基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质
模糊粗糙集理论介绍和研究综述
Ξ 收稿日期:2006-03-10作者简介:姚红霞(1979-),女,硕士研究生,主要从事粗糙集理论和模糊集理论研究.【数理科学】模糊粗糙集理论介绍和研究综述Ξ姚红霞(西北师范大学数学与信息科学学院,兰州 730070)摘要:回顾了粗糙集理论,引出了模糊粗糙集的产生背景,介绍了模糊粗糙集模型的一些主要概念和性质,并给出了模糊粗糙集属性重要性的定义,探讨了模糊粗糙集合的应用和发展现状.关 键 词:粗糙集;模糊集;模糊粗糙集中图分类号:TH164 文献标识码:A 文章编号:1671-0924(2006)08-0132-04I ntroduction to and Survey for the Studies of Fuzzy R ough Sets TheoryY AO H ong-xia(Department of Mathematics and In formation Sciences ,N orthwest N ormal University ,Lanzhou 730070,China )Abstract :This paper firstly reviews the theory of rough set and brings out the generation background aboutfuzzy rough sets ,secondly ,introduces the main concept and property of fuzzy rough sets and proposes its significance ,and finally ,discusses the application and recent studies for this theory.K ey w ords :rough sets ;fuzzy sets ;fuzzy rough sets0 引言 粗糙集(R ough Sets )理论最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年[1]提出的,是一种处理不完整和不确定性知识的数学工具[1-2].经过多年的发展,该理论已被成功的用于决策支持系统、人工智能、模式识别与分类、故障检测、金融、医学、知识发现、数据挖掘和专家系统等领域.但由于其严格的等价关系,限制了粗糙模型的发展和应用.针对这个问题,Dub ois 和Prade [3-4]提出模糊粗糙集的概念,作为粗糙集的一个模糊推广.模糊集理论首先是由美国控制论专家L ・A ・扎德(L.A.Z adeh )教授于1965年[5]提出的.也是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,它已成功的应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.虽然2者都可以用来处理模糊和不确定问题,但2者的着眼点不同.粗糙集理论在处理模糊和不确定性问题方面着眼于知识的粗糙性,强调的是集合对象间的不可分辨性;而模糊集在处理不确定性问题时,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.由于这2种理论在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性,因此把它们结合起来的研究前景或许更有实际价值,Dubois 和Prade 是最早研究粗糙模糊集和模糊粗糙集问题的代表人物之一.当知识库中的知识模块是清晰概念,而被近似的概念是一个模糊概念时,就得到粗糙模糊集;当知识库中的知识模块是模糊概念,而被近似的概念是模糊概念时,则可得到模糊粗糙集.粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情况,因此一般只讨论模糊粗糙集.于是根据问题的实际需要,在文献[3-4]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.第20卷 第8期Vol.20 No.8重 庆 工 学 院 学 报Journal of Chongqing Institute of T echnology2006年8月Aug.20061 粗糙集理论的发展 自1992年在波兰召开了RS理论的第一届国际学术会议以来,现在每年都召开以RS为主题的国际会议,大大推动了RS理论的发展.参加的成员主要来自波兰、美国、加拿大、日本、俄罗斯等国家.在Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键概念,等价类是构成上下近似结构的构造性知识块,用任意的二元关系取代等价关系,就得到Pawlak粗糙集模型的不同推广,即一般关系下的RS模型、变精度RS模型、概率RS模型、基于随机集的RS模型[9],而且在一个分明的,自反和传递关系下,一对上下近似算子正好是一个拓扑空间的内部封闭的算子[10-12].在RS集理论中,基本的运算符是近似的.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.在构造性方法下,论域上的二元关系、论域的划分、领域体系、布尔代数都是最原始的概念.文献[1,13-15]用这些概念构造了下近似和上近似算子,构造性方法尤其对RS的实际应用有重要的实用价值.另一方面,公理化方法,是一种研究粗糙代数结构近似的,用上下近似算子作为最初的概念,在这种方法下,用一个公理化集合刻画的近似算子和用构造性方法产生的算子是一样[15-16].比较构造性和公理化这2种方法,对分明粗糙集最典型的公理化研究是文献[15],在文献[17]中,用不同的公理化集合刻画了不同类型的粗糙集代数.2 模糊粗糙集的产生背景 粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,文献[12-13,18]用非等价二元关系推广了粗集近似算子,这一成果的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用U上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个推广的概念,称为粗糙模糊集[4,17,19],相反的,用模糊相似关系代替等价关系,就得到模糊粗糙集合[4-8,19].因此后来有很多模糊粗糙集合的类型,如基于模糊T相似关系的一般结构[21],基于U上弱模糊划分的结构[22-23],以及基于模糊集合上的布尔子代数[7],等等.3 模糊粗糙集合的基本概念和理论3.1 等价关系下的模糊粗糙集定义定义1[9] 设(U,R)是Pawlak近似空间,R是论域U 上的一个等价关系,若A是U上的一个模糊集合,则A关于(U,R)的一对下近似A R和上近似 A R定义为U上的一对模糊集合,其隶属度函数分别定义为:A R(x)=in f{A(y)|y∈[x]R},x∈U,A R(x)=sup{A(y)|y∈[x]R},x∈U,其中[x]R为元素x在关系R下的等价类.若A R= A R,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集(Fuzzy rough set).称A R是A关于(U,R)的正域,称 A R是A关于(U,R)的负域,称 A R∩( A R)为A的边界.3.2 一般关系下的模糊粗糙集合及其属性重要性定义2[24] 称I=(U,A)是一个决策表信息系统,若有:①U是一个非空对象集合;②A={C,D}是一个有限非空属性集合,其中C是条件属性的非空集合,D是决策属性的非空集合;③对每个属性a∈A,定义了一个从U到V a的映射: a:U→V a,其中V a是属性a的值集.定义3[25] 设U是一个非空集合,称U上的模糊二元关系是相似关系,当且仅当R是:①自反的:R(x,x)=1对所有x∈U;②对称的:R(x,y)=R(y,x),对所有x,y∈U,U上的每个条件属性子集决定了一个U上的相似关系;③传递的:R(x,y)∧R(y,z)ΦR(x,z),对所有x, y,z∈U.则称R是U上的一个等价关系.在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,粗糙集合研究对象是分明的等价类,而模糊粗糙集合研究对象是模糊等价类.将论域U上的元素在相似关系下划分模糊等价类,以下记论域U上的模糊关系为S,对象x和y之间的相似度记为u s(x,y)=u s(y,x),它同样满足定义3的条件,即自反性:u s(x,x)=1;对称性u s(x,y)=u s(y,x);传递性u s (x,z)Εu s(x,y)∧u s(y,z).因此对对象x∈U的等价类[x]s定义为:u[x]s(y)=u s(x,y)定义4[26] 模糊P上近似和P下近似定义为:uP X(F i)=sup x min{u Fi(x),u X(x)}Πi. uPX(F i)=in f x max{1-u Fi(x),u X(x)}Πi.其中F i是属于U/P的模糊等价类,PΑA,XΑU,u X (x)是对象x属于U上的任意模糊集合X的程度,则称序对(u P X(F i),u PX(F i))为模糊粗糙集合.由于模糊上下近似的定义和分明的定义有一些差异,个体对象的隶属度的近似不是十分有用的,由于这个原因,模糊上下近似可以定义为:uP X(x)=sup F∈U/P min(u F(x),sup y∈U min{u F(y),u x (y)})uPX(x)=sup F∈U/P min(u F(x),in f y∈U max{1-u F(y),u x (y)})定义5[26] 条件属性C关于决策属性D的正域为:uPOSC(D)(x)=sup u CX(x) X∈U/D定义6[26] 根据模糊正域的定义,可以求出模糊粗糙集合条件下决策属性D对条件属性集合C的依赖性:331姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述γC (D)=∑x∈U uPOSC(D)(x)|U|定义7 令C和D分别为模糊粗糙集的条件属性和决策属性集,属性子集C′ΑC关于D的重要性定义为:σCD(C′)=γC(D)-γC-C′(D)特别当C′={a}时,属性a∈C关于D的重要性为σCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D).4 模糊粗糙集属性约简 为了对模糊粗糙集合进行属性约简,必须先对属性模糊化.在粗糙集合中,属性对应的等价类是普通集合,而在模糊粗糙集合中,属性对应的等价类是模糊集,因此,往往把属性的等价类划分过程称为属性模糊化过程.在粗糙集中,每个对象属于且仅属于一个等价类,在模糊粗糙集中,每个对象可以属于多个模糊等价类.为了进行属性约简,必须求出复合属性的模糊等价类,具体模糊化的过程见文献[26].