特殊与一般思想在高考数学中的应用
特殊与一般的思想在解题中的运用
直线 Ａ ： Ｑ的方程是 Ｙ ：
交点为 ｜ ｓ （ ４ ，、 ／ 丁） ．
一、 ／ 丁，
若 Ｐ （ ， 一 孚） ， Ｑ （ － ， 孚） ，
由对称性 可知交点为 （ ４ ，一 、 ／ ） ．
由此我们发现两点 的横坐标都为 ４ ，因此我们猜测若点 ｓ在 同一 条直线上 ，则直线 只能为 ｆ ： ＝４ ． 到此 ，问题并没有解决 ，
ｆ 等 ＋ ： 得 （ ｍ ， ， ＋ １ ） ＋ ： ４ ， 【 ＝ｍ ｙ＋１
．
显然需要较强的技巧，很多学生是无法完成的． 解法 ３ 通过特 殊 探路 ，猜测一般问题 的结果 ，再 给予证 明，显得 自 然 、合理． 这 里，特殊 与一般 的思想 有 了 价值 ，有 了 用 武之地． 事实 上 ，特殊 与一般 的思想还 是解答某 些解答题 的绿色 通 道 ，比如 ，在数列 中我们熟 悉 的归 纳 、猜想 、证 明 ，就是特 殊
所 以 ｃ＝、 ／ 丁 ，ｂ ： 一ｃ ＝１ ．
取 ＝ ０ ，ｍ＝、 ／ ，此时 Ｐ （ Ｏ ，、 ／ 丁） ，Ｑ （ ４ ，、 ／ 丁） ，以 为直径的圆为 （ 一 ２ ） ＋ （ ｙ 一、 ／ 丁） ＝ ４ ， 交 轴于点 Ｍ （ １ ， ０ ） ，
Ｍ２ （ ３ ，０ ） ；
，
／ ／
＼ ＼ 、
Ｑ
图 ２
半径 ｒ ：
ｋ ／ （４ ＝ １， ￣ ／
一
一
ｖ＼
ｍ
４ ） ＋ ［ 一 （ 舭＋ ｍ ） ］ ，
所 以 圆 方 程 为 （ 一 辈 ｙ 一
｛ （ ４ ＋
（ 一１ ） ＝０ ，
） ２ ＝ １ ・
（ １ ） 求椭 圆 Ｃ的方程 ； （ ２ ） 设 直线 ＝ｍ ｙ ＋１ 与椭 圆 Ｃ交于 Ｐ、Ｑ两 点 ，直 线 Ａ。 Ｐ
从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用
从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用摘要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。
本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。
关键词：数学思想方法特殊化不完全归纳法现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。
这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。
一、在指示数学解题方向中的应用众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。
运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。
例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则＋＋为定植。
图１图2分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定＋＋的值。
现设原命题为真，即＋＋为定值成立。
将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则＋＋为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知＋＋＝，从而预测＋＋=1（定值）。
证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴＝，同理，＝，＝，将此三式相加得＋＋=1，原命题成立。
二、在一般性命题检验中的应用由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。
我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。
2、数学思想方法之特殊与一般含答案
数学思想方法之特殊与一般1．特殊化思想对于某个一般性的数学问题，对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，那么可以先解决它的特殊情况，即从即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想. 2．一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，先解决一般情形，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想. 一、一般问题特殊化一、一般问题特殊化【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1P A QC =，则四棱锥B APQC -的体积为的体积为（Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图2-18,因为1P A QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQCB P AC Q VV--=.又1111133B A BC VV V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQCV V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1P A QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10P A QC =®，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方AB CA 1B 1C 1PQ]p p p p p]4p6p aD B A y C o E 二、特殊问题一般化二、特殊问题一般化【例5】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=（Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数如果把,a b 看成是两个母用字母表则表示的数，则它是它们也是确知确定的，已知的的.于是由()f a b =，得1lg 1ab a-=+.又1()lg 1a f a a +-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1aa+-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1aa -+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a aa a a-+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=×==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-. 练习题1．（北京卷）对任意的锐角b a ,，下列不等式关系中正确的是（A ）b a b a sin sin )sin(+>+ （B ） b a b a cos cos )sin(+>+ （C ）b a b a sin sin )cos(+<+ （D ）b a b a cos cos )cos(+<+ 答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==b a 30°，再令==b a 1°. 