广西贵港市2021届高三上学期12月联考数学(文)试题Word版含解析
2021届广西贵港市高三上学期12月联考语文试卷参考答案
贵港市2021届高中毕业班12月联考监测试题语文参考答案1.（3分）C 【解析】A．曲解原意。
“仁声”比“仁言”能更好地帮助人们在艺术的熏陶下接受教化，只是“对一般大众而言”，并非所有的人。
B．“‘乐诗’的艺术性并不重要”错，“乐诗”也要让“民众喜闻乐见，使人精神愉悦”，“帮助人们在艺术的熏陶下接受教化”。
D．有很多诗篇“直接”与政治相联系的是“雅诗”与“颂诗”，而“风诗”有很多诗篇只是与各类政治事件“密切”相关。
2.（3分）A 【解析】“论述了……儒家推行‘乐诗’教化的具体措施”于文无据。
3.（3分）D 【解析】“这样一切良好的社会秩序就会形成”错，道德心只是一切社会良好秩序的前提。
4.（3分）D 【解析】曲解文意。
“认为如果演员表演吃力，就像魔术背后的秘密被看到一样，这样的表演是失败的”错。
从原文“一旦看到魔术背后的秘密，或者看出表演是吃力的，整个魔术就失败了”可知，观众看出演员表演吃力，表演才是失败的，“至于吃力与否，是我们演员自己的事儿”。
5.（3分）B 【解析】无中生有。
“但他觉得自己军人角色演得太多”错，原文并没有体现出“张译觉得自己军人角色演得太多”的意思。
6.（6分）①有责任感，演绎军人角色责无旁贷；②有信念感，中国军人无坚不摧的战斗精神，给他带来了表演中的信念感；③有敬业精神，精心塑造角色，表演时将自己的体力精力、脑力心力、控制力都调整到极致；④有先决条件，十年军旅生涯，让他具备基本的军人素质，有军人风骨。
（每点2分，答出三点即可给6分，如有其他答案，言之有理可酌情给分）7.（3分）B 【解析】本文不像一般小说那样有清晰的线索和波澜起伏的情节，故事性并不强，而是颇有“散文”的特征。
8.（6分）①语言风格清新自然，简洁优美，富有诗意。
如第三段对四季水果的描写。
②使用口语化的词语，富于生活气息和地方特色。
如“老鼠把尾巴卷在灯台柱上。
它很顽皮。
”“棒打萝卜”“红花莲子白花藕”。
③大量使用短句，使语言凝练又明快活泼。
广西贵港市2021届高三上学期12月联考文科综合答案
贵港市2021届高中毕业班12月联考监测试题文科综合参考答案一、选择题（本大题共35小题，每小题4分，共140分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A B C A C B A B B 题号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 A D C D B B C B B D B A 题号25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35答案 D B A B C B B B D B D【解析】1．麦秆画的原料为麦秆，虽经精选，但耗材量不大，A项错误；麦秆画的制作工序复杂，耗时耗力较多，且艺术独特，因而价格较高，D项正确；原生艺术、题材广泛与价格高低关系不大，C项错误；麦秆画品位高雅，欣赏人群数量有限，需求量不大，B项错误。
故选D。
2．麦秆画工人以农村家庭主妇为主，文化水平较低，创新能力不足，C正确；濮阳麦秆画手工艺品，材料中未体现自动化的程度，B错误；目前濮阳麦秆画生产商有几十家，A项错误；农村劳动力充足，D项错误。
故选C。
3．由湖泊示意图可知：滑坡体上部呈阶梯状分布而非逐渐倾斜，排除A、C；“淤塞乌江干流形成堰塞湖”说明滑坡体位于山谷中，依据“凸高为低（为山谷）”的原则可判定D正确，B错误。
故选D。
4．遥感技术（RS）是借助传感器来接收遥远的地物发射或反射的电磁波，从而获得遥感影像，主要应用于灾情监测和资源勘查，A正确；全球定位系统（GPS），主要应用于定位和导航，B错误；地理信息系统技术（GIS）主要是用来处理和地理位置有关数据的技术，能够应用于科学调查、资源管理、财产管理、发展规划、绘图和路线规划，C错误；无人机群可以用以搭载遥感技术传感器，D错误。
故选A。
5．河流发生弯曲后，侵蚀堆积现象发生的规律是“凹岸侵蚀，凸岸堆积”，图中河段东岸乙处凸向河心为凸岸，发生堆积现象，西岸甲处为凹岸，发生侵蚀现象，A错误；乙处发生堆积形成河漫滩平原，适宜人类居住，形成新的居民区，所以“数家新住处”应位于乙地，B正确；诗中叙述的情境“数家新住处，昔日大江流，古岸崩欲尽，平沙长未休”是指河文科综合参考答案·第1页（共8页）。
广西贵港市20232024学年高三上学期12月模拟考试数学答案
贵港市2024届普通高中毕业班12月模拟考试数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由题意，集合{|24}x P x =≤，3{|0}x Q x x-=≤，所以{|2}P x x =≤，{|03}Q x x =<≤，所以{|02}P Q x x =<≤ ，选B 2．(1)111(1)(1)22i i i z ii i -===+++- ，1122z i ∴=-．选A3．根据抛物线的定义：462pMF =+=，所以4p =，因此抛物线方程：28x y =，由于点M 在抛物线上，所以232x =，0||x =，OFM ∆的面积：011||||222OFM S OF x ∆=⨯⨯=⨯⨯，选D 4．函数cos()()e exxx f x π-=+定义域为R ，cos()cos()()()e ee exxxxx x f x f x ππ----===++，即()f x 是偶函数，所以A ，B 不满足；当0x =时，即cos()1x π=，而e e 2x x -+=，因此(0)0f >，D 不满足，C 满足．选C5．依题意，三棱锥111B A B C -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其半径为R =，所以11A B ==，所以11A C =，所以11 A BC ∆2(=，选C6．因为(1,2)=a ，(2,1)=-b ，所以||=a 12210⋅=⨯-⨯=a b ，即⊥a b ，所以向量a 与b的夹角为2π，所以|sin cos |||θθ⊕=-==a b a b a ，选A 7．