在文献[17]中给出了模糊粗糙集基于属性依赖性的属性约简的降维算法和例子,在文献[24]中研究了一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简算法.5 模糊粗糙集发展现状 在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.在RS集理论中,基本的运算符是近似.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.因此对模糊粗糙集的研究很多也是建立在这2种方法上的.在文献[17]中研究了模糊粗糙集上的一系列公理化集合,但他们的研究局限与用模糊T相似关系定义的模糊T 粗糙集上,而当模糊关系退化为分明关系时,就是一般的等价关系.然而,到目前为止,对一般关系下模糊粗糙集公理化方法的研究还不是很多,在文献[21]中给出了公理化的模糊粗糙集模型,在文献[25]中运用构造性和公理化方法,给出了模糊粗糙集研究的一般结构.在构造性方法下,基于一个任意的模糊关系定义了一对一般关系下的模糊粗糙集上下近似算子,在公理化方法下,用不同的公理集合刻画了不同类型的模糊粗糙近似算子,这些公理保证了确定类型的模糊关系的存在产生相同的算子.在文献[28]中,应用扩展原理,定义了依靠模糊关联和模糊隐含算子的模糊粗糙集合,并考虑了3个常用的算子,即S-,R-,Q L-算子,用其定义了3种类型的模糊粗糙集,并讨论了各自的性质,使其更好的用于不完全和不确定信息系统.在文献[27]中,讨论了在有限论域上模糊粗糙集模型和模糊拓扑空间之间的关系,提出了模糊拓扑空间上的T C 公理,并证明了所有基于自反和对称模糊关系的上下近似集合包含了一个满足T C公理的模糊拓扑空间,并且相反的,一个满足T C公理的模糊拓扑空间正好是在自反和对称模糊关系下的所有的上下近似集合.即在所有自反和对称模糊关系下的集合和所有满足T C公理的模糊拓扑空间之间,存在一个一对一的关系.但这只是在有限论域情况下的结论,在无限论域上的还不确定成立,需要进一步探讨.粗糙集理论已经被广泛和成功的应用许多领域,主要是由于它能发现隐藏在数据中的事实,而不需要额外的如专家系统或者阈值之类的信息,能在无监督条件下,挖掘出数据库里的最小知识表示.但粗糙理论在应用过程中,主要的载体是信息表,信息表中的对象是处理和挖掘的对象,而信息表中的对象的属性值要么是分明的,或者是实值的,虽然连续的属性值可以通过属性离散化方法离散,但势必会丢失一些重要信息,而且在粗糙理论下,无法判断2个属性值是相似的,或者在某种扩展意义下是相同的.因此,针对这个问题,文献[29-30]用模糊粗糙集来解决这些不确定问题,并将这个理论用于网络数据分类和挖掘上,收到了很好的效果.文献[26]将其进行了推广和完善.目前,国外学者主要从不同角度考虑模糊粗糙集的性质,根据模糊集近似推理方式的不同,主要形成了从3种不同角度研究的模糊粗糙集:基于形式逻辑的模糊粗糙集,基于三角模的模糊粗糙集,基于-截集的模糊粗糙集.6 模糊粗糙集发展展望 虽然模糊粗糙集已经发展了十几年,但作为一种理论,它还有很多的不完善,尤其是目前研究属性约简的算法还是相当少,而属性约简在实际生活中具有重要的意义.今后,模糊粗糙集还有很大的发展空间,它可能更广泛的应用于数据挖掘,知识发现等重要领域.参考文献:[1] Pawlak Z.R ough[J].International Journal of C omputerand in formation Science,1982,11:341-356.[2] Pawlak Z.R ough sets:theoretical aspects of reas oning aboutdata[M].Boston:K luwer Academic Publishers,1991:66-90.[3] Dubois D,Prade H.R ough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of G eneral System,1990,17:191-208.[4] Dubois D,Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets to2gether[C]∥S lowinski R,Intelligent Decision Support.[S.l.]:K luwer Academic,D ordrecht,1992:203-232. 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直觉模糊信息集成理论及应用
徐泽水
2007 年 10 月于北京
前
言
前
言
v
符 号 说 明
X, Θ , Θ , R, R+ , Ω , Δ , Λ x, xi f, g 集合 元素 函数 隶属函数 非隶属函数 犹豫函数 模糊集 直觉模糊集 区间直觉模糊集 直觉模糊数 区间直觉模糊数 得分函数 精确函数 权重向量 数据 方案 方案集 属性 属性集 关联矩阵 决策矩阵 区间决策矩阵 关联测度 距离测度 相似性测度 直觉模糊矩阵当代杰出青年科学直觉模糊信息集成理论及应用
徐泽水 著
科 学 出 版 社
北 京
2
前
言
内
容
简
介
直觉模糊集是传统的模糊集的一种拓展, 它同时考虑了隶属度、 非隶 属度和犹豫度这三个方面的信息, 因而比传统的模糊集在处理模糊性和 不确定性等方面更具灵活性和实用性. 自保加利亚学者 Atanassov 于 1983 年提出直觉模糊集的概念以来, 有关直觉模糊集理论的研究已受到国内 外相关领域学者的极大关注, 并且已被应用于决策、 医疗诊断、 逻辑规划、 模式识别、机器学习和市场预测等诸多领域. 本书主要介绍近年来国内外 学者特别是作者本人在直觉模糊信息的集成方式、直觉模糊集的关联测 度、距离测度和相似性测度、直觉模糊集的聚类算法, 以及基于上述信息 处理工具的直觉模糊决策模型和方法等方面的最新研究成果. 本书可作为模糊数学、运筹学、信息科学和管理科学与工程等领域的 研究人员和工程技术人员的参考书, 以及高等院校有关专业高年级本科 生和研究生的教学用书.
μ
v π F A
Α
α α
s h
ω, w, ξ
a j , bj
Yi Y Gj
G C D
粗糙集理论与模糊集理论的比较分析
粗糙集理论与模糊集理论的比较分析近年来，粗糙集理论和模糊集理论作为数据挖掘和决策支持系统中的重要工具，受到了广泛关注。
粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性和模糊性问题的数学工具，但它们在处理方式和应用领域上存在一些差异。
首先，粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的，它通过将数据集划分为等价类来处理不确定性问题。
粗糙集理论假设数据集中的每个对象都可以用一个决策属性集来描述，而对于其他属性，可能存在不同的取值。
通过将相似的对象划分为等价类，粗糙集理论可以找到数据集中的规则和模式。
粗糙集理论的一个重要应用是特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性，从而减少数据集的维度。
相比之下，模糊集理论是由日本学者石井敏行于1965年提出的，它通过引入隶属度函数来处理模糊性问题。
模糊集理论假设每个对象都有一定程度上属于某个集合的可能性，而不是仅仅属于或不属于。
模糊集理论可以用来描述模糊的概念和模糊的关系。
模糊集理论的一个重要应用是模糊推理，它可以帮助我们处理模糊的决策问题，例如模糊控制系统和模糊决策树。
粗糙集理论和模糊集理论在处理不确定性和模糊性问题上有一些共同之处。
它们都可以用来处理不完全信息和不确定性的数据，帮助我们做出决策。
然而，它们在处理方式和应用领域上也存在一些差异。
首先，粗糙集理论更注重数据集的划分和等价类的构建，它通过找到相似的对象来发现数据集中的规则和模式。
而模糊集理论更注重隶属度函数的构建和模糊关系的描述，它通过模糊的概念和关系来处理模糊性问题。
其次，粗糙集理论更适用于处理离散型数据，而模糊集理论更适用于处理连续型数据。
粗糙集理论通过等价类的划分来处理离散型数据中的不确定性问题，而模糊集理论通过隶属度函数的构建来处理连续型数据中的模糊性问题。
此外，粗糙集理论更注重数据的削减和特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性。
而模糊集理论更注重模糊推理和决策，它可以帮助我们处理模糊的决策问题。
粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用
粗糙集理论与模糊集理论的异同及结合应用引言：在现实生活和学术研究中，我们经常面临着信息不完备、模糊和不确定的情况。
为了更好地处理这些问题，粗糙集理论和模糊集理论应运而生。
本文将探讨粗糙集理论和模糊集理论的异同，并探讨它们如何结合应用于实际问题中。
一、粗糙集理论粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的一种数学工具，用于处理信息不完备和不确定的问题。
粗糙集理论的核心思想是通过分析决策属性和条件属性之间的关系，进行信息的粗糙度度量和信息的约简。
粗糙集理论的主要特点是能够处理不完备和不确定的信息，具有较强的可解释性和可操作性。
二、模糊集理论模糊集理论是由日本学者石原和田原于1973年提出的，用于处理模糊和不确定的问题。
模糊集理论的核心思想是引入隶属度函数来描述事物的模糊性，通过模糊集的运算和推理，对模糊信息进行处理和分析。
模糊集理论的主要特点是能够处理模糊和不确定的信息，具有较强的灵活性和适应性。
三、粗糙集理论与模糊集理论的异同1. 异同之处：（1）描述方式：粗糙集理论通过信息的分区和约简来描述信息的粗糙度，而模糊集理论通过隶属度函数来描述事物的模糊性。
（2）处理方式：粗糙集理论通过分析属性之间的关系来进行信息的约简，而模糊集理论通过模糊集的运算和推理来进行信息的处理和分析。
（3）可解释性：粗糙集理论具有较强的可解释性，能够直观地描述信息的粗糙度，而模糊集理论具有较强的灵活性，能够处理更加复杂的模糊信息。
2. 结合应用：粗糙集理论和模糊集理论在实际问题中可以相互结合，以充分发挥各自的优势。
例如，在医学诊断中，可以使用模糊集理论来描述病情的模糊性，同时使用粗糙集理论来进行信息的约简，从而提高诊断的准确性和可解释性。
在金融风险评估中，可以使用粗糙集理论来处理不完备的信息，同时使用模糊集理论来描述风险的模糊性，从而更好地评估风险的大小和影响。
结论：粗糙集理论和模糊集理论是两种有效的数学工具，用于处理信息不完备、模糊和不确定的问题。
基于直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性