2．（天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a Î=+，设n b n a c =（*N n Î），则数列{}n c 的前10项和等于项和等于（A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n. 4．（上海卷） 若关于x 的不等式4)1(42+£+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有总有（A ）M M ÎÎ0,2 （B ）M M ÏÏ0,2 （C ）M M ÏÎ0,2（D ）M M ÎÏ0,2 答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4£x . 5．（福建卷）已知1=OA ，3=OB ，0=·OB OA ，点C 在AOB Ð内，且30=ÐAOC ，设),(R n m OB n OA m OC Î+=，则n m 等于等于 （A ）31 （B ）3 （C ）33（D ）3 答案：（B ）. 提示，提示，取特殊位置，由取特殊位置，由0=·OB OA ，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ，则=a c o s __________.答案：36. 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 9（福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ¢¢>>，，则0x <时（时（ ）A ．()0()0f x g x ¢¢>>，B ．()0()0f x g x ¢¢><，C ．()0()0f x g x ¢¢<>，D ．()0()0f x g x ¢¢<<， （提示：取2(),()f x x g x x ==）8、（全国1理9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0=0，，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| b i |=2| a i |，且a i 顺时针旋转30以后与b i 同向，其中i=1i=1、、2、3则（则（ ））A 、-b 1+b 2+b 3=0B 、b 1-b 2+b 3=0C 、b 1+b 2-b 3=0D 、b 1+b 2+b 3=0 （提示：因为a 1+a 2+a 3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。
数学中的一般化与特殊化例谈
数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。
关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。
在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。
但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。
一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。
利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。
例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。
命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。
(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。
由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。
这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。
这项发现并非只有理论上的价值。
事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。
显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。
例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。
分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。
高考数学 特殊与一般的思想
高考数学 特殊与一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想.在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行猜想的试题;(2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; （4）定点,定值问题;(5) 用特殊化方法解选择题等.【分析及解】本题可以直接通过解不等式得到答案，也可以通过特殊化方法和估算求解，首先由集合B 可知，3-≠x ，因而排除(C)， 再由B x ∉-=2，又可排除(A)，(B)，于是选(D).【分析及解】本题是一道抽象集合问题,直接求解有困难,但可以用特殊化策略解决问题.可以构造特例,例如设=1S {}{}{}4,2,3,2,2,132==S S , 则{}{},4,3,4,3,2,11==S C I I {}4,12=S C I , {}3,13=S C I , 经简单的计算,就可以排除(A),(B),(D).而由选择题的四选一的要求,可选(C).【分析及解】本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范,要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳抽象能力的考查.第一种算法, 计算0()n P x 的值共需要n n n +++-+1)1(Λ次运算,即()23+n n 次运算;第二种算法, 计算0()n P x 的值可以采用递推的方法.设计算0()n P x 的值的次数为n b ,则21+=-n n b b ,由{}n b 是等差数列及21=b 可得n b n 2=.【分析及解】解法一： （I ）;22111,111=-==b a 故 ;3821871,8722=-==b a 故.320,2013;421431,434433===-==b a b a 故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n nn n n n nn 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列.n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++=Λ2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n n n b b b n n n Λ 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---Λnn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=--ΛΛ2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由n b b b n ++++=)(2121Λ ).152(313521)21(31-+=+--=n nn n。
