广东省揭阳一中、汕头金山中学2017-2018学年高三上学期期中联考(文数) Word版含答案

广东省揭阳一中、汕头金山中学2017-2018学年高三上学期期中联考数学（文科）本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A.23 B.23- C.21 D.21-4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A ．33%B ．49%C ．62%D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线ay x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A.1 B.32 C. 34 D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A.41 B.31 C.21 D.32 则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个11.已知函数数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为 ． 14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3xyx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

）17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =．()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）（1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设1(1)n n a b n =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若不等式n S t <对于任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n ∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当300n ≥时，拥挤等级为“严重拥挤”。

该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出b a ,的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==． （1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222＞＞b a by a x =+短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下求△AMN 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x--=(常数R a ∈且0≠a ). （1）证明：当0＞a 时，函数)(x f 有且只有一个极值点； （2）若函数)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：214)(0e x f ＜＜且224)(0e x f ＜＜.请考生在第22、23题中任意选一题作答。

如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ． （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求|PQ |值．23.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲已知函数322)(++-=x a x x f ,21)(+-=x x g . （Ⅰ）解不等式5)(＜x g ；（Ⅱ）若对任意的R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、 选择题：每小题5分，共60分.ADCBB DCDDC DB二、 填空题：每题5分，共20分.13. 12 14. 415. 14 16.1e 21k -≥三、解答题17．（本小题满分12分）18．解：（Ⅰ）游客人数在)100,0[范围内的天数共有15天，故15=a ，213015==b ……………………3分 游客人数的平均数为120301350152250311502150=⨯+⨯+⨯+⨯（百人）…………6分（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：),5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1()5,4(，共10种，……………9分其中游客等级均为“优”的有)5,4(),5,1(),4,1(，共3种，故所求概率为103.…………12分19．解：【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ．又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ．又∵EF CD ，∴EF GH ⊥………2分由题意，得14BH a =，34CH a =，12BG a =，∴2222516GH BG BH a =+=，22225()4FG CF BG BC a =-+=，22222516FH CF CH a =+=，则222FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．…………………4分 又∵EFFG F =，GH ⊥平面EFG ．…………………5分∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．………6分20．解：（1）由题意224615a ba b b a =⎧=⎧⎪∴+⎨⎨==⎩⎪⎩即22:14x C y +=……………… 4分 （2）(2,0)A -设1:2l x my =-，21:2l x y m=-- 由222440x my x y =-⎧⎨+-=⎩得22(4)40m y my +-=222284(,)44m m M m m -∴++ 同理222284(,)4141m mN m m -∴-++ 6分 i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-256:()4(1)5MN m l y x m =+-过定点6(,0)5- ii) 1m =±时6:5MN l x =-过点6(,0)5-MN l ∴过定点6(,0)5-（3）由（2）知32242244854414174AMNm m m m S m m m m ∆+=+=++++ 21881194()941m mm m mmm m+==+++++8分令121t m m m=+≥=±且时取等号16125S m ∆∴≤=±且时去等号，max 1625S ∆∴=12分21．本题满分12分解：依题意，()[(1)()(1)()](),xxxf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅- 令()()xh x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅. 1分（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点； 2分 ②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点. 3分 又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点.综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. 4分 （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅>得1x <-；令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， 6分 又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0t f t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅， 8分 此时22232()(1)()(1)()(1)(2)ttttttf t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+. 因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)te t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)tg t e t t t =--+， 则22()(1)(21)tg t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e=<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e <<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=. 综上知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 12分22.本题满分10分解：(1)∵ρ＝4cos θ.∴ρ2＝4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得x 2＋y 2＝4x ， 3分 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t y ＝12t消去t 解得：+10x =.所以直线l 的普通方程为+10x =. 5分 (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t 代入x 2＋y 2＝4x .整理得t 2－33t ＋5＝0. 设其两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝33，t 1t 2＝5. 所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝7. 10分 23、本题满分10分 解析：（1）由125x -+<得5125x -<-+<，13x ∴-<，解得24x -<<． 所以原不等式的解集为{}24x x -<< 5分 （2）因为对任意，都有，使得=成立 所以， 有3322)(+≥++-=a x a x x f ，所以23≥+a 从而1-≥a 或5-≤a 10分。