基于直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性惠小静;井美;王蓉【摘要】本文基于直觉模糊集,研究了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法解的表达形式和分解形式.其次,利用直觉模糊集间的自然距离定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,给出了直觉Lukasiewicz蕴涵、直觉G(o)del蕴涵以及它们各自对应三角模的灵敏度,在此基础上,证明了直觉Lukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子.最后,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法的鲁棒性,并且针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三Ⅰ算法解的灵敏度.结论表明,直觉模糊推理算法的鲁棒性完全取决所选择的直觉模糊连接词.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2019(047)002【总页数】7页(P410-416)【关键词】鲁棒性;直觉模糊推理;泛三Ⅰ算法;解的灵敏度【作者】惠小静;井美;王蓉【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O1421 引言1965年,Zadeh提出了模糊集[1].针对模糊集理论,诸多学者进行了大量的研究,并已将模糊集理论广泛运用到模式识别、医疗诊断、模糊控制等领域[2,3].模糊推理是模糊集理论研究的重要方面,它的核心问题是模糊假言推理(FMP)问题和模糊拒取式推理(FMT)问题:FMP:给定规则A→B,且输入A*,输出B*;FMT:给定规则A→B,且输入B*,输出A*.这里的A,A*是论域X上的模糊集,B,B*是论域上Y的模糊集.1973年,Zadeh提出了著名的CRI算法[4],但是由于它缺乏严格的逻辑基础且不具有还原性,于是,王国俊教授提出了全蕴涵三I算法[5],有效地弥补了CRI算法的不足,并将其纳入模糊逻辑系统之中.虽然三I算法具有还原性、较强逻辑根据、逐点优化等诸多优点,但是从整体模糊逻辑系统的角度考虑,三I算法在响应性能、实用价值等方面并不理想.基于上述问题,文献[6]首次提出了基于不同蕴涵的模糊推理,文献[7]进一步将一般的推理算法模型中的后两个模糊蕴涵保持一致,而第一个取不同的模糊蕴涵,进而形成新的模糊推理模型,称之为(1,2,2)型异蕴涵泛三I算法.直觉模糊集[8]是由Atanassov提出的,它是模糊集的推广,而且能更好地反映日常事物的模糊性和不确定性.有关直觉模糊集的理论已经广泛应用到聚类分析、模式识别、群决策等领域[9,10],但是直觉模糊集在模糊推理方面却没有得以迅速地发展.主要是因为直觉模糊蕴涵的运算法则比较复杂.首先文献[11]对直觉模糊蕴涵算子的相关理论进行了初步的研究,文献[12,13]对直觉模糊推理作了深入研究,文献[14]提出了剩余型直觉蕴涵算子,从而为直觉模糊集与模糊推理之间建立了内在联系,在此基础上,文献[15,16]研究了剩余型直觉模糊推理的三I算法,文献[17]研究了直觉模糊推理的三I约束算法.目前,关于直觉模糊推理算法的研究甚少,为此,本文将直觉模糊集与(1,2,2)型异蕴涵泛三I算法结合起来,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的表达形式和分解形式.人类的行为具有不确定性,由此引发了一个有趣的问题,在直觉模糊控制系统中,往往输入的微小扰动会造成推理结果有很大偏差,那么如何有效地避免和消除这种偏差？考虑到以上问题,因此,本文研究了直觉模糊推理算法的鲁棒性.文献[18]借助直觉模糊连接词的灵敏度,分析了直觉模糊推理系统的鲁棒性,文献[19]定义了直觉模糊集间的自然距离和Hamming距离,研究了ukasiewicz型直觉模糊推理三I算法的鲁棒性,文献[20]给出了直觉模糊集间的相似度,并以此作为扰动参数,讨论直觉模糊推理的鲁棒性,文献[21]提出了直觉模糊推理SIS算法,并证明了ukasiewicz型直觉模糊推理的SIS算法具有鲁棒性.本文基于直觉模糊集间的自然距离,定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,给出了直觉ukasiewicz蕴涵、直觉Gödel蕴涵以及它们各自对应的三角模的灵敏度,进一步,证明了直觉ukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子.最后,讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的鲁棒性,而且针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的灵敏度.2 预备知识定义1[8] 设X是论域,x∈X,X上的直觉模糊集A是指函数At(x)、Af(x)、Aπ(x)满足下列条件的三元组:A={<x,At(x),Af(x)>|x∈X} At(x):X→[0,1],x→At(x); Af(x):X→[0,1],x→Af(x);At(x)+Af(x)∈[0,1]; Aπ(x)=1-At(x)-Af(x).其中,对于任意的x∈X,称At(x)为隶属度函数,Af(x)为非隶属度函数,Aπ(x)为犹豫度函数,也称为不确定度函数.特别地,∀x∈X,At(x)+Af(x)=1,则直觉模糊集A退化为模糊集.定义2[15] 设X,Y为非空论域,X,Y上的直觉模糊集分别为IFS(X),IFS(Y).令IFS={(t,f)|t,f∈[0,1],0≤t+f≤1},定义IFS上的一个偏序关系≤如下:∀α，β∈IFS,α=(a1,a2),β=(b1,b2),α≤β当且仅当a1≤b1,a2≥b2.α∧β=(a1∧b1,a2∨b2),α∨β=(a1∨b1,a2∧b2),最小元0*=(0,1),最大元1*=(1,0).显然可知,(IFS,≤)是完备的分配格.本文中,A(x)=(At(x),Af(x)),B(y)=(Bt(y),Bf(y)),A*其中是X上的模糊集,是Y上的模糊集. 定义3[22] L=[0,1],⊗是L上的三角模,若二元运算⊕满足:a⊕b=1-(1-a)⊗(1-b),则⊕是L上的三角余模,称⊕为与⊗对偶的三角余模.反之,⊕是L上的三角余模,若二元运算⊗满足:a⊗b=1-(1-a)⊕(1-b),则⊗是L上的三角模,称⊗为与⊕对偶的三角模.注在本文中出现的运算优先如下:⊗，⊕，⊖→，∧，∨高于+,-.定义4[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),⊗是L上的三角模,⊕是L上与⊗对偶的三角余模,在IFS上定义二元运算⊗*,⊕*:α⊗*β=(a1⊗b1,a2⊕b2);α⊕*β=(a1⊕b1,a2⊗b2).定理1[15] 设⊗*是由左连续三角模⊗生成的直觉三角模,则IFS上存在二元运算→*使得α⊗*β≤γ⟺α≤β→*γ并且β→*γ=∨{η∈IFS|η⊗*β≤γ}.例1[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),下面是两种常见的剩余型直觉蕴涵及对应的三角模.(1)直觉ukasiewicz蕴涵及其对应的三角模:a⊗*Lβ=((a1+b1-1)∨0,(a2+b2)∧1));a→*Lβ=((1-a1+b1)∧(1-a2+b2)∧1, (b2-a2)∨0).(2)直觉Gödel蕴涵及其对应的三角模:a⊗*Gβ=(a1∧a2,b1∨b2);定理2[15] α=(a1,a2),β=(b1,b2),→*是由IFS上左连续的直觉三角模⊗*生成的剩余型蕴涵算子,则下列结论成立.(1)α→*β=((a1→b1)∧(1-(b2⊖a2)),b2⊖a2);(2)α→*β=((a1→b1)∧((1-a2)→(1-b2)),1-(1-a2)→(1-b2)).3 直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的基本思想:设A(x),A*(x)∈IFS(X),B(y)∈IFS(Y),α∈IFS,(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2B*(y))≥α(1)若B*(y)是IFS(Y)中对一切x∈X,y∈Y都满足式(1)的最小直觉模糊集,则称B*(y)为IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.定理3 设→*1,→*2分别是由左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解可表示为:B*⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)},y∈Y证明由B*(y)的表达式知,∀x∈X,A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)≤B*(y),y∈Y.由→*1,→*2是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀x∈X,(A(x)→*1B(y))⊗*2α≤A*(x)→*2B*(y),y∈Y.即∀x∈X,α≤(A(x)→*1B(y)→*2(A*(x)→*2B*(y)),y∈Y.假设存在C(y)∈IFS(Y),使得C(y)满足式(1),即(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2C(y))≥α恒成立.由→*1,→*2分别是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀x∈X,A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)≤C(y),y∈Y.因此B*(y)≤C(y).所以B*(y)为IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.推论1 设(⊗*1,→*1),(⊗*2,→*2)分别是IFS上的直觉伴随对,B*则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的B*(y)可分解如下:⊗2(((At(x)→1Bt(y))∧ (A-f(x)→1B-f(y)))⊗2a1)}, y∈Y.⊕2((1-A-f(x)→1B-f(y))⊕2a2)}, y∈Y.IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的基本思想:设A(x)∈IFS(X),B(y),B*(y)∈IFS(Y),α∈IFS,若A*(x)是IFS(X)中对一切x∈X,y∈Y都满足式(1)的最大直觉模糊集,则A*(x)称为IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.