因为函数()f x 在(,)63ππ-内单调递增，3x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以有1120236222||T ππππωω+≤⇒≤⋅⇒<≤，且2()362k k πππωπ⋅-=+∈Z ，62k ω∴=+，所以2ω=，所以()sin(2)6f x x π=-，所以55()sin(2)sin 242464f ππππ=⨯-==，选D8．ln e ln x x y y =- ，ln e ln x y y x x x ++∴=+，即ln ln(e )e x x x x y y +=+，设()ln f x x x =+，则e ()()xf x f y =，且1()+10f x x'=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，正实数x ，y 满足e ()()x f x f y =等价于e x x y =，即ln ln y x x =-，ln 1ln 1ln ln x x y x x x x++∴+=+-，设ln 1()ln x g x x x x +=+-，0x >，则2221(ln 1)1ln ()1x x x x g x x x x -+-+-'=+-=，(1)0g '∴=，设2()ln h x x x x =-+-，0x >，则1()2110h x x x'=-+-≤-<，所以()h x 单调递减，且(1)0h =，所以在(0,1)上，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,)+∞上，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)0g x g ==，当1x =时，1ey =，即ln 1(1)x x y x++-最大值为0，选B二、多选题：本题共4小题，每小题分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．由图表可知，2018~2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2019年增长为14.613.3 1.3-=万亿元，2021年增长为16.714.9 1.8-=万亿元，故A 不正确；因为670% 4.2⨯=，则70%分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B 正确；由图表可知，2017~2022这6年我国社会物流总费用与GDP 的比率的极差为14.8%14.6%0.2%-=，故C 正确；由图表可知，2019年我国的GDP 为14.614.7%99.3÷≈万亿元，故D 正确．故选BCD 10．A 选项，由14n n a a --=-知{}n a 为等差数列，公差为4-，首项为114a =，所以通项公式为144(1)418n a n n =--=-+，故A 不正确；B 选项，1()(14184)22n n n a a n n S ++-==2216n n =-+，故216n S n n =-+，则当2n ≥时，1216(218)21n n S S n n n n --=-+--+=--，故{}n Sn为等差数列，B 正确；C 选项，222162(4)32n S n n n =-+=--+，故当4n =时，n S 取得最大值，C 错误；D 选项，令0n a >得14n ≤≤，令0n a <得5n ≥，则当1n =或2时，120n n n n b a a a ++=>，当3n =时，30b <，当4n =时，40b >，当5n ≥时，0n b <，又334562(2)24b a a a ==⨯⨯-=-，44562(2)(6)24b a a a ==⨯-⨯-=，则当2n =或4n =时数列{}n b 的前n 项和取最大值，D 正确．故选BD11．依题意，直线0x y +=与圆2222:()y M r x +-=相切，所以圆心(0,2)M 到直线0x y +=的距离r ==，所以圆M 的方程为222:()2y M x +-=．记点(0,5)为E ，切点为F ，则||3ME =，||MF r ==，MF EF ⊥，||EF ∴=，故过(0,5)作圆M 的切线，A 选项正确；(0,2)M 到直线30x y -+=2r==，所以圆M 上恰有3个点到直线30x y -+=，故B 选项正确；2yx +的几何意义为圆M 上的点与定点(2,0)-连线的斜率，所以圆M 的切线过点(2,0)-时，2yx +取得最值，设(2,0)-的切线方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，圆心(0,2)M 到直线20kx y k -+==，解得2k =，所以2yx +最大值为2，故C 选项正确；圆心(0,2)M 到直线370x y +-=的距离=>370x y +-=与圆M 无公共点，故D 选项不正确．故选ABC 12．对于A ，11A B CQ Q AB C V V --=，因为11//AC A C ，所以点Q 到平面1AB C 的距离不变，所以三棱锥1Q AB C-的高不变，即三棱锥1A B CQ -的体积为定值，故A 正确；对于B ，若11A C ⊥平面BQC ，BC ⊂平面BQC ，则11A C BC ⊥，又11//B C BC ，所以1111A C B C ⊥，与1111A B B C ⊥矛盾，故B 不正确；对于C ，因为BC 为定值，当Q 到BC 的距离最长时，BQC ∆面积的最大，所以Q 在1A 处时，BQC ∆面积的最大，1A B =，1A B BC ⊥，此时122BQCS ∆=⨯⨯，故C 正确；对于D ，如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(,2,2)Q t t -，02t ≤≤，(2,2,2)AQ t t ∴=-- ，(,,2)CQ t t =-，A A BCDD C B Qxyz 第12题1111(2,0,0)BC =- ，设平面BQC 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC CQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n，即{20x tx ty z =-+=，令2y =得z t =，0x =，(0,2,)t ∴=n ，直线AQ 与平面BQC 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||AQ AQ AQ θ⋅=<>==n n n=，设432()4101624g t t t t t =-+-+，02t ≤≤，则32()4122016g t t t t '=-+-，设32()354h t t t t =-+-，则22()3653(1)20h t t t t '=-+=-+>，又(0)40h =-<，(2)20h =>，所以存在0(0,2)t ∈使0()0h t =，所以当00t t ≤<时，()0g t '<，当02t t <≤时，()0g t '>，又(0)24g =，(2)16g =，所以min (sin )θ==，故D 正确．故选ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．51(2)x x-展开式的通项为：5151C ()(2)r r r r T x x-+=⋅-，取1r =，得到常数项为314151C ()(2)10x x x⋅⋅-=-，故答案为：10-．14．2(,)N μσ ，(20)(26)0.20.81P X P X ≤+<=+=，(20)1(26)(26)P X P X P X ∴≤=-<=≥，2026232μ+∴==，故答案为：23．15．依题意，曲线上在点P 处的切线与直线0x y -=平行，此时点P 到直线0x y -=的距离最小，设切点00(,)P x y 0(0)x >，1y x '=，011k x ==，解得01x =，0ln10y ==，即(1,0)P，d ∴==，．16．由21123PF F PF F ∠∠=知P 点在右支上，设1PF 与y 轴交于点Q ，由对称性得12||||QF QF =，所以1221QF F QF F ∠=∠，所以221211222PF Q PF F QF F PF F PQF ∠=∠-∠=∠=∠，2||||PQ PF ∴=，所以1211||||||||||2PF PF PF PQ QF a -=-==，由12t 12an PF F ∠=得12c 2os F cPF a ∠==，所以c e a ==．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）证明：1n n a S n +=+ ，11(2)n n a S n n -∴=+-≥，121(2)n n a a n +∴=+≥，………………1分112112(2)11n n n n a a n a a ++++∴==≥++．又211113a S a =+=+=，………………………………………3分所以当2n ≥时，数列{1}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，………………………………4分21422(2)n n n a n -∴+=⨯=≥，21(2)n n a n ∴=-≥，……………………………………………5分当1n =时，12a =不满足．所以2(1)21(2)n nn a n =⎧=⎨-≥⎩．………………………………………………6分（2）证明：111212122211(21)(21)2121n n n n n n n n n b a a ++++++++===-----，……………………………………8分12233412111111212121212121n n n n T b b b ++=+++=-+++-------L L 21113321n +=-<-．………10分18．（1）由AB =得sin ADB ABD ∠=∠，……………………………………………………2分又cos BAD ∠=1sin 3BAD ∠=，所以1sin sin()3ADB BAD ABD ABD ABD ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠， (4)分1cos 3ABD ABD ∴∠=∠，tan ABD ∴∠=………………………………………………6分（2）2BAC BAD π∠=+∠，sin cos BAC BAD ∴∠=∠= (7)分111sin sin 222ABC ABD ADC S bc BAC S S c AD BAD b AD ∆∆∆∴=∠==+=⋅∠+⋅，……………………9分1162c b =+≥，即32bc ≥，……………………………………………10分当且仅当3c b ==时，等号成立，此时ABC ∆面积取最小值min ()ABC S ∆=，…………………………………………………………11分又1cos 3BAC ∠=-，a ∴=所以当ABC ∆面积取最小值时，a =．…………………………………………………………12分19．（1）完成列联表（单位：人）：……………………1分零假设为0H ：性别与网购之间无关联，…………2分由列联表，得：22200(45356555)11090100100χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯0.018008.081 6.635119x =≈>=⨯，……………………3分根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为我市市民网购与性别有关联．…4分（2）①由题意所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，…………………………………………………………6分∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：21313713320C C C 208285C P +==．