17-3(方向导数与梯度)

二、梯度
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 ∂f )= G max ( ∂l 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
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0
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f , 即
ρ
则称 ∂ f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 方向导数. 方向导数 ∂l
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定理: 定理 若 数 f (x, y, z) 在 P(x, y, z) 处 微 , 函 点 可 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 沿任意方向 ∂f ∂f ∂f ∂f l = cosα + cos β + cosγ ∂z ∂l ∂ x ∂y
x
∂ f (r) y = f ′(r) , ∂ f (r) = f ′(r) z ∂y r ∂z r ∂ f (r) r ∂ f (r) r ∂ f (r) r ∴ grad f (r) = j+ k z i+ P ∂y ∂z ∂x r r r 1 r = f ′(r) (x i + y j + z k ) o r y 1r r x = f ′(r) r = f ′(r) r 0 r
y
P
o
2x −1
60 = 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数 方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处 在点P 处沿
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = 而 = 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
同理得
∴
∂u ∂n
1 11 = (6× 2 + 8×3 −14×1 ) = 14 7 P
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∂f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cosγ 方向导数公式 ∂l ∂ x ∂y ∂z ∂f, ∂f, ∂f 令向量 G = ∂x ∂ y ∂z l 0 = (cosα , cos β , cos γ )
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad(Cu) = C grad u (4) grad( u v ) = u grad v + v grad u
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例4. 处矢径 r 的模 , 试证 证:
x = f ′(r) = f ′(r) 2 2 2 r x + y +z
ρ
P′
证明: 证明 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得 ∂f ∂f ∂f ∆f = ∆x+ ∆ y+ ∆ z + o (ρ ) ∂x ∂y ∂z
P(x, y, z)
=ρ (
故
) + o (ρ )
∂f ∆f ∂ f ∂f ∂f = lim = cosα + cos β + cosγ ∂l ρ →0 ρ ∂ x ∂y ∂z
grad f = ( f x (x, y) , f y (x, y))
∂f = grad f ⋅ l 0 梯度在方向 l 上的投影. • ∂l
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度 梯度与(1)中切线方向 梯度 切线方向 的夹角 θ .
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例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 q 2 2 2 处所产生的电位为 u = ( r = x + y + z ), 试证 π 4 εr q gradu = −E (场 E = 强 r 0) 4π ε r 2
′(r) r 0 4 证: 利用例4的结果 grad f (r) = f
cosθ = 6 ∴ θ = arccos 130
∂f ∂l M l = grad f M l
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备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则
在点
2 考研) 考研 (1, 2, − 2) (92考研 9
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 = (1, 2, − 2) 9
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gradu = ( q 4π ε r
)′ r 0= −
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 ∂f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cosγ ∂l ∂x ∂y ∂z
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对于二元函数 f (x, y), 在 P(x, y) 处 方 l (方 点 沿 向 向角 为α, β ) 的方向导数为 ∂f f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = lim ρ ∂l ρ →0
y
l
l
= f x (x, y) cosα + f y (x, y) cos β
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
α, β )的方向导数为
∂ f ∂f ∂f = cosα + cos β ∂l ∂x ∂y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f , ∂f , ∂f grad f = ∂x ∂y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在 偏导数存在
结束
解答提示: 解答提示
1. (1) 曲线 在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数 ∂f = [ f x ⋅ cosα + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cosγ ] (1,1,1) ∂l M
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(2) grad f
M
= (2 , 1, 0)
∂f , ∂f , ∂f = ∂x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
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z = f (x, y) 对 数 z = f (x, y),曲 函 线 在 xoy 面 的 上 投 z =C * 等值线 影L : f (x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
P
o
x
特别: 特别:
∂f ∂f , = • 当 l 与 x 轴同向 (α = 0, β = ) 时 有 2 ∂l ∂ x ∂f ∂f π • 当 l 与 x 轴反向 (α = π , β = )时 有 =− , ∂l ∂x 2
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π
例1. 求函数 3) 的方向导数 .
第三节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第十七章
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一、方向导数
定义: 定义 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处 沿方向 l (方向角为 α , β , γ ) 存在下列极限:
l
ρ
P′
lim
ρ →0
∆f
P(x, y, z)
f (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − f (x, y, z)记作 ∂ f = lim = ∂l ρ →0 ρ
u = ln(x + y2 + z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 提示 则
1 2
. (96考研 考研) 考研
={cosα , cos β , cosγ }
ln(x +1)
ln(1+ y2 +1)
1 = 2
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设 f x , f y 不 时 零 , 则L*上点P 处的法向量为 同 为 y f = c3 ( f x , f y ) P = grad f P f = c2 同样, 对应函数 P 有等值面(等量面) f = c1 o x 当各偏导数不同时为零时, 其上 (设c1 < c2 < c3) 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
3 + x y⋅ 14
2
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例2. 求函数 朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x = x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x=2 = (1, 4) 1 4 ∴ cosα = , cos β = 17 17