定理4 设→*1,→*2分别是由左连续的⊗*1,⊗*2直觉三角模所诱导的剩余型直觉蕴涵,则IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解如下:A*⊗*2α)→*2B*(y)},x∈X证明由A*(x)的表达式知,∀y∈Y,A*(x)≤((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y),x∈X.由→*1,→*2是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀y∈Y,α⊗*2(A(x)→*1B(y))≤A*(x)→*2B*(y),x∈X.即∀y∈Y,α≤(A(x)→*1B(y))→*2(A*(x)→*2B*(y)),x∈X.假设存在D(x)∈IFS(X),使得D(x)满足式(1),即(A(x)→*1B(y))→*2(D(x)→*2B*(y))≥α恒成立.由→*1,→*2分别是左连续直觉三角模⊗*1,⊗*2所诱导的剩余型直觉蕴涵可知,∀y∈Y,D(x)≤((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y),x∈X.因此D(x)≤A*(x).所以A*(x)为IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的解.推论2 设(⊗*1,→*1),(⊗*2,→*2)分别是IFS上的直觉伴随对,A*则IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的A*(x)可分解如下:⊖2((Bf(y)⊖1Af(x))⊕2a2))}, x∈X.⊕2a2)},x∈X注推论1,推论2中的(⊗*1,→*1)是由⊗1生成,(⊗*2,→*2)是由⊗2生成.4 直觉模糊连接词的灵敏度定义5[19] 设X={x1,x2,…,xn}是非空论域,A,A′∈IFS(X),则称d∞为A,A′之间的自然距离.定义6 设f:IFSn→IFS是一个n元直觉映射,∀(x,y)=((xt1,yf1),(xt2,yf2),…(xtn,yfn))∈IFSn,ε∈[0,1],函数f在点(x,y)处的ε灵敏度定义如下：Δf((x,y),ε) =∨d∞(f(x,y),f(x′,y′))|(x′,y′)∈IFSn,d∞((x,y),(x′,y′))≤ε其中定义7 f的最大ε灵敏度定义如下:定义8 设f,f′是任意的两个n元直觉模糊连接词,∀ε>0,有Δf(ε)≤Δf′(ε)成立,则称f 至少与f′一样鲁棒,进一步来说,∃ε>0,使得Δf(ε)<Δf′(ε)成立,则称f比f′更鲁棒. 定理5 对于二元直觉模糊连接词:f:IFS×IFS→IFS,有(1)当f是IFS上的直觉三角模,则:Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)(2)(2)当f是IFS上的直觉蕴涵,则:Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)(3)这里f((xt1,yf1),(xt2,yf2))=(f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t,f((xt1,yf1),(xt2,yf2))f);证明令m设则即由定义2知,令则:⟺对以上进行分类讨论:⟺≥⟺(c)f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t≥≥结论与(a)类似.(d)f((xt1,yf1),(xt2,yf2))t≥结论与(a)类似.因此,m总是小于或等于式(2)的右端,从而Δf(((xt1,yf1),(xt2,yf2)),ε)等于式(2)的右端.特别地,当时,则m等于式(2)右端.(2)的证明与(1)类似.定理6下面给出两种常见剩余型直觉模糊蕴涵及对应三角模的灵敏度.(1)直觉ukasiewicz蕴涵及对应三角模的灵敏度：(ⅰ)Δ⊗*L(ε)=2ε∧1;(ⅱ)Δ→*L(ε)=2ε∧1.(2)直觉Gödel蕴涵及对应三角模的灵敏度:(ⅰ)Δ⊗*G(ε)=ε;(ⅱ)Δ→*G(ε)=1.证明(1),(2)的证明类似.下面只对(2)进行证明.设(2)(ⅰ)由例1可知,≤|xt1∧xt2-((xt1-ε)∨0)∧((xt2-ε)∨0)|∨|yf1∨yf2-((yf1-ε)∨0)∨((yf2-ε)∨0)|≤|xt1-(xt1-ε)∨0|∨|xt2-(xt2-ε)∨0|∨|yf1-(yf1-ε)∨0|∨|yf2-(yf2-ε)∨0|≤ε且由定理5知,Δ⊗*G(((0,1),(0,1)),ε)=Δ⊗*G(((1,0),(1,0)),ε)=Δ⊗*G(((0,1),(1,0)),ε)=Δ⊗*G(((1,0),( 0,1)),ε)=ε因此,Δ⊗*G(ε)=ε.(ⅱ)由定理2知,=d(((xt1→Gxt2)∧((1-yf1)→G(1-yf2)),1-(1-yf1)≤1且由定理5可知,Δ→*G(((1,0),(0,1)),ε)=∨{Δ→*G(((0,1),(0,1)),ε),Δ→*G(((0,1),(1,0)),ε),Δ→*G(((1,0),(0,1)),ε),Δ→*G(((1,0),(1,0)),ε)}=1因此,Δ→*G(ε)=1.定理7 直觉ukasiewicz蕴涵是IFS上最鲁棒的剩余型蕴涵算子.证明令→*是IFS上任意的剩余型蕴涵算子,由定理5可知,Δ→*((ε,1-ε),(ε,1-ε)),ε)={((1,0)t-((2ε∧1,1-2ε∧1)→(0,1))t)∨(((0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1))t-(0,1))t)∨((1,0)f-((0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1))f)∨(((2ε∧1，1-2ε∧1)→(0,1))f-(1,0)f)}由定理2知,(2ε∧1,1-2ε∧1)→*(0,1)=(1-2ε∧1,2ε∧1),(0,1)→*(2ε∧1,1-2ε∧1)=(1,0),则:Δ→*((ε,1-ε),(ε,1-ε)),ε)={(1,0)t-(1-2ε∧1,2ε∧1)t)}∨{(1-2ε∧1,2ε∧1)f-(1,0)f)}=2ε∧1.且由定理6知,Δ→*L(ε)=2ε∧1,则:Δ→*(ε)≥2ε∧1=Δ→*L综上所述,直觉ukasiewicz蕴涵是IFS上最鲁棒的剩余型蕴涵算子.5 直模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法的鲁棒性定义9 设X是非空论域,X={x1,x2,…xn},A,A′∈IFS(X),∀x∈X,有:≤ε则称A′为A的灵敏度不超过ε的近似逼近.引理1 设f:IFS×IFS×IFS→IFS,若:f((xx1,yf1),(xx2,yf2),(xx3,yf3))=(xx1,yf1)⊗*((xx2,yf2)→*(xx3,yf3))则Δf(ε)≤Δ⊗*(Δ→*(ε)).特别地,(ⅰ)若⊗*=⊗*G,则Δf(ε)=Δ→*(ε).(ⅱ)若⊗*=⊗*L,且→*=→*L或者→*=→*G,则Δf(ε)=(Δ→*(ε)+ε)∧1.证明与定理6的证明类似.定理8 设A,A′,A*,A*′∈IFS(X),B,B′∈IFS(Y),若‖A*且B*与B*′分别是由定理3给出的IFMP(A,B,A*)和IFMP(A′,B′,A*′)问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I 算法的解的灵敏度为:证明B*⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2((A′(x)→*1B′(y))⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)),(A*′(x)⊗*2((A′(x)→*1B′(y))⊗*2α)))=Δ⊗*2((A*(x)⊗*2((A(x)→*1B(y))⊗*2α)),Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))推论3 若⊗*1=⊗*L,→*1=→*L,⊗*2=⊗*G,→*2=→*G,则推论4 若⊗*1=⊗*G,→*1=→*G,⊗*2=⊗*L,→*2=→*L,则定理9设A,A′∈IFS(X),B,B′,B*,B*′∈IFS(Y),若‖B*且A*与A*′分别是由定理4给出的IFMT(A,B,B*)和IFMT(A′,B′,B*′)问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解,则IFMP问题的直觉模糊推理(1,2,2)型泛三I算法的解的灵敏度为:证明⊗*2α)→*2B*(y)}),⊗*2α)→*2B*′(y)})⊗*2α)→*2B*(y)),(((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y)))=Δ→*2((((A(x)→*1B(y))⊗*2α)→*2B*(y)),Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))≤Δ→*2(Δ⊗*2(Δ→*1(ε)))推论5 若⊗*1=⊗*G,→*1=→*G,⊗*2=⊗*L,→*2=→*L,则6 结束语本文讨论了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法,给出了IFMP、IFMT问题的直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的表达形式和分解形式.然后,基于直觉模糊集间的自然距离定义了直觉模糊连接词和直觉模糊集的灵敏度,并给出了直觉ukasiewicz蕴涵、直觉Gödel蕴涵以及它们各自对应三角模的灵敏度,特别是证明了直觉ukasiewicz蕴涵是直觉模糊集上最鲁棒剩余型蕴涵算子,最后,讨论了直觉模糊推理型泛三I算法的鲁棒性,并针对以上两种具体蕴涵算子,相应地获得了直觉模糊推理(1,2,2)-a型泛三I算法解的灵敏度.结果表明,直觉模糊推理算法的鲁棒性完全依赖于所选择的直觉模糊连接词.本文的研究结果一方面,提供了更广泛的选择空间,能获得更多、更实用的直觉模糊系统,另一方面,更是为直觉模糊推理的实际应用提供了理论基础.参考文献【相关文献】[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3):338-353.[2]Dubois D,Prade H.Fuzzy Sets in approximate reasoning[J].Fuzzy Sets and Systems,1991,40(1):143-244.[3]Zadeh L A.Toward extended fuzzy logic-A first step[J].Fuzzy Sets andSystems,2009,160(21):3175-3181.[4]Zadeh L A.Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision and process[J].IEEE Transaction on Systems,Man,and Cybernetics,1973,3(1):28-44.[5]Wang G J.Full implicational triple I methods for fuzzy reasoning[J].Science inChina(Series E),1999,29(1):43-53.[6]李洪兴.Fuzzy系统的概率表示[J].中国科学(E辑),2006,36(4):359-366.Li H X.Probability 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基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型
