
用比较法证明不等式
探究1 作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？
【提示】 作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是 把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
探究2 作商比较法主要适用类型是什么？其证明的一般步骤是什么？
【提示】 作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明. 其证明的一般步骤：作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.
求商比较法证明不等式
已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【精彩点拨】 判断logaa－1与loga＋1a的符号 → 作商化简 →与1比较大小→ 下结论
【自主解答】 ∵a＞2，则a－1＞1， ∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0， logaa－1 由于 ＝loga(a－1)· loga(a＋1) loga＋1a
(2)作商比较法 a b 若 a>0，b>0，要证明 a>b，只要证明 >1；要证明 b>a，只要证明 >1.这 b a 种证明不等式的方法，叫做作商比较法. 教材整理 2 比较法证明不等式的步骤
比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先 求差(商)，然后 变形 ，最 终通过比较作 判断.
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( A.t＞s C.t＜s B.t≥s D.t≤s
求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2； (2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) .
a+b 2
【精彩点拨】 (1)利用作差比较法，注意变形分解； (2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小.
2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
2017版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第四节基本不等式课件文
取不到，可利用函数的单调性求解.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但
可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
1 解析 若 x＝x ，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上 1 5 单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋ ＝ . 2 2 5 答案 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号 方向的改变]
x (2)若 x＞0，则 y＝ 2 有最______值为________. x ＋x＋4
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝4时等号成立. 3 3 ∵4∈0，2， 3 9 ∴函数 y＝4x(3－2x) 0<x<2 的最大值为2.
(2)法一 由 2x＋8y－xy＝0，得 y(x－8)＝2x. 2x ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝ ， x－8 （2x－16）＋16 2x ∴x＋y＝x＋ ＝x ＋ x－8 x－8 16 16 ＝(x－8)＋ ＋10≥2 （x－8）× ＋10＝18. x－8 x－8 16 当且仅当 x－8＝ ，即 x＝12 时，等号成立. x－8 ∴x＋y 的最小值是 18.
1 解析 x＞0，y＝ 4 ≤ x＋x ＋1 2
1 4 x·x＋1
1 ＝5.
4 当且仅当 x＝x 即 x＝2 时等号成立.
2017届高考数学大一轮 第六章 不等式与推理证明 第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理
1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲 乙 原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，， 则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含 边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平 面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析 当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第 二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.
不等式证明条件
不等式证明条件1. 嘿，你知道吗，不等式证明条件之一就是要两边同时加上或减去同一个数呀！就像你手里有一堆苹果，给两边都加上几个苹果，不等式关系还是不变呢！比如 3＞1，两边同时加上 5，就变成 8＞6 啦。
2. 哇塞，不等式证明条件还包括两边同时乘以或除以一个正数，这可太重要啦！就好比跑步比赛，大家都按同样的速度前进，不等式的大小关系也不会变呀！像 2＜3，两边同时乘以 4，那就是 8＜12 嘛。
3. 嘿呀，还有一个条件呢，就是两边同时乘以或除以一个负数的时候，不等号方向要改变哟！这就像天气突然变了，风向都不一样啦！比如 5＞3，两边同时除以-1，就变成-5＜-3 喽。
4. 哎呀，不等式证明条件中，同向不等式可以相加呢！就像几个人一起朝着一个方向走，力量就更大啦！比如 2＜3 和 1＜2，那它们相加就是 3＜5 呀。
5. 嘿，别忘了，大的减小的肯定大于小的减小的呀，这也是个条件呢！就好像大苹果减去小苹果肯定比小苹果减去更小的苹果大嘛！像 5＞3，2＞1，那 5-2 肯定大于 3-1 啦。
6. 哇哦，同正同向不等式可以相乘呀！这就好像好几个积极向上的因素凑在一起，效果就更好啦！例如 2＜3 和 4＜5，它们相乘就是 8＜15 哟。
7. 嘿，当不等式两边都是正数的时候，可以开方哟！这就像把一个大东西分成小块，关系还是那样呀！比如 4＜9，开方后 2＜3 嘛。
8. 呀，不等式证明条件还有如果不等式两边都是非负的，还可以乘方呢！就跟升级一样呀！像 1＜2，平方后 1＜4 呀。
9. 哇，还有哦，如果一个数大于另一个数，那它加上一个正数肯定还是大于呀！这不是很明显嘛！比如 3＞1，加上 2 后 5＞3 呢。
10. 嘿，最后一个啦，不等式证明条件里，传递性可不能少呀！就像接力比赛，一个传一个，关系不变嘛！比如 3＞1，1＞-2，那 3 肯定大于-2 呀！我的观点结论就是：不等式证明条件有好多呢，掌握了这些，不等式证明就不是难事啦！。
§3.4.1基本不等式的证明(1)
§3.4.1 基本不等式的证明（1）教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。
教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。
教学过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。