………………………8分②由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1100.55200=，………………………………9分将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.55，由题意(20,0.55)X B ，∴随机变量X 的数学期望()200.5511E X =⨯=，……………………11分方差()200.550.45 4.95D X =⨯⨯=．…………………………………………………………12分经常网购偶尔或不用网购合计男性4555100女性6535100合计1109020020．（1）连接1B C 交1C E 于点G ，连接FG ，因为11//B E CC ，所以1CGC ∆∽1B GE ∆，所以11112B G B E GC CC ==，……………………………………2分又2CF FA =，所以1B GAF FCGC=，所以1//FG AB ，……………………………4分又1AB ⊄平面1C EF ，FG ⊂平面1C EF ，所以1//AB 平面1C EF ．…………6分（2）取AC 的中点O ，连接BO ，由正三棱柱111ABC A B C -知BO AC ⊥，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则0,0)B，0,1)E ，1(0,1,2)C ，1(0,,0)3F -，1,1,1)C E =-- ，14(0,,2)3F C =-- ，…………………7分设平面1C EF 的法向量为(,,)x y z =n ，则1100C E C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得02043y z y z --=--=⎪⎩，令x =得9y =，6z =-，9,6)∴=-n ，……………………………………………………9分平面11ACC A 的法向量可取(1,0,0)=m ，…………………………………………………………10分设平面1C EF 与平面11ACC A 的夹角为θ，所以||cos |cos ,|||||θ⋅=<>==⋅n m n m n m ，所以平面1C EF 与平面11ACC A……………………………………………12分21．（1）由()2cos sin 2f x x x =+，0x π≤≤，得2()2sin 2cos 22sin 2(12sin )2(sin 1)(2sin 1)f x x x x x x x '=-+=-+-=-+-，………………………2分令()0f x '>，得1sin 2x <，即06x π<<或56x ππ<<；令()0f x '<，得1sin 2x >，即566x ππ<<，…………………………………………………………4分所以函数()f x 在(0,)6π，5(,)6ππ上单调递增，在5(,)66ππ上单调递减，………………………5分又(0)2f =，()6f π=()2f π=-．所以max ()()6f x f π==…………………………6分（2）设()()ln(1)2cos sin 2ln(1)g x f x x x x x =--=+--，所以21()4sin 2sin 21g x x x x '=--+--，…………………………………………………………7分当32x ππ≤≤sin 1x ≤≤，22194sin 2sin 24(sin )044x x x ∴--+=-++<，…………………8分又101x -<-，所以()0g x '<，所以()y g x =在区间[,]32ππ上为减函数，………………………10分4π< ，0112π∴<-<，所以()()ln(1)022g x g ππ≥=-->，…………………………………11分所以当32x ππ≤≤时，()ln(1)f x x >-．…………………………………………………………12分AA B C B C x yz第20题111O F E G22．（1）由题意知当(0,P ，||AB =PAB ∆的面积为12S ==，…………2分2λ∴=，所以椭圆D 的方程为22142y x +=．………………………………………………………4分（2）设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则220212x y +=，120x x +=，120y y +=，…………5分依题意得1m ≠，由AB mMN = 得PA mPM = ，PB mPN =，…………………………………………6分由101000(,)(,)M M x x y y m x x y y --=--得1010(1)(1)(,)x m x y m y M mm+-+-，同理得2020(1)(1)(,)x m x y m y N m m+-+-，…………………………………………………………8分由221010(1)(1)[]2[]4x m x y m y m m+-+-+=得2222221110100022(1)4(1)(1)(2)4x y x m x y m y m x y m ++-+-+-+=，又221124x y +=，1010284x x y y m ∴+=-，同理得2020284x x y y m +=-，…………………………10分120120()2()1680x x x y y y m ∴+++=-=，2m ∴=．………………………………………………12分。
2021年高三上学期12月联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期12月联考数学（文）试题含答案注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷选择题一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1. 已知全集，集合≤x＜，＞，则=（）A. B. C. D.2. 已知向量，，若∥，则正实数k的值为（）A. 2B. 3C. 3或-2D. -3或23. 设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. -4-3iB. -4+3iC. 4+3iD. 4-3i4. 已知命题p：“，a≥”，命题q：“”，若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. (4,+∞)B. [1,4]C. (-∞,1]D. [e,4]5. 