收稿日期:20210707基金项目:国家自然科学基金资助项目(12001088);黑龙江省自然科学基金联合指导项目(L H 2019A 002)㊂作者简介:翟 忱(1996),男,河南济源人,硕士研究生㊂通信作者:曲智林(1965),男,黑龙江哈尔滨人,教授㊂E -m a i l :q _z h i l i n @n e f u .e d u .c n ㊂第33卷第6期2021年 12月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .33,N o .6D e c .2021文章编号:2095-5456(2021)06-0523-07基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型翟 忱,曲智林*(东北林业大学理学院,黑龙江哈尔滨 150040)摘 要:基于L R 型直觉模糊数,研究了一类模糊线性回归模型,此模型的输入为精确数据,输出为直觉模糊数据,回归系数为L R 型直觉模糊数,并通过模糊最小二乘法给出了估计直觉模糊参数的方法㊂将判定系数扩展到直觉模糊环境中,通过模糊判定系数来检验模型的拟合优度㊂最后通过算例验证了该方法是可行的㊂关 键 词:直觉模糊集;模糊回归模型;L R 型直觉模糊数;模糊最小二乘法;模糊判定系数中图分类号:O 212.1 文献标志码:AF u z z y R e g r e s s i o n M o d e lo fP r e c i s eI n p u ta n d F u z z y O u t pu t B a s e d o n I n t u i t i o n i s t i cF u z z y Se t Z HA I C h e n ,Q UZ h i l i n(C o l l e g e o f S c i e n c e ,N o r t h e a s tF o r e s t r y U n i v e r s i t y,H a r b i n150040,C h i n a )A b s t r a c t :A f u z z y l i n e a rr e g r e s s i o n m o d e lb a s e do n L Ri n t u i t i o n i s t i cf u z z y nu m b e r s w a s s t u d i e d .T h e i n p u t s o f t h i sm o d e l a r e a c c u r a t e d a t a ,t h e o u t p u t s a r e i n t u i t i o n i s t i c f u z z y da t a ,a n d t h e r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s a r e L R i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u mb e r s .T h e m e t h o d o f e s t i m a t i n g i n t u i t i o n i s t ic f u z z y p a r a m e t e r s i s g i v e n b y f u z z y l e a s t s qu a r em e t h o d .T h e d e c i s i o n c o e f f i c i e n t sa r ee x t e n d e dt o i n t u i t i o n i s t i c f u z z y en v i r o n m e n t ,a n dt h e g o o d n e s so f f i to f t h e m o d e l i st e s t e db y f u z z y d e c i s i o nc o e f f i c i e n t s .F i n a l l y ,a ne x a m p l ei s g i v e nt ov e r i f y th e f e a s i b i l i t y of t h i sm e t h o d .K e y w o r d s :i n t u i t i o n i s t i c f u z z y s e t s ;f u z z y r eg r e s s i o n m o d e l ;L R i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u m b e r s ;f u z z y l e a s t s q u a r em e th o d ;f u z z y d e ci s i o n c o e f f i c i e n t 回归分析是一种用于研究因变量与自变量之间关系的方法,而模糊回归模型中涉及到的变量有模糊变量㊂模糊回归模型首先由T a n a k a 等[1]提出,并通过最小化模糊性准则,采用线性规划的方法求解模型的模糊参数㊂P h i l [2]提出了模糊最小二乘法准则,从最小二乘法的角度研究了模糊回归模型,根据模糊数之间的各种距离测度,通过最小化预测模糊值和给定模糊数据之间的总平方误差来估计模型的参数㊂模糊最小二乘法因可以提供一个更精确的估计结果而被广泛应用㊂H o s s e i n z a d e h 等[3]基于高斯模糊数,研究了精确输入高斯模糊输出的模糊回归模型,采用非线性规划的方法求解模糊参数㊂G o n g 等[4]基于三角形模糊数,提出了模糊输入㊁模糊输出的模糊线性回归模型,采用模糊最小二乘法求解模糊参数,并将模型应用到员工绩效评价中㊂H a s s a n po u r 等[5]研究了基于梯形模糊数的模糊输入㊁模糊输出的模糊线性回归模型㊂A t a n a s s o v [6]引入了直觉模糊集的概念㊂经典模糊集通过隶属度来确定模糊集合,直觉模糊集合同时考虑隶属度㊁非隶属度和犹豫度这3方面信息,更适用于处理一些模糊性问题,更符合实际情况㊂直觉模糊集合的提出拓展了模糊集理论,将模糊回归模型扩展到直觉模糊环境中也是一个重要的课题㊂A r e f i 等[7]针对对称三角直觉模糊数建立了模糊输入㊁模糊输出的模糊回归模型,基于直觉模糊集的加权距离,通过模糊最小二乘法求解模型的直觉模糊参数㊂P a r v a t h i 等[8]同样针对对称三角直觉模糊数建立了模糊输入㊁模糊输出的模糊回归模型,采用线性规划的方法求解模糊参数㊂C h e n 等[9]采用三角直觉模糊数,基于最小绝对偏差准则建立数学规划问题,研究了模糊输入模糊输出的模糊回归模型㊂在实际情况中,经常会遇到精确输入模糊输出的模糊回归问题㊂如,树木的生长状态的 好 与 坏 是模糊信息,而温度㊁降水量㊁太阳辐射等影响因素是精确数据㊂因此,研究精确输入㊁模糊输出的模糊回归问题是有意义的㊂本文将基于L R 型直觉模糊数,建立精确输入模糊输出的模糊回归模型,来处理更符合实际情况的模糊性问题㊂1 直觉模糊集合定义1[6] 设X 是一个非空集合,将X 上形如췍A ={<x ,μ췍A (x ),υ췍A (x )>|x ɪX }的三重组称为X 上的一个直觉模糊集,记为I F (X ),其中μ췍A :X ң[0,1]和υ췍A :X ң[0,1],且0ɤμ췍A (x )+υ췍A (x )ɤ1,这里μ췍A (x )和υ췍A (x )分别为X 中元素x 属于췍A 的隶属度和非隶属度㊂此外,π췍A(x )=1-μ췍A (x )-υ췍A (x )表示X 中元素x 属于췍A 的犹豫度㊂如果μ췍A(x )+υ췍A (x )=1,则直觉模糊集췍A 即为普通模糊集㊂定义2[10] 称췍A (α)={x :μ췍A (x )ȡα,1-υ췍A (x )ȡα}是直觉模糊集췍A 的α-截集㊂对于直觉模糊集췍A ,定义如下集合:췍A L μ(α)=i n f {x ɪℝ∣u (x )ȡα},췍A R μ(α)=s u p {x ɪℝ∣u (x )ȡα},췍A L v (α)=i n f {x ɪℝ∣v (x )ɤ1-α},췍A R v (α)=s u p{x ɪℝ∣v (x )ɤ1-α}㊂ 定义3[10]若直觉模糊数췍A的隶属度函数和非隶属度函数的形式如下:μ췍A (x )=L m -x æèçöø÷l ,m -l ɤx <m ;1,x =m ;R x -m æèçöø÷r ,m <x <m +r ;0,其他ìîíïïïïïïïï㊂ υ췍A (x )=1-L m -x æèçöø÷s ,m -s ɤx <m ;0,x =m ;1-R x -m æèçöø÷t ,m <x <m +t ;1,其他ìîíïïïïïïïï㊂则称췍A 为L R 型直觉模糊数㊂其中L (㊃)和R (㊃)是从ℝ+到[0,1]的严格递减函数,且L (0)=R (0)=1㊂l ,s ɪℝ+ɣ0(l ɤs )称为直觉模糊数的左扩散,r ,t ɪℝ+ɣ0(r ɤt )称为直觉模糊数的右扩散㊂将L R 直觉模糊数表示为췍A =(m ;l ,r ,s ,t )L R ㊂定义4[11] 两个L R 直觉模糊数췍A =(m ;l 1,r 1,s 1,t 1)L R ,췍B =(n ;l 2,r 2,s 2,t 2)L R 之间的运算定义为췍A 췍췍B =(m +n ;l 1+l 1,r 2+r 2;s 1+s 2,t 1+t 2)L R ;λ췍췍A =(λm ;λl 1,λr 1;λs 1,λt 1)L Rλ>0㊂ 定义5[12] 直觉模糊数췍A ,췍B之间的距离为d (췍A ,췍B )=14ʏ1췍A L μ(α)-췍B L μ(α[])2d