2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为12,l l ，物体的质量为M ，则12l M l a =，① 21l M l b =，②，①，②相乘在除以12l l ，得M =（3）2a b + 三．建构数学1．算术平均数___________________________________________________________________.2．几何平均数___________________________________________________________________.3. 基本不等式：_____________________________________________________.给出证明：基本不等式证明的三种方法：比较法、分析法、综合法。
推广:若0(1,2,...)i a i n ≥=,12...(1,)n a a a n n N n++≤>∈. 说明：（1）基本不等式成立的条件是：0,0a b ≥≥（2）当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b =2a b +⇒=；另一方面是仅当a b =2a b +=⇒a b =。
不等式的四个公式证明
不等式的四个公式证明不等式在数学中可是个很重要的家伙，咱们今天就来好好唠唠不等式的四个公式证明。
先来说说什么是不等式。
想象一下，你有一堆糖果，小明也有一堆糖果，你俩谁的糖果多呢？这比较的过程其实就是在研究不等式。
咱先瞅瞅第一个公式，叫加法法则。
简单说，如果 a > b，那么 a +c > b + c。
这就好比你本来就比小明的零花钱多，然后你俩都得到了同样多的额外零花钱，那你还是比他多嘛。
比如说，你有 10 块钱，小明有 5 块钱，老师又给了你俩每人 3 块，那你就有 13 块，小明 8 块，你还是比他多。
再讲讲乘法法则。
当 a > b 且 c > 0 时，ac > bc。
这个也好理解，就像你跑步速度比小明快，然后在同样的时间里跑，时间越长，你跑的距离就比小明跑的更远。
比如你一分钟能跑 200 米，小明一分钟跑 150 米，要是跑 5 分钟，你能跑 1000 米，小明 750 米，差距就更大啦。
还有个除法法则。
当 a > b 且 c > 0 时，a/c > b/c。
这就好比分苹果，本来你的苹果比小明多，然后平均分给同样多的人，你分给每个人的苹果还是比小明多。
最后说一下传递性。
如果 a > b 且 b > c，那么 a > c。
这就像接力赛，你跑在前面，小明在中间，小李在后面，那你肯定也在小李前面。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。
我刚讲完加法法则，让大家做几道练习题巩固一下。
结果这小家伙举着手说：“老师，我懂啦，这就像我吃的巧克力比同桌多，我俩又都吃了同样多的棒棒糖，那我还是巧克力多。
”当时全班都笑了，不过通过这个例子，大家对加法法则的理解更深刻了。
总之，不等式的这四个公式在数学里用处可大啦，咱们解题的时候经常能用到。
大家可得把它们牢牢掌握，这样在数学的海洋里就能游得更顺畅啦！。
2017高考数学一轮 12.76 不等式证明的基本方法 理
一、综合法证明不等式 例1已知 a，b，c∈R＋，且互不相等，且 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c＜1a＋1b＋1c.
【解析】证法一：∵a，b，c∈R＋，且互不相等， 且 abc＝1，
∴ a＋ b＋ c＝ b1c＋ c1a＋ a1b＜1b＋2 1c＋ 1c＋2 1a＋1a＋2 1b＝1a＋1b＋1c.
第 76 讲 不等式证明的基本方法
【学习目标】 1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法等． 2．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数 学归纳法证明一些简单的不等式．
【基础检测】
1.已知 0<a<b1，且 M＝1＋1 a＋1＋1 b，N＝1＋a a＋
1＋b b，则 M、N 的大小关系是( B )
A.M<N C.M＝N
B.M>N D.不确定
【解析】由已知得 0<ab<1， 故 M－N＝1＋1 a＋1＋1 b－1＋a a－1＋b b ＝11－ ＋aa＋11－ ＋bb＝（12＋（a1）－（ab1＋）b）>0. 故 M>N.
2.设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a， b，c 的大小关系为 a＞b＞c .
【解析】(1)要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而 ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc ＋ca). 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而这可以由 ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2 ＝a2＋b2＋c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)证得. ∴原不等式成立.
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高三数学第一轮复习讲义（41） 2004.10.18
不等式的证明（二） 一．复习目标：
1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．
二．知识要点：
1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习：
1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ）
()
A 1,)+∞ ()
B (1]-- ()
C 1,)
+∞ ()
D (1]-+ 2
．1A =++
)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析：
例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤．
小结：
例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21
211a a =+
+， （1
介于1a 与2a 之间；
（2）证明：2a 比1a 更接近于3；
（3
例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222
n n n a αααα=++++ ，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n
a a -<
．
小结： 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103
c -
<<．
小结：
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）
()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1-
2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y
+>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ．
3．,,
x x y R x y y
∈=-，则x 的取值范围是 ．
4．已知221x y +=，求证：y ax -≤
5．证明：222
1111223n +
+++< ．
6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-．
7．已知22,,4a b R a b ∈+≤，求证22|383|20a ab b --≤．。