执行如右图所示的程序框图，则输出的S为（）A. B.C. D.6. 设为公比为q ＞1的等比数列，若和是方程的两根，则+=（ ）A. 18B. 10C. 25D. 97. 如图，在△ABC 中=，P 是BN 上的一点，若=+，则实数m 的值为（ ） A. B. C. D.8. 设变量x ，y 满足 ，则的最大值为（ ）A. 55B. 35C. 45D. 20 9. 在球O 内任取一点P ，则P 点在球O 的内接正四面体中的概率是（ ） A. B. C. D. 10.已知下列命题：①命题“＞3x ”的否定是“＜3x ”；②已知p 、q 为两个命题，若“”为假命题，则 “”为真命题；③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题为真命题.其中真命题的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个11.已知四棱锥S-ABCD 的底面是中心为O 的正方形，且SO ⊥底面ABCD ，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A. 1B. 2C.D. 312.设函数= ，若数列是单调递减数列，则实数 a 的取值范围为（ ）A. (-∞，2)B. (-∞，)C. (-∞, ]D. [,2)第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a ，b ，c 是直角三角形的三边（c 为斜边），则圆被直线 所截得的弦长等于 .14.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .15.已知0＜＜，则的最小值为 。
广西壮族自治区贵港市育才高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析
广西壮族自治区贵港市育才高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列的前n项和为且成等比数列，成等差数列，则等于A. B. C. D.参考答案：B依题意，得因为，所以，即，故数列等差数列；又由，，可得.所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以即，故，故，，故，答案为B.2. 已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C．D．参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为×=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故选：D．【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．3. （5分）等差数列{a n}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A． 31 B． 32 C． 33 D． 34参考答案：B【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S5=30 求得 a3=6，再由S8==4（a3+a6），运算求得结果．解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故选B．【点评】：本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算．利用了若{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q ，属于中档题．4. 已知集合，若，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D.因为，所以.所以，即，选B.5. 已知i为虚数单位，则复数等于（）A．-1－i B．-1+i C．1+i D．1—i参考答案：A6. 已知向量a=(1,2)，向量b=(x, －2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于A.9B.－9C.－3D. 3参考答案：A略7. 在等差数列{}中，，则=（）A. B. C.D.参考答案：D8. 以下有关命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“”成立的必要不充分条件C. 对于命题，使得，则，均有D. 若为真命题，则与至少有一个为真命题参考答案：D9. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：C由三视图可知，三棱柱空间结构如下图所示：由左视图和主视图可知，主视图为等腰直角三角形，且直角边长为，斜边长为2所以两个底面面积为侧面由三个面组成，其中两个面是全等的，底为2，高为；另外一个面底为2，高为2。
广西壮族自治区贵港市桥南中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析
广西壮族自治区贵港市桥南中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域是( )A. (0,1)B. [0,1)C.(0,1] D.[0,1]参考答案：C略2. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=（A）（B）（C）（D）参考答案：B略3. 已知(A) (B) (C) (D)参考答案：答案：C解析：，由、是实数，得∴，故选择C。
【名师点拔】一个复数为实数的充要条件是虚部为0。
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
