湘教初中数学九年级下册《1.2 二次函数的图像与性质》课堂教学课件 (10)
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湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上， 则____y_1_＜__y_2___.
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝ －3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x
湘教版九年级数学下册课件：第1章 微专题1 二次函数的图象和性质(共26张PPT)
10. (2018·天津)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c
为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在 y
轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点(1，0)；②方程 ax2＋bx＋c＝2 有两
个不相等的实数根；③－3<a＋b<3.
其中，正确结论的个数为( C )
A．0
B．1
C．2
∴AO＝1，AB＝4， ∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△CPQ＋S△BPQ＝12AB·OC＋12 QP·OF＋21QP·FB ＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3 ＝－32m－322＋785.
当 m＝32时，四边形 ABPC 的面积最大． 此时 P 点的坐标为32，145，四边形 ABPC 的面积的 最大值为785.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3. 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过定点 M(1，1)，则称 此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出 一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x2＋3x－4.请你写出一个不同于小敏的答案．
专题训练
类型 1 二次函数的图象和性质
1. 已知一个函数图象经过(1, －4)，(2, －2)两点，
在自变量 x 的某个取值范围内，都有函数值 y 随 x 的增
大而减小，则符合上述条件的函数可能是( D )
A．正比例函数
B．一次函数
C．反比例函数
D．二次函数
2. 二次函数 y＝x2＋x＋c 的图象与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1<x2，点 P(m，n)是图象上一点， 那么下列判断正确的是( C )
1最新湘教版初中数学九年级下册精品课件.2 二次函数的图像与性质
8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 x2, y 2
2x2
的图象与函数
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
巩固
5、已知一次函数 y ax c 的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x
《二次函数的图象与性质》PPT课件(湘教版)
O
x
1 23 4
–1
–2
–3
–4
–5
y ＝ -0.3x2
–6
–7 y ＝ -8x2
1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ D ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,
然后利用对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0）
湘教·九年级下册
二次函数 y = ax²（a＞0）的
y 8 6 4 2
–3 –2 –1 O
123
图象与性质
x
用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课 我们来学习最简单的二次函数 y = ax2 的图象.
1
量取值的增大而＿增＿大＿＿．
–3 –2 –1
y ＝ 6x2
1 2 3x
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y ＝ 3x2 及 y ＝
1 4
x2
的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
y
7
y ＝ 3x2
6
5
4
y＝
1
4 x2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1234x
1. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ D ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值
–3 –2 –1 O
123
的图象与性质
x
把二次函数 y 1 x2 的图象 E 向右平移 1 个单位， 得到图形 F.
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图像和性质》公开课课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
二次函数的图像与性质课件(湘教版)
如图1-2-10, 过点N作NH⊥AC于点H, 则
NH∥BC, 所以△ANH∽△ABC, 有
.
因为在Rt△ABC中, AB=
=13(米),所
以
，
所以NH= =
米, 所以S△AMN = ·AM·NH= (12-t)· = ，
所以当t=6时, S最大值 = ,即当t=6时, △AMN的面积最大,这个最大值为 .
轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越小；若抛物线开口向下, 则顶 点的纵坐标最大, 由图像的变化趋势可知抛物线上的点距离对 称轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越大.
题型四 系数相关的两个函数图像的推断问题
例题4 一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)在 同一个平面直角坐标系中的图像可能是(D ).
A．y=2(x-3)2 -5
B．y=2(x+3)2 +5
C．y=2(x-3)2 +5
D．y=2(x+3)2 -5
锦囊妙计
抛物线的平移规律 将抛物线y=ax2 (a≠0)向上平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函 数表达式为y=ax2 +k；向下平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函数表 达式为y=ax2 -k；向左平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式 为y=a(x+h)2 ；向右平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为 y=a(x-h)2 . 这一规律可简记为“上加下减, 左加右减”. 若抛物线的 函数表达式是一般式, 可将其化为顶点式后, 再按此平移规律解答.
锦囊妙计
利用二次函数解决面积最值问题的思路 第一根据题中所给条件及面积公式, 列出二次函数的表达 式, 然后将表达式化为顶点式,再根据二次函数的性质求出最大 (小)值.