数学中的“特殊与一般”思想方法
ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。
在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。
由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。
所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。
在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。
高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。
一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。
相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。
解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。
例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。
从高考题谈重要的数学思想的渗透特殊与一般
从高考题谈谈重要的数学思想的渗透：特殊与一般由特殊到一般,再由一般到特殊是人们认识世界的基本过程之一，对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
对高中数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。
在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。
1.取特殊数值典例1．（2008重庆卷,理6）若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）(A) ()f x 为奇函数（B ）()f x 为偶函数(C) ()1f x +为奇函数（D ）()1f x +为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找()f x 与()f x -之间的关系，由于()0x x +-=所以需要先求出()0f 的值，这时需要取特殊值120x x ==解答。
解：令120x x ==，得()01f =-，令12,x x x x ==-得()()2f x f x +-=-∴()()11f x f x -+=-⎡+⎤⎣⎦，∴()1f x +为奇函数，故选C答案：C评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。
典例2.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。
解法一：特殊值法.取12121312,,,4433a ab b ====，通过计算比较1122a b a b +最大。
例谈数学中的特殊与一般思想
Ａ （
Ｄ（ １ ８ ， ． ‘ ． ＡＢＣ
ＡＤ ’ ，
‘ ．
．
△Ａ Ｅ △ＡＤＦ（ Ａ．
积 为—
Ｓ 口 边 形 Ａ Ｂ ｃ ￣ ＝ Ｓ △ ＾ ８ ｃ ＋ Ｓ △ ＾ Ｃ Ｄ ＝ ÷Ｂ Ｃ・ Ａ Ｅ ＋
．
—
Ａ
Ｔ １ ｎ ■ ｔ ｅ 慧数学 ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ ｏ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ Ｅｌ 、 Ｉ ＧＳＨＩ Ｊｌ Ｅ
论 依 据 和 逻 辑 基 础 是 ：若 一 般 情 况 下 成 项 都 是 一 个 定 值 ． 也 从侧 面 反 映只 要点尸
・
．
Ｅ√． 四 边 形 ＡＦ Ｃ Ｅ 为 正方 形 ．
Ｊ ｓ 四边形 Ａ 卫 ＝Ｓ 正方形Ａ 凡 Ｅ ＝１ ０ ２ ＝１ ０ ０．
‘
． ．
（ 作者单位 ： 江 苏 省 常 州 市 武进 区湖 塘 实验 中学 ）
４ ９
如 图 ６． 过 点 Ａ作 Ｆ上Ｃ Ｄ． 交 的 延 长
２） ， Ｂ（ 一 ２， １ ） ， 所 以 ＝ ３， Ｐ Ｂ＝ ３， ＡＰ ＡＢ的
ｎ
面 积 为 ． 故选Ｃ ．
２
正实数， 且导＜ ， 给出下列四个不等式： ｂ ｄ
① ③ ＜ ＜ ； ； ② ④ ＜ ＜
） ．
例３
（ ２ ０ １ ３ ・ 济 宁 ）如 图２ ，在 矩 形
Ｄ， Ｅ上Ｃ Ｄ于 点 ．若ＡＥ＝１ ０， 求 四 边 形 线 于 Ｆ． 连拗
ＡＢＣ Ｄ的 面 积 ．
ｃ ．
贝 ０ ＡＤＦ＋／ＡＤＣ ＝１ ８ ０ ｏ ．
‘
． ‘
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特殊与一般思想在高考数学中的应用
在数学学习中，单纯地进行题海战术，是很难取得理想成绩的. 因此，我们要想提高数学解题能力和意识，就必须注重数学思想的领会和运用，对平时所用的数学思想进行梳理与总结，认识本质，提高能力，以便灵活运用这些数学思想解决高考数学题.本文以特殊与一般思想在高考数学中
的应用为例，来说明如何领会和运用这一思想.
一、依据题型，赋予特值
一般与特殊之间的转化是在解题的过程中将某些一般
问题进行特殊化处理或者是将某些特殊问题进行一般化处
理的方法.此法多用于选择题或者填空题的解答.因此，破解此类问题的关键是确定关键元素寻找转化元素转化为新问
题④得出结论.
例1. 已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，a1+b1=5，a1，b1∈Z+，设cn={n∈Z+}，则数列{cn}前10项和等于（）
A. 55
B. 70
C. 85
D. 100
解析：用特殊化策略.设b1=1，则a1==4. 从而bn=n，于是有cn==+（bn-1）?1=4+n-1=n+3. c1+c2+…+c10=（1+2+…+10）+30=85.
点评：本题根据选择题的特点，对赋予特殊值处理，求
出数列{cn}的前10项和，从而排除错误的结果，选出符合题目要求的选项.
二、巧抓结构，构造公式
数学中的很多新符号、新定义都很抽象，对于同学们来说，往往难以理解，如果能够根据所给式子的结构特征，恰当合理的构造出相关的数学公式或者定理，就可以将抽象问题具体化，实现数学问题的明朗化，从而转化为所学的内容进行解决.
例2. 记max{a，b}为a，b两数的最大值，当正数x，y 变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为.
解析：由题意知：t≥，t≥，t≥x2+y2，所以3t≥++x2+y2.又因为++x2+y2≥++2xy≥3=3，所以3t≥3，即t≥.
所以，当正数x，y（x>y）变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为.
点评：本题属于抽象函数的最值问题，通过观察所求式子中含有，，与x2+y2之间的结构特征，故考虑构造具体的不等式t≥，t≥，t≥x2+y2，然后将三式相加即可求解.因此，对于有些抽象的数学问题常可以通过观察结构特征，转化为具体问题求解.通常遇到求t=max{，，+}最小值问题或者求
t=min{，，+ }的最大值问题，都可以考虑构造具体的基本不等式，进行类似处理.