4. 在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于（）A．B．C．D．或参考答案：C略5. 将正偶数按表的方式进行排列，记表示第行第列的数，若，则的值为A． B． C．D．参考答案：C6. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．﹁q为假C．p∧q为假D．p∨q为真参考答案：C略7. 某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．8. 已知中，，则等于A．或 B． C． D．参考答案：D9. 已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．参考答案：A【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．10. 设，则函数的零点位于区间（）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，，，则的取值范围是．参考答案：(－∞,0]由题意，，则，由，则，即函数f(x)在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.12. 以下命题：①若则∥；② 在方向上的投影为；③若△中,则；④若非零向量、满足，则.其中所有真命题的标号是▲ .参考答案：①②④13. 已知向量，若向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是 .参考答案：相离14. 设代数方程有个不同的根，则，比较两边的系数得；若已知展开式对成立，则由于有无穷多个根：于是，利用上述结论可得：.参考答案：15. 若函数的定义域是 .参考答案：16. 求圆心在抛物线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程参考答案：17. 已知命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），若p是q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是．参考答案：m≥1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p是q的必要不充分条件，可得≤1，解得m范围．【解答】解：∵命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），∵p是q的必要不充分条件，∴≤1，解得m≥1．那么实数m的取值范围是m≥1．故答案为：m≥1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案
2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。
特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。
如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
广西壮族自治区贵港市2024届高三上学期12月模拟考试数学试题
一、单选题1. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）①当时，②函数有3个零点 ③的解集为④，都有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 设函数，则下列结论正确的个数是（ ）①当时，的最小正周期为；②当时，的最大值为；③当时，的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．33. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．4.用关于的方程来拟合一组数据（，2，…，10）时为了求出其回归方程，设，得到关于的线性回归方程，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为、，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 已知复数，则（ ）A．B．C．D ．107. 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R 上的偶函数满足，且当时，有，已知函数有且仅有三个零点，则a 的取值范围是（ ）．A．B．C．D．8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）广西壮族自治区贵港市2024届高三上学期12月模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题A．B．C．D．10. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设，为两个等高的几何体，的体积相等．在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为（ ）A．B．C．D．12. 已知a ＝log 23，b ＝log 0.20.3，则以下结论正确的是（ ）A ．a ＞1B ．b ＞1C ．a ＞bD ．a +b ＞213. 设等差数列的公差为，前项和为，则的充分条件是（ ）A．B．C ．且D ．且14.已知曲线的焦点为、，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（ ）A ．若，则曲线的焦点坐标分别为和B．若，则的内切圆半径的最大值为C ．若曲线是双曲线，且一条渐近线倾斜角为，则D ．若曲线的离心率，则或15. 已知椭圆的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆G 上异于A ，B 的动点，过F 作直线AP 的垂线交直线BP于点，若，则椭圆G 的离心率为__________．16. 已知，则__________．17. 已知，，则的值为______．18. 展开式中的系数为___；所有项的系数和为____．五、解答题六、解答题19. 