α+14ʏ10췍A R μ(α)-췍B R μ(α[])2d æèçα+14ʏ10췍A L ν(α)-췍B L ν(α[])2d α+14ʏ10췍A R ν(α)-췍B R ν(α[])2d öø÷α12㊂ 若췍A =(m ;l 1,r 1,s 1,t 1)L R ,췍B =(n ;l 2,r 2,s 2,t 2)L R ,췍A ,췍B 之间的距离为d 2(췍A ,췍B )=(m -n )2+a 2[(l 1-l 2)2+(s 1-s 2)2]+b 2[(r 1-r 2)2+(t 1-t 2)2]-425沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷a 1(m -n )[(l 1-l 2)+(s 1-s 2)]+b 1(m -n )[(r 1-r 2)+(t 1-t 2)]㊂其中,a 1=12ʏ1(L -1(α))d α,a 2=14ʏ1(L -1(α))2d α,b 1=12ʏ1(R -1(α))d α,b 2=14ʏ10(R -1(α))2d α㊂2 直觉模糊回归模型及其参数估计设(x i 1,x i 2, ,x i p ;췍y i ),i =1,2, ,n 表示样本的第i 组观测值,x i j ,j =1,2, ,p 是随机观测值,췍y i =(y m i ;y l i ,y r i ,y s i ,y t i )是直觉模糊观测值,直觉模糊回归模型如下:췍y ^i =췍a 0췍x i 1췍췍a 1췍x i 2췍췍a 2췍 췍x i p 췍췍a p ㊂(1)其中,췍a 0=(a m 0;a l 0,a r 0,a s 0,a t 0)是直觉模糊数,췍a j =(a m j ;a l j ,a r j ,a s j ,a t j)是直觉模糊参数㊂根据定义4,可得췍y ^i =a m 0+ðpj =1a m j x i j ;a l 0+ðpj =1a l j x i j ,a r 0+ðpj =1a r j x i j ,a s 0+ðpj =1a s j x i j ,a s 0+ðpj =1a tjx i ()j ㊂(2) 采用模糊最小二乘法来估计模型参数㊂通过样本观测值来确定直觉模糊参数,使其在距离d 下满足观测值췍y i 与估计值췍y ^i 的误差平方和S S E =ðni =1d 2(췍yi -췍y ^i )最小㊂根据定义5,可得S S E =ðn i =1y mi-a m-ðpj =1a mj x i()j 2-a 1ðn i =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y li-al 0-ðpj =1a ljx i ()j -a 1ðn i =1y m i-a m 0-ðp j =1a mj xi()j y si-as 0-ðpj =1a sjx i ()j +b 1ðni =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y ri-ar 0-ðpj =1a rjx i ()j +b 1ðni =1y m i-a m 0-ðpj =1a mj xi()j y ti -at 0-ðpj =1a tjx i ()j +a 2ðni =1y l i-a l 0-ðpj =1a lj xi()j 2+a 2ðni =1y si-a s 0-ðpj =1asj x i ()j 2+b 2ðni =1y r i-a r 0-ðpj =1a rj xi()j 2+b 2ðni =1y ti-a t 0-ðpj =1atj x i ()j 2㊂(3)令췍S S E 췍a m 0=0,췍S S E 췍a l 0=0,췍S S E 췍a r 0=0,췍S S E 췍a s 0=0,췍S S E 췍a t 0=0,可得a m=-y m-ðpj =1a m j -x j ,a l 0=-y l -ðp j =1a l j-x j ,a r 0=-y r -ðpj =1a r j-x j ,a s 0=-y s -ðpj =1a s j-x j ,a t 0=-y t-ðpj =1a t j -x j üþýïïïïïïïïïïïïïï㊂(4)式中:-ym =ðni =1ymin ,-yl =ðni =1ylin,-yr =ðni =1yrin,-yt =ðni =1ytin,-ys =ðni =1ysin,-xj =ðni =1xi jn㊂将式(4)代入式(3),可得525第6期 翟 忱等:基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型S ᶄS E =ðni =1(y mi--y m )-ðpj =1a m j(x i j --x j [])2-a 1ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y l i --y l )-ðpj =1a l j (x i j --x j ))-a 1ðn i =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j(x i j --x j )()(y s i--y s)-ðpj =1a s j (x i j --x j ))+b 1ðni =(1(y m i --y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y r i --y r )-ðpj =1a r j (xi j --x j ))+b 1ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j )()(y t i --y t )-ðpj =1a t j (x i j --x j ))+a 2ðn i =(1(y l i--y l )-ðpj =1a l j (x i j --x j ))2+a 2ðni =(1(y s i --y s )-ðpj =1a s j (x i j --x j ))2+b 2ðni =(1(y ri--y r)-ðpj =1a r j(x i j --x j ))2+b 2ðni =(1(y ti--y t)-ðpj =1a t j (x i j --x j ))2㊂(5)令췍S ᶄS E 췍a m j =0,췍S ᶄS E 췍a l j =0,췍S ᶄS E 췍a r j =0,췍S ᶄS E 췍a s j =0,췍S ᶄS E 췍a t j=0,可得2ðni =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j )+a 1ðni =(1(y l i --y l )-ðp j =1a lj (x i j --x j ))(x i j --x j )+a 1ðni =(1(y s i --y s )-ðpj =1a s j (x i j --x j ))(x i j --x j )-b 1ðn i =(1(y r i--y r)-ðpj =1a r j(x i j --x j ))(x i j --x j )-b 1ðni =(1(y t i --y t )-ðpj =1a t j (x i j--x j ))(x i j --x j )=0,2a 2ðni =(1(y li--y l )-ðp j =1a l j (x i j --x j ))(x i j --x j )=a 1ðn i =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2a 2ðni =(1(y si--y s)-ðpj =1a s j (x i j --x j ))(x i j --x j )=a 1ðn i =(1(y mi--y m )-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2b 2ðni =(1(y r i--y r )-ðpj =1a r j (xi j --x j ))(x i j --x j )=-b 1ðni =(1(y mi--y m)-ðpj =1a m j (x i j --x j ))(x i j --x j ),2b 2ðni =(1(y t i --yt )-ðpj =1a t j (x i j --x j ))(x i j --x j )=-b 1ðni =(1(y m i--y m )-ðp j =1a m j (xi j --x j ))(x i j --x j )㊂引入如下符号:a m=a m 1︙a m æèçççöø÷÷÷p ,a l =a l 1︙a l æèçççöø÷÷÷p ,a r =a r 1︙a r æèçççöø÷÷÷p ,a s =a s 1︙a s æèçççöø÷÷÷p ,a t =a t1︙a t æèçççöø÷÷÷p ;Y m =y m 1︙y m æèçççöø÷÷÷n ,Y l =y l 1︙y l æèçççöø÷÷÷n ,Y r =y r 1︙y r æèçççöø÷÷÷n ,Y s =y s 1︙y s æèçççöø÷÷÷n ,Y t=y t 1︙y t æèçççöø÷÷÷n ;625沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷Y m c =y m 1--y m ︙y m n --y æèçççöø÷÷÷m ,Y l c =y l 1--y l ︙y l n --y æèçççöø÷÷÷l ,Y r c =y r 1--y r ︙y r n --y æèçççöø÷÷÷r ,Y s c =y s 1--y s ︙y s n --y æèçççöø÷÷÷s ,Y t c=y t 1--y t ︙y t n --y æèçççöø÷÷÷t ;X =x 11 x 1p ︙︙︙x n 1 x n æèçççöø÷÷÷p ,X c =x 11--x 1 x 1p --x p ︙︙︙x n 1--x 1 x n p --x æèçççöø÷÷÷p ,췍X =(-x 1,-x 2, ,-x p )㊂若X c TX 是非奇异矩阵,可得a m =(X c T X c )-1X c T Y mc ,a l =(X c T X c )-1X c T Y l c ,a r=(X c T X c )-1X c T Y rc ,a s=(X c T X c )-1X c T Y sc ,a t =(X c T X c )-1X c T Y t c ìîíïïïïïï㊂则参数估计的结果为^a m =(X c T X c )-1X c T Ym c ,^a l =(X c T X c )-1X c T Y l c ,^a r =(X c T X c )-1X c T Y r c ,^a s =(X c T X c )-1X c T Y s c ,^a t =(X c T X c )-1X c T Y t c ,a m 0=-y m -췍X ^a m ,a l 0=-y l -췍X ^a