2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题理(14).doc

2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题理(14)一、选择题（每题5分，共60分）1．z ＝11i的共轭复数是 ( ) A ．12＋12i B ．1212i C ．1iD ．1＋i2．函数e x y x =-的单调减区间为 A ．(1,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．(0),-∞D ．(1),-∞3．设a 是实数，且a 1+i ＋1+i2是实数，则a ＝ ( )A ．12B ．1C ．32D ．24．由直线0,e,2y x y x ===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（） A ．2ln 23+ B ．3 C ．22e 3- D ．e 5．已知函数f (x )=x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(−∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 6．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是( ) A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-7．若函数32()6f x x ax x =--+在()01，上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<8．若函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()1()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值(2)f -，无极小值B ．函数()f x 有极小值(1)f ，无极大值C ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fD ．函数()f x 有极大值(1)f 和极小值(2)f -9．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为A ．3d B ．2dC ．3d D ．2d 10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)11若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞12函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是二、填空题（每题5分，共20分）13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ ． 14已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为15．若关于x 的方程x 3−3x ＋m =0在[0，2]上有实根，则实数m 的取值范围是______________．16.0πcos d (e )x xx --⎰=三、解答题17．(本小题满分10分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长．18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ·ln x ， 曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.19. (本小题满分12分)已知函数2()e 1x f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值．20． (本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 21. (本小题满分12分)已知函数()e x f x x =-． （1）求()f x 的极小值；（2）对(0,),()x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．22. (本小题满分12分) （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2()f x 的最小值是0，求实数a 的值．参考答案BBBBC AAACD DD232i- 36 [−2，2] π11e -17．(本小题满分10分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长．解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110， 弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ·l n x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 解：(1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝3.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.19.已知函数2()e 1x f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值．【解析】由2()e 1x f x ax bx =---，有()()e 2x g x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-．因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--．当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增．因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--；当1e 22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈． 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增． 于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--．综上所述，当12a ≤时， ()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-；当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--；当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--．20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.21.已知函数()e x f x x =-． （1）求()f x 的极小值；（2）对(0,),()x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为1；（2）(,e 1)-∞-．【解析】（1）'()e 1xf x =-，令'()0f x =，得0x =． 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：则()f x 的极小值为(0)1f =．（2）当0x >时，e 1xax ->恒成立．令e ()1,0x g x x x =->，则2e (1)'()x x g x x -=，令'()0g x =，得1x =．当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：则min ()(1)e 1g x g ==-，故实数a 的取值范围是(,e 1)-∞-．21.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2()f x 的最小值是0，求实数a 的值．a a。