如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是__________；的面积是__________.20. 已知，求下列各式的值(1)；(2)21. 求值.（1）；（2）.22. 已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）天数1041频率（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.23. 2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：七、解答题八、解答题九、解答题经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表2.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：，.24. 如图所示，在多面体BC －ADE 中，△ADE 为正三角形，平面平面ADE ，且，∠BAD ＝60°，∠CDA ＝30°，AB ＝BC ＝2．(1)求证：AD ⊥CE ；(2)求直线CD 与平面BCE 所成角的正弦值．25. 某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资百万元所获得的利润y 近似满足：，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．②线性相关系数．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中．26. 已知函数的部分图像如图所示．(1)求的解析式；(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．。
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广西贵港市2021届高三上学期12月联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，若，，则集合中的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】结合交集的结果可知：，且，结合交集的结果可得：，综上可得：，集合中的元素个数为 4.本题选择C选项.2. 某歌手参加比赛，9个评委的评分结果如下：87,91,90,87,90,94,99,9*,91.其中9*是模糊成绩.去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余7个分数的平均分为91分，则9*是（）A. 93B. 94C. 95D. 96【答案】B【解析】由题意得，，所以，所以为，故选B.3. 若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由复数模的定义有：，则：.本题选择D选项.4. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.【答案】A求解关于实数的方程可得：，即水深为尺，又葭长为尺，则所求问题的概率值为.本题选择A选项.5. 设双曲线的右焦点为，则到渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 2【答案】A【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，所以的渐近线的距离为，故选A.6. 下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.A. ①③B. ①④C. ①②④D. ①③④【答案】D【解析】若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故①正确若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，这里缺少了相交的条件，故②不正确，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故③不正确，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④正确总上可知①和④正确，故选B.7. 已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出可行域如图所示，因为恒过点，所以满足要求的直线介于直线与之间，，所以，即的取值范围是，选B.8. 已知函数，是奇函数，则（）A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】B【解析】由函数的解析式有：，函数为奇函数，则当时：，令可得：，即函数的解析式为：，结合函数的性质可得：函数在区间上不具有单调性，在区间上单调递减. 本题选择B选项.9. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，当时，，所以，故选D.10. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A. 54B. 56C. 90D. 180【答案】C【解析】执行上述程序框图，可知第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：，此时终止循环，输出，故选C.11. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，故选A.点睛：本题考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到两角和与差的正弦、余弦函数、诱导公式等知识点的考查，此类问题的解答中熟记三角恒等变换的公式，以及准确找到角的关系是解答的关键.12. 直线与抛物线相交于两点，抛物线的焦点为，设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，若，则，，则，，故：，若，同理可得：.