l ,a r 0=-y r -췍X^a r ,a s 0=-y s -췍X ^a s ,a t 0=-y t -췍X ^a t üþýïïïïïïïï㊂(6)3 模糊回归模型的检验A r e f i 等[7]基于直觉模糊集合之间的相似度定义了平均相似度来检验模型的拟合程度㊂该方法通过计算预测值与观测值之间的相似度来检验模型的拟合程度,计算过程中需要计算预测值与观测值的隶属度与非隶属度,计算过程较为复杂㊂本文根据定义5,定义了模型(1)的离差平方和以及回归平方和,建立了模型(1)的模糊判定系数,可通过模糊判定系数来检验模型的拟合优度㊂定义7 称S S T =ðni =1d 2(췍y i ,췍y -)为离差平方和,S S R =ðni =1d 2(췍y ^i ,췍y -)为回归平方和㊂其中췍y -=(-y m ;-yl ,-y r,-y s,-yt)㊂记췍Y m ,췍Y l ,췍Y r ,췍Y s ,췍Y t 为-y m ,-y l ,-y r ,-y s ,-yt 构成的n ˑ1维列向量,则有S S T =(Y m -췍Y m )T (Y m -췍Y m )+a 2(Y l -췍Y l )T (Y l -췍Y l )+b 2(Y r -췍Y r )T (Y r -췍Y r )+a 2(Y s -췍Y s )T (Y s -췍Y s )+b 2(Y t -췍Y t )T (Y t -췍Y t )-a 1(Y m -췍Y m )T (Y l -췍Y l )+b 1(Y m -췍Y m )T (Y r -췍Y r )-a 1(Y m -췍Y m )T (Y s -췍Y s )+b 1(Y m -췍Y m )T (Y t -췍Y t )㊂令(Y m -췍Y m )=(Y m -^Y m +^Y m -췍Y m ),(Y l -췍Y l )=(Y l -^Y l +^Y l -췍Yl ),(Y r -췍Y r )=(Y r -^Y r +^Y r -췍Y r ),(Y s -췍Y s )=(Y s -^Y s +^Y s -췍Y s ),(Y t -췍Y t )=(Y t -^Y t +^Y t -췍Yt )㊂可得S S T =S S E +S S R +2(Y m -^Y m )T (^Y m -췍Y m )+2a 2(Y l -^Y l )T (^Y l -췍Y l )+2b 2(Y r -^Y r )T (^Y -췍Y r )T +2a 2(Y s -^Y s )T (^Y s -췍Y s )T +2b 2(Y t -^Y t )T (^Y t -췍Y t )-a 1(Y m -^Y m )T (^Y l -췍Y l )-a 1(^Y m -췍Y m )T (Y l -^Y l )+b 1(Y m -^Y m )T (^Y r -췍Y r )-b 1(^Y m -췍Y m )T (Y r -^Y r )-a 1(Y m -^Y m )T (^Y s -췍Y s )-a 1(^Y m -췍Y m )T (Y s -^Y s )+b 1(Y m -^Y m )T (^Y t -췍Y t )-b 1(^Y m -췍Y m )T (Y t -^Y t )㊂由于^a m =(X c T X c )-1X c T Y m c ,^Y m =X ^a m +1^a m 0,1为n 维单位列向量,则有(Y m -^Y m )T (^Y m -췍Y m )=(Y m -X ^a m -1^a m 0)T (X ^a m +1^a m 0-췍Ym )=(Y m -X ^a m -췍Y m +1췍X ^a m )T (X ^a m +췍Y m -1췍X ^a m -췍Y m )=(Y m c -X c ^a m )T (X c ^a m )=0㊂725第6期 翟 忱等:基于直觉模糊集合的精确输入模糊输出的模糊回归模型重复以上步骤,可得S S T =S S E +S S R ,则有如下定义定义8 直觉模糊回归模型的模糊判定系数췍R 2为췍R 2=1-S S E S S T =S S R S S T㊂ 由S S T =S S E +S S R 可知췍R 2的取值范围是0到1㊂当췍R 2=1时,S S E =0,所有观测点都落在回归直线上,模型完美地拟合了所有的观测值;当췍R 2=0时,预测值等于观测值的均值,自变量无法解释因变量的任何变化㊂所以췍R 2越接近1,表明回归平方和占离差平方和的比例越大,回归曲线与各观测点越接近,模型拟合程度就越好;反之,췍R2越接近0,模型的拟合程度就越差㊂4 算 例假设模型为췍y =x 췍(0.55;0.2,0.4)췍(0.7;0.5,1)췍(εm ;εl ,εs ),其中췍y 是对称三角直觉模糊样本,其隶属度与非隶属度函数为L (x )=R (x )=1-x ,且l =r 和s =t ,εm ,εl ,εs是随机误差,服从标准正态分布㊂随机生成一组数据,如表1所示㊂表1 随机数据T a b l e1 R a n d o md a t aymylysx 17.634328.09097314.617183026.869328.54660019.024454726.9964610.45167019.759584825.207079.06086318.145184519.749427.18002915.705153520.574457.82975315.185233319.253717.57519913.388583323.2494310.49692017.503414119.387836.93308012.928953228.9393911.03894022.333545027.4505910.84918019.839344821.653228.45708215.738793726.216069.25967320.616014626.5223710.52221022.562644927.5689210.52361021.103795023.314059.09373720.334114424.202428.13756517.338364023.479318.10379816.360134021.004139.49821816.796323728.3470510.43138020.5462148︙︙︙︙图1 拟合图像F i g .1 F i t t i n g i m a ge 根据式(6),通过模糊最小二乘法,求出模糊回归模型为췍y =x 췍(0.5502;0.2016,0.4087)췍(0.7945;0.4901,0.7456)㊂ 根据定义8,可以求出模型的模糊判定系数为췍R 2=0.87024,说明模型的拟合效果很好㊂模型拟合效果如图1所示㊂5 结 论本文提出了基于L R 型直觉模糊数的模糊线性回归模型,讨论了模糊最小二乘法在直觉模糊环境中的扩展,构建了精确输入㊁模糊输出的模糊回归模型㊂给出了模型参数的具体表达形式,且参数估计825沈阳大学学报(自然科学版) 第33卷的结果不受直觉模糊样本的隶属度㊁非隶属度函数形状的影响,所以本文提出的模型适用于不同类型的直觉模糊样本㊂直觉模糊集同时考虑了隶属度和非隶属度,比经典模糊集更符合实际情况,相较于基于经典模糊集合的模糊回归模型,本文提出的模型能更好的处理现实中的模糊问题㊂为了检验模型拟合程度的好坏,本文定义了模糊判定系数,扩展了模型检验的方法㊂模糊判定系数无需考虑观测值与预测值的隶属度与非隶属度,计算方法简单易行㊂本文不足之处在于没有考虑直觉模糊变量分布,不能对参数进行假设检验,只能通过模糊判定系数来检验模型拟合度㊂参数的假设检验以及计算参数的置信区间是笔者未来的研究内容㊂参考文献:[1]T A N A K A H ,U E J I MA S ,A S A IK.L i n e a r r e g r e s s i o na n a l y s i sw i t hf u z z y m o d e l [J ].I E E E T r a n s a c t i o n so nS y s t e m s M a na n d C yb e r n e t ic s ,1982,12(6):903907.[2]P H I LD.F u z z y l e a s t s qu a r e s [J ].I n f o r m a t i o nS c i e n c e s ,1988,46(3):141157.[3]H O S S E I N Z A D E H E ,HA S S A N P O U R H.E s t i m a t i n g t h e p a r a m e t e r so ff u z z y l i n e a rr e g r e s s i o n m o d e lw i t hc r i s p i n p u t sa n d G a u s s i a n f u z z y o u t p u t s :a g o a l p r o g r a mm i n g a p p r o a c h [J ].S o f tC o m p u t i n g,2021,25(4):27192728.[4]G O N G Y B ,Y A N G S X ,MA H L ,e ta l .F u z z y r e g r e s 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,MA L A T H IC ,A K R AM M ,e ta l .I n t u i t i o n i s t i cf u z z y l i n e a rr e g r e s s i o na n a l y s i s [J ].F u z z y O p t i m i z a t i o na n d D e c i s i o n M a k i n g,2013,12(2):215229.[9]C H E NL H ,N I E N S H.M a t h e m a t i c a l p r o g r a mm i n g a p p r o a c ht o f o r m u l a t e i n t u i t i o n i s t i c f u z z y r e g r e s s i o n m o d e lb a s e do n l e a s t a b s o l u t e d e v i a t i o n s [J ].F u z z y O p t i m i z a t i o na n dD e c i s i o n M a k i n g ,2020,19(2):191210.[10]G UH A D ,C H A K R A B O R T Y D.At h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t o f d i s t a n c em e a s u r e f o r i n t u i t i o n i s t i c f u z z y n u m b e r s [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s a n d M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,2010,2010:125.[11]D E S C H R I J V E R G.A r i t h m e t i co p e r a t o r s i ni n t e r v a l -v a l u e df u z z y s e tt h e o r y [J ].I n f o r m a t i o nS c i e n c 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直觉模糊微积分