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图象与性质》公开课课件.ppt
y 3x2
y3x122
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小
值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象 y=3x2
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y3(x1)22
探讨2、二次函数y=3(x-
1)2-2的图象与抛物线
y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2
y3x12
y3x122
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
我思考，我进步
y=3(x-1)2
+2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
?
我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x²,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
湘教版数学九年级下册第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质课件
标增大时，纵坐标怎样变化？
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
y = 的图象关
于y轴对称,y轴就
是它的对称轴.x2yA Nhomakorabea9
B
6
A'
B'
3
-3
o
3
图象在y轴右边的部
分，函数值随自变量
取值的增大而增大，
简称为“右升”.
x
3. 连线：再用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺
次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边
的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线
值范围为______．
k>－1
4．在同一直角坐标系中，画出y ＝ x2 ，
y＝2x2的图象．
解：列表：
x
… －2 －1
0
1
2
…
0
2
…
＝
…
2
描点：将表中的数据作为点的坐标在平
面直角坐标系中描出．
连线：用光滑的曲线
分别顺次连接
各对应点，
如图所示．
课堂小结
二次函数y=ax2
的(a＞0）图象
顺次连接起来），这样就得到了y = x2的图象.
y
9
6
3
-4
-2
o
2
4
x
函数y = x2性除了具有关于y轴对称和“右升”
外，还具有哪些性质？
y
y=x2
1.y＝x2的图象是一条曲线;
2.开口向上;
3.图象与对称轴的交点为原点(0,0);
o
4.x<0时，y随x的增大而减小，简称“左降”；
5.当x=0时，函数值最小，为0．
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8
6
4
这样我们得到了函数 y (x 2)2
的图象 .
2
－4 －3 －2 －1
1234
1.画二次函数 y (x 1)2 的图象
x
1 1.5 2 3 3.5
y (x 1)2 0 －0.25 －1 －4 －6.25
－
－
4
2
－
2
－ 4
2
4
2.说出下列二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (1) y 1 (x 5)2 3 对称轴 x=5
原象
象
抛物线E:
y 1 x2 2
图形F也是抛物线
E的顶点O（0，0） 点O'（－1，0）是F的顶点
E有对称轴l（与y轴重
合）
直线l`（过点O'与y轴平行）是F的对称轴
E开口向上
F也开口向上
抛物线F是哪个函数的图象呢？
在抛物线 y 1 x2 上任取一点 p(a, 1 a2 ) ，它在向
2
2
左平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？
它的顶点坐标是 (d, 0).当a 0 抛物线的开口向上；当 a 0
由于我们已经知道了函数 y a(x d )2 的图象的性质，因此今后在画
y a(x d )2的图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，
然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“列 表，描点，连线”三个步骤就可以了.
顶点是O'（－1，0），它的对称轴是过点O'（－1，0）且平行与y轴 的直线l ' ，直线l'是有横坐标为－1的所有点组成的，我们把直线l '记 做直线x =－1，抛物线 y 1 (x 1)2 的开口向上.
2
类似地，我们可以证明下述结论：
函数 y a(x d )2 的图像是抛物线，它的对称轴是直线、x d
把点P的横坐标A减去1，纵坐标 1 a2
不变，即象点Q的坐标为
(
a
1,
1
2
a2
)
2
证 明：
记 b a 1,则a b 1 从而点Q的坐标为 (b, 1 (b 1)2 )
2
这表明：点Q在函数 y 1 (x 1)2 的图象上，由此得出，
抛物线F是函数
y1ຫໍສະໝຸດ 2( x 1)2的图象，
2
这样我们证明了：函数 y 1 (x 1)2 的图象是抛物线F它的 2
画函数 y (x 2)2 的图象.
解 抛物线 y (x 2)2 的对称轴是 x=2，顶点坐标是（2，0） 列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.
x
2 2.5 3 4 5
y (x 2)2 0 0.25 1 4 9
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:
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义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
把二次函数
y 1 x2 2
的图象E向左平移1个单位，得到图形F，如图.
－3 －2 －1O'
5
FE
4
3
2 1
1234
由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后；
顶点坐标（5，0）
(2) y 3( x 2)2 对称轴 x=－2
顶点坐标（－2，0）
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