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，则__________．【答案】5【解析】由题意可得：，则：.14. 已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，且，则，所以曲线在点处的切线的倾斜角的余弦值为.15. 在中，分别是内角的对边，.则边__________．【答案】1【解析】由，得，所以，即，由正弦定理，故.点睛：本题考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与差的正弦函数公式、正弦定理等知识点的考查，此类问题的解答中把条件转化为三角形的基本量，合理使用正、余弦定理是解答的关键.16. 已知四面体中，，，，平面，则四面体的内切球半径为__________．【答案】【解析】由题意，已知平面，，所以，由勾股定理得到，即为等边三角形，为等腰三角形，可求得四面体的体积为根据等体积法有：，几何体的表面积为所以，可解得.点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的分割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，满足，.（1）证明：是等比数列；（2）若，求的最小值.【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）因为，所以，进而得到，即可证明结论；（2）由（1）得，求得，进而得到，即可得到的最小值为5. 试题解析：解：（1）因为，所以，所以，而，所以是以6为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，，∴，由，得，因为，所以时，的最小值为5.18. 某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率.【答案】（1）45（2）【解析】试题分析：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，得，得，则人，即可得到结论.（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，求得，列举出从中任取人的所有基本事件的空间，找到其中至少有人在岁以上的基本事件个数，利用古典概型，即可求解概率.试题解析：解：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，由题意，得，则人.所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取.（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，则，.即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；分别记作，则从中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个.分别是，，，，，，，，.所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为.19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.（1）求证：为的中点；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结，设，连接，则为的中点，证得，即可判定为的中点.（2）由（1）知为的中点，得，求出，即可求解三棱锥的体积. 试题解析：解：（1）证明：连结，设，连接，则为的中点，且面面，∵平面，∴，∴为的中点.（2）由（1）知为的中点，所以，由底面为菱形，，得，.又，∴.20. 已知函数，斜率为1的直线与相切于点.（1）求的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.（2）见解析【解析】试题分析：（1）求得函数的导数，由，解得，代入求得，再由和，即可求解函数的单调区间.（2）分别求解当、，时，进而得出.试题解析：解：（1）由题意知：，，∴.所以.由，解得，由，解得.所以在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，；综上所述，.21. 椭圆的右焦点为，过作圆的切线交轴于点，切点为线段的中点.（1）求椭圆的方程；（2）曲线与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得，.则椭圆的方程为；(2)设出点的坐标，结合几何体的对称性和点差法计算可得圆心坐标为.试题解析：（1）由已知得，且，∴，∴.所以椭圆的方程为；（2）由曲线知曲线的图象关于轴对称，又椭圆的图象也是关于轴对称，所以圆心在轴上，设圆心为，曲线与椭圆在一、四象限交于，两点，则，.把代入得，∴，又由得，即，∵，∴，∴.所以此圆的圆心坐标为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）若直线与圆相切，求的值；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意得到圆的直角坐标方程和直线的一般方程，利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得；(2)联立直线与二次曲线的方程，结合弦长公式计算可得的值是.试题解析：（1）圆的直角坐标方程为，直线的一般方程为，∴，∴；（2）曲线的一般方程为，代入得，∴，，∴.23. 已知函数.（1）求证：；（2）解不等式.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)将所给的不等式零点分段可得不等式的解集为.试题解析：（1）证明：∵，∴；（2）解：∵，所以原不等式等价于①；③；综合上述，原不等式的解集为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。