三、特殊探路，猜测规律
很多较为复杂的高考数学压轴题，由于题目长，数学符号多，往往考查特殊现象背后隐藏的一般性抽象规律，学生往往难于从题设条件寻找出一般规律，从而草草收场，丢分太多.如果能够抓住图中的特殊位置，取值范围中的特殊值或者特殊角等等，通过尝试代入特殊情况之进行试探，大胆猜测，或许会收到意想不到的效果.
例3. 椭圆E：++1（a>b>0）的左右焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
（1）求椭圆E的方程.
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
解析：（1）只需根据ABF2的周长为8的条件，结合椭圆定义即可求得椭圆方程为+=1.
（2）通过联立直线与椭圆方程，即由y=kx+m，+=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，化简得4k2-m2+3=0.
此时x0=-=-，y0=kx0+m=，所以P（-，）.
由x=4，y=kx+m，得Q（4，4k+m）. 下面探求点M的存在性.
假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M
必在x轴上. 取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以为PQ 直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点
M1（1，0），M2（3，0），取k=-，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交轴x于点M1（1，0），M2（4，0）. 所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）. 以下证明M（1，0）就是满足条件的点.因为点M的坐标（1，0）. 所以=（--1，），=（3，4k+m），从而?=--3++3=0，故恒有⊥，即存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点M.
点评：对于这类圆过定点的问题，常常通过试探性的选取一些特殊点，进行探路，尝试寻找是否有一般性的问题结果，然后在进行证明，显得自然、合理. 这里从特殊到一般的数学思想体现了价值.也有了用武之地.
四、一般位置，特殊对待
形体位置关系主要针对几何问题，往往采用特殊化位置处理，主要适用于空间几何图形的平行、垂直的证明以及几何体的体积求法，有时需要将几何体切割、挖补、延展、转化形成便于观察和计算的常见几何体来处理.
例4. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=EF与面AC的距离为2，则该多面体的体?e是（）
A. B. 5 C. 6 D.
解析：将图形特殊化，如图所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2. 连接DF、AF，则EF⊥面ADE，△ADE为直角三角形.
S△ADE=?AD?DE =×3×2=3.于是
VF-ADE=?EF?S△ADE=××3=，
VF-ABCD=?DE?S△ABCD=×2×32=6. 所以
V ABCDEF=+6=.
答案选D.
点评：题目中提供的图形，除底面是正方形以外，其他没有任何特殊之处，如果直接用割补法求解，难度和计算量都会增加不小.因此，对于一般图形求面积或者体积时，可以通过改变线线关系或线面关系，使之转化为垂直或者平行等特殊化位置，进而使用换底、变高等方法分割求解.
五、由形悟数，数形结合
以形悟数，即借助形的直观性来阐明、领悟数量之间的关系，常用手段是将图形中的变化规律，数量变化代替图形变化，将图形变化转化为具体的可推理的数字符号推理，再借助于相关数学知识解决. 形数结合现在普遍存在于高考中的数列通项公式、前n项求和、函数图像、方程曲线的等问题中.
例5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或者用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形
数：
将三角形数，1，3，6，10…记为数列{an}，将可被5
整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（1）b2012是数列{an}中的第项.
（2）b2k-1= .（用k表示）
解析：由以上规律可知三角形数1，3，6，10，…的一个通项公式为an=，写出其若干项有：1，3，6，10，15，21，28，
36，45，55，66，78，91，105，120，…发现其中能被5整除的为10，15，45，105，120，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.
从而由上述规律可猜想：b2k=a5k=（k为正整数），
b2k-1=a5k-1==，故b2012=b2×1006=b5×1006=a5030，即
b2012是数列{an}中的第5030项.
答案：（1）5030；（2）.
点评：遇到图形问题，要善于将直观的图形与抽象的数学符号语言联系起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的出现引发对数量变化的思考，使问题化难为易. 本题通过对三角形数的前几项的归纳猜想，寻找出能被5整除的数字变化规律，发现数列{bn}的各项与数列{an}的各?的变化联系，进而得出数列{bn}通项公式，再求出第2012项.这样，
由图想数，数形结合使问题解决达到事半功倍之效.
责任编辑徐国坚。