直觉模糊微积分引言微积分是数学中的一门重要学科，涉及到函数、极限、导数和积分等概念。
微积分的发展与应用已经深入到各个领域，包括物理学、工程学、经济学等等。
然而，传统的微积分理论在处理模糊问题时存在局限性。
直觉模糊微积分（Intuitionistic Fuzzy Calculus）是一种新兴的数学工具，能够有效地处理模糊问题。
本文将介绍直觉模糊微积分的基本概念、运算规则以及应用领域。
直觉模糊集在介绍直觉模糊微积分之前，我们先来了解直觉模糊集的基本概念。
直觉模糊集是一种扩展的模糊集，它的隶属度函数不仅可以表示模糊程度，还可以表示不确定度。
直觉模糊集的隶属度函数是一个三元组，包括模糊度、确定度以及不确定度三个维度，分别用数值表示。
直觉模糊集可以用来描述人类的直觉认知，更符合人类对不确定性问题的处理方式。
直觉模糊微积分的基本概念直觉模糊微积分通过引入直觉模糊数和直觉模糊函数的概念，将传统微积分理论推广到模糊环境中。
直觉模糊数是一个具有隶属度函数的数值，可以用来表示直觉模糊集合。
直觉模糊函数是一个从直觉模糊集到直觉模糊集的映射，可以看作是一种模糊函数关系。
在直觉模糊微积分中，我们定义了直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算规则。
直觉模糊导数可以看作是直觉模糊函数的斜率，它表征了函数在某一点上的变化情况。
直觉模糊积分是直觉模糊函数在某一区间上的累积效应，可以用来计算函数曲线下的面积。
直觉模糊微积分的运算规则直觉模糊微积分的运算规则包括直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算性质。
直觉模糊导数具有线性性、乘法性以及链式法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行求导。
直觉模糊积分具有线性性、区间性以及换元法则等性质，使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行积分。
直觉模糊微积分的应用领域直觉模糊微积分在多个领域具有广泛的应用。
在工程学中，直觉模糊微积分可以用于模糊控制系统的设计与优化。
在经济学中，直觉模糊微积分可以用于风险分析与决策制定。
直觉模糊集的性质及应用
直觉模糊集的性质及应用[摘要]：美国学者L.A.Zadeh于1965年提出模糊集合的概念以来，大量处理不确定性的理论陆续开始提出，其中多数是对Zadeh的模糊集合理论的推广。
学者K.T.Atanassov在1984年推广了这一理论，提出了直觉模糊集和区间值直觉模糊集两个概念，接着于1999年又给出了格上的直觉模糊集理论。
本文以直觉模糊集为研究对象，对广义区间值直觉模糊集的相关概念和性质进行了研究，推广了熵和子集度的概念，讨论了熵、子集度以及相似度三者之间的关系。
[关键词]：直觉模糊集；区间值；熵；子集度；相似度Properties and Applications ofIntuitionistic Fuzzy Sets[Abstract]: Since L.A.Zadeh introduced fuzzy sets in 1965, a lot of new theories treating imprecision and uncertainty have been introduced. Some of them are extensions of fuzzy set theory. K.T.Atanassov extended this theory, proposed the definition of intuitionistic fuzzy sets and interval-valued intuitionistic fuzzy sets (IVIFS, for short). And then, in the year 1999, Atanassov defined a Lattice-intuitionistic fuzzy set.This dissertation focuses on intuitionistic fuzzy sets, which covers conception and properties of VIFS, extends entropy and subsethood onto VIFS and discusses the relation among entropy, subsethood and similarity. [Keywords]: Intutionistic fuzzy sets；Interval valued ；Entropy；Subsethood；Similarity1、引 言在十九世纪末，德国数学家Cantor 创立了集合论[1]。
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通讯作者：秦克￣（９２ ， 西南交通大学数学学院教授， １６－ 男， ） 博士生导师
１Ｏ ９
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ６
定义 ３ 令 ＝［， ， Ｏ１ 二元函数 Ｔ： Ｌ Ｌ， ］ ＬＸ 若满足下列条件
（） １ 两极律 ：Ｔ ａ１＝ａａ∈ ； （， ） ， （） ２交换律 ：Ｔ ａ６ ＝ｒ ｂ ， （，） （，） ａ∈三； （） ３结合律：Ｔ Ｔ ａ６，） （， （，） ａ （ （，）Ｃ ＝Ｔ ａＴ ｂｃ） ∈Ｌ； ， ． （） ４单调率：ａ ， ｄ＝ Ｔ ａ６ ≤Ｔｃ ，，，， ， ｃｂ ＝ （，） （， ａｂｃｄ∈ ＞ ） 则称 为 Ｌ＝【， 上的三角模．当 Ｔａ１＝ａ时称为 模，当Ｔ ａ０ ＝ａ时称为 模 ， 模和 模是对偶的， ０１ 】 （， ） （，）
即 Ｓ ａ６ ＝１ Ｔ １ ａ １ ｂ ，， ． （ ，） － （一 ，－ ）ａｂ∈ 定义 ４设 是 上下半连续三角模，三上的二元算子 ： 三 Ｌ定义如下 ： ＬＸ
（，） ｕ ｛ ∈ＬＩ（，） ６ ，， ∈ ， ｂ ＝ｓｐ ｃ Ｔ ａｃ ）ａｂ
称 是 的剩余蕴涵． ，
基于直觉模糊剩余蕴马立珍
（ 南交通大学数 学学院，四川成都 ６ ０ ３ ） 西 １０ １ 摘 要：本文主要研究直 觉模糊剩余蕴涵下的直觉模糊粗糙 集的构造和性质．定义 了直 觉模糊 集上 的剩余 蕴涵， 于该 基
剩余 蕴涵构造 了直觉模糊粗糙 集的上、下近似算子，并给 出了基 于不同二元 关系下近似算子 的性质． 关键 词；直觉模糊 集；直觉模糊粗糙 集；直 觉模糊剩余蕴涵
’ ，） ｍｉ（ （Ｉ 一 ） （ｌ － ２） ｎ１ （ １ ２，一Ｔ ｙ，一 ） （ Ｙ ＝（ ｎＴ ｘ， ， ｙ， ｘ） ｍｉ（一 ，一 ） １ Ｔ ｌ ， １ （ｌ ） １ ） 均是是 ｒ上 模． ‘ ， ＝（（ ） （２ ）是 ｒ上 模． （ ） ， ， ｘ， ） ｘ Ｔ
（ ＵＢ＝ ＜ ，Ａｘ ｖ ￣（） Ａｘ 八 （） ｌ ∈ ） ２ ） ｛ ｘ， （） ／ ｘ， （） ｘ ＞ ； ｕ Ｂ ｙ
（ ＜ （） （） Ｉ ∈ ｝ ３ ）Ａ ＝｛ ， ， ｘ ＞ ； （ ４ ） Ｂ§ Ｖ ｘ∈Ｕ， （） ｘ （） ｘ且 （） （） ｘ．
第 ６第 期 ３ ２ 卷
Ｊ ａ Ｓｈｓｎｒ学Ｎｏ然・ｕＳｎＥｉ ｏ ｏｗ壹ｖｉ 学ｔｌ 版 ｅ ｄｎ ｕｌ ｕ西 民ｓｆ报ｎｉ学ｒｃｃ ｉ ｍｏ ｔ ｔｉ大ｏａ自ｅａ ｅ ｔ ｅ 族ｙｒｉｉ ａｉ ｏ ｆ Ｕｅ ｔ ・ｔＮ ｌ ａ ｔ ｓ
Ｍｒｏ ａ２ｏ ． 。 １ 。
文 章编 号 ：０３２４ （０００－１９０ １０—８３２ １）２０８ －４
中 图 分 类号 ： ５ Ｏ１ ９ 文献标识码： Ａ
波兰数学家Ｚ Ｐ ｗａ 于 １８ 年首先提出粗糙集理论【 为处理模糊的和不确定性知识提供了新 的理论工具， ．ａ ｌ ｋ ９２ ｌ ｌ ，
已经成功用于专家系统 、 决策分析和数绝挖掘等领域． 许多学者将粗糙集理论进一步推广、 不断的加 以完善， 产 生了基于一般二元关系的粗糙集模型 、变精度粗糙机模型 、概率粗糙机模型和模糊粗糙集模型等等． 在对 Ｐｗ ａ ａｌ ｋ粗糙集理论进行推广中， 将粗糙集和模糊集【 ２ 】 相结合的模糊粗糙集模型得到了许多研究人员的 关注， 并对模糊粗糙集模型进行了更加深入的研究． 特别是逻辑算子的引入， 为模糊粗糙集模型理论的研究开 辟了新 的研究领域， 并产生了很多新的成果， 为非经典逻辑的研究提供了新的工具． 本文在 已有研究成果的基础上， 研究了基于直觉模糊剩余蕴涵算子 的直觉模糊粗糙集， 主要对在不同二元 关系下的近似算子进行 了讨论．
定理 １ 令 ｒ＝｛ ）（ ） 【， ￣ Ｉ （ ， Ｉ ， ∈ ０１ Ｊ． ＋ 】 １ ｘ
（ ） ， ｒ（ ） ， § 则 （ ， 是完备的格． ， 。 ）
１ 对（ ） ， ） ） ， ， ∈ （
且 Ｙ， ２
对 于 论 域 上 直 觉 模 糊 集 也 可 看 做 Ａ： ｒ ： ’ （） （） Ｕ Ｉ （ ， ）， Ｖ ｘ∈Ｕ ， 其 中 （） Ｏ１ （） １Ｏ． ｘ ＝（， ， ＝（ ） ） ，
１ 直觉模糊集（ （ ） ）
定义 １ 】 设 是非空的论域， 上的直觉模糊集 定义如下形式 ： 【 ３
Ａ＝ ＜ ， （） Ａｘ ＞ ∈ ） ｛ ｘ， （） Ｉ ， ｙ
其中 （）Ｕ ［， 和 （）Ｕ ［， 是 对 论域 的隶属函数和非隶属函数， ： ０ｌ 】 ： ０１ 】 且对 中任意 恒有 ０ （ ＋ （ １ 成立． 当 （） 一 （） 直觉模糊集 就是通常的模糊集． ＝１ ， 定义 ２Ｊ 设 ，Ｂ是论域 Ｕ上的直觉模糊集即 ， Ｆ（ ， 【 ３ Ｂ∈Ｉ Ｕ） 则有 （） ｎＢ＝｛ ，Ｇ（） 口 ， （） （） Ｉ ∈ ） １ ＜ ／ ｘ 八 （） Ｖ ＞ ； －
定义 ５】 上的映射 Ｔ ： × 【 ‘ ‘ ，ｃ ＝ａ时称 ｒ上的 模 ． （０）
ｒ， 满足交换律 、结合律 、单调率． 当 ‘ ，， ＝ａ称 ｒ上的 Ｔ模 、 （ １） ．
任意的Ｘ＝（ ｘ） ，２，Ｙ＝（ ） ， ∈ｒ，Ｔ、Ｓ分别为 上的 模和 Ｓ模， 则 ’ ，） ， ）Ｓｘ，２） （ Ｙ ＝（